Страница 147 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

312. Найдите, используя таблицу значений тригонометрических функций острых углов и тригонометрические формулы:

a) $ \sin 160^\circ $

б) $ \cos 130^\circ $

в) $ \tan 140^\circ $

а) sin 160°

Дано:

Угол $A = 160^\circ$.

Найти:

$\sin 160^\circ$

Решение:

Угол $160^\circ$ находится во второй четверти. Для нахождения синуса угла во второй четверти можно использовать формулу приведения $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin \alpha$.

Представим $160^\circ$ как $180^\circ - 20^\circ$.

Таким образом, $\sin 160^\circ = \sin(180^\circ - 20^\circ)$.

Согласно формуле приведения, $\sin(180^\circ - 20^\circ) = \sin 20^\circ$.

Используя таблицу значений тригонометрических функций для острого угла $20^\circ$, получаем приближенное значение:

$\sin 160^\circ = \sin 20^\circ \approx 0.3420$.

Ответ: $\sin 160^\circ = \sin 20^\circ \approx 0.3420$

б) cos 130°

Дано:

Угол $A = 130^\circ$.

Найти:

$\cos 130^\circ$

Решение:

Угол $130^\circ$ находится во второй четверти. Для нахождения косинуса угла во второй четверти можно использовать формулу приведения $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos \alpha$.

Представим $130^\circ$ как $180^\circ - 50^\circ$.

Таким образом, $\cos 130^\circ = \cos(180^\circ - 50^\circ)$.

Согласно формуле приведения, $\cos(180^\circ - 50^\circ) = -\cos 50^\circ$.

Используя таблицу значений тригонометрических функций для острого угла $50^\circ$, получаем приближенное значение:

$\cos 130^\circ = -\cos 50^\circ \approx -0.6428$.

Ответ: $\cos 130^\circ = -\cos 50^\circ \approx -0.6428$

в) tg 140°

Дано:

Угол $A = 140^\circ$.

Найти:

$\tan 140^\circ$

Решение:

Угол $140^\circ$ находится во второй четверти. Для нахождения тангенса угла во второй четверти можно использовать формулу приведения $\tan(180^\circ - \alpha) = -\tan \alpha$.

Представим $140^\circ$ как $180^\circ - 40^\circ$.

Таким образом, $\tan 140^\circ = \tan(180^\circ - 40^\circ)$.

Согласно формуле приведения, $\tan(180^\circ - 40^\circ) = -\tan 40^\circ$.

Используя таблицу значений тригонометрических функций для острого угла $40^\circ$, получаем приближенное значение:

$\tan 140^\circ = -\tan 40^\circ \approx -0.8391$.

Ответ: $\tan 140^\circ = -\tan 40^\circ \approx -0.8391$

313. Найдите, используя таблицу значений тригонометрических функций острых углов и тригонометрические формулы, угол $\alpha$, для которого:

а) $\sin \alpha \approx 0,2$;

б) $\cos \alpha \approx -0,60$;

в) $\operatorname{tg} \alpha \approx -0,40$;

г) $\operatorname{ctg} \alpha \approx 0,70$.

а) sin $\alpha \approx 0,2$

Дано: $\sin \alpha \approx 0,2$

Найти: $\alpha$

Решение:
Поскольку значение синуса положительно, угол $\alpha$ является острым углом (лежит в первой четверти). Используя таблицу значений тригонометрических функций для острых углов или калькулятор, найдем угол, синус которого приблизительно равен $0,2$.
$\sin 11^\circ \approx 0,1908$
$\sin 12^\circ \approx 0,2079$
Значение $0,2$ находится между $\sin 11^\circ$ и $\sin 12^\circ$, ближе к $\sin 12^\circ$. Таким образом, $\alpha \approx 12^\circ$.

