Страница 143 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

301. Дана окружность $(x+1)^2 + (y-2)^2 = 4$. Составьте уравнение окружности:

а) равной данной, центр которой находится в точке $(3; -5)$;

б) симметричной данной относительно оси ординат.

Дано:

Уравнение окружности: $(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 4$

Из стандартного уравнения окружности $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$, где $(h, k)$ - координаты центра, а $r$ - радиус, получаем:

Координаты центра данной окружности $C_0$: $(-1, 2)$

Квадрат радиуса данной окружности $r_0^2$: $4$

Радиус данной окружности $r_0$: $\sqrt{4} = 2$

Найти:

Уравнение окружности:

a) равной данной, центр которой находится в точке $(3; -5)$;

б) симметричной данной относительно оси ординат.

Решение:

a) равной данной, центр которой находится в точке (3; −5);

По условию, новая окружность должна быть "равной данной", что означает, что ее радиус будет таким же, как и радиус данной окружности. Таким образом, радиус новой окружности $r_a = r_0 = 2$.

Центр новой окружности $C_a$ задан как $(3, -5)$. То есть, $h_a = 3$ и $k_a = -5$.

Используем стандартное уравнение окружности: $(x - h_a)^2 + (y - k_a)^2 = r_a^2$.

Подставляем найденные значения:

$(x - 3)^2 + (y - (-5))^2 = 2^2$

Упрощаем:

$(x - 3)^2 + (y + 5)^2 = 4$

Ответ: $(x - 3)^2 + (y + 5)^2 = 4$

б) симметричной данной относительно оси ординат.

При симметрии относительно оси ординат (оси y) координата $x$ меняет знак на противоположный, а координата $y$ остается неизменной. Радиус окружности при этом не меняется.

Центр данной окружности $C_0$ имеет координаты $(-1, 2)$.

Координаты центра новой окружности $C_b$ будут:

$h_b = -h_0 = -(-1) = 1$

$k_b = k_0 = 2$

Таким образом, центр новой окружности $C_b$ находится в точке $(1, 2)$.

Радиус новой окружности $r_b = r_0 = 2$.

Используем стандартное уравнение окружности: $(x - h_b)^2 + (y - k_b)^2 = r_b^2$.

Подставляем найденные значения:

$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 2^2$

Упрощаем:

$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 4$

Ответ: $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 4$

302.

a) Запишите уравнение окружности с центром в точке $C(4; -3)$, которая проходит через точку $A(8; -6)$.

б) Ученик предложил следующий вывод уравнения произвольной окружности: «Расстояние $R$ от произвольной точки $P(x; y)$ окружности до начала координат выражается формулой $x^2 + y^2 = R^2$. Это равенство и есть уравнение окружности.» Найдите ошибки в таком «выводе» уравнения окружности.

а) Запишите уравнение окружности с центром в точке C(4; -3), которая проходит через точку A(8; -6).

Дано:

Центр окружности $C(x_C; y_C) = C(4; -3)$

Точка на окружности $A(x_A; y_A) = A(8; -6)$

Перевод в СИ:

Координаты являются безразмерными величинами, перевод в СИ не требуется.

Найти:

Уравнение окружности.

Решение:

Стандартное уравнение окружности с центром в точке $(x_0; y_0)$ и радиусом $R$ имеет вид: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$.

В данном случае, центр окружности $C(x_0; y_0) = C(4; -3)$, поэтому $x_0 = 4$ и $y_0 = -3$.

Радиус окружности $R$ - это расстояние от центра $C$ до точки $A$, через которую проходит окружность. Расстояние между двумя точками $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ определяется по формуле: $D = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.

В нашем случае радиус $R$ равен расстоянию $CA$, то есть $R = \sqrt{(x_A - x_C)^2 + (y_A - y_C)^2}$.

Для подстановки в уравнение окружности нам нужно $R^2$: $R^2 = (x_A - x_C)^2 + (y_A - y_C)^2$.

Подставим значения координат точек $A(8; -6)$ и $C(4; -3)$:

$R^2 = (8 - 4)^2 + (-6 - (-3))^2$

$R^2 = (4)^2 + (-3)^2$

$R^2 = 16 + 9$

$R^2 = 25$

Теперь подставим координаты центра $x_0 = 4$, $y_0 = -3$ и найденное значение $R^2 = 25$ в стандартное уравнение окружности:

$(x - 4)^2 + (y - (-3))^2 = 25$

$(x - 4)^2 + (y + 3)^2 = 25$

Ответ: Уравнение окружности: $(x - 4)^2 + (y + 3)^2 = 25$

б) Ученик предложил следующий вывод уравнения произвольной окружности: «Расстояние R от произвольной точки P(x; y) окружности до начала координат выражается формулой x^2 + y^2 = R^2. Это равенство и есть уравнение окружности.» Найдите ошибки в таком «выводе» уравнения окружности.

