Страница 139 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

290. Составьте уравнение прямой, проходящей че-рез точку $A$ и образующей с осью $Ox$ угол $\alpha$, если:

a) $A(0; 3)$ и $\alpha = 30^\circ$;

б) $A(2; 1)$ и $\alpha = 135^\circ$.

а)

Дано:
Точка $A(0; 3)$
Угол $\alpha = 30^\circ$

Перевод в СИ:
$x_0 = 0$
$y_0 = 3$
$\alpha = 30^\circ$

Найти:
Уравнение прямой

Решение:
Общее уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид $y = kx + b$, где $k$ – угловой коэффициент прямой, а $b$ – отрезок, отсекаемый прямой на оси Oy. Угловой коэффициент $k$ связан с углом $\alpha$, который прямая образует с положительным направлением оси Ox, формулой $k = \tan(\alpha)$.
1. Найдем угловой коэффициент $k$ для $\alpha = 30^\circ$:
$k = \tan(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{3}$
2. Так как прямая проходит через точку $A(0; 3)$, подставим ее координаты ($x_0 = 0$, $y_0 = 3$) и найденное значение $k$ в уравнение прямой $y = kx + b$:
$3 = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 0 + b$
$3 = 0 + b$
$b = 3$
3. Таким образом, уравнение прямой:
$y = \frac{\sqrt{3}}{3}x + 3$

Ответ: $y = \frac{\sqrt{3}}{3}x + 3$

б)

Дано:
Точка $A(2; 1)$
Угол $\alpha = 135^\circ$

Перевод в СИ:
$x_0 = 2$
$y_0 = 1$
$\alpha = 135^\circ$

Найти:
Уравнение прямой

Решение:
Используем ту же формулу для углового коэффициента $k = \tan(\alpha)$.
1. Найдем угловой коэффициент $k$ для $\alpha = 135^\circ$:
$k = \tan(135^\circ) = -1$
2. Так как прямая проходит через точку $A(2; 1)$, подставим ее координаты ($x_0 = 2$, $y_0 = 1$) и найденное значение $k$ в уравнение прямой $y = kx + b$:
$1 = -1 \cdot 2 + b$
$1 = -2 + b$
$b = 1 + 2$
$b = 3$
3. Таким образом, уравнение прямой:
$y = -1x + 3$
$y = -x + 3$

Ответ: $y = -x + 3$

291. a) Составьте уравнение прямой, проходящей через две точки: 1) $(0; 0)$ и $(9; 10)$; 2) $(3; 1)$ и $(5; -4)$.

б) В казахстанском национальном природном парке «Буйратау» произрастает много видов растений, из которых в Красную книгу страны занесены можжевельник казачий, скерда сибирская и другие. Найдите число видов растений в этом парке, если оно выражается ответом в задаче: «найдите абсциссу точки пересечения прямой $MN$ с осью $Ox$, где $M(0; -69)$ и $N(-5; -70)$».

a) Составьте уравнение прямой, проходящей через две точки:

1) точки $(0; 0)$ и $(9; 10)$

Решение:

уравнение прямой, проходящей через две точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, можно найти по формуле: $y - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x - x_1)$.

для точек $(0; 0)$ и $(9; 10)$ имеем:

$y - 0 = \frac{10 - 0}{9 - 0}(x - 0)$

$y = \frac{10}{9}x$

Ответ: $y = \frac{10}{9}x$

2) точки $(3; 1)$ и $(5; -4)$

Решение:

для точек $(3; 1)$ и $(5; -4)$ имеем:

$y - 1 = \frac{-4 - 1}{5 - 3}(x - 3)$

$y - 1 = \frac{-5}{2}(x - 3)$

$y - 1 = -\frac{5}{2}x + \frac{15}{2}$

$y = -\frac{5}{2}x + \frac{15}{2} + 1$

$y = -\frac{5}{2}x + \frac{17}{2}$

Ответ: $y = -\frac{5}{2}x + \frac{17}{2}$

б) В казахстанском национальном природном парке «Буйратау» произрастает много видов растений, из которых в Красную книгу страны занесены можжевельник казачий, скверда сибирская и другие. Найдите число видов растений в этом парке, если оно выражается ответом в задаче: «найдите абсциссу точки пересечения прямой MN с осью Ox, где M(0; -69) и N(-5; -70)».:

Дано:

точки прямой $M(0; -69)$, $N(-5; -70)$.