Ответ: $\alpha \approx 12^\circ$

б) cos $\alpha \approx -0,60$

Дано: $\cos \alpha \approx -0,60$

Найти: $\alpha$

Решение:
Поскольку значение косинуса отрицательно, угол $\alpha$ лежит во второй или третьей четверти. В контексте стандартных задач на нахождение угла по его значению, обычно имеется в виду наименьший положительный угол или угол из промежутка $[0^\circ, 180^\circ]$. Для косинуса, это будет вторая четверть. Найдем острый угол $\alpha_0$, для которого $\cos \alpha_0 = |\cos \alpha| = 0,60$. Используя таблицу значений тригонометрических функций для острых углов:
$\cos 53^\circ \approx 0,6018$
$\cos 54^\circ \approx 0,5878$
Таким образом, $\alpha_0 \approx 53^\circ$.
Для угла, лежащего во второй четверти, косинус которого отрицателен, используем формулу приведения: $\cos(180^\circ - \alpha_0) = -\cos \alpha_0$.
Следовательно, $\alpha \approx 180^\circ - 53^\circ = 127^\circ$.

Ответ: $\alpha \approx 127^\circ$

в) tg $\alpha \approx -0,40$

Дано: $\operatorname{tg} \alpha \approx -0,40$

Найти: $\alpha$

Решение:
Поскольку значение тангенса отрицательно, угол $\alpha$ лежит во второй или четвертой четверти. Обычно ищется угол из промежутка $[0^\circ, 180^\circ)$ или $(-\pi/2, \pi/2)$. Для отрицательного тангенса, это будет вторая четверть (или отрицательный угол в четвертой четверти, но чаще всего ищут положительный). Найдем острый угол $\alpha_0$, для которого $\operatorname{tg} \alpha_0 = |\operatorname{tg} \alpha| = 0,40$. Используя таблицу значений тригонометрических функций для острых углов:
$\operatorname{tg} 21^\circ \approx 0,3839$
$\operatorname{tg} 22^\circ \approx 0,4040$
Таким образом, $\alpha_0 \approx 22^\circ$.
Для угла, лежащего во второй четверти, тангенс которого отрицателен, используем формулу приведения: $\operatorname{tg}(180^\circ - \alpha_0) = -\operatorname{tg} \alpha_0$.
Следовательно, $\alpha \approx 180^\circ - 22^\circ = 158^\circ$.

Ответ: $\alpha \approx 158^\circ$

г) ctg $\alpha \approx 0,70$

Дано: $\operatorname{ctg} \alpha \approx 0,70$

Найти: $\alpha$

Решение:
Поскольку значение котангенса положительно, угол $\alpha$ является острым углом (лежит в первой четверти). Используя таблицу значений тригонометрических функций для острых углов или калькулятор, найдем угол, котангенс которого приблизительно равен $0,70$.
$\operatorname{ctg} 55^\circ \approx 0,7002$
$\operatorname{ctg} 54^\circ \approx 0,7265$
Значение $0,70$ очень близко к $\operatorname{ctg} 55^\circ$. Таким образом, $\alpha \approx 55^\circ$.
Также можно использовать соотношение $\operatorname{tg} \alpha = \frac{1}{\operatorname{ctg} \alpha}$.
$\operatorname{tg} \alpha \approx \frac{1}{0,70} \approx 1,4286$
По таблице тангенсов:
$\operatorname{tg} 55^\circ \approx 1,4281$
Это подтверждает, что $\alpha \approx 55^\circ$.

Ответ: $\alpha \approx 55^\circ$

314. Найдите $ \sin \alpha $, где $ 0^\circ \le \alpha \le 180^\circ $, если:

а) $ \cos \alpha = 0,5 $

б) $ \cos \alpha = -1 $

в) $ \cos \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2} $

a) cos $\alpha = 0,5$

Дано:

$\cos \alpha = 0,5$

$0^\circ \leq \alpha \leq 180^\circ$

Найти:

$\sin \alpha$

Решение

Для нахождения $\sin \alpha$ используем основное тригонометрическое тождество:

$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$

Выразим $\sin \alpha$:

$\sin \alpha = \pm \sqrt{1 - \cos^2 \alpha}$

Поскольку угол $\alpha$ находится в диапазоне от $0^\circ$ до $180^\circ$ ($0^\circ \leq \alpha \leq 180^\circ$), значение $\sin \alpha$ всегда неотрицательно ($\sin \alpha \geq 0$). Поэтому мы берем положительный корень:

