Страница 149 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

321. Докажите, что любая точка с координатами $(a; 2a)$ лежит на прямой, проходящей через начало координат и точку $(1; 2)$.

Дано

Точка P имеет координаты $(a; 2a)$.

Начало координат O имеет координаты $(0;0)$.

Точка A имеет координаты $(1;2)$.

Найти

Доказать, что точка P лежит на прямой, проходящей через начало координат и точку A.

Решение

Для того чтобы доказать, что любая точка с координатами $(a; 2a)$ лежит на прямой, проходящей через начало координат $O(0;0)$ и точку $A(1;2)$, необходимо сначала найти уравнение этой прямой.

Общее уравнение прямой имеет вид $y = kx + b$, где $k$ - угловой коэффициент, а $b$ - свободный член.

Поскольку прямая проходит через начало координат $O(0;0)$, мы можем подставить эти координаты в уравнение прямой:

$0 = k \cdot 0 + b$

Из этого следует, что $b = 0$.

Таким образом, уравнение прямой упрощается до $y = kx$.

Далее, прямая проходит через точку $A(1;2)$. Подставим координаты этой точки в упрощенное уравнение $y = kx$:

$2 = k \cdot 1$

Из этого следует, что $k = 2$.

Следовательно, уравнение прямой, проходящей через начало координат и точку $(1;2)$, имеет вид $y = 2x$.

Теперь необходимо проверить, лежит ли любая точка с координатами $(a; 2a)$ на этой прямой. Для этого подставим $x = a$ и $y = 2a$ в уравнение прямой $y = 2x$:

$2a = 2 \cdot a$

$2a = 2a$

Полученное равенство $2a = 2a$ является тождеством и истинно для любого значения $a$. Это означает, что координаты точки $(a; 2a)$ всегда удовлетворяют уравнению прямой $y = 2x$.

Ответ: Любая точка с координатами $(a; 2a)$ лежит на прямой, проходящей через начало координат и точку $(1;2)$, так как ее координаты удовлетворяют уравнению этой прямой $y = 2x$.

322. Напишите уравнение окружности с центром в точке $A(-4; 0)$, касающейся оси $Oy$:

Дано

Центр окружности: $A(a; b) = A(-4; 0)$.

Окружность касается оси $Oy$.

Найти:

Уравнение окружности.

Решение

Общее уравнение окружности с центром в точке $(a; b)$ и радиусом $R$ имеет вид: $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$.

Из условия задачи нам дан центр окружности $A(-4; 0)$, то есть $a = -4$ и $b = 0$.

Поскольку окружность касается оси $Oy$, это означает, что расстояние от центра окружности до оси $Oy$ равно радиусу окружности. Ось $Oy$ задается уравнением $x = 0$. Расстояние от точки $(a; b)$ до вертикальной прямой $x = k$ равно $|a - k|$.

В нашем случае, $k = 0$, поэтому радиус $R = |a - 0| = |a|$.

Подставляем значение $a = -4$:

$R = |-4| = 4$.

Теперь подставим значения $a = -4$, $b = 0$ и $R = 4$ в общее уравнение окружности:

$(x - (-4))^2 + (y - 0)^2 = 4^2$

$(x + 4)^2 + y^2 = 16$

Ответ:

$(x + 4)^2 + y^2 = 16$

323. Напишите уравнение окружности, проходящей через точки $(-2; 3)$ и $(2; -1)$, являющиеся концами диаметра.

Дано:

Точки, являющиеся концами диаметра окружности: $A(-2; 3)$ и $B(2; -1)$.

Найти:

Уравнение окружности.

Решение:

Стандартное уравнение окружности имеет вид:

где $(h; k)$ – координаты центра окружности, а $r$ – её радиус.

1. Найдем координаты центра окружности $(h; k)$. Так как точки $A(-2; 3)$ и $B(2; -1)$ являются концами диаметра, центр окружности является серединой отрезка $AB$.

Используем формулу для нахождения середины отрезка:

Подставим координаты точек $A(-2; 3)$ и $B(2; -1)$:

Таким образом, центр окружности находится в точке $(0; 1)$.