Перевод в СИ:

данные представлены в безразмерных координатах и не требуют перевода в систему СИ.

Найти:

абсцисса точки пересечения прямой MN с осью Ox.

Решение:

сначала найдем уравнение прямой MN. используем формулу уравнения прямой, проходящей через две точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$: $y - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x - x_1)$.

для точек $M(0; -69)$ и $N(-5; -70)$ имеем:

$y - (-69) = \frac{-70 - (-69)}{-5 - 0}(x - 0)$

$y + 69 = \frac{-1}{-5}x$

$y + 69 = \frac{1}{5}x$

$y = \frac{1}{5}x - 69$.

чтобы найти абсциссу точки пересечения прямой с осью Ox, необходимо подставить $y=0$ в уравнение прямой:

$0 = \frac{1}{5}x - 69$

$\frac{1}{5}x = 69$

$x = 69 \cdot 5$

$x = 345$.

таким образом, абсцисса точки пересечения прямой MN с осью Ox равна $345$. число видов растений в парке выражается этим ответом.

Ответ: $345$

292. Составьте уравнение прямой, отрезок AB которой, заключенный между осями координат, делится точкой $C(2; -1)$ пополам.

Дано:

Точка $C(2; -1)$ является серединой отрезка $AB$.

Отрезок $AB$ заключен между осями координат, что означает, что точка $A$ лежит на оси $Ox$ и имеет координаты $A(x_A; 0)$, а точка $B$ лежит на оси $Oy$ и имеет координаты $B(0; y_B)$.

Найти:

Уравнение прямой, содержащей отрезок $AB$.

Решение:

Поскольку точка $C(2; -1)$ является серединой отрезка $AB$, мы можем использовать формулы для координат середины отрезка. Если $A(x_1, y_1)$ и $B(x_2, y_2)$ - концы отрезка, а $C(x_C, y_C)$ - его середина, то $x_C = \frac{x_1 + x_2}{2}$ и $y_C = \frac{y_1 + y_2}{2}$.

В нашем случае $C(x_C, y_C) = C(2, -1)$, $A(x_A, 0)$ и $B(0, y_B)$. Подставим эти значения в формулы:

$2 = \frac{x_A + 0}{2}$

$-1 = \frac{0 + y_B}{2}$

Решим первое уравнение относительно $x_A$: $x_A = 2 \cdot 2 = 4$.

Решим второе уравнение относительно $y_B$: $y_B = -1 \cdot 2 = -2$.

Таким образом, координаты точек, в которых прямая пересекает оси координат, следующие: $A(4; 0)$ и $B(0; -2)$.

Теперь, чтобы составить уравнение прямой, проходящей через эти две точки, можно использовать уравнение прямой в отрезках на осях. Это уравнение имеет вид $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$, где $a$ - это абсцисса точки пересечения с осью $Ox$ (x-перехват), а $b$ - ордината точки пересечения с осью $Oy$ (y-перехват).

В нашем случае $a = 4$ и $b = -2$. Подставим эти значения в уравнение:

$\frac{x}{4} + \frac{y}{-2} = 1$

$\frac{x}{4} - \frac{y}{2} = 1$

Чтобы преобразовать это уравнение к общему виду $Ax + By + C = 0$, умножим все члены уравнения на наименьший общий знаменатель дробей, который равен $4$:

$4 \cdot \frac{x}{4} - 4 \cdot \frac{y}{2} = 4 \cdot 1$

$x - 2y = 4$

Перенесем константу в левую часть уравнения:

$x - 2y - 4 = 0$

Ответ:

$x - 2y - 4 = 0$

293. Дан треугольник с вершинами $A(-2; 0)$, $B(2; 4)$ и $C(4; 0)$. Составьте уравнения прямых, содержащих медианы этого треугольника.

Дано:

Вершины треугольника:

$A(-2; 0)$

$B(2; 4)$

$C(4; 0)$

Найти:

Уравнения прямых, содержащих медианы треугольника.