$\sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha}$

Подставляем данное значение $\cos \alpha = 0,5$:

$\sin \alpha = \sqrt{1 - (0,5)^2}$

$\sin \alpha = \sqrt{1 - 0,25}$

$\sin \alpha = \sqrt{0,75}$

Преобразуем полученное значение:

$\sqrt{0,75} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ:

$\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$

б) cos $\alpha = -1$

Дано:

$\cos \alpha = -1$

$0^\circ \leq \alpha \leq 180^\circ$

Найти:

$\sin \alpha$

Решение

Используем основное тригонометрическое тождество и тот факт, что для $0^\circ \leq \alpha \leq 180^\circ$, $\sin \alpha \geq 0$:

$\sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha}$

Подставляем данное значение $\cos \alpha = -1$:

$\sin \alpha = \sqrt{1 - (-1)^2}$

$\sin \alpha = \sqrt{1 - 1}$

$\sin \alpha = \sqrt{0}$

$\sin \alpha = 0$

(Если $\cos \alpha = -1$, то угол $\alpha = 180^\circ$, а $\sin 180^\circ = 0$, что соответствует полученному результату).

Ответ:

$\sin \alpha = 0$

в) cos $\alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Дано:

$\cos \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$0^\circ \leq \alpha \leq 180^\circ$

Найти:

$\sin \alpha$

Решение

Используем основное тригонометрическое тождество и тот факт, что для $0^\circ \leq \alpha \leq 180^\circ$, $\sin \alpha \geq 0$:

$\sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha}$

Подставляем данное значение $\cos \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}$:

$\sin \alpha = \sqrt{1 - \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}$

$\sin \alpha = \sqrt{1 - \frac{(\sqrt{3})^2}{2^2}}$

$\sin \alpha = \sqrt{1 - \frac{3}{4}}$

$\sin \alpha = \sqrt{\frac{4}{4} - \frac{3}{4}}$

$\sin \alpha = \sqrt{\frac{1}{4}}$

$\sin \alpha = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$

$\sin \alpha = \frac{1}{2}$

Ответ:

$\sin \alpha = \frac{1}{2}$

315. Найдите $\cos \alpha$, где $0^{\circ} \le \alpha \le 180^{\circ}$, если:

а) $\sin \alpha = 0$;

б) $\sin \alpha = 0,5$;

в) $\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

а) sin α = 0

Дано: $\sin \alpha = 0$, $0^\circ \le \alpha \le 180^\circ$

Найти: $\cos \alpha$

Решение:

Используем основное тригонометрическое тождество: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.

Выразим $\cos^2 \alpha$: $\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha$.

Подставим значение $\sin \alpha = 0$:

$\cos^2 \alpha = 1 - (0)^2$

$\cos^2 \alpha = 1 - 0$

$\cos^2 \alpha = 1$

Отсюда $\cos \alpha = \pm \sqrt{1}$, то есть $\cos \alpha = \pm 1$.

Учитывая заданный диапазон для угла $\alpha$: $0^\circ \le \alpha \le 180^\circ$.

Если $\sin \alpha = 0$, то угол $\alpha$ может быть $0^\circ$ или $180^\circ$.

При $\alpha = 0^\circ$, $\cos \alpha = \cos 0^\circ = 1$.

При $\alpha = 180^\circ$, $\cos \alpha = \cos 180^\circ = -1$.

Ответ: $\cos \alpha = 1$ или $\cos \alpha = -1$.

б) sin α = 0,5

Дано: $\sin \alpha = 0.5$, $0^\circ \le \alpha \le 180^\circ$

Найти: $\cos \alpha$

Решение:

Используем основное тригонометрическое тождество: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.

Выразим $\cos^2 \alpha$: $\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha$.

