Страница 127 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

265. Диагональ параллелограмма равна 12 см, одна из его сторон – 8 см, а угол между ними равен $30^\circ$. Найдите площадь параллелограмма.

Дано:

Диагональ параллелограмма $d_1 = 12$ см

Сторона параллелограмма $a = 8$ см

Угол между диагональю и стороной $\alpha = 30^\circ$

Перевод в СИ:

$d_1 = 12 \text{ см} = 0.12 \text{ м}$

$a = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$

Угол $\alpha = 30^\circ$

Найти:

Площадь параллелограмма $S$

Решение:

Рассмотрим параллелограмм ABCD. Пусть сторона $AB = a = 8$ см, и диагональ $AC = d_1 = 12$ см. Угол между ними, то есть $\angle CAB = \alpha = 30^\circ$.

Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника. В данном случае, диагональ $AC$ делит параллелограмм $ABCD$ на треугольники $ABC$ и $ADC$. Площадь параллелограмма равна удвоенной площади треугольника $ABC$ ($S_{ABCD} = 2 \cdot S_{\triangle ABC}$).

Площадь треугольника $ABC$ может быть найдена по формуле, которая использует две стороны и угол между ними:

$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot \text{сторона1} \cdot \text{сторона2} \cdot \sin(\text{угол между ними})$

Подставим известные значения в формулу для площади треугольника $ABC$:

$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin(\angle CAB)$

$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot 8 \text{ см} \cdot 12 \text{ см} \cdot \sin(30^\circ)$

Известно, что значение синуса угла $30^\circ$ равно $\frac{1}{2}$:

$\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$

Теперь подставим это значение в формулу для площади треугольника:

$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 12 \cdot \frac{1}{2}$

$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{4} \cdot (8 \cdot 12)$

$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{4} \cdot 96$

$S_{\triangle ABC} = 24 \text{ см}^2$

Площадь параллелограмма $S$ равна удвоенной площади треугольника $ABC$:

$S = 2 \cdot S_{\triangle ABC}$

$S = 2 \cdot 24 \text{ см}^2$

$S = 48 \text{ см}^2$

Ответ:

$48 \text{ см}^2$

266. Найдите:

а) площадь прямоугольной трапеции, у которой две меньшие стороны по 6 см, а большой угол – $135^\circ$;

б) с точностью до 0,1 см² площадь трапеции, основания которой равны 14 см и 10 см, а углы при большем основании – $30^\circ$ и $45^\circ$.

а) площадь прямоугольной трапеции, у которой две меньшие стороны по 6 см, а больший угол – 135°

Дано:

трапеция: прямоугольная

меньшие стороны: $h = 6 \text{ см}$, $b = 6 \text{ см}$ (высота и меньшее основание)

больший угол: $\beta = 135^\circ$

Перевод в СИ:

$h = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$

$b = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$

Найти:

площадь трапеции $S_a$

Решение

обозначим меньшее основание трапеции как $b$, высоту как $h$, большее основание как $a$.

по условию, две меньшие стороны трапеции равны 6 см. в прямоугольной трапеции это обычно высота и меньшее основание. пусть $h = 6 \text{ см}$ и $b = 6 \text{ см}$.

больший угол трапеции равен $135^\circ$. в прямоугольной трапеции это угол, прилежащий к меньшему основанию и неперпендикулярной боковой стороне.

сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна $180^\circ$. если один угол равен $135^\circ$, то прилежащий к нему угол при большем основании равен $180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$.

проведем высоту из вершины меньшего основания на большее основание. пусть эта высота делит большее основание на две части. одна часть равна меньшему основанию $b$, а другая часть является катетом прямоугольного треугольника, образованного высотой, боковой стороной и частью большего основания.

обозначим эту часть большего основания как $x$. в этом прямоугольном треугольнике высота $h$ является одним катетом, а $x$ - другим катетом. угол при большем основании равен $45^\circ$.

поскольку угол равен $45^\circ$, то это равнобедренный прямоугольный треугольник, следовательно, $x = h$.