Решение:

Для определения уравнения медианы, проходящей через одну вершину, необходимо найти координаты середины противоположной стороны. Медиана соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Формула для нахождения середины отрезка с концами $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$ следующая: $(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2})$.

Найдем координаты середин каждой из сторон:

Середина стороны $BC$ (обозначим $M_A$):

$x_{M_A} = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3$

$y_{M_A} = \frac{4 + 0}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Таким образом, $M_A(3; 2)$.

Середина стороны $AC$ (обозначим $M_B$):

$x_{M_B} = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$y_{M_B} = \frac{0 + 0}{2} = \frac{0}{2} = 0$

Таким образом, $M_B(1; 0)$.

Середина стороны $AB$ (обозначим $M_C$):

$x_{M_C} = \frac{-2 + 2}{2} = \frac{0}{2} = 0$

$y_{M_C} = \frac{0 + 4}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Таким образом, $M_C(0; 2)$.

Теперь составим уравнения прямых, содержащих медианы. Уравнение прямой, проходящей через две точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, задается формулой $\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$.

Медиана $AM_A$

Медиана $AM_A$ проходит через точки $A(-2; 0)$ и $M_A(3; 2)$.

$\frac{x - (-2)}{3 - (-2)} = \frac{y - 0}{2 - 0}$

$\frac{x + 2}{5} = \frac{y}{2}$

$2(x + 2) = 5y$

$2x + 4 = 5y$

$2x - 5y + 4 = 0$

Уравнение также можно записать в виде с угловым коэффициентом:

$5y = 2x + 4$

$y = \frac{2}{5}x + \frac{4}{5}$

Ответ: $2x - 5y + 4 = 0$ или $y = \frac{2}{5}x + \frac{4}{5}$

Медиана $BM_B$

Медиана $BM_B$ проходит через точки $B(2; 4)$ и $M_B(1; 0)$.

$\frac{x - 2}{1 - 2} = \frac{y - 4}{0 - 4}$

$\frac{x - 2}{-1} = \frac{y - 4}{-4}$

$-4(x - 2) = -1(y - 4)$

$-4x + 8 = -y + 4$

$4x - y - 4 = 0$

Уравнение также можно записать в виде с угловым коэффициентом:

$y = 4x - 4$

Ответ: $4x - y - 4 = 0$ или $y = 4x - 4$

Медиана $CM_C$

Медиана $CM_C$ проходит через точки $C(4; 0)$ и $M_C(0; 2)$.

$\frac{x - 4}{0 - 4} = \frac{y - 0}{2 - 0}$

$\frac{x - 4}{-4} = \frac{y}{2}$

$2(x - 4) = -4y$

$2x - 8 = -4y$

Разделим обе части на 2:

$x - 4 = -2y$

$x + 2y - 4 = 0$

Уравнение также можно записать в виде с угловым коэффициентом:

$2y = -x + 4$

$y = -\frac{1}{2}x + 2$

Ответ: $x + 2y - 4 = 0$ или $y = -\frac{1}{2}x + 2$

294. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку A(6; 0,5) и перпендикулярную прямой:

а) $y = 2x - 5$;

б) $8x + 4y + 3 = 0$.

Дано:

Точка $A(6; 0.5)$

Найти:

Уравнение прямой, проходящей через точку $A$ и перпендикулярной к данным прямым.

Решение:

Общее уравнение прямой имеет вид $y = kx + b$. Если две прямые перпендикулярны, то произведение их угловых коэффициентов равно $-1$, то есть $k_1 \cdot k_2 = -1$. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку $(x_0, y_0)$ с угловым коэффициентом $k$, имеет вид $y - y_0 = k(x - x_0)$.

а)

Дана прямая $y = 2x - 5$.

Угловой коэффициент данной прямой $k_1 = 2$.