Подставим значение $\sin \alpha = 0.5$:

$\cos^2 \alpha = 1 - (0.5)^2$

$\cos^2 \alpha = 1 - 0.25$

$\cos^2 \alpha = 0.75$

Отсюда $\cos \alpha = \pm \sqrt{0.75} = \pm \sqrt{\frac{3}{4}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Учитывая заданный диапазон для угла $\alpha$: $0^\circ \le \alpha \le 180^\circ$.

Поскольку $\sin \alpha = 0.5$ (положительное значение), угол $\alpha$ может находиться в первой четверти ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$) или во второй четверти ($90^\circ < \alpha < 180^\circ$).

Если $\alpha$ находится в первой четверти, $\cos \alpha$ должен быть положительным. $\alpha = 30^\circ$ ($\sin 30^\circ = 0.5$), тогда $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Если $\alpha$ находится во второй четверти, $\cos \alpha$ должен быть отрицательным. $\alpha = 150^\circ$ ($\sin 150^\circ = 0.5$), тогда $\cos 150^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$ или $\cos \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

в) sin α = √3/2

Дано: $\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $0^\circ \le \alpha \le 180^\circ$

Найти: $\cos \alpha$

Решение:

Используем основное тригонометрическое тождество: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.

Выразим $\cos^2 \alpha$: $\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha$.

Подставим значение $\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$:

$\cos^2 \alpha = 1 - \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2$

$\cos^2 \alpha = 1 - \frac{3}{4}$

$\cos^2 \alpha = \frac{4}{4} - \frac{3}{4}$

$\cos^2 \alpha = \frac{1}{4}$

Отсюда $\cos \alpha = \pm \sqrt{\frac{1}{4}} = \pm \frac{1}{2}$.

Учитывая заданный диапазон для угла $\alpha$: $0^\circ \le \alpha \le 180^\circ$.

Поскольку $\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$ (положительное значение), угол $\alpha$ может находиться в первой четверти ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$) или во второй четверти ($90^\circ < \alpha < 180^\circ$).

Если $\alpha$ находится в первой четверти, $\cos \alpha$ должен быть положительным. $\alpha = 60^\circ$ ($\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$), тогда $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$.

Если $\alpha$ находится во второй четверти, $\cos \alpha$ должен быть отрицательным. $\alpha = 120^\circ$ ($\sin 120^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$), тогда $\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}$.

Ответ: $\cos \alpha = \frac{1}{2}$ или $\cos \alpha = -\frac{1}{2}$.

316. Найдите $tg \alpha$, если

a) $cos \alpha = 1$;

б) $cos \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}$;

в) $sin \alpha = 0,6$ и $90^{\circ} < \alpha < 180^{\circ}$.

а)

Дано:

$\cos \alpha = 1$

Найти:

$\tan \alpha$

Решение:

Для нахождения $\sin \alpha$ используем основное тригонометрическое тождество:

$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$

Подставим известное значение $\cos \alpha = 1$:

$\sin^2 \alpha + (1)^2 = 1$

$\sin^2 \alpha + 1 = 1$

$\sin^2 \alpha = 0$

$\sin \alpha = 0$

Теперь найдем $\tan \alpha$ по определению:

$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$

Подставим значения $\sin \alpha = 0$ и $\cos \alpha = 1$:

$\tan \alpha = \frac{0}{1}$

$\tan \alpha = 0$

Ответ: 0

б)

Дано:

$\cos \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Найти:

$\tan \alpha$

Решение:

Для нахождения $\sin \alpha$ используем основное тригонометрическое тождество:

$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$

Подставим известное значение $\cos \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}$:

$\sin^2 \alpha + \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = 1$

$\sin^2 \alpha + \frac{3}{4} = 1$

$\sin^2 \alpha = 1 - \frac{3}{4}$

$\sin^2 \alpha = \frac{1}{4}$

$\sin \alpha = \pm\sqrt{\frac{1}{4}}$

$\sin \alpha = \pm\frac{1}{2}$

Так как в условии не указано, в какой четверти находится угол $\alpha$, рассмотрим оба возможных случая:

Случай 1: $\sin \alpha = \frac{1}{2}$ (угол $\alpha$ находится во II четверти)

Найдем $\tan \alpha$:

$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{1}{2}}{-\frac{\sqrt{3}}{2}} = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

Случай 2: $\sin \alpha = -\frac{1}{2}$ (угол $\alpha$ находится в III четверти)

Найдем $\tan \alpha$:

$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{-\frac{1}{2}}{-\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{3}$ или $\frac{\sqrt{3}}{3}$

в)

Дано:

$\sin \alpha = 0,6$

$90^\circ < \alpha < 180^\circ$ (угол $\alpha$ находится во II четверти)

Найти:

$\tan \alpha$

Решение:

Для нахождения $\cos \alpha$ используем основное тригонометрическое тождество:

$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$

Подставим известное значение $\sin \alpha = 0,6$:

$(0,6)^2 + \cos^2 \alpha = 1$

$0,36 + \cos^2 \alpha = 1$

$\cos^2 \alpha = 1 - 0,36$

$\cos^2 \alpha = 0,64$

$\cos \alpha = \pm\sqrt{0,64}$

$\cos \alpha = \pm0,8$

Поскольку угол $\alpha$ находится во II четверти ($90^\circ < \alpha < 180^\circ$), значение $\cos \alpha$ должно быть отрицательным.

Следовательно, $\cos \alpha = -0,8$.

Теперь найдем $\tan \alpha$ по определению:

$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$

Подставим значения $\sin \alpha = 0,6$ и $\cos \alpha = -0,8$:

$\tan \alpha = \frac{0,6}{-0,8}$

$\tan \alpha = -\frac{6}{8}$

$\tan \alpha = -\frac{3}{4}$

$\tan \alpha = -0,75$

Ответ: -0,75

317. В треугольнике тангенс одного угла равен $\frac{\sqrt{3}}{3}$, а синус другого $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Найдите его третий угол.

Дано:

В треугольнике (пусть его углы будут $ \alpha $, $ \beta $, $ \gamma $):

$ \tan(\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{3} $

$ \sin(\beta) = \frac{\sqrt{2}}{2} $

Найти:

$ \gamma $

Решение:

Для начала определим возможные значения углов $ \alpha $ и $ \beta $.

1. Найдем угол $ \alpha $:

Известно, что $ \tan(\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{3} $. Поскольку $ \alpha $ является углом треугольника, его значение должно быть в диапазоне $ 0^\circ < \alpha < 180^\circ $. Тангенс принимает положительное значение $ \frac{\sqrt{3}}{3} $ только для острых углов в этом диапазоне (а именно в I четверти).

$ \alpha = \arctan\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) $

$ \alpha = 30^\circ $

2. Найдем угол $ \beta $:

Известно, что $ \sin(\beta) = \frac{\sqrt{2}}{2} $. Поскольку $ \beta $ также является углом треугольника, $ 0^\circ < \beta < 180^\circ $. Синус принимает положительное значение в I и II четвертях. Это означает, что для $ \sin(\beta) = \frac{\sqrt{2}}{2} $ существуют два возможных значения $ \beta $:

a) Острый угол (принципное значение арксинуса):

$ \beta_1 = \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) $

$ \beta_1 = 45^\circ $

b) Тупой угол (дополнительный к острому углу во II четверти):

$ \beta_2 = 180^\circ - \beta_1 $

$ \beta_2 = 180^\circ - 45^\circ $

$ \beta_2 = 135^\circ $

3. Найдем третий угол $ \gamma $ для каждого из двух возможных случаев, используя свойство, что сумма углов в треугольнике равна $ 180^\circ $ ($ \alpha + \beta + \gamma = 180^\circ $).

Случай 1: $ \beta = 45^\circ $

В этом случае углы $ \alpha $ и $ \beta $ равны $ 30^\circ $ и $ 45^\circ $ соответственно.

$ 30^\circ + 45^\circ + \gamma_1 = 180^\circ $

$ 75^\circ + \gamma_1 = 180^\circ $

$ \gamma_1 = 180^\circ - 75^\circ $

$ \gamma_1 = 105^\circ $

Набор углов $ (30^\circ, 45^\circ, 105^\circ) $ является допустимым для треугольника, так как все углы положительны и их сумма равна $ 180^\circ $.

Случай 2: $ \beta = 135^\circ $

В этом случае углы $ \alpha $ и $ \beta $ равны $ 30^\circ $ и $ 135^\circ $ соответственно.

$ 30^\circ + 135^\circ + \gamma_2 = 180^\circ $

$ 165^\circ + \gamma_2 = 180^\circ $

$ \gamma_2 = 180^\circ - 165^\circ $

$ \gamma_2 = 15^\circ $

Набор углов $ (30^\circ, 135^\circ, 15^\circ) $ также является допустимым для треугольника, так как все углы положительны и их сумма равна $ 180^\circ $.

Оба случая приводят к математически верным треугольникам. Однако, формулировка задачи "Найдите его третий угол" (в единственном числе) часто подразумевает единственное решение. В школьных задачах, если не указано иное, и возможно как острое, так и тупое значение угла по синусу, обычно выбирают острое значение (принципное значение арксинуса), если это не противоречит условиям существования треугольника. В данном случае, оба варианта углов $ \beta $ приводят к корректным треугольникам. Исходя из общепринятой практики, наиболее вероятным ожидаемым ответом является тот, который получается с использованием острого значения для $ \beta $.

Ответ:

105°

318. В треугольнике один угол равен $30^{\circ}$, а другой – $40^{\circ}$. Найдите с точностью до 0,01 синус третьего угла.

Дано:

Первый угол треугольника: $\alpha = 30^\circ$

Второй угол треугольника: $\beta = 40^\circ$

Найти:

Синус третьего угла ($\sin(\gamma)$) с точностью до 0,01.

Решение:

Сумма всех углов в треугольнике всегда равна $180^\circ$. Пусть третий угол будет $\gamma$.

Тогда $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$.

Выразим третий угол $\gamma$:

$\gamma = 180^\circ - (\alpha + \beta)$

Подставим известные значения углов:

$\gamma = 180^\circ - (30^\circ + 40^\circ)$

$\gamma = 180^\circ - 70^\circ$

$\gamma = 110^\circ$

Теперь нам нужно найти синус третьего угла, то есть $\sin(110^\circ)$.

Воспользуемся свойством синуса: $\sin(180^\circ - x) = \sin(x)$.

Следовательно, $\sin(110^\circ) = \sin(180^\circ - 70^\circ) = \sin(70^\circ)$.

Найдем значение $\sin(70^\circ)$ с помощью калькулятора или таблиц:

$\sin(70^\circ) \approx 0.9396926...$

Округлим это значение до двух знаков после запятой (с точностью до 0,01), как требуется в условии задачи:

$0.9396926... \approx 0.94$

Ответ:

Синус третьего угла равен $0.94$.

319. Угол между боковыми сторонами равнобедренного треугольника равен 30°. Найдите с точностью до 0,01 косинус его внешнего угла при вершине основания.

Дано:

Равнобедренный треугольник.

Угол между боковыми сторонами (угол при вершине) $\alpha = 30^\circ$.

Найти:

Косинус внешнего угла при вершине основания, с точностью до 0,01.

Решение:

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Пусть каждый угол при основании равен $\beta$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$.

Тогда:

$\alpha + \beta + \beta = 180^\circ$

$\alpha + 2\beta = 180^\circ$

Подставим известное значение $\alpha = 30^\circ$:

$30^\circ + 2\beta = 180^\circ$

$2\beta = 180^\circ - 30^\circ$

$2\beta = 150^\circ$

$\beta = \frac{150^\circ}{2}$

$\beta = 75^\circ$

Теперь найдем внешний угол при вершине основания. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. В нашем случае, внешний угол при вершине основания $\beta_{ext}$ равен сумме угла при вершине $\alpha$ и другого угла при основании $\beta$.

$\beta_{ext} = \alpha + \beta$

$\beta_{ext} = 30^\circ + 75^\circ$

$\beta_{ext} = 105^\circ$

Нам нужно найти косинус этого угла, $\cos(105^\circ)$.

