Страница 146 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

1. Как определяют синус, косинус, тангенс и котангенс углов от 0° до 180°?

2. Докажите, что каждому значению угла от 0° до 180° соответствует только одно значение его:
а) синуса;
б) косинуса. Верны ли обратные утверждения?

3. Верно ли, что с возрастанием угла его синус возрастает, а косинус убывает?

4. Какие тригонометрические тождества вы знаете? Какое из них называется основным тригонометрическим тождеством?

1. Как определяют синус, косинус, тангенс и котангенс углов от 0° до 180°?

Тригонометрические функции углов от $0^\circ$ до $180^\circ$ можно определить с помощью единичной окружности (окружности с радиусом 1 и центром в начале координат) или с помощью прямоугольного треугольника и расширения для тупых углов.

Пусть $\alpha$ — угол, отсчитываемый от положительного направления оси абсцисс против часовой стрелки. Пусть $P(x; y)$ — точка на единичной окружности, соответствующая углу $\alpha$.

Синус угла $\alpha$ ($\sin \alpha$) — это ордината ($y$-координата) точки $P(x; y)$ на единичной окружности.
Формула: $\sin \alpha = y$.

Косинус угла $\alpha$ ($\cos \alpha$) — это абсцисса ($x$-координата) точки $P(x; y)$ на единичной окружности.
Формула: $\cos \alpha = x$.

Тангенс угла $\alpha$ ($\tan \alpha$) — это отношение синуса угла к его косинусу.
Формула: $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{y}{x}$. Тангенс определен для всех углов, кроме тех, для которых $\cos \alpha = 0$, то есть для $\alpha = 90^\circ$.

Котангенс угла $\alpha$ ($\cot \alpha$) — это отношение косинуса угла к его синусу.
Формула: $\cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{x}{y}$. Котангенс определен для всех углов, кроме тех, для которых $\sin \alpha = 0$, то есть для $\alpha = 0^\circ$ и $\alpha = 180^\circ$.

Ответ: Синус, косинус, тангенс и котангенс углов от $0^\circ$ до $180^\circ$ определяются через координаты точки на единичной окружности, соответствующей данному углу, или как отношения сторон в прямоугольном треугольнике, с последующим обобщением на тупые углы.

2. Докажите, что каждому значению угла от 0° до 180° соответствует только одно значение его: а) синуса; б) косинуса. Верны ли обратные утверждения?

Доказательство того, что каждому значению угла $\alpha$ от $0^\circ$ до $180^\circ$ соответствует только одно значение его синуса и косинуса, основывается на определении функции. По определению, синус и косинус являются функциями угла. Это означает, что для каждого допустимого входного значения (угла) существует ровно одно выходное значение (значение функции).

а) синуса: Пусть дан угол $\alpha \in [0^\circ, 180^\circ]$. Этот угол однозначно определяет луч, исходящий из начала координат и проходящий через точку $P(x; y)$ на единичной окружности. Поскольку эта точка $P$ единственна, её $y$-координата (которая по определению является $\sin \alpha$) также единственна. Следовательно, каждому углу из указанного промежутка соответствует только одно значение синуса.

б) косинуса: Аналогично, для данного угла $\alpha \in [0^\circ, 180^\circ]$, точка $P(x; y)$ на единичной окружности является единственной. Её $x$-координата (которая по определению является $\cos \alpha$) также единственна. Следовательно, каждому углу из указанного промежутка соответствует только одно значение косинуса.

Верны ли обратные утверждения? Обратные утверждения заключаются в следующем: если дано значение синуса или косинуса, то соответствует ли ему только одно значение угла в промежутке $[0^\circ, 180^\circ]$?

Для синуса: Нет, обратное утверждение неверно. Например, $\sin 30^\circ = 0.5$ и $\sin 150^\circ = 0.5$. Оба угла $30^\circ$ и $150^\circ$ находятся в промежутке $[0^\circ, 180^\circ]$, но имеют одно и то же значение синуса. Для любого значения $\sin \alpha \in (0, 1]$, будет два таких угла в данном промежутке (за исключением $\sin 90^\circ = 1$, где угол $90^\circ$ единственный). Если $\sin \alpha = 0$, то $\alpha = 0^\circ$ или $\alpha = 180^\circ$ (два угла).

Для косинуса: Да, обратное утверждение верно. Для любого значения $\cos \alpha \in [-1, 1]$, существует только одно значение угла $\alpha$ в промежутке $[0^\circ, 180^\circ]$. Это связано с тем, что функция косинуса является строго убывающей на интервале $[0^\circ, 180^\circ]$: если $\alpha_1 \neq \alpha_2$ и $\alpha_1, \alpha_2 \in [0^\circ, 180^\circ]$, то $\cos \alpha_1 \neq \cos \alpha_2$.