Найдем угловой коэффициент $k_2$ перпендикулярной прямой из условия $k_1 \cdot k_2 = -1$:

$2 \cdot k_2 = -1$

$k_2 = -\frac{1}{2}$

Теперь подставим координаты точки $A(6; 0.5)$ и найденный угловой коэффициент $k_2 = -\frac{1}{2}$ в уравнение $y - y_0 = k_2(x - x_0)$:

$y - 0.5 = -\frac{1}{2}(x - 6)$

$y - 0.5 = -\frac{1}{2}x + \frac{1}{2} \cdot 6$

$y - 0.5 = -\frac{1}{2}x + 3$

$y = -\frac{1}{2}x + 3 + 0.5$

$y = -\frac{1}{2}x + 3.5$

Или в стандартном виде $Ax + By + C = 0$:

$2y = -x + 7$

$x + 2y - 7 = 0$

Ответ: $y = -0.5x + 3.5$ или $x + 2y - 7 = 0$.

б)

Дана прямая $8x + 4y + 3 = 0$.

Приведем уравнение данной прямой к виду $y = kx + b$:

$4y = -8x - 3$

$y = \frac{-8}{4}x - \frac{3}{4}$

$y = -2x - 0.75$

Угловой коэффициент данной прямой $k_1 = -2$.

Найдем угловой коэффициент $k_2$ перпендикулярной прямой из условия $k_1 \cdot k_2 = -1$:

$-2 \cdot k_2 = -1$

$k_2 = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2}$

Теперь подставим координаты точки $A(6; 0.5)$ и найденный угловой коэффициент $k_2 = \frac{1}{2}$ в уравнение $y - y_0 = k_2(x - x_0)$:

$y - 0.5 = \frac{1}{2}(x - 6)$

$y - 0.5 = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} \cdot 6$

$y - 0.5 = \frac{1}{2}x - 3$

$y = \frac{1}{2}x - 3 + 0.5$

$y = \frac{1}{2}x - 2.5$

Или в стандартном виде $Ax + By + C = 0$:

$2y = x - 5$

$x - 2y - 5 = 0$

Ответ: $y = 0.5x - 2.5$ или $x - 2y - 5 = 0$.

295. Запишите уравнение линии, все точки которой равноудалены от точек:

а) $A(1; 1)$ и $B(3; 3)$;

б) $M(0; 2)$ и $N(4; -2)$.

a) $A(1; 1)$ и $B(3; 3)$

Дано:
Точки $A(1; 1)$, $B(3; 3)$.

Найти:
Уравнение линии, все точки которой равноудалены от $A$ и $B$.

Решение:
Пусть $P(x; y)$ — произвольная точка на искомой линии. По определению, эта линия является перпендикулярным биссектором отрезка $AB$.
Расстояние от точки $P$ до точки $A$ равно $PA = \sqrt{(x-x_A)^2 + (y-y_A)^2}$.
Расстояние от точки $P$ до точки $B$ равно $PB = \sqrt{(x-x_B)^2 + (y-y_B)^2}$.
По условию, $PA = PB$. Это равносильно тому, что $PA^2 = PB^2$.
$PA^2 = (x-1)^2 + (y-1)^2$
$PB^2 = (x-3)^2 + (y-3)^2$
Приравниваем квадраты расстояний:
$(x-1)^2 + (y-1)^2 = (x-3)^2 + (y-3)^2$
Раскроем скобки:
$(x^2 - 2x + 1) + (y^2 - 2y + 1) = (x^2 - 6x + 9) + (y^2 - 6y + 9)$
$x^2 - 2x + 1 + y^2 - 2y + 1 = x^2 - 6x + 9 + y^2 - 6y + 9$
$x^2 + y^2 - 2x - 2y + 2 = x^2 + y^2 - 6x - 6y + 18$
Вычтем $x^2 + y^2$ из обеих частей уравнения:
$-2x - 2y + 2 = -6x - 6y + 18$
Перенесем все члены с переменными в левую часть, а константы в правую:
$-2x + 6x - 2y + 6y = 18 - 2$
$4x + 4y = 16$
Разделим все члены уравнения на 4:
$x + y = 4$

Ответ: $x + y = 4$

б) $M(0; 2)$ и $N(4; -2)$

Дано:
Точки $M(0; 2)$, $N(4; -2)$.

Найти:
Уравнение линии, все точки которой равноудалены от $M$ и $N$.