2. Найдем радиус окружности $r$. Радиус окружности – это расстояние от центра до любой точки на окружности (например, до точки $A$ или $B$). Также радиус равен половине длины диаметра.

Используем формулу расстояния между двумя точками $C(0; 1)$ и $A(-2; 3)$:

Для уравнения окружности нам нужен $r^2$:

3. Запишем уравнение окружности, подставив найденные значения $h=0$, $k=1$ и $r^2=8$ в стандартное уравнение:

Ответ:

Уравнение окружности: $x^2 + (y - 1)^2 = 8$

324. Установите, что $\Delta ABC$ – равнобедренный и найдите координаты точки пересечения его медиан, если $A(-1; 0,5)$, $B(-7; 3)$, $C(-1; 5,5)$.

Дано:

Координаты вершин треугольника $ABC$:

$A(-1; 0.5)$

$B(-7; 3)$

$C(-1; 5.5)$

Перевод в СИ: Не требуется, так как задача оперирует безразмерными координатами.

Найти:

1. Установить, что $\triangle ABC$ – равнобедренный.

2. Координаты точки пересечения медиан треугольника $ABC$.

Решение:

Установите, что $\triangle ABC$ – равнобедренный

Для того чтобы установить, является ли треугольник $ABC$ равнобедренным, необходимо вычислить длины всех его сторон. Если две стороны имеют одинаковую длину, то треугольник равнобедренный. Используем формулу расстояния между двумя точками $P_1(x_1, y_1)$ и $P_2(x_2, y_2)$: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.

1. Вычислим длину стороны $AB$ с координатами $A(-1; 0.5)$ и $B(-7; 3)$:

$AB = \sqrt{(-7 - (-1))^2 + (3 - 0.5)^2}$

$AB = \sqrt{(-6)^2 + (2.5)^2}$

$AB = \sqrt{36 + 6.25}$

$AB = \sqrt{42.25}$

$AB = 6.5$

2. Вычислим длину стороны $BC$ с координатами $B(-7; 3)$ и $C(-1; 5.5)$:

$BC = \sqrt{(-1 - (-7))^2 + (5.5 - 3)^2}$

$BC = \sqrt{(6)^2 + (2.5)^2}$

$BC = \sqrt{36 + 6.25}$

$BC = \sqrt{42.25}$

$BC = 6.5$

3. Вычислим длину стороны $AC$ с координатами $A(-1; 0.5)$ и $C(-1; 5.5)$:

$AC = \sqrt{(-1 - (-1))^2 + (5.5 - 0.5)^2}$

$AC = \sqrt{(0)^2 + (5)^2}$

$AC = \sqrt{0 + 25}$

$AC = \sqrt{25}$

$AC = 5$

Сравнивая длины сторон, видим, что $AB = BC = 6.5$. Так как две стороны треугольника равны, то $\triangle ABC$ является равнобедренным.

Ответ: $\triangle ABC$ является равнобедренным, так как $AB = BC = 6.5$.

Найдите координаты точки пересечения его медиан

Координаты точки пересечения медиан (центроида) треугольника $M(x_M, y_M)$ с вершинами $A(x_A, y_A)$, $B(x_B, y_B)$ и $C(x_C, y_C)$ определяются по формулам:

$x_M = \frac{x_A + x_B + x_C}{3}$

$y_M = \frac{y_A + y_B + y_C}{3}$

Подставим координаты вершин $A(-1; 0.5)$, $B(-7; 3)$ и $C(-1; 5.5)$:

$x_M = \frac{-1 + (-7) + (-1)}{3}$

$x_M = \frac{-9}{3}$

$x_M = -3$

$y_M = \frac{0.5 + 3 + 5.5}{3}$

$y_M = \frac{9}{3}$

$y_M = 3$

Таким образом, координаты точки пересечения медиан треугольника $ABC$ составляют $(-3; 3)$.

Ответ: Координаты точки пересечения медиан: $(-3; 3)$.