Страница 154 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

352. a) В прямоугольном $\triangle ABC$ отрезок $CD$ – биссектриса прямого угла, $DK$ и $DL$ – перпендикуляры, проведенные к сторонам $AC$ и $CB$ соответственно. Докажите, что $CKDL$ – квадрат.

б) В $\triangle ABC$ $\angle B = 90^\circ$, $AB = BC$, $BO$ – медиана, на луче $BO$ отложен отрезок $OD = BO$. Докажите, что $ABCD$ – квадрат.

а)

Решение

Рассмотрим четырехугольник $CKDL$.

По условию, $\triangle ABC$ — прямоугольный, а $CD$ — биссектриса прямого угла. Это означает, что угол $\angle C = 90^\circ$.

Так как $CD$ является биссектрисой угла $\angle C$, она делит его на два равных угла: $\angle KCD = \angle LCD = \frac{1}{2} \cdot 90^\circ = 45^\circ$.

Из условия $DK \perp AC$ следует, что $\angle DKC = 90^\circ$.

Из условия $DL \perp CB$ следует, что $\angle DLC = 90^\circ$.

В четырехугольнике $CKDL$ три угла являются прямыми: $\angle C = 90^\circ$, $\angle DKC = 90^\circ$, $\angle DLC = 90^\circ$. Сумма углов четырехугольника равна $360^\circ$, следовательно, четвертый угол $\angle KDL = 360^\circ - (90^\circ + 90^\circ + 90^\circ) = 90^\circ$.

Поскольку все углы четырехугольника $CKDL$ равны $90^\circ$, он является прямоугольником.

Теперь докажем, что этот прямоугольник является квадратом, показав равенство смежных сторон.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle CDK$ ($\angle DKC = 90^\circ$).

Угол $\angle KCD = 45^\circ$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому $\angle KDC = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$.

Так как углы $\angle KCD = \angle KDC = 45^\circ$, треугольник $\triangle CDK$ является равнобедренным, и стороны, лежащие напротив равных углов, равны: $CK = DK$.

Поскольку $CKDL$ является прямоугольником и его смежные стороны $CK$ и $DK$ равны, то $CKDL$ является квадратом.

Можно также использовать свойство биссектрисы угла: любая точка на биссектрисе угла равноудалена от сторон угла. Так как точка $D$ лежит на биссектрисе $CD$, а $DK$ и $DL$ — это перпендикуляры к сторонам угла, то $DK = DL$. Поскольку мы уже доказали, что $CK = DK$, то $CK = DK = DL$. Аналогично, в $\triangle CDL$, $\angle LCD = 45^\circ$ и $\angle DLC = 90^\circ$, откуда $\angle LDC = 45^\circ$, значит $CL = DL$. Таким образом, $CK = DK = DL = CL$, то есть все стороны равны, и все углы прямые. Следовательно, $CKDL$ — квадрат.

Ответ: Доказано, что $CKDL$ является квадратом.

б)

Решение

Рассмотрим четырехугольник $ABCD$.

По условию, в $\triangle ABC$ угол $\angle B = 90^\circ$ и $AB = BC$. Это означает, что $\triangle ABC$ является равнобедренным прямоугольным треугольником.

$BO$ — медиана, проведенная к стороне $AC$. Это означает, что $O$ является серединой отрезка $AC$.

По свойству медианы, проведенной к гипотенузе в прямоугольном треугольнике, ее длина равна половине длины гипотенузы. Следовательно, $BO = AO = OC = \frac{1}{2}AC$.

По условию, на луче $BO$ отложен отрезок $OD = BO$. Поскольку $B$, $O$, $D$ лежат на одной прямой и $BO = OD$, точка $O$ является серединой отрезка $BD$.

Таким образом, в четырехугольнике $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$, и эта точка делит каждую из диагоналей пополам ($O$ — середина $AC$, $O$ — середина $BD$). Следовательно, четырехугольник $ABCD$ является параллелограммом.

Теперь докажем, что этот параллелограмм является квадратом.

У параллелограмма $ABCD$ есть прямой угол $\angle B = 90^\circ$ (дано). Параллелограмм, у которого есть прямой угол, является прямоугольником. Следовательно, $ABCD$ — прямоугольник.

У прямоугольника $ABCD$ смежные стороны $AB$ и $BC$ равны ($AB=BC$ дано по условию). Прямоугольник, у которого смежные стороны равны, является квадратом.

Таким образом, $ABCD$ является квадратом.

Можно также отметить, что $BD = BO + OD = BO + BO = 2 \cdot BO$. Так как $BO = \frac{1}{2}AC$, то $BD = 2 \cdot (\frac{1}{2}AC) = AC$. Поскольку диагонали параллелограмма $ABCD$ равны ($AC=BD$), он является прямоугольником. А так как у этого прямоугольника $AB=BC$, он является квадратом.

Ответ: Доказано, что $ABCD$ является квадратом.

353. Диагональ равнобедренной трапеции перпендикулярна к боковой стороне и лежит на биссектрисе угла при большем основании. Найдите углы трапеции.

Дано:

Трапеция ABCD - равнобедренная.AD || BC (AD - большее основание, BC - меньшее основание).Диагональ AC перпендикулярна боковой стороне CD ($AC \perp CD$).Диагональ AC является биссектрисой угла при большем основании $\angle DAB$.

Найти:

Углы трапеции: $\angle DAB$, $\angle ABC$, $\angle BCD$, $\angle CDA$.

Решение:

Пусть дана равнобедренная трапеция ABCD, где AD — большее основание, BC — меньшее основание. Диагональ AC перпендикулярна боковой стороне CD, то есть $\angle ACD = 90^\circ$.

Также известно, что диагональ AC является биссектрисой угла при большем основании $\angle DAB$. Пусть $\angle DAB = \alpha$. Тогда $\angle DAC = \angle CAB = \frac{\alpha}{2}$.

Поскольку трапеция ABCD равнобедренная, углы при основании AD равны: $\angle CDA = \angle DAB = \alpha$