Решение:

Ошибка ученика заключается в следующем:

1. Неверное обобщение: Уравнение $x^2 + y^2 = R^2$ описывает окружность, центр которой находится строго в начале координат, то есть в точке $(0; 0)$. Это лишь частный случай уравнения окружности, а не уравнение "произвольной" окружности.

2. Неполнота определения: Для "произвольной" окружности, её центр может находиться в любой точке плоскости $(x_0; y_0)$, а не только в начале координат. Общее (стандартное) уравнение окружности имеет вид $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$, где $(x_0; y_0)$ - координаты центра окружности, а $R$ - её радиус. Ученик не учел возможность смещения центра окружности относительно начала координат.

Ответ: Ошибка заключается в том, что ученик представил уравнение окружности с центром в начале координат ($x^2 + y^2 = R^2$) как уравнение "произвольной" окружности, тогда как общее уравнение окружности, учитывающее любое положение центра $(x_0; y_0)$, имеет вид $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$.

303. а) Запишите уравнение окружности с центром в точке $(-3; 2)$, касающейся оси $Ox$.

б) Сколько общих точек имеют прямая $x = 3$ и окружность $x^2 + y^2 = 16$?

a) Запишите уравнение окружности с центром в точке (-3; 2), касающейся оси Ox.

Дано:

Центр окружности $C(-3; 2)$.

Окружность касается оси $Ox$.

Перевод в СИ: Не требуется, так как задача оперирует безразмерными координатами в декартовой системе.

Найти:

Уравнение окружности.

Решение:

Общее уравнение окружности с центром в точке $(a; b)$ и радиусом $R$ имеет вид: $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$.

В нашем случае, центр окружности находится в точке $(-3; 2)$, следовательно $a = -3$ и $b = 2$. Подставим эти значения в уравнение:

$$(x - (-3))^2 + (y - 2)^2 = R^2$$

$$(x + 3)^2 + (y - 2)^2 = R^2$$

Так как окружность касается оси $Ox$, радиус $R$ равен абсолютной величине $y$-координаты центра. В данном случае $R = |2| = 2$.

Тогда $R^2 = 2^2 = 4$.

Подставим значение $R^2$ в уравнение окружности:

$$(x + 3)^2 + (y - 2)^2 = 4$$

Ответ: $$(x + 3)^2 + (y - 2)^2 = 4$$

б) Сколько общих точек имеют прямая x = 3 и окружность x² + y² = 16?

Дано:

Прямая $x = 3$.

Окружность $x^2 + y^2 = 16$.

Перевод в СИ: Не требуется, так как задача оперирует безразмерными координатами в декартовой системе.

Найти:

Количество общих точек прямой и окружности.

Решение:

Уравнение окружности $x^2 + y^2 = 16$ описывает окружность с центром в начале координат $(0; 0)$ и радиусом $R = \sqrt{16} = 4$.

Прямая $x = 3$ является вертикальной прямой, проходящей через $x = 3$.

Чтобы найти количество общих точек, подставим значение $x$ из уравнения прямой в уравнение окружности:

$$3^2 + y^2 = 16$$

$$9 + y^2 = 16$$

$$y^2 = 16 - 9$$

$$y^2 = 7$$

Из этого уравнения находим значения $y$:

$$y = \pm \sqrt{7}$$

Получаем два различных действительных значения для $y$: $y_1 = \sqrt{7}$ и $y_2 = -\sqrt{7}$.

Таким образом, существуют две общие точки: $(3; \sqrt{7})$ и $(3; -\sqrt{7})$.

Альтернативный метод: Сравним расстояние от центра окружности до прямой с радиусом окружности.

Центр окружности $C(0; 0)$, радиус $R = 4$.

Прямая задана уравнением $x = 3$, что можно переписать как $x - 3 = 0$.

Расстояние $d$ от точки $(x_0; y_0)$ до прямой $Ax + By + C = 0$ вычисляется по формуле: $$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$$

Для центра $(0; 0)$ и прямой $x - 3 = 0$ (где $A = 1, B = 0, C = -3$):

$$d = \frac{|1 \cdot 0 + 0 \cdot 0 - 3|}{\sqrt{1^2 + 0^2}} = \frac{|-3|}{\sqrt{1}} = 3$$

Сравним расстояние $d$ с радиусом $R$:

$$d = 3$$

$$R = 4$$

Так как $d < R$ ($3 < 4$), прямая пересекает окружность в двух точках.

