Страница 133 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

1. Объясните, что такое прямоугольная система координат и как определяются координаты точки.

2. Выведите формулу для координат середины отрезка.

3. Выведите формулу расстояния между двумя точками с данными координатами.

1. Объясните, что такое прямоугольная система координат и как определяются координаты точки.

Прямоугольная система координат (также известная как декартова система координат) — это система, используемая для однозначного определения положения точки на плоскости или в пространстве с помощью упорядоченного набора чисел, называемых координатами. На плоскости она состоит из двух взаимно перпендикулярных прямых (осей), которые пересекаются в одной точке, называемой началом координат. Горизонтальная ось обычно называется осью абсцисс (или осью X), а вертикальная — осью ординат (или осью Y).

Для определения координат точки $P$ на плоскости из этой точки опускают перпендикуляры на каждую из осей. Точка пересечения перпендикуляра с осью X дает координату $x$ (абсциссу), а точка пересечения перпендикуляра с осью Y дает координату $y$ (ординату). Координаты точки записываются в виде упорядоченной пары $(x, y)$. Каждой точке на плоскости соответствует единственная пара чисел, и каждой паре чисел соответствует единственная точка на плоскости.

Ответ:

2. Выведите формулу для координат середины отрезка.

Пусть дан отрезок с концами в точках $A(x_1, y_1)$ и $B(x_2, y_2)$. Необходимо найти координаты точки $M(x_m, y_m)$, которая является серединой этого отрезка.

Представим, что точки $A$, $M$, $B$ лежат на одной прямой. Если спроецировать эти точки на ось X, мы получим точки $A_x(x_1, 0)$, $M_x(x_m, 0)$ и $B_x(x_2, 0)$. Так как $M$ является серединой отрезка $AB$, то и проекция $M_x$ будет серединой отрезка $A_xB_x$ на оси X. То же самое справедливо и для проекций на ось Y.

Для проекций на ось X: длина отрезка $A_xM_x$ равна длине отрезка $M_xB_x$. То есть, $x_m - x_1 = x_2 - x_m$.

Решая это уравнение относительно $x_m$:

$2x_m = x_1 + x_2$

$x_m = \frac{x_1 + x_2}{2}$

Аналогично, для проекций на ось Y:

$y_m - y_1 = y_2 - y_m$

$2y_m = y_1 + y_2$

$y_m = \frac{y_1 + y_2}{2}$

Таким образом, координаты середины отрезка вычисляются как среднее арифметическое соответствующих координат его концов.

Ответ: Координаты середины отрезка $M(x_m, y_m)$ определяются формулами: $x_m = \frac{x_1 + x_2}{2}$, $y_m = \frac{y_1 + y_2}{2}$.

3. Выведите формулу расстояния между двумя точками с данными координатами.

Пусть даны две точки на плоскости: $A(x_1, y_1)$ и $B(x_2, y_2)$. Необходимо найти расстояние $d$ между этими точками.

Для вывода формулы воспользуемся теоремой Пифагора. Построим прямоугольный треугольник, гипотенузой которого будет отрезок $AB$. Для этого проведем из точки $A$ прямую, параллельную оси X, и из точки $B$ прямую, параллельную оси Y. Эти прямые пересекутся в точке $C(x_2, y_1)$ (или $C(x_1, y_2)$ в зависимости от расположения точек, но результат будет тот же).

Тогда стороны прямоугольного треугольника $ABC$ будут:

• Катет $AC$ лежит на прямой, параллельной оси X. Его длина равна абсолютному значению разности абсцисс точек $A$ и $C$: $AC = |x_2 - x_1|$.
• Катет $BC$ лежит на прямой, параллельной оси Y. Его длина равна абсолютному значению разности ординат точек $B$ и $C$: $BC = |y_2 - y_1|$.

По теореме Пифагора, квадрат длины гипотенузы $AB$ (то есть расстояния $d$) равен сумме квадратов длин катетов:

$d^2 = AC^2 + BC^2$

Подставим значения длин катетов:

$d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$

Знак модуля можно опустить, так как возведение в квадрат делает результат положительным независимо от знака разности.

Чтобы найти расстояние $d$, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Ответ: Расстояние между двумя точками $A(x_1, y_1)$ и $B(x_2, y_2)$ определяется формулой: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.

273. a) Точка A имеет координаты $(3; 5)$. Укажите координаты точки, симметричной ей относительно: 1) начала координат; 2) оси абсцисс; 3) оси ординат.

б) Точка с абсциссой 6 удалена от начала координат на расстояние, равное 10. Найдите ординату этой точки.

a)

Дана точка $A(3; 5)$.

1) начала координат

При симметрии относительно начала координат $(0;0)$ координаты точки $(x;y)$ меняют свои знаки на противоположные, то есть становятся $(-x;-y)$.

Для точки $A(3;5)$ симметричная точка будет иметь координаты $(-3;-5)$.

Ответ: $(-3;-5)$

2) оси абсцисс

При симметрии относительно оси абсцисс (оси $Ox$) координата $x$ остается неизменной, а координата $y$ меняет свой знак на противоположный. Точка $(x;y)$ становится $(x;-y)$.

Для точки $A(3;5)$ симметричная точка будет иметь координаты $(3;-5)$.

Ответ: $(3;-5)$

3) оси ординат

При симметрии относительно оси ординат (оси $Oy$) координата $y$ остается неизменной, а координата $x$ меняет свой знак на противоположный. Точка $(x;y)$ становится $(-x;y)$.

Для точки $A(3;5)$ симметричная точка будет иметь координаты $(-3;5)$.

Ответ: $(-3;5)$

б)

Дано:

Координата абсциссы точки $P$: $x_P = 6$

Расстояние от начала координат $O(0;0)$ до точки $P$: $d = 10$

Найти:

Ордината точки $P$: $y_P$

Решение:

Расстояние между двумя точками $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ в прямоугольной системе координат определяется формулой:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

В нашем случае, одна точка - это начало координат $O(0;0)$, а вторая точка - это $P(x_P; y_P)$.

Подставляем известные значения в формулу:

$10 = \sqrt{(6 - 0)^2 + (y_P - 0)^2}$

$10 = \sqrt{6^2 + y_P^2}$

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

$10^2 = 6^2 + y_P^2$

$100 = 36 + y_P^2$

Выразим $y_P^2$:

$y_P^2 = 100 - 36$

$y_P^2 = 64$

Извлекаем квадратный корень, учитывая, что ордината может быть как положительной, так и отрицательной:

$y_P = \pm \sqrt{64}$

$y_P = \pm 8$

Таким образом, существует две возможные ординаты для данной точки.

Ответ: $y_P = 8$ или $y_P = -8$

274. Рельеф перевала в казахстанском национальном природном парке «Алтын-Эмель» напоминает золотое седло. Именно так его назвал Чингисхан, направляясь с войском для завоевания Средней Азии. Установите, в каком году это было, если он выражается тем же числом, что и расстояние между точками $A(2018; 3030)$, $B(2018; 1811)$.

Перевал «Золотое седло»

Дано:

координаты точки A: $A(2018; 3030)$

координаты точки B: $B(2018; 1811)$

Найти:

год, в котором Чингисхан отправился на завоевание Средней Азии.

Решение:

Год, в котором Чингисхан отправился на завоевание Средней Азии, выражается тем же числом, что и расстояние между точками A и B.

Для нахождения расстояния между двумя точками $A(x_1, y_1)$ и $B(x_2, y_2)$ используется формула:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Подставим значения координат точек A и B в формулу:

$x_1 = 2018$, $y_1 = 3030$

$x_2 = 2018$, $y_2 = 1811$

$d = \sqrt{(2018 - 2018)^2 + (1811 - 3030)^2}$

$d = \sqrt{(0)^2 + (-1219)^2}$

$d = \sqrt{0 + 1219^2}$

$d = \sqrt{1219^2}$

$d = 1219$

Таким образом, расстояние между точками A и B равно 1219.

Следовательно, Чингисхан отправился на завоевание Средней Азии в 1219 году.

Ответ: 1219

275. Найдите расстояние от точки $(-5; 10)$ до:

а) оси $Ox$;

б) оси $Oy$;

в) начала координат.

Дано:
Точка $P(-5; 10)$.

Найти:
a) Расстояние от точки $P$ до оси $Ox$.
b) Расстояние от точки $P$ до оси $Oy$.
c) Расстояние от точки $P$ до начала координат.

Решение:

a) оси Ox
Расстояние от точки $(x_0; y_0)$ до оси $Ox$ равно модулю ее $y$-координаты, то есть $|y_0|$.
Для точки $P(-5; 10)$ $y$-координата равна $10$.
Расстояние до оси $Ox$ составляет $|10| = 10$.

Ответ: 10

б) оси Oy
Расстояние от точки $(x_0; y_0)$ до оси $Oy$ равно модулю ее $x$-координаты, то есть $|x_0|$.
Для точки $P(-5; 10)$ $x$-координата равна $-5$.
Расстояние до оси $Oy$ составляет $|-5| = 5$.

Ответ: 5

в) начала координат
Начало координат имеет координаты $O(0; 0)$.
Расстояние $d$ между двумя точками $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ вычисляется по формуле:
$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$
В данном случае $P(x_1; y_1) = (-5; 10)$ и $O(x_2; y_2) = (0; 0)$.
Подставим значения в формулу:
$d = \sqrt{(0 - (-5))^2 + (0 - 10)^2}$
$d = \sqrt{(5)^2 + (-10)^2}$
$d = \sqrt{25 + 100}$
$d = \sqrt{125}$
$d = \sqrt{25 \cdot 5}$
$d = 5\sqrt{5}$

Ответ: $5\sqrt{5}$

276.а) Точка $M$ удалена от начала координат на расстояние в 3 раза большее, чем точка $N$. Найдите $OM$, если $N(-3; 4)$.

б) Длина отрезка равна 6. Постройте систему координат, в которой можно было бы легко найти координаты: 1) концов этого отрезка; 2) вершин равностороннего треугольника со стороной, равной 6.

a)

Дано:
Координаты точки $N$: $N(-3; 4)$
Соотношение расстояний от начала координат: $OM = 3 \cdot ON$

Перевод в СИ: Данные представлены в условных единицах длины и не требуют перевода в систему СИ.

Найти: $OM$

Решение:
Расстояние от начала координат $O(0;0)$ до любой точки $P(x; y)$ вычисляется по формуле:
$OP = \sqrt{x^2 + y^2}$
Применим эту формулу для точки $N(-3; 4)$:
$ON = \sqrt{(-3)^2 + 4^2}$
$ON = \sqrt{9 + 16}$
$ON = \sqrt{25}$
$ON = 5$
По условию задачи, расстояние $OM$ в 3 раза больше расстояния $ON$:
$OM = 3 \cdot ON$
$OM = 3 \cdot 5$
$OM = 15$

Ответ: $15$

б)

Для того чтобы легко найти координаты концов отрезка или вершин равностороннего треугольника, следует расположить элементы геометрии наиболее удобным образом относительно осей координат, используя их симметрию и особенности.

1) концов этого отрезка;

Чтобы легко найти координаты концов отрезка длиной 6, можно расположить один конец отрезка в начале координат, а другой - на одной из координатных осей. Это упрощает определение координат.
Построение системы координат:
Расположим один конец отрезка, назовем его точкой $A$, в начале координат $O(0;0)$.
Направим ось абсцисс (ось X) вдоль отрезка $AB$. Поскольку длина отрезка равна 6, другой конец отрезка, точка $B$, будет находиться на расстоянии 6 от начала координат по оси X.
Координаты:
Координаты точки $A$: $A(0;0)$
Координаты точки $B$: $B(6;0)$
В такой системе координат координаты концов отрезка определяются мгновенно.

Ответ: Система координат, где один конец отрезка расположен в начале координат, а второй - на положительной части оси X. Например, $A(0;0)$ и $B(6;0)$.

2) вершин равностороннего треугольника со стороной, равной 6.

Для равностороннего треугольника со стороной 6, удобно расположить одну из сторон на оси абсцисс и одну из вершин в начале координат.
Построение системы координат:
Пусть данный равносторонний треугольник будет $ABC$ со стороной $a=6$.
Разместим вершину $A$ в начале координат $O(0;0)$.
Разместим вершину $B$ на оси абсцисс (оси X) на расстоянии, равном длине стороны, то есть 6.
Координаты вершин $A$ и $B$ будут $A(0;0)$ и $B(6;0)$.
Для нахождения координат вершины $C$, воспользуемся свойствами равностороннего треугольника. Высота $h$ равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле:
$h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$
В нашем случае сторона $a=6$, поэтому высота:
$h = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$
X-координата вершины $C$ будет находиться ровно посередине между X-координатами $A$ и $B$, так как высота в равностороннем треугольнике также является медианой.
$x_C = \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{0+6}{2} = 3$
Y-координата вершины $C$ будет равна высоте $h$.
Координаты:
Координаты точки $A$: $A(0;0)$
Координаты точки $B$: $B(6;0)$
Координаты точки $C$: $C(3; 3\sqrt{3})$
(Также возможен вариант $C(3; -3\sqrt{3})$, если треугольник расположен в нижней полуплоскости относительно оси X.)

Ответ: Система координат, где одна вершина треугольника находится в начале координат, одна из сторон лежит на оси X. Например, $A(0;0)$, $B(6;0)$, $C(3; 3\sqrt{3})$.