Решение:
Пусть $P(x; y)$ — произвольная точка на искомой линии. Эта линия является перпендикулярным биссектором отрезка $MN$.
Расстояние от точки $P$ до точки $M$ равно $PM = \sqrt{(x-x_M)^2 + (y-y_M)^2}$.
Расстояние от точки $P$ до точки $N$ равно $PN = \sqrt{(x-x_N)^2 + (y-y_N)^2}$.
По условию, $PM = PN$. Это равносильно тому, что $PM^2 = PN^2$.
$PM^2 = (x-0)^2 + (y-2)^2 = x^2 + (y-2)^2$
$PN^2 = (x-4)^2 + (y-(-2))^2 = (x-4)^2 + (y+2)^2$
Приравниваем квадраты расстояний:
$x^2 + (y-2)^2 = (x-4)^2 + (y+2)^2$
Раскроем скобки:
$x^2 + (y^2 - 4y + 4) = (x^2 - 8x + 16) + (y^2 + 4y + 4)$
$x^2 + y^2 - 4y + 4 = x^2 + y^2 - 8x + 4y + 20$
Вычтем $x^2 + y^2$ из обеих частей уравнения:
$-4y + 4 = -8x + 4y + 20$
Перенесем все члены с переменными в левую часть, а константы в правую:
$8x - 4y - 4y = 20 - 4$
$8x - 8y = 16$
Разделим все члены уравнения на 8:
$x - y = 2$

Ответ: $x - y = 2$

296. Составьте уравнение линии, которой принадлежат все точки, такие, что разность квадратов расстояний от них до точек $A(1; 0)$ и $B(-1; 2)$ равна 1.

Дано
Точка $A(1; 0)$
Точка $B(-1; 2)$
Разность квадратов расстояний от точки $M(x; y)$ до $A$ и $B$ равна 1: $d(M, A)^2 - d(M, B)^2 = 1$

Перевод данных в систему СИ: Координаты точек не требуют перевода в систему СИ.

Найти
Уравнение линии, которой принадлежат все такие точки $M$.

Решение
Пусть $M(x; y)$ — произвольная точка искомой линии.
Расстояние в квадрате от точки $M$ до точки $A(1; 0)$ вычисляется по формуле:
$d(M, A)^2 = (x - x_A)^2 + (y - y_A)^2 = (x - 1)^2 + (y - 0)^2 = (x - 1)^2 + y^2$
Расстояние в квадрате от точки $M$ до точки $B(-1; 2)$ вычисляется по формуле:
$d(M, B)^2 = (x - x_B)^2 + (y - y_B)^2 = (x - (-1))^2 + (y - 2)^2 = (x + 1)^2 + (y - 2)^2$
Согласно условию задачи, разность квадратов этих расстояний равна 1:
$d(M, A)^2 - d(M, B)^2 = 1$
Подставим выражения для квадратов расстояний:
$(x - 1)^2 + y^2 - ((x + 1)^2 + (y - 2)^2) = 1$
Раскроем скобки, используя формулы квадрата разности и квадрата суммы:
$(x^2 - 2x + 1) + y^2 - ((x^2 + 2x + 1) + (y^2 - 4y + 4)) = 1$
Уберем внутренние скобки:
$x^2 - 2x + 1 + y^2 - (x^2 + 2x + 1 + y^2 - 4y + 4) = 1$
Раскроем внешние скобки, меняя знаки на противоположные для всех слагаемых внутри:
$x^2 - 2x + 1 + y^2 - x^2 - 2x - 1 - y^2 + 4y - 4 = 1$
Приведем подобные слагаемые. Члены $x^2$, $-x^2$, $y^2$, $-y^2$, $1$ и $-1$ взаимно уничтожаются:
$-2x - 2x + 4y - 4 = 1$
$-4x + 4y - 4 = 1$
Перенесем константу из правой части в левую:
$-4x + 4y - 4 - 1 = 0$
$-4x + 4y - 5 = 0$
Для удобства можно умножить все уравнение на $-1$:
$4x - 4y + 5 = 0$

Ответ:
Уравнение линии: $4x - 4y + 5 = 0$.