Ответ: Две.

304. Составьте уравнение окружности с диаметром $AB$, если:

a) $A(1; 8)$, $B(5; 2)$ и установите, пересекает ли эта окружность оси координат;

б) $A(1; 0)$, $B(-2; 4)$, найдите координаты точек пересечения этой окружности с прямой $x = -0.5$.

Дано:

a) Точки $A(1; 8)$ и $B(5; 2)$ являются концами диаметра окружности.

б) Точки $A(1; 0)$ и $B(-2; 4)$ являются концами диаметра окружности. Прямая $x = -0.5$.

Найти:

a) Уравнение окружности и определить, пересекает ли она оси координат.

б) Уравнение окружности и координаты точек ее пересечения с прямой $x = -0.5$.

Решение:

a) A(1; 8), B(5; 2) и установите, пересекает ли эта окружность оси координат;

1. Найдем координаты центра окружности $C(x_c; y_c)$ как середину диаметра AB:

$x_c = \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{1 + 5}{2} = \frac{6}{2} = 3$

$y_c = \frac{y_A + y_B}{2} = \frac{8 + 2}{2} = \frac{10}{2} = 5$

Таким образом, центр окружности $C(3; 5)$.

2. Найдем квадрат радиуса окружности $R^2$. Радиус - это расстояние от центра до любой из точек A или B. Воспользуемся точкой A:

$R^2 = (x_A - x_c)^2 + (y_A - y_c)^2$

$R^2 = (1 - 3)^2 + (8 - 5)^2 = (-2)^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13$

3. Запишем уравнение окружности в стандартном виде $(x - x_c)^2 + (y - y_c)^2 = R^2$:

$(x - 3)^2 + (y - 5)^2 = 13$

4. Проверим пересечение с осями координат:

a) Пересечение с осью Ox (где $y = 0$):

$(x - 3)^2 + (0 - 5)^2 = 13$

$(x - 3)^2 + (-5)^2 = 13$

$(x - 3)^2 + 25 = 13$

$(x - 3)^2 = 13 - 25$

$(x - 3)^2 = -12$

Так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным, уравнение не имеет действительных решений. Следовательно, окружность не пересекает ось Ox.

б) Пересечение с осью Oy (где $x = 0$):

$(0 - 3)^2 + (y - 5)^2 = 13$

$(-3)^2 + (y - 5)^2 = 13$

$9 + (y - 5)^2 = 13$

$(y - 5)^2 = 13 - 9$

$(y - 5)^2 = 4$

$y - 5 = \pm\sqrt{4}$

$y - 5 = \pm 2$

Отсюда $y_1 = 5 + 2 = 7$ или $y_2 = 5 - 2 = 3$.

Окружность пересекает ось Oy в точках $(0; 3)$ и $(0; 7)$.

Ответ: Уравнение окружности: $(x - 3)^2 + (y - 5)^2 = 13$. Окружность не пересекает ось Ox, но пересекает ось Oy в точках $(0; 3)$ и $(0; 7)$.

б) A(1; 0), B(-2; 4), найдите координаты точек пересечения этой окружности с прямой x = -0,5.

1. Найдем координаты центра окружности $C(x_c; y_c)$ как середину диаметра AB:

$x_c = \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{1 + (-2)}{2} = \frac{-1}{2} = -0.5$

$y_c = \frac{y_A + y_B}{2} = \frac{0 + 4}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Таким образом, центр окружности $C(-0.5; 2)$.

2. Найдем квадрат радиуса окружности $R^2$. Воспользуемся точкой A:

$R^2 = (x_A - x_c)^2 + (y_A - y_c)^2$

$R^2 = (1 - (-0.5))^2 + (0 - 2)^2 = (1 + 0.5)^2 + (-2)^2 = (1.5)^2 + 4 = 2.25 + 4 = 6.25$

3. Запишем уравнение окружности в стандартном виде $(x - x_c)^2 + (y - y_c)^2 = R^2$:

$(x - (-0.5))^2 + (y - 2)^2 = 6.25$

$(x + 0.5)^2 + (y - 2)^2 = 6.25$

4. Найдем точки пересечения окружности с прямой $x = -0.5$. Подставим $x = -0.5$ в уравнение окружности:

$(-0.5 + 0.5)^2 + (y - 2)^2 = 6.25$

$0^2 + (y - 2)^2 = 6.25$

$(y - 2)^2 = 6.25$

$y - 2 = \pm\sqrt{6.25}$

$y - 2 = \pm 2.5$

Отсюда $y_1 = 2 + 2.5 = 4.5$ или $y_2 = 2 - 2.5 = -0.5$.

Таким образом, точки пересечения имеют координаты $(-0.5; 4.5)$ и $(-0.5; -0.5)$.

Ответ: Уравнение окружности: $(x + 0.5)^2 + (y - 2)^2 = 6.25$. Координаты точек пересечения с прямой $x = -0.5$ : $(-0.5; 4.5)$ и $(-0.5; -0.5)$.

305. Составьте уравнение окружности, описанной около:

a) прямоугольного треугольника ABC с вершинами в точках $A(0; 16)$, $B(12; 0)$, $C(0; 0)$;

б) равностороннего треугольника NMK, координаты вершин которого равны $N(-3\sqrt{3}; 0)$, $M(0; 9)$, $K(3\sqrt{3}; 0)$.

а) прямоугольного треугольника ABC с вершинами в точках A(0; 16), B(12; 0), C(0; 0)

Дано

Вершины треугольника: $A(0; 16)$, $B(12; 0)$, $C(0; 0)$

Найти

Уравнение окружности, описанной около треугольника ABC.

Решение

Общее уравнение окружности имеет вид $(x - h)^2 + (y - k)^2 = R^2$, где $(h, k)$ - координаты центра окружности, а $R$ - ее радиус.

Определим, является ли треугольник ABC прямоугольным. Для этого вычислим квадраты длин сторон, используя формулу расстояния между двумя точками $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$:

$AC^2 = (0 - 0)^2 + (16 - 0)^2 = 0^2 + 16^2 = 256$

$BC^2 = (12 - 0)^2 + (0 - 0)^2 = 12^2 + 0^2 = 144$

$AB^2 = (12 - 0)^2 + (0 - 16)^2 = 12^2 + (-16)^2 = 144 + 256 = 400$

Проверим выполнение теоремы Пифагора: $AC^2 + BC^2 = 256 + 144 = 400$. Поскольку $AC^2 + BC^2 = AB^2$, треугольник ABC является прямоугольным, и прямой угол находится при вершине C. Гипотенузой является сторона AB.

Для прямоугольного треугольника центр описанной окружности совпадает с серединой гипотенузы, а радиус равен половине длины гипотенузы.

Найдем координаты центра окружности $(h, k)$ как середину отрезка AB:

$h = \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{0 + 12}{2} = \frac{12}{2} = 6$

$k = \frac{y_A + y_B}{2} = \frac{16 + 0}{2} = \frac{16}{2} = 8$

Итак, центр окружности $O(6; 8)$.

Найдем радиус окружности $R$, который равен половине длины гипотенузы AB:

$R = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \sqrt{AB^2} = \frac{1}{2} \sqrt{400} = \frac{1}{2} \cdot 20 = 10$

Теперь подставим найденные значения центра и радиуса в уравнение окружности:

$(x - 6)^2 + (y - 8)^2 = 10^2$

$(x - 6)^2 + (y - 8)^2 = 100$

Ответ: $(x - 6)^2 + (y - 8)^2 = 100

б) равностороннего треугольника NMK, координаты вершин которого равны N(-3$\sqrt{3}$; 0), M(0; 9), K(3$\sqrt{3}$; 0)

Дано

Вершины треугольника: $N(-3\sqrt{3}; 0)$, $M(0; 9)$, $K(3\sqrt{3}; 0)$

Найти

Уравнение окружности, описанной около треугольника NMK.

Решение

Для равностороннего треугольника центр описанной окружности (центр тяжести или центроид) находится как среднее арифметическое координат его вершин.

Найдем координаты центра окружности $(h, k)$:

$h = \frac{x_N + x_M + x_K}{3} = \frac{-3\sqrt{3} + 0 + 3\sqrt{3}}{3} = \frac{0}{3} = 0$

$k = \frac{y_N + y_M + y_K}{3} = \frac{0 + 9 + 0}{3} = \frac{9}{3} = 3$

Итак, центр окружности $O(0; 3)$.

Радиус описанной окружности $R$ равен расстоянию от центра до любой из вершин треугольника. Возьмем вершину M$(0; 9)$:

$R = \sqrt{(x_M - h)^2 + (y_M - k)^2}$

$R = \sqrt{(0 - 0)^2 + (9 - 3)^2}$

$R = \sqrt{0^2 + 6^2}$

$R = \sqrt{36}$

$R = 6$

Теперь подставим найденные значения центра и радиуса в уравнение окружности $(x - h)^2 + (y - k)^2 = R^2$:

$(x - 0)^2 + (y - 3)^2 = 6^2$

$x^2 + (y - 3)^2 = 36$

Ответ: $x^2 + (y - 3)^2 = 36$