Ответ: Каждому углу от $0^\circ$ до $180^\circ$ соответствует только одно значение синуса и косинуса. Обратное утверждение верно для косинуса, но неверно для синуса.

3. Верно ли, что с возрастанием угла его синус возрастает, а косинус убывает?

Рассмотрим поведение синуса и косинуса на интервале от $0^\circ$ до $180^\circ$.

Для синуса:
При возрастании угла от $0^\circ$ до $90^\circ$, синус угла возрастает от $0$ до $1$.
При возрастании угла от $90^\circ$ до $180^\circ$, синус угла убывает от $1$ до $0$. Таким образом, утверждение "с возрастанием угла его синус возрастает" неверно для всего интервала $[0^\circ, 180^\circ]$, так как на второй половине интервала ($90^\circ$ до $180^\circ$) синус убывает.

Для косинуса:
При возрастании угла от $0^\circ$ до $90^\circ$, косинус угла убывает от $1$ до $0$.
При возрастании угла от $90^\circ$ до $180^\circ$, косинус угла убывает от $0$ до $-1$. Таким образом, утверждение "с возрастанием угла его косинус убывает" верно для всего интервала $[0^\circ, 180^\circ]$.

Ответ: Утверждение частично неверно. С возрастанием угла синус возрастает только от $0^\circ$ до $90^\circ$, а затем убывает от $90^\circ$ до $180^\circ$. Косинус же действительно убывает на всем интервале от $0^\circ$ до $180^\circ$.

4. Какие тригонометрические тождества вы знаете? Какое из них называется основным тригонометрическим тождеством?

Существует множество тригонометрических тождеств, связывающих тригонометрические функции. Вот некоторые из наиболее часто используемых:

1. Основное тригонометрическое тождество: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$

2. Тождества, связывающие тангенс и котангенс с синусом и косинусом: $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$ (при $\cos \alpha \neq 0$) $\cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$ (при $\sin \alpha \neq 0$)

3. Взаимные тождества: $\tan \alpha \cdot \cot \alpha = 1$ (при $\sin \alpha \neq 0, \cos \alpha \neq 0$) $\csc \alpha = \frac{1}{\sin \alpha}$ (косеканс, при $\sin \alpha \neq 0$) $\sec \alpha = \frac{1}{\cos \alpha}$ (секанс, при $\cos \alpha \neq 0$)

4. Другие часто используемые тождества: $1 + \tan^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha} = \sec^2 \alpha$ (при $\cos \alpha \neq 0$) $1 + \cot^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha} = \csc^2 \alpha$ (при $\sin \alpha \neq 0$)

Из перечисленных, основным тригонометрическим тождеством называется $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$. Оно является фундаментальным, так как следует непосредственно из определения синуса и косинуса на единичной окружности (теорема Пифагора для координат точки $(x, y)$ на окружности радиуса 1: $x^2 + y^2 = 1$). Большинство других тождеств могут быть выведены из него и определений тангенса и котангенса.

Ответ: Известны тождества, такие как $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$, $\cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$, $\tan \alpha \cdot \cot \alpha = 1$, $1 + \tan^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$ и $1 + \cot^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$. Основным тригонометрическим тождеством является $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.

306. Вычислите:

а)$ \sin 90^\circ + 2\cos 90^\circ - \sin 0^\circ $;

б)$ \cos 0^\circ - 0.5\sin 90^\circ + 2\sin 180^\circ $.

Дано:

Требуется вычислить значения следующих тригонометрических выражений:
a) $\sin 90^\circ + 2\cos 90^\circ - \sin 0^\circ$
б) $\cos 0^\circ - 0.5\sin 90^\circ + 2\sin 180^\circ$

Найти:

Значения данных выражений.

Решение:

a)

Для вычисления выражения используем известные значения тригонометрических функций для углов $0^\circ$ и $90^\circ$:

$\sin 90^\circ = 1$

$\cos 90^\circ = 0$

$\sin 0^\circ = 0$

Подставляем эти значения в выражение:

$\sin 90^\circ + 2\cos 90^\circ - \sin 0^\circ = 1 + 2 \cdot 0 - 0$

Выполняем арифметические операции:

$1 + 0 - 0 = 1$

Ответ: 1

б)

Для вычисления выражения используем известные значения тригонометрических функций для углов $0^\circ$, $90^\circ$ и $180^\circ$:

$\cos 0^\circ = 1$

$\sin 90^\circ = 1$

$\sin 180^\circ = 0$

Подставляем эти значения в выражение:

$\cos 0^\circ - 0.5\sin 90^\circ + 2\sin 180^\circ = 1 - 0.5 \cdot 1 + 2 \cdot 0$

Выполняем арифметические операции:

$1 - 0.5 + 0 = 0.5$

Ответ: 0.5

307. Упростите выражение:

a) $a^2 \cdot \cos 0^\circ - 2ab \cdot \sin 90^\circ + b^2 \cdot \operatorname{tg}^2 45^\circ;$

б) $a^2 \cdot \sin 180^\circ + 2ab \cdot \cos 90^\circ + b^2 \cdot \operatorname{tg} 45^\circ.$

Дано:
Выражение: $a^2 \cdot \cos 0^\circ - 2ab \cdot \sin 90^\circ + b^2 \cdot \operatorname{tg}^2 45^\circ$

Найти: Упростить выражение.

Решение:
Для упрощения данного выражения используем известные значения тригонометрических функций для углов $0^\circ$, $90^\circ$ и $45^\circ$:
$\cos 0^\circ = 1$
$\sin 90^\circ = 1$
$\operatorname{tg} 45^\circ = 1$
Теперь подставим эти значения в исходное выражение:
$a^2 \cdot 1 - 2ab \cdot 1 + b^2 \cdot (1)^2$
Проведем умножение:
$a^2 - 2ab + b^2$
Полученное выражение является формулой квадрата разности, которая имеет вид:
$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Ответ: $(a-b)^2$

Дано:
Выражение: $a^2 \cdot \sin 180^\circ + 2ab \cdot \cos 90^\circ + b^2 \cdot \operatorname{tg} 45^\circ$

Найти: Упростить выражение.

Решение:
Для упрощения данного выражения используем известные значения тригонометрических функций для углов $180^\circ$, $90^\circ$ и $45^\circ$:
$\sin 180^\circ = 0$
$\cos 90^\circ = 0$
$\operatorname{tg} 45^\circ = 1$
Теперь подставим эти значения в исходное выражение:
$a^2 \cdot 0 + 2ab \cdot 0 + b^2 \cdot 1$
Проведем умножение:
$0 + 0 + b^2$
Сложим полученные члены:
$b^2$

Ответ: $b^2$

308. Вычислите значение выражения:

a) $ \cos \alpha + \cos 3\alpha $, если $\alpha = 60^{\circ}$;

б) $ \sin \frac{\alpha}{6} + \operatorname{tg} \frac{\alpha}{4} $ если $\alpha = 180^{\circ}$.

a)

Дано

$\alpha = 60^\circ$

Перевод в СИ

$\alpha = 60^\circ = 60 \cdot \frac{\pi}{180} \text{ рад} = \frac{\pi}{3} \text{ рад}$

Найти:

$\cos \alpha + \cos 3\alpha$

Решение

Подставим значение $\alpha = 60^\circ$ в выражение:

$\cos 60^\circ + \cos (3 \cdot 60^\circ) = \cos 60^\circ + \cos 180^\circ$

Известные значения тригонометрических функций:

$\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$

$\cos 180^\circ = -1$

Тогда выражение принимает вид:

$\frac{1}{2} + (-1) = \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2}$

Ответ: $-\frac{1}{2}$

б)

Дано

$\alpha = 180^\circ$

Перевод в СИ

$\alpha = 180^\circ = \pi \text{ рад}$

Найти:

$\sin \frac{\alpha}{6} + \text{tg} \frac{\alpha}{4}$

Решение

Подставим значение $\alpha = 180^\circ$ в выражение:

$\sin \frac{180^\circ}{6} + \text{tg} \frac{180^\circ}{4}$

Вычислим значения углов:

$\frac{180^\circ}{6} = 30^\circ$

$\frac{180^\circ}{4} = 45^\circ$

Теперь выражение выглядит так:

$\sin 30^\circ + \text{tg} 45^\circ$

Известные значения тригонометрических функций:

$\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$

$\text{tg} 45^\circ = 1$

Тогда сумма равна:

$\frac{1}{2} + 1 = 1.5$

Ответ: $1.5$

309. Постройте угол A, если:

a) $sin A = \frac{2}{3}$;

б) $cos A = \frac{3}{4}$;

в) $cos A = -0,4$.

а) sin A = 2/3

Дано: $sin A = \frac{2}{3}$

Найти: Построить угол $A$.

Решение:

Для построения угла $A$ с заданным синусом можно использовать свойства прямоугольного треугольника. Синус острого угла в прямоугольном треугольнике определяется как отношение длины противолежащего катета к длине гипотенузы.

