Страница 121 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

245. В трапеции $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$, $AD = 10$ см, $BC = 5$ см, $AC = 9$ см, $BD = 12$ см. Найдите площадь трапеции.

Дано:

трапеция $ABCD$

основания $BC$ и $AD$

$AD = 10 \text{ см}$

$BC = 5 \text{ см}$

$AC = 9 \text{ см}$

$BD = 12 \text{ см}$

Перевод в СИ:

$AD = 0.1 \text{ м}$

$BC = 0.05 \text{ м}$

$AC = 0.09 \text{ м}$

$BD = 0.12 \text{ м}$

Найти:

$S_{ABCD}$

Решение:

1. Построение вспомогательного параллелограмма.

Проведем через вершину $C$ прямую $CE$, параллельную диагонали $BD$, до пересечения с продолжением основания $AD$ в точке $E$.

Таким образом, четырехугольник $BCED$ является параллелограммом (так как $BC \parallel AD$ по определению трапеции, и $CE \parallel BD$ по построению).

Из свойств параллелограмма следует, что противоположные стороны равны: $DE = BC = 5 \text{ см}$ и $CE = BD = 12 \text{ см}$.

2. Рассмотрение треугольника $ACE$.

Стороны треугольника $ACE$ равны:

$AC = 9 \text{ см}$ (дано)

$CE = 12 \text{ см}$ (построено, равно $BD$)

$AE = AD + DE = 10 \text{ см} + 5 \text{ см} = 15 \text{ см}$.

Проверим, является ли треугольник $ACE$ прямоугольным, используя обратную теорему Пифагора. Для этого вычислим квадраты длин сторон:

$AC^2 = 9^2 = 81$

$CE^2 = 12^2 = 144$

$AE^2 = 15^2 = 225$

Сумма квадратов двух меньших сторон:

$AC^2 + CE^2 = 81 + 144 = 225$.

Так как $AC^2 + CE^2 = AE^2$, то треугольник $ACE$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$.

3. Нахождение высоты трапеции.

Высота трапеции $h$ является высотой треугольника $ACE$, опущенной из вершины $C$ на сторону $AE$.

Площадь прямоугольного треугольника $ACE$ может быть найдена как половина произведения его катетов:

$S_{ACE} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot CE = \frac{1}{2} \cdot 9 \text{ см} \cdot 12 \text{ см} = \frac{1}{2} \cdot 108 \text{ см}^2 = 54 \text{ см}^2$.

Также площадь треугольника $ACE$ можно выразить через основание $AE$ и высоту $h$:

$S_{ACE} = \frac{1}{2} \cdot AE \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 15 \text{ см} \cdot h$.

Приравнивая выражения для площади, получаем:

$54 = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot h$

$108 = 15h$

$h = \frac{108}{15} = \frac{36}{5} = 7.2 \text{ см}$.

Переведем высоту в СИ: $h = 7.2 \text{ см} = 0.072 \text{ м}$.

4. Нахождение площади трапеции.

Площадь трапеции $ABCD$ вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2}(AD + BC)h$.

$S_{ABCD} = \frac{1}{2}(0.1 \text{ м} + 0.05 \text{ м}) \cdot 0.072 \text{ м}$

$S_{ABCD} = \frac{1}{2}(0.15 \text{ м}) \cdot 0.072 \text{ м}$

$S_{ABCD} = 0.075 \text{ м} \cdot 0.072 \text{ м}$

$S_{ABCD} = 0.0054 \text{ м}^2$.

Переведем результат обратно в квадратные сантиметры:

$S_{ABCD} = 0.0054 \text{ м}^2 = 0.0054 \cdot (100 \text{ см})^2 = 0.0054 \cdot 10000 \text{ см}^2 = 54 \text{ см}^2$.

Ответ: $54 \text{ см}^2$

246. Площадь прямоугольника равна $16\sqrt{3}$ см$^2$, а величина одного из углов, образованного диагоналями, равна $120^\circ$. Найдите стороны прямоугольника.

Дано:

$S = 16\sqrt{3} \text{ см}^2$

$\alpha = 120^\circ$ (угол между диагоналями)

Найти:

Стороны прямоугольника $a, b$.

Решение:

Пусть $d$ - длина диагонали прямоугольника. Площадь прямоугольника может быть выражена через длины его диагоналей $d_1, d_2$ и угол $\alpha$ между ними по формуле $S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin \alpha$.

В прямоугольнике диагонали равны, то есть $d_1 = d_2 = d$.

Следовательно, формула площади принимает вид: $S = \frac{1}{2} d^2 \sin \alpha$.

Подставим известные значения: $16\sqrt{3} = \frac{1}{2} d^2 \sin 120^\circ$.

Известно, что $\sin 120^\circ = \sin (180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Получаем уравнение: $16\sqrt{3} = \frac{1}{2} d^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$.

$16\sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{4} d^2$.

Разделим обе части на $\sqrt{3}$ и умножим на 4: $d^2 = 16 \cdot 4 = 64$.

Отсюда, $d = \sqrt{64} = 8$ см.

Диагонали прямоугольника делятся точкой пересечения пополам. Пусть половина диагонали будет $x = d/2 = 8/2 = 4$ см.

Диагонали прямоугольника образуют четыре равнобедренных треугольника. Рассмотрим два из них.

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$.

Рассмотрим треугольник, образованный двумя половинами диагоналей и одной из сторон прямоугольника. Угол между диагоналями, который нам дан, равен $120^\circ$. Пусть этот угол является углом при вершине равнобедренного треугольника, стороной которого является $a$. Стороны этого треугольника, прилежащие к углу $120^\circ$, равны $x = 4$ см.

Используем теорему косинусов для нахождения стороны $a$: $a^2 = x^2 + x^2 - 2x \cdot x \cos 120^\circ$.

$a^2 = 4^2 + 4^2 - 2 \cdot 4 \cdot 4 \cdot (-\frac{1}{2})$.

$a^2 = 16 + 16 + 16 = 48$.

$a = \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$ см.

Рассмотрим второй треугольник, образованный двумя половинами диагоналей и другой стороной прямоугольника $b$. Угол между диагоналями, смежный с $120^\circ$, равен $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$. Стороны этого треугольника также равны $x = 4$ см.

Используем теорему косинусов для нахождения второй стороны $b$: $b^2 = x^2 + x^2 - 2x \cdot x \cos 60^\circ$.

$b^2 = 4^2 + 4^2 - 2 \cdot 4 \cdot 4 \cdot (\frac{1}{2})$.

$b^2 = 16 + 16 - 16 = 16$.

$b = \sqrt{16} = 4$ см.

(Заметим, что треугольник с углом $60^\circ$ и двумя равными сторонами, прилежащими к этому углу, является равносторонним. Поэтому $b$ также равно $x=4$ см).

Ответ:

Стороны прямоугольника равны $4\sqrt{3}$ см и $4$ см.

247. Найдите наибольшее значение площади прямоугольника,

диагональ которого равна:

а) $11 \text{ см}$;

б) $3 \text{ дм}$.

Для решения задачи найдем зависимость площади прямоугольника от его диагонали и определим условие, при котором площадь достигает максимального значения.

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$, а его диагональ равна $d$. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного двумя сторонами и диагональю, имеем: $a^2 + b^2 = d^2$.

Площадь прямоугольника $S$ выражается формулой $S = a \cdot b$.

Для нахождения наибольшего значения площади воспользуемся неравенством между средним арифметическим и средним геометрическим для неотрицательных чисел $a^2$ и $b^2$: $\frac{a^2 + b^2}{2} \ge \sqrt{a^2 \cdot b^2}$.

Подставляя $a^2 + b^2 = d^2$, получаем: $\frac{d^2}{2} \ge \sqrt{(a \cdot b)^2}$.

Поскольку $a$ и $b$ - это длины сторон, они положительны, поэтому $\sqrt{(a \cdot b)^2} = a \cdot b$. Таким образом: $\frac{d^2}{2} \ge a \cdot b$.

Это означает, что $S \le \frac{d^2}{2}$. Наибольшее значение площади достигается, когда неравенство превращается в равенство, то есть когда $a^2 = b^2$. Поскольку $a$ и $b$ - длины сторон, они положительны, следовательно, $a = b$. Это условие означает, что прямоугольник является квадратом.

Таким образом, наибольшая площадь прямоугольника с заданной диагональю $d$ равна $S_{max} = \frac{d^2}{2}$.

а) 11 см

Дано:

Диагональ прямоугольника $d = 11 \text{ см}$.

Перевод в СИ:

$d = 11 \text{ см} = 0.11 \text{ м}$.

Найти:

Наибольшее значение площади прямоугольника $S_{max}$.

Решение:

Используем выведенную формулу для наибольшей площади: $S_{max} = \frac{d^2}{2}$. $S_{max} = \frac{(0.11 \text{ м})^2}{2} = \frac{0.0121 \text{ м}^2}{2} = 0.00605 \text{ м}^2$. Для удобства представим ответ в квадратных сантиметрах: $S_{max} = 0.00605 \text{ м}^2 \cdot (100 \text{ см}/\text{м})^2 = 0.00605 \cdot 10000 \text{ см}^2 = 60.5 \text{ см}^2$.

Ответ: $60.5 \text{ см}^2$.

б) 3 дм

Дано:

Диагональ прямоугольника $d = 3 \text{ дм}$.

Перевод в СИ:

$d = 3 \text{ дм} = 0.3 \text{ м}$.

Найти:

Наибольшее значение площади прямоугольника $S_{max}$.

Решение:

Используем выведенную формулу для наибольшей площади: $S_{max} = \frac{d^2}{2}$. $S_{max} = \frac{(0.3 \text{ м})^2}{2} = \frac{0.09 \text{ м}^2}{2} = 0.045 \text{ м}^2$. Для удобства представим ответ в квадратных дециметрах: $S_{max} = 0.045 \text{ м}^2 \cdot (10 \text{ дм}/\text{м})^2 = 0.045 \cdot 100 \text{ дм}^2 = 4.5 \text{ дм}^2$.

Ответ: $4.5 \text{ дм}^2$.

248. a) Выразите площадь квадрата через его диагональ $d$.

б) Дан четырехугольник $ABCD$, диагонали которого пересекаются в точке $O$. Докажите, что $S_{\triangle AOB} \cdot S_{\triangle COD} = S_{\triangle BOC} \cdot S_{\triangle AOD}$.

a) Выразите площадь квадрата через его диагональ d.

Дано

Квадрат со стороной a и диагональю d.

Найти

Площадь квадрата S через его диагональ d.

Решение

Пусть сторона квадрата равна a. Площадь квадрата выражается формулой:

$S = a^2$

Диагональ d квадрата является гипотенузой прямоугольного равнобедренного треугольника, образованного двумя сторонами квадрата и самой диагональю. По теореме Пифагора:

$a^2 + a^2 = d^2$

$2a^2 = d^2$

Выразим $a^2$ из этого уравнения:

$a^2 = \frac{d^2}{2}$

Так как площадь квадрата $S = a^2$, подставим найденное выражение для $a^2$:

$S = \frac{d^2}{2}$

Ответ: $S = \frac{d^2}{2}$

б) Дан четырехугольник ABCD, диагонали которого пересекаются в точке O. Докажите, что $S_{\triangle AOB} \cdot S_{\triangle COD} = S_{\triangle BOC} \cdot S_{\triangle AOD}$.

Дано

Четырехугольник ABCD, диагонали AC и BD которого пересекаются в точке O.

Найти

Доказать равенство $S_{\triangle AOB} \cdot S_{\triangle COD} = S_{\triangle BOC} \cdot S_{\triangle AOD}$.

Решение

Рассмотрим треугольники △AOB и △AOD. Они имеют общую вершину A, а их основания BO и DO лежат на одной прямой BD. Следовательно, высоты этих треугольников, опущенные из вершины A на прямую BD, равны. Пусть эта высота равна h_A.

Площадь треугольника △AOB равна:

$S_{\triangle AOB} = \frac{1}{2} \cdot BO \cdot h_A$

Площадь треугольника △AOD равна:

$S_{\triangle AOD} = \frac{1}{2} \cdot DO \cdot h_A$

Найдем отношение этих площадей:

$\frac{S_{\triangle AOB}}{S_{\triangle AOD}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot BO \cdot h_A}{\frac{1}{2} \cdot DO \cdot h_A} = \frac{BO}{DO}$ (1)

Аналогично, рассмотрим треугольники △BOC и △COD. Они имеют общую вершину C, а их основания BO и DO также лежат на одной прямой BD. Следовательно, высоты этих треугольников, опущенные из вершины C на прямую BD, равны. Пусть эта высота равна h_C.

Площадь треугольника △BOC равна:

$S_{\triangle BOC} = \frac{1}{2} \cdot BO \cdot h_C$

Площадь треугольника △COD равна:

$S_{\triangle COD} = \frac{1}{2} \cdot DO \cdot h_C$

Найдем отношение этих площадей:

$\frac{S_{\triangle BOC}}{S_{\triangle COD}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot BO \cdot h_C}{\frac{1}{2} \cdot DO \cdot h_C} = \frac{BO}{DO}$ (2)

Из равенств (1) и (2) следует, что:

$\frac{S_{\triangle AOB}}{S_{\triangle AOD}} = \frac{S_{\triangle BOC}}{S_{\triangle COD}}$

Перемножим части равенства крест-на-крест:

$S_{\triangle AOB} \cdot S_{\triangle COD} = S_{\triangle AOD} \cdot S_{\triangle BOC}$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что $S_{\triangle AOB} \cdot S_{\triangle COD} = S_{\triangle BOC} \cdot S_{\triangle AOD}$.

249. Найдите площадь равнобедренной трапеции, если ее диагональ равна $d$ и образует с большим основанием угол $45^\circ$.

Дано:

Трапеция равнобедренная.

Диагональ $d$.

Угол между диагональю и большим основанием $45^\circ$.

Перевод в СИ:

Данные уже представлены в общей форме (алгебраическая величина $d$ и угол в градусах), перевод в СИ не требуется.

Найти:

Площадь трапеции $S$.

Решение:

Рассмотрим равнобедренную трапецию ABCD, где AB – большее основание, CD – меньшее основание. Проведем диагональ AC, которая, по условию, равна $d$ и образует угол $45^\circ$ с большим основанием AB, то есть $\angle CAB = 45^\circ$.

Опустим высоту CE из вершины C на основание AB. Треугольник ACE является прямоугольным (так как $CE \perp AB$).

В прямоугольном треугольнике ACE:

• Гипотенуза $AC = d$.
• Угол $\angle CAE = 45^\circ$.

Высота трапеции $h$ равна катету CE. Вычислим ее, используя синус угла:

$h = CE = AC \cdot \sin(\angle CAE) = d \cdot \sin(45^\circ) = d \frac{\sqrt{2}}{2}$

Проекция диагонали AC на основание AB – это катет AE. Вычислим его, используя косинус угла:

$AE = AC \cdot \cos(\angle CAE) = d \cdot \cos(45^\circ) = d \frac{\sqrt{2}}{2}$

Известно свойство равнобедренной трапеции: длина проекции диагонали на большее основание равна средней линии трапеции. Пусть $a$ – длина большего основания AB, и $b$ – длина меньшего основания CD.

Средняя линия трапеции $m = \frac{a+b}{2}$.

Если мы опустим вторую высоту DF из вершины D на основание AB, то $AF = \frac{a-b}{2}$.

Тогда проекция диагонали AC на основание AB, то есть отрезок AE, может быть выражена как:

$AE = AB - EB = a - AF = a - \frac{a-b}{2} = \frac{2a - (a-b)}{2} = \frac{a+b}{2}$.

Таким образом, $AE$ действительно равен средней линии трапеции $m$.

Итак, средняя линия трапеции $m = AE = d \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Площадь трапеции $S$ вычисляется по формуле $S = m \cdot h$.

Подставим найденные значения $m$ и $h$ в формулу площади:

$S = \left(d \frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cdot \left(d \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$

$S = d^2 \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2$

$S = d^2 \frac{2}{4}$

$S = \frac{d^2}{2}$

Ответ:

$S = \frac{d^2}{2}$

250. a)

Площадь плана участка земли равна $552,25 \text{ см}^2$ (масштаб 1:10 000). Найдите площадь участка. Дайте ответ в гектарах.

б)

Участок заболоченной местности имеет форму четырехугольника. Как измерить его площадь, не вступая на него? (Задача древнегреческого математика Герона.)

а) Площадь плана участка земли равна 552,25 см² (масштаб 1:10 000). Найдите площадь участка. Дайте ответ в гектарах.

Дано:

Площадь плана: $S_{плана} = 552,25 \text{ см}^2$

Масштаб: $M = 1:10 \text{ 000}$

Перевод всех данных в систему СИ:

$S_{плана} = 552,25 \cdot (10^{-2} \text{ м})^2 = 552,25 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 = 0,055225 \text{ м}^2$

Линейный коэффициент масштаба: $k = 10 \text{ 000}$

Найти:

Площадь участка ($S_{участка}$) в гектарах.

Решение:

Площадь участка на местности ($S_{участка}$) связана с площадью на плане ($S_{плана}$) и линейным коэффициентом масштаба ($k$) следующим соотношением:

$S_{участка} = S_{плана} \cdot k^2$

Подставляем известные значения:

$S_{участка} = 552,25 \text{ см}^2 \cdot (10 \text{ 000})^2$

$S_{участка} = 552,25 \text{ см}^2 \cdot 100 \text{ 000 000}$

$S_{участка} = 55 \text{ 225 000 000 см}^2$

Переведем полученную площадь в квадратные метры, зная, что $1 \text{ м}^2 = 10 \text{ 000 см}^2$:

$S_{участка} = \frac{55 \text{ 225 000 000}}{10 \text{ 000}} \text{ м}^2 = 5 \text{ 522 500 м}^2$

Затем переведем площадь в гектары, зная, что $1 \text{ га} = 10 \text{ 000 м}^2$:

$S_{участка} = \frac{5 \text{ 522 500}}{10 \text{ 000}} \text{ га} = 552,25 \text{ га}$

Ответ: 552,25 га

б) Участок заболоченной местности имеет форму четырехугольника. Как измерить его площадь, не вступая на него? (Задача древнегреческого математика Герона.)

Решение:

Для измерения площади заболоченного участка в форме четырехугольника, не ступая на него, можно использовать следующие геодезические или тригонометрические методы:

1. Метод разбиения на треугольники с измерением сторон и диагонали: Если периметр участка доступен для измерений (т.е. можно ходить вдоль края, но не по самому болоту), то можно измерить длины всех четырех сторон четырехугольника и длину одной из его диагоналей (например, от вершины A до C). Это разделит четырехугольник на два треугольника. Площадь каждого треугольника можно вычислить с помощью формулы Герона, зная длины всех трех его сторон. Затем площади двух треугольников суммируются для получения общей площади четырехугольника.

Формула Герона для площади треугольника со сторонами $a, b, c$ и полупериметром $s = (a+b+c)/2$ выглядит так:

$S_{треугольника} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

2. Метод триангуляции из внешней точки: Если даже периметр участка полностью недоступен или измерение диагонали затруднено, можно выбрать точку (P) вне участка, с которой видны все четыре вершины четырехугольника (A, B, C, D). Из этой точки измеряются:

• Расстояния от точки P до каждой вершины участка (PA, PB, PC, PD). Это можно сделать с помощью лазерного дальномера или методом построения базовой линии и угловых измерений.
• Углы между лучами зрения, идущими из точки P к соседним вершинам (например, $\angle APB$, $\angle BPC$, $\angle CPD$, $\angle DPA$).

После этого площадь каждого из четырех треугольников (PAB, PBC, PCD, PDA), образованных вершинами участка и точкой P, можно вычислить по формуле: $S = \frac{1}{2}ab \sin C$, где $a$ и $b$ - измеренные расстояния от P до вершин, а $C$ - измеренный угол между ними. Сумма площадей этих треугольников даст общую площадь четырехугольника. Этот метод позволяет измерить площадь абсолютно недоступного участка.

Ответ: Площадь можно измерить методом разбиения на треугольники с применением формулы Герона (если периметр доступен), либо методом триангуляции из внешней точки с измерением расстояний и углов до вершин.

Постройте трапецию $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$. Проведите отрезок $CM$, параллельный ее диагонали $BD$ (точка $M$ принадлежит лучу $AD$). Объясните, почему площадь треугольника $ACM$ равна половине произведения суммы длин оснований этой трапеции на ее высоту.

Данное утверждение можно доказать, показав, что площадь треугольника $ACM$ равна площади трапеции $ABCD$.

Площадь трапеции $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$ и высотой $h$ вычисляется по формуле:

$S_{ABCD} = \frac{BC + AD}{2} \cdot h$

Площадь треугольника $ACM$ с основанием $AM$ и высотой, проведенной из вершины $C$, вычисляется по формуле:

$S_{ACM} = \frac{1}{2} \cdot AM \cdot h_C$

Поскольку точка $M$ лежит на луче $AD$, который является продолжением основания трапеции, то прямая $AM$ совпадает с прямой $AD$. Высота $h_C$ треугольника $ACM$, проведенная из вершины $C$ к прямой $AM$, равна высоте трапеции $h$ (расстоянию между параллельными прямыми $BC$ и $AD$). Таким образом, формула площади треугольника принимает вид:

$S_{ACM} = \frac{1}{2} \cdot AM \cdot h$

Чтобы доказать, что площадь треугольника $ACM$ равна площади трапеции $ABCD$, необходимо доказать равенство правых частей их формул:

$\frac{1}{2} \cdot AM \cdot h = \frac{BC + AD}{2} \cdot h$

Так как высота $h > 0$, это равенство эквивалентно следующему:

$AM = BC + AD$

Докажем это равенство. Так как точка $M$ лежит на луче $AD$, то длина отрезка $AM$ равна сумме длин отрезков $AD$ и $DM$:

$AM = AD + DM$

Следовательно, задача сводится к доказательству того, что $DM = BC$.

Рассмотрим четырехугольник $BCMD$. По определению трапеции, ее основания параллельны: $BC \parallel AD$. Поскольку точка $M$ лежит на прямой $AD$, то и $BC \parallel DM$. По условию задачи, отрезок $CM$ был проведен параллельно диагонали $BD$, то есть $CM \parallel BD$.

Четырехугольник $BCMD$, у которого противолежащие стороны попарно параллельны ($BC \parallel DM$ и $BD \parallel CM$), является параллелограммом. По свойству параллелограмма, его противолежащие стороны равны. Отсюда следует, что $DM = BC$.

Таким образом, мы доказали, что $AM = AD + DM = AD + BC$.

Теперь подставим полученное выражение для $AM$ в формулу площади треугольника $ACM$:

$S_{ACM} = \frac{1}{2} \cdot (AD + BC) \cdot h$

Это выражение в точности совпадает с формулой для площади трапеции $ABCD$. Следовательно, площадь треугольника $ACM$ равна площади трапеции $ABCD$, а значит, равна половине произведения суммы длин оснований этой трапеции на ее высоту.

Ответ: Площадь треугольника $ACM$ и площадь трапеции $ABCD$ вычисляются по формулам $S_{ACM} = \frac{1}{2} \cdot AM \cdot h$ и $S_{ABCD} = \frac{AD+BC}{2} \cdot h$, где $h$ — общая высота. Равенство площадей достигается, если $AM = AD+BC$. Чтобы это доказать, рассмотрим четырехугольник $BCMD$. По определению трапеции, $BC \parallel AD$, значит, $BC \parallel DM$. По построению, $CM \parallel BD$. Таким образом, $BCMD$ — параллелограмм, из чего следует, что его противолежащие стороны равны: $DM=BC$. Тогда $AM = AD + DM = AD + BC$. Подставив это в формулу площади треугольника, получаем $S_{ACM} = \frac{1}{2}(AD+BC)h = S_{ABCD}$.