поскольку $h = 6 \text{ см}$, то $x = 6 \text{ см}$.

большее основание $a = b + x$.

$a = 6 \text{ см} + 6 \text{ см} = 12 \text{ см}$.

площадь трапеции $S$ вычисляется по формуле $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$.

$S_a = \frac{12 \text{ см} + 6 \text{ см}}{2} \cdot 6 \text{ см} = \frac{18 \text{ см}}{2} \cdot 6 \text{ см} = 9 \text{ см} \cdot 6 \text{ см} = 54 \text{ см}^2$.

Ответ:

54 см$^2$.

б) с точностью до 0,1 см² площадь трапеции, основания которой равны 14 см и 10 см, а углы при большем основании – 30° и 45°

Дано:

основания трапеции: $a = 14 \text{ см}$, $b = 10 \text{ см}$

углы при большем основании: $\alpha_1 = 30^\circ$, $\alpha_2 = 45^\circ$

Перевод в СИ:

$a = 14 \text{ см} = 0.14 \text{ м}$

$b = 10 \text{ см} = 0.10 \text{ м}$

Найти:

площадь трапеции $S_b$ с точностью до $0.1 \text{ см}^2$

Решение

обозначим большее основание трапеции как $a$, меньшее основание как $b$, и высоту как $h$.

дано: $a = 14 \text{ см}$, $b = 10 \text{ см}$. углы при большем основании равны $30^\circ$ и $45^\circ$.

проведем две высоты из вершин меньшего основания на большее основание. эти высоты образуют два прямоугольных треугольника по краям трапеции и прямоугольник посередине.

пусть $x_1$ и $x_2$ — отрезки, на которые высоты делят большее основание по краям.

тогда $a = x_1 + b + x_2$.

подставляем известные значения: $14 \text{ см} = x_1 + 10 \text{ см} + x_2$, откуда $x_1 + x_2 = 14 \text{ см} - 10 \text{ см} = 4 \text{ см}$.

в одном из прямоугольных треугольников угол при основании равен $30^\circ$. высота $h$ является противолежащим катетом к этому углу, а $x_1$ — прилежащим катетом.

по определению тангенса, $\tan(30^\circ) = \frac{h}{x_1}$. следовательно, $x_1 = \frac{h}{\tan(30^\circ)} = \frac{h}{1/\sqrt{3}} = h\sqrt{3}$.

в другом прямоугольном треугольнике угол при основании равен $45^\circ$. высота $h$ является противолежащим катетом, а $x_2$ — прилежащим.

$\tan(45^\circ) = \frac{h}{x_2}$. следовательно, $x_2 = \frac{h}{\tan(45^\circ)} = \frac{h}{1} = h$.

теперь подставим выражения для $x_1$ и $x_2$ в уравнение $x_1 + x_2 = 4$:

$h\sqrt{3} + h = 4$

вынесем $h$ за скобки:

$h(\sqrt{3} + 1) = 4$

найдем высоту $h$:

$h = \frac{4}{\sqrt{3} + 1}$

чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{3} - 1)$:

$h = \frac{4(\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)} = \frac{4(\sqrt{3} - 1)}{3 - 1} = \frac{4(\sqrt{3} - 1)}{2} = 2(\sqrt{3} - 1)$ см.

приближенное значение $\sqrt{3} \approx 1.73205$.

$h \approx 2(1.73205 - 1) = 2(0.73205) = 1.4641$ см.

площадь трапеции $S$ вычисляется по формуле $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$.

$S_b = \frac{14 \text{ см} + 10 \text{ см}}{2} \cdot 2(\sqrt{3} - 1) \text{ см}$.

$S_b = \frac{24 \text{ см}}{2} \cdot 2(\sqrt{3} - 1) \text{ см} = 12 \text{ см} \cdot 2(\sqrt{3} - 1) \text{ см} = 24(\sqrt{3} - 1) \text{ см}^2$.

вычислим численное значение:

$S_b \approx 24(1.73205 - 1) = 24(0.73205) = 17.5692 \text{ см}^2$.

округлим до $0.1$ см$^2$: $S_b \approx 17.6 \text{ см}^2$.

Ответ:

17.6 см$^2$.

267. В прямоугольный $\triangle ABC$ вписан прямоугольник $CDEF$ так, что его вершины $D, E, F$ лежат соответственно на сторонах $AC, AB, BC$. Известно, что $\frac{EF}{ED} = \frac{1}{2}$, $AC = 6$ дм, $BC = 8$ дм. Найдите площадь прямоугольника $CDEF$.

Дано:

Прямоугольный $\triangle ABC$.

Вписан прямоугольник $CDEF$.

Вершины $D, E, F$ лежат на сторонах $AC, AB, BC$ соответственно.

Отношение сторон прямоугольника: $\frac{EF}{ED} = \frac{1}{2}$.

Длины катетов треугольника: $AC = 6$ дм, $BC = 8$ дм.

Перевод в СИ:

$AC = 6$ дм $= 0.6$ м

$BC = 8$ дм $= 0.8$ м

Найти:

Площадь прямоугольника $CDEF$, $S_{CDEF}$.

Решение:

По условию задачи, прямоугольник $CDEF$ вписан в прямоугольный треугольник $ABC$. Вершины $D, E, F$ лежат на сторонах $AC, AB, BC$ соответственно. Поскольку $CDEF$ является прямоугольником и его вершины $D$ и $F$ лежат на катетах $AC$ и $BC$ треугольника $ABC$, а $C$ является вершиной прямоугольника, то угол $C$ треугольника $ABC$ должен быть прямым ($90^\circ$).

Обозначим длины сторон прямоугольника $CD = x$ и $CF = y$.

Площадь прямоугольника $S_{CDEF} = x \cdot y$.

Из условия $\frac{EF}{ED} = \frac{1}{2}$ и свойств прямоугольника ($EF = CD = x$, $ED = CF = y$) следует, что:

$\frac{x}{y} = \frac{1}{2} \Rightarrow y = 2x$

Рассмотрим подобные треугольники. Поскольку $EF \parallel AC$ (так как $EF \parallel CD$, а $CD$ лежит на $AC$), треугольник $\triangle EFB$ подобен треугольнику $\triangle ABC$.

Из подобия треугольников следует отношение соответствующих сторон:

$\frac{EF}{AC} = \frac{BF}{BC}$

Длина отрезка $BF = BC - CF = 8 - y$.

Подставляем известные значения:

$\frac{x}{6} = \frac{8 - y}{8}$

$8x = 6(8 - y)$

$8x = 48 - 6y$ (Уравнение 1)

Аналогично, поскольку $DE \parallel BC$ (так как $DE \parallel CF$, а $CF$ лежит на $BC$), треугольник $\triangle ADE$ подобен треугольнику $\triangle ABC$.

Из подобия треугольников следует отношение соответствующих сторон:

$\frac{AD}{AC} = \frac{DE}{BC}$

Длина отрезка $AD = AC - CD = 6 - x$.

Подставляем известные значения:

$\frac{6 - x}{6} = \frac{y}{8}$

$8(6 - x) = 6y$

$48 - 8x = 6y$ (Уравнение 2)

Заметим, что Уравнение 1 ($8x = 48 - 6y$) и Уравнение 2 ($48 - 8x = 6y$) эквивалентны, так как оба приводятся к виду $8x + 6y = 48$.

Теперь решим систему уравнений, используя Уравнение 1 и соотношение $y = 2x$:

1) $8x + 6y = 48$

2) $y = 2x$

Подставим $y = 2x$ в первое уравнение:

$8x + 6(2x) = 48$

$8x + 12x = 48$

$20x = 48$

$x = \frac{48}{20} = \frac{12}{5}$ дм

Теперь найдем значение $y$:

$y = 2x = 2 \cdot \frac{12}{5} = \frac{24}{5}$ дм

Площадь прямоугольника $CDEF$ равна произведению его сторон $x$ и $y$:

$S_{CDEF} = x \cdot y = \frac{12}{5} \cdot \frac{24}{5} = \frac{12 \cdot 24}{25} = \frac{288}{25}$ дм$^2$

Представим результат в десятичном виде:

$S_{CDEF} = 11.52$ дм$^2$.

Ответ:

Площадь прямоугольника CDEF составляет $11.52$ дм$^2$.

268. В остроугольном $\Delta ABC$ высота $CH$ равна 5 см, $\angle A = 65^\circ$, $\angle BCH = 40^\circ$. Найдите площадь $\Delta ABC$ с точностью до $0,1 \text{ см}^2$.

Дано:

Треугольник $ABC$ — остроугольный.

Высота $CH = 5$ см.

Угол $\angle A = 65^\circ$.

Угол $\angle BCH = 40^\circ$.

Найти:

Площадь $\triangle ABC$ с точностью до $0,1$ см$^2$.

Решение:

Площадь треугольника $ABC$ может быть найдена по формуле: $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH$.

Нам известна высота $CH = 5$ см. Необходимо найти длину основания $AB$.

Высота $CH$ делит треугольник $ABC$ на два прямоугольных треугольника: $\triangle ACH$ и $\triangle BCH$, так как $CH$ является высотой, проведенной к стороне $AB$, и образует прямой угол $90^\circ$ с $AB$ в точке $H$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ACH$ (угол $\angle AHC = 90^\circ$):

Из определения тангенса угла в прямоугольном треугольнике: $\tan(\angle A) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{CH}{AH}$.

Выразим $AH$: $AH = \frac{CH}{\tan(\angle A)}$.

Подставим известные значения: $AH = \frac{5}{\tan(65^\circ)}$.

Используем значение $\tan(65^\circ) \approx 2.1445069$: $AH \approx \frac{5}{2.1445069} \approx 2.3315$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle BCH$ (угол $\angle BHC = 90^\circ$):

Для нахождения отрезка $BH$ нам потребуется угол $\angle B$. Сумма углов в прямоугольном треугольнике равна $180^\circ$, поэтому $\angle B = 180^\circ - \angle BHC - \angle BCH = 180^\circ - 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ$.

Из определения тангенса угла в прямоугольном треугольнике: $\tan(\angle B) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{CH}{BH}$.

Выразим $BH$: $BH = \frac{CH}{\tan(\angle B)}$.

Подставим известные значения: $BH = \frac{5}{\tan(50^\circ)}$.

Используем значение $\tan(50^\circ) \approx 1.1917536$: $BH \approx \frac{5}{1.1917536} \approx 4.1953$ см.

Длина основания $AB$ треугольника $ABC$ равна сумме длин отрезков $AH$ и $BH$ (поскольку треугольник остроугольный, точка $H$ лежит между $A$ и $B$):

$AB = AH + BH \approx 2.3315 + 4.1953 \approx 6.5268$ см.

Теперь вычислим площадь треугольника $ABC$ по формуле $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH$:

$S_{ABC} \approx \frac{1}{2} \cdot 6.5268 \cdot 5$.

$S_{ABC} \approx 0.5 \cdot 32.634 \approx 16.317$ см$^2$.

Округлим полученный результат до $0.1$ см$^2$:

$S_{ABC} \approx 16.3$ см$^2$.

Ответ:

Площадь $\triangle ABC$ с точностью до $0,1$ см$^2$ составляет $16.3$ см$^2$.

269.

a) Докажите, что если провести три медианы треугольника, то они разделят его на 6 равновеликих треугольников.

б) Дан равносторонний треугольник со стороной, равной 10 см. Найдите сумму расстояний от любой его внутренней точки $M$ до сторон треугольника.

а) Докажите, что если провести три медианы треугольника, то они разделят его на 6 равновеликих треугольников.

Пусть дан треугольник $ABC$. Проведем три медианы $AD$, $BE$ и $CF$, где точки $D$, $E$, $F$ являются серединами сторон $BC$, $AC$ и $AB$ соответственно. Медианы пересекаются в одной точке $G$, которая называется центроидом треугольника.

Доказательство основывается на свойстве медианы делить треугольник на два равновеликих треугольника.

1. Рассмотрим медиану $AD$. Она делит треугольник $ABC$ на два треугольника $ABD$ и $ACD$. Поскольку $D$ является серединой $BC$, то $BD = CD$. Треугольники $ABD$ и $ACD$ имеют одинаковую высоту, опущенную из вершины $A$ на основание $BC$. Следовательно, их площади равны: $S_{ABD} = S_{ACD}$.

2. Теперь рассмотрим треугольник $GBC$. $GD$ является медианой этого треугольника, так как $D$ — середина $BC$ и $G$ лежит на $AD$. По тому же свойству медианы, $GD$ делит треугольник $GBC$ на два равновеликих треугольника: $S_{GBD} = S_{GCD}$.

3. Из равенств $S_{ABD} = S_{ACD}$ и $S_{GBD} = S_{GCD}$ следует, что $S_{ABG} = S_{ABD} - S_{GBD}$ и $S_{ACG} = S_{ACD} - S_{GCD}$. Отсюда получаем $S_{ABG} = S_{ACG}$.

4. Аналогично, используя медиану $BE$, можно доказать, что $S_{ABG} = S_{BCG}$. И используя медиану $CF$, можно доказать, что $S_{BCG} = S_{ACG}$.

5. Таким образом, мы имеем $S_{ABG} = S_{BCG} = S_{ACG}$. Сумма этих трех площадей равна площади всего треугольника $ABC$. Следовательно, каждый из этих трех треугольников ($ABG$, $BCG$, $CAG$) имеет площадь, равную одной трети площади $ABC$: $S_{ABG} = S_{BCG} = S_{ACG} = \frac{1}{3} S_{ABC}$.

6. Теперь рассмотрим треугольник $ABG$. Точка $F$ является серединой стороны $AB$, так как $CF$ — медиана треугольника $ABC$. Следовательно, отрезок $GF$ является медианой треугольника $ABG$ (проведенной из вершины $G$ к середине противоположной стороны $AB$). Медиана $GF$ делит $\triangle ABG$ на два равновеликих треугольника: $S_{AFG} = S_{BFG}$. Поскольку $S_{ABG} = \frac{1}{3} S_{ABC}$, то $S_{AFG} = S_{BFG} = \frac{1}{2} S_{ABG} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} S_{ABC} = \frac{1}{6} S_{ABC}$.

7. Аналогично, в треугольнике $BCG$, $D$ — середина $BC$, поэтому $GD$ — медиана $\triangle BCG$. Она делит его на два равновеликих треугольника: $S_{BGD} = S_{CGD} = \frac{1}{2} S_{BCG} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} S_{ABC} = \frac{1}{6} S_{ABC}$.

8. И в треугольнике $CAG$, $E$ — середина $AC$, поэтому $GE$ — медиана $\triangle CAG$. Она делит его на два равновеликих треугольника: $S_{CGE} = S_{AGE} = \frac{1}{2} S_{CAG} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} S_{ABC} = \frac{1}{6} S_{ABC}$.

Таким образом, все шесть треугольников, образованные медианами ($AFG$, $BFG$, $BGD$, $CGD$, $CGE$, $AGE$), имеют равные площади, каждая из которых составляет $\frac{1}{6}$ от площади исходного треугольника $ABC$.

Ответ: Доказано.

б) Дан равносторонний треугольник со стороной, равной 10 см. Найдите сумму расстояний от любой его внутренней точки $M$ до сторон треугольника.

Дано:

Равносторонний треугольник $ABC$ со стороной $a = 10 \text{ см}$.

Внутренняя точка $M$.

Расстояния от точки $M$ до сторон: $h_1, h_2, h_3$.

Перевод в СИ:

$a = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$.

Найти:

$h_1 + h_2 + h_3$

Решение:

Воспользуемся теоремой Вивиани, которая гласит, что для любой точки внутри равностороннего треугольника сумма расстояний от этой точки до сторон треугольника равна высоте (длине любой из высот) этого треугольника.

1. Вычислим высоту $H$ равностороннего треугольника со стороной $a$. Формула для высоты равностороннего треугольника:

$H = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

2. Подставим значение стороны $a = 10 \text{ см}$:

$H = \frac{10 \text{ см} \cdot \sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \text{ см}$

3. Согласно теореме Вивиани, сумма расстояний $h_1 + h_2 + h_3$ равна высоте $H$ треугольника.

$h_1 + h_2 + h_3 = H = 5\sqrt{3} \text{ см}$

Доказательство теоремы Вивиани:

Пусть $S$ - площадь равностороннего треугольника $ABC$. Пусть $M$ - внутренняя точка, а $h_1, h_2, h_3$ - перпендикулярные расстояния от $M$ до сторон $BC, CA, AB$ соответственно. Площадь всего треугольника можно выразить как сумму площадей трех меньших треугольников $MBC, MCA, MAB$, основаниями которых являются стороны исходного треугольника, а высотами - расстояния от точки $M$ до этих сторон.

$S_{ABC} = S_{MBC} + S_{MCA} + S_{MAB}$

Площадь каждого из этих треугольников равна $\frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$. Поскольку все стороны равностороннего треугольника равны $a$, имеем:

$S_{MBC} = \frac{1}{2} a h_1$

$S_{MCA} = \frac{1}{2} a h_2$

$S_{MAB} = \frac{1}{2} a h_3$

Сложим эти площади:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} a h_1 + \frac{1}{2} a h_2 + \frac{1}{2} a h_3 = \frac{1}{2} a (h_1 + h_2 + h_3)$

С другой стороны, площадь равностороннего треугольника также может быть выражена как $\frac{1}{2} a H$, где $H$ - высота треугольника.

Сравнивая два выражения для площади $S_{ABC}$:

$\frac{1}{2} a H = \frac{1}{2} a (h_1 + h_2 + h_3)$

Разделив обе части на $\frac{1}{2} a$ (поскольку $a \ne 0$), получаем:

$H = h_1 + h_2 + h_3$

Таким образом, сумма расстояний от любой внутренней точки равностороннего треугольника до его сторон равна его высоте.

Ответ: $5\sqrt{3} \text{ см}$

270. Найдите площадь:

а) треугольника $ABC$, если известны сторона $AC = 5$ см и медианы $AA_1 = 4,5$ см, $CC_1 = 6$ см;

б) равностороннего треугольника, если разность между его стороной и высотой равна $d$.

а) треугольника ABC, если известны сторона AC = 5 см и медианы AA₁ = 4,5 см, CC₁ = 6 см

Дано:

Сторона $AC = 5$ см

Медиана $AA_1 = 4.5$ см

Медиана $CC_1 = 6$ см

Перевод в СИ:

$AC = 5 \cdot 10^{-2}$ м

$AA_1 = 4.5 \cdot 10^{-2}$ м

$CC_1 = 6 \cdot 10^{-2}$ м

Найти: Площадь треугольника $S_{ABC}$

Решение:

Пусть $M$ - точка пересечения медиан треугольника $ABC$. Медианы делятся точкой пересечения в отношении $2:1$, считая от вершины. Тогда:

$AM = \frac{2}{3} AA_1 = \frac{2}{3} \cdot 4.5 = 3$ см

$CM = \frac{2}{3} CC_1 = \frac{2}{3} \cdot 6 = 4$ см

Рассмотрим треугольник $AMC$. Его стороны равны: $AC = 5$ см, $AM = 3$ см, $CM = 4$ см.

Проверим соотношение Пифагора для сторон треугольника $AMC$:

$AM^2 + CM^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$

$AC^2 = 5^2 = 25$

Так как $AM^2 + CM^2 = AC^2$, треугольник $AMC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $M$.

Площадь прямоугольного треугольника $AMC$ равна половине произведения его катетов:

$S_{AMC} = \frac{1}{2} \cdot AM \cdot CM = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6$ см$^2$

Известно, что медианы треугольника делят его на три треугольника, площади которых равны (треугольники $AMB$, $BMC$, $CMA$). Таким образом, площадь треугольника $AMC$ составляет одну треть площади исходного треугольника $ABC$.

Значит, $S_{ABC} = 3 \cdot S_{AMC}$

$S_{ABC} = 3 \cdot 6 = 18$ см$^2$

В единицах СИ:

$S_{ABC} = 18 \cdot (10^{-2} \text{ м})^2 = 18 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 = 1.8 \cdot 10^{-3} \text{ м}^2$

Ответ: $18$ см$^2$ (или $1.8 \cdot 10^{-3}$ м$^2$)

б) равностороннего треугольника, если разность между его стороной и высотой равна d

Дано:

Равносторонний треугольник со стороной $a$ и высотой $h$.

$a - h = d$

Перевод в СИ:

Поскольку $d$ является разностью длин, её единицей измерения в СИ является метр (м).

Найти: Площадь равностороннего треугольника $S$

Решение:

Для равностороннего треугольника со стороной $a$ высота $h$ выражается формулой:

$h = a \frac{\sqrt{3}}{2}$

Площадь $S$ равностороннего треугольника выражается формулой:

$S = a^2 \frac{\sqrt{3}}{4}$

Используем данное условие $a - h = d$:

$a - a \frac{\sqrt{3}}{2} = d$

Вынесем $a$ за скобки:

$a \left(1 - \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = d$

$a \left(\frac{2 - \sqrt{3}}{2}\right) = d$

Выразим $a$:

$a = \frac{2d}{2 - \sqrt{3}}$

Для упрощения знаменателя умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $2 + \sqrt{3}$:

$a = \frac{2d}{2 - \sqrt{3}} \cdot \frac{2 + \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}} = \frac{2d(2 + \sqrt{3})}{2^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{2d(2 + \sqrt{3})}{4 - 3} = 2d(2 + \sqrt{3})$

Теперь подставим это выражение для $a$ в формулу площади:

$S = a^2 \frac{\sqrt{3}}{4}$

$S = \left(2d(2 + \sqrt{3})\right)^2 \frac{\sqrt{3}}{4}$

$S = (4d^2 (2 + \sqrt{3})^2) \frac{\sqrt{3}}{4}$

$S = d^2 \sqrt{3} (2 + \sqrt{3})^2$

Раскроем скобки $(2 + \sqrt{3})^2$:

$(2 + \sqrt{3})^2 = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 4 + 4\sqrt{3} + 3 = 7 + 4\sqrt{3}$

Подставим это обратно в выражение для $S$:

$S = d^2 \sqrt{3} (7 + 4\sqrt{3})$

$S = d^2 (7\sqrt{3} + 4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3})$

$S = d^2 (7\sqrt{3} + 4 \cdot 3)$

$S = d^2 (12 + 7\sqrt{3})$

Ответ: $S = d^2 (12 + 7\sqrt{3})$

271. a) Вырежьте из бумаги две равные трапеции и разрежьте одну из них на две части, из которых можно составить треугольник, а вторую на две части, из которых можно составить параллелограмм.

б) Через точку, лежащую внутри данного угла, проведите прямую, отсекающую от него треугольник наименьшей площади.

a) Вырежьте из бумаги две равные трапеции и разрежьте одну из них на две части, из которых можно составить треугольник, а вторую на две части, из которых можно составить параллелограмм.

1. Для создания треугольника из трапеции:

Возьмите одну трапецию $ABCD$ с параллельными основаниями $AB$ и $CD$. Найдите середину $M$ одной из непараллельных сторон, например, $BC$. Разрежьте трапецию по отрезку $DM$ (соединяющему вершину $D$ с серединой $M$ стороны $BC$). Получатся две части: треугольник $DMC$ и четырехугольник $ABDM$. Поверните треугольник $DMC$ вокруг точки $M$ на $180^\circ$. При этом точка $C$ совместится с точкой $B$ (так как $M$ — середина $BC$), а точка $D$ перейдет в новую точку $D'$ (так что точки $D$, $M$, $D'$ будут лежать на одной прямой, и $DM = MD'$). Объедините четырехугольник $ABDM$ с повернутым треугольником $BMD'$. В результате вы получите треугольник $ABD'$. Площадь полученного треугольника будет равна площади исходной трапеции.

Ответ: описан в решении.

2. Для создания параллелограмма из трапеции:

Возьмите вторую трапецию $ABCD$ с параллельными основаниями $AB$ и $CD$. Найдите середину $M$ одного из оснований, например, верхнего основания $CD$. Разрежьте трапецию по отрезку $BM$ (соединяющему вершину $B$ с серединой $M$ основания $CD$). Получатся две части: треугольник $BMC$ и четырехугольник $ABMD$. Поверните треугольник $BMC$ вокруг точки $M$ на $180^\circ$. При этом точка $C$ совместится с точкой $D$ (так как $M$ — середина $CD$), а точка $B$ перейдет в новую точку $B'$ (так что точки $B$, $M$, $B'$ будут лежать на одной прямой, и $BM = MB'$). Объедините четырехугольник $ABMD$ с повернутым треугольником $DMB'$. В результате вы получите параллелограмм $ABB'D$. Площадь полученного параллелограмма будет равна площади исходной трапеции.

Ответ: описан в решении.

b) Через точку, лежащую внутри данного угла, проведите прямую, отсекающую от него треугольник наименьшей площади.

Дано:

Угол с вершиной $O$ (обозначим его $\angle XOY$).

Точка $P$, лежащая внутри угла.

Найти:

Прямую, проходящую через $P$, которая отсекает от угла треугольник наименьшей площади.

Решение:

Пусть дан угол $\angle XOY$ с вершиной $O$. Известно, что прямая, проходящая через заданную точку $P$ и отсекающая от угла треугольник наименьшей площади, является такой, что точка $P$ оказывается серединой отрезка, заключенного между сторонами угла. Обозначим этот отрезок $AB$, где $A$ лежит на стороне $OX$, а $B$ — на стороне $OY$.

Построение:

1. Проведите прямую через вершину угла $O$ и заданную точку $P$.
2. На этой прямой отложите от точки $P$ отрезок $PO'$ равный $OP$ так, чтобы точки $O$, $P$, $O'$ были на одной прямой, и $P$ была серединой отрезка $OO'$. Точка $O'$ является центрально-симметричной точкой для $O$ относительно $P$.
3. Через точку $O'$ проведите прямую, параллельную одной из сторон угла (например, $OX$), до пересечения с другой стороной угла ($OY$). Пусть точка пересечения будет $B$.
4. Проведите прямую через точку $P$ и точку $B$. Пусть эта прямая пересечет сторону $OX$ в точке $A$.
5. Полученная прямая $AB$ и является искомой прямой.

Доказательство:

1. По построению, $P$ является серединой отрезка $OO'$.

2. Прямая $O'B$ была проведена параллельно $OX$. Так как $OA$ лежит на $OX$, то $O'B \parallel OA$.

3. Построим также прямую через $O'$, параллельную $OY$, до пересечения с $OX$ в точке $A$. (Хотя в пункте 4 построения мы получили $A$ по-другому, это приведет к тому же результату). Тогда $O'A \parallel OB$.

4. Четырехугольник $OAO'B$ является параллелограммом, поскольку его противоположные стороны параллельны ($OA \parallel O'B$ и $OB \parallel O'A$).

5. В параллелограмме диагонали делятся пополам точкой пересечения. Поскольку $P$ является серединой диагонали $OO'$, она также является серединой второй диагонали $AB$.

6. Доказано, что площадь треугольника $OAB$ минимальна, когда точка $P$ является серединой отрезка $AB$. (Это известная теорема из геометрии, которую можно доказать, например, с использованием метода координат или геометрических неравенств, показывая, что для любой другой прямой, проходящей через $P$, получится треугольник большей площади).

Ответ: описан в решении.