Известно, что $\cos(180^\circ - x) = -\cos(x)$. Тогда $\cos(105^\circ) = \cos(180^\circ - 75^\circ) = -\cos(75^\circ)$.

Для вычисления $\cos(75^\circ)$ используем формулу косинуса суммы углов: $\cos(A+B) = \cos(A)\cos(B) - \sin(A)\sin(B)$.

$\cos(75^\circ) = \cos(45^\circ + 30^\circ) = \cos(45^\circ)\cos(30^\circ) - \sin(45^\circ)\sin(30^\circ)$

$\cos(75^\circ) = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) - \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right)$

$\cos(75^\circ) = \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}$

$\cos(75^\circ) = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

Приближенные значения: $\sqrt{6} \approx 2.449$, $\sqrt{2} \approx 1.414$.

$\cos(75^\circ) \approx \frac{2.449 - 1.414}{4} = \frac{1.035}{4} = 0.25875$

Теперь найдем $\cos(105^\circ)$:

$\cos(105^\circ) = -\cos(75^\circ) \approx -0.25875$

Округлим результат до 0,01:

$-0.25875 \approx -0.26$

Ответ: -0.26

320. a) Найдите тангенс тупого угла параллелограмма, если синус его острого угла равен $0.6$.

б) Косинус одного из смежных углов равен $-0.6$. Найдите синус другого угла.

а)

Дано:

параллелограмм;

синус острого угла: $\sin \alpha = 0.6$.

Перевод данных в систему СИ не требуется, так как представлены безразмерные тригонометрические значения.

Найти:

тангенс тупого угла $\tan \beta$.

Решение:

В параллелограмме сумма смежных углов (острого и тупого) равна $180^\circ$. Пусть острый угол равен $\alpha$, а тупой угол равен $\beta$. Тогда $\alpha + \beta = 180^\circ$, или $\beta = 180^\circ - \alpha$.

Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$. Отсюда найдем $\cos \alpha$:

$\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - (0.6)^2 = 1 - 0.36 = 0.64$.

Поскольку $\alpha$ - острый угол, его косинус должен быть положительным. Следовательно:

$\cos \alpha = \sqrt{0.64} = 0.8$.

Теперь найдем тангенс острого угла:

$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{0.6}{0.8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} = 0.75$.

Для тупого угла $\beta = 180^\circ - \alpha$ используем свойство тангенса углов, сумма которых равна $180^\circ$:

$\tan \beta = \tan(180^\circ - \alpha) = -\tan \alpha$.

Подставляем найденное значение $\tan \alpha$:

$\tan \beta = -0.75$.

Ответ: $-0.75$

б)

Дано:

два смежных угла $\gamma$ и $\delta$;

косинус одного угла: $\cos \gamma = -0.6$.

Перевод данных в систему СИ не требуется, так как представлены безразмерные тригонометрические значения.

Найти:

синус другого угла $\sin \delta$.

Решение:

Смежные углы в сумме дают $180^\circ$. Пусть данные углы будут $\gamma$ и $\delta$. Тогда $\gamma + \delta = 180^\circ$, что означает $\delta = 180^\circ - \gamma$.

Для синуса другого угла используем свойство синуса углов, сумма которых равна $180^\circ$:

$\sin \delta = \sin(180^\circ - \gamma) = \sin \gamma$.

Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \gamma + \cos^2 \gamma = 1$, чтобы найти $\sin \gamma$:

$\sin^2 \gamma = 1 - \cos^2 \gamma = 1 - (-0.6)^2 = 1 - 0.36 = 0.64$.

Извлекая квадратный корень, получаем $\sin \gamma = \pm \sqrt{0.64} = \pm 0.8$.

Поскольку $\cos \gamma = -0.6$, угол $\gamma$ является тупым (лежит во второй четверти координатной плоскости). Во второй четверти синус угла всегда положителен.

Таким образом, $\sin \gamma = 0.8$.

Следовательно, $\sin \delta = 0.8$.

Ответ: $0.8$