1. Начертим отрезок $BC$ длиной 2 условные единицы (например, 2 см). Этот отрезок будет противолежащим катетом.

2. Из точки $B$ проведем луч $BX$, перпендикулярный отрезку $BC$. Таким образом, мы создаем прямой угол.

3. Из точки $C$ с помощью циркуля проведем дугу радиусом 3 условные единицы (например, 3 см). Этот радиус будет представлять гипотенузу.

4. Точку пересечения дуги с лучом $BX$ обозначим $A$.

5. Соединим точки $A$ и $C$. Полученный треугольник $ABC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $B$.

6. Угол $A$ (при вершине $A$) в этом треугольнике является искомым, так как $sin A = \frac{BC}{AC} = \frac{2}{3}$.

Ответ: Угол $A$ построен как острый угол прямоугольного треугольника с противолежащим катетом 2 и гипотенузой 3.

б) cos A = 3/4

Дано: $cos A = \frac{3}{4}$

Найти: Построить угол $A$.

Решение:

Для построения угла $A$ с заданным косинусом также удобно использовать прямоугольный треугольник. Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике определяется как отношение длины прилежащего катета к длине гипотенузы.

1. Начертим отрезок $AB$ длиной 3 условные единицы (например, 3 см). Этот отрезок будет прилежащим катетом.

2. Из точки $B$ проведем луч $BY$, перпендикулярный отрезку $AB$. Таким образом, мы создаем прямой угол.

3. Из точки $A$ с помощью циркуля проведем дугу радиусом 4 условные единицы (например, 4 см). Этот радиус будет представлять гипотенузу.

4. Точку пересечения дуги с лучом $BY$ обозначим $C$.

5. Соединим точки $A$ и $C$. Полученный треугольник $ABC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $B$.

6. Угол $A$ (при вершине $A$) в этом треугольнике является искомым, так как $cos A = \frac{AB}{AC} = \frac{3}{4}$.

Ответ: Угол $A$ построен как острый угол прямоугольного треугольника с прилежащим катетом 3 и гипотенузой 4.

в) cos A = -0,4

Дано: $cos A = -0,4 = -\frac{2}{5}$

Найти: Построить угол $A$.

Решение:

Поскольку косинус угла отрицательный, угол $A$ не является острым. Он будет находиться во втором или третьем квадранте. Для построения такого угла удобно использовать единичную окружность.

1. Построим декартову систему координат с началом в точке $O(0,0)$.

2. Начертим единичную окружность с центром в начале координат $O$ и радиусом, равным 1 условной единице (например, 5 см, чтобы было удобно откладывать $-0,4$).

3. На оси абсцисс ($Ox$) отложим точку $M$ с координатой $x = -0,4$. Если радиус окружности выбран 5 см, то $-0,4$ будет соответствовать $-2$ см от начала координат влево.

4. Проведем вертикальную прямую через точку $M$, параллельную оси ординат ($Oy$).

5. Эта вертикальная прямая пересечет единичную окружность в двух точках. Обозначим их $P_1$ (в верхнем полуплоскости) и $P_2$ (в нижнем полуплоскости).

6. Проведем лучи из начала координат $O$ через точки $P_1$ и $P_2$.

7. Угол $A_1$, образованный положительной полуосью $Ox$ и лучом $OP_1$, является углом во втором квадранте, чей косинус равен $-0,4$.

8. Угол $A_2$, образованный положительной полуосью $Ox$ и лучом $OP_2$, является углом в третьем квадранте, чей косинус также равен $-0,4$.

Обычно при такой постановке задачи подразумевается наименьший положительный угол, то есть угол во втором квадранте.

Ответ: Угол $A$ построен как угол, чей конец лежит на единичной окружности в точках пересечения с вертикальной прямой $x=-0,4$. Возможны два таких угла: один во втором квадранте, другой в третьем квадранте.

310. Имеет ли смысл при $\alpha = 100^\circ$ выражение:

a) $\sqrt{\sin \alpha}$;

б) $\sqrt{\cos \alpha}$?

Дано:
$\alpha = 100^\circ$

Найти:
Имеют ли смысл выражения $\sqrt{\sin\alpha}$ и $\sqrt{\cos\alpha}$ при $\alpha = 100^\circ$.

Решение:
Выражение $\sqrt{x}$ имеет смысл в области действительных чисел только тогда, когда подкоренное выражение $x$ неотрицательно, то есть $x \ge 0$.
Угол $\alpha = 100^\circ$ находится во второй четверти единичной окружности, так как $90^\circ < 100^\circ < 180^\circ$.

а) $\sqrt{\sin\alpha}$
Во второй четверти значение синуса положительно. Следовательно, $\sin(100^\circ) > 0$.
Так как подкоренное выражение $\sin(100^\circ)$ является положительным числом, выражение $\sqrt{\sin(100^\circ)}$ имеет смысл в действительных числах.
Ответ: Имеет смысл.

б) $\sqrt{\cos\alpha}$
Во второй четверти значение косинуса отрицательно. Следовательно, $\cos(100^\circ) < 0$.
Так как подкоренное выражение $\cos(100^\circ)$ является отрицательным числом, выражение $\sqrt{\cos(100^\circ)}$ не имеет смысла в области действительных чисел (имеет смысл только в комплексных числах, но в данной задаче подразумеваются действительные числа).
Ответ: Не имеет смысла.

311. Найдите синус, косинус, тангенс и котангенс углов: а) 120°; б) 135°; в) 150° и заполните таблицу.

$ \alpha $ $ 0^\circ $ $ 30^\circ $ $ 45^\circ $ $ 60^\circ $ $ 90^\circ $ $ 120^\circ $ $ 135^\circ $ $ 150^\circ $ $ 180^\circ $

$ \sin \alpha $

$ \cos \alpha $

$ \tg \alpha $

$ \ctg \alpha $

Дано:

Углы $\alpha$: $0^\circ, 30^\circ, 45^\circ, 60^\circ, 90^\circ, 120^\circ, 135^\circ, 150^\circ, 180^\circ$.

Найти:

Значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса для заданных углов, а также заполнить соответствующую таблицу.

Решение:

Для определения значений тригонометрических функций углов $0^\circ, 30^\circ, 45^\circ, 60^\circ, 90^\circ$ используются стандартные табличные значения. Для углов $120^\circ, 135^\circ, 150^\circ, 180^\circ$, которые находятся во второй четверти (или на границе), используются формулы приведения. В частности, для углов вида $(180^\circ - \alpha)$:

• $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin(\alpha)$
• $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos(\alpha)$
• $\operatorname{tg}(180^\circ - \alpha) = -\operatorname{tg}(\alpha)$
• $\operatorname{ctg}(180^\circ - \alpha) = -\operatorname{ctg}(\alpha)$

Используем формулы приведения для угла $120^\circ = 180^\circ - 60^\circ$:

$\sin(120^\circ) = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos(120^\circ) = \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos(60^\circ) = -\frac{1}{2}$

$\operatorname{tg}(120^\circ) = \frac{\sin(120^\circ)}{\cos(120^\circ)} = \frac{\sqrt{3}/2}{-1/2} = -\sqrt{3}$

$\operatorname{ctg}(120^\circ) = \frac{\cos(120^\circ)}{\sin(120^\circ)} = \frac{-1/2}{\sqrt{3}/2} = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

Ответ: $\sin(120^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}$, $\operatorname{tg}(120^\circ) = -\sqrt{3}$, $\operatorname{ctg}(120^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Используем формулы приведения для угла $135^\circ = 180^\circ - 45^\circ$:

$\sin(135^\circ) = \sin(180^\circ - 45^\circ) = \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos(135^\circ) = \cos(180^\circ - 45^\circ) = -\cos(45^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\operatorname{tg}(135^\circ) = \frac{\sin(135^\circ)}{\cos(135^\circ)} = \frac{\sqrt{2}/2}{-\sqrt{2}/2} = -1$

$\operatorname{ctg}(135^\circ) = \frac{\cos(135^\circ)}{\sin(135^\circ)} = \frac{-\sqrt{2}/2}{\sqrt{2}/2} = -1$

Ответ: $\sin(135^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos(135^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\operatorname{tg}(135^\circ) = -1$, $\operatorname{ctg}(135^\circ) = -1$.

Используем формулы приведения для угла $150^\circ = 180^\circ - 30^\circ$:

$\sin(150^\circ) = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$

$\cos(150^\circ) = \cos(180^\circ - 30^\circ) = -\cos(30^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\operatorname{tg}(150^\circ) = \frac{\sin(150^\circ)}{\cos(150^\circ)} = \frac{1/2}{-\sqrt{3}/2} = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

$\operatorname{ctg}(150^\circ) = \frac{\cos(150^\circ)}{\sin(150^\circ)} = \frac{-\sqrt{3}/2}{1/2} = -\sqrt{3}$

Ответ: $\sin(150^\circ) = \frac{1}{2}$, $\cos(150^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\operatorname{tg}(150^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$, $\operatorname{ctg}(150^\circ) = -\sqrt{3}$.

Остальные значения определяются аналогично или являются стандартными табличными значениями. Полная таблица тригонометрических значений представлена ниже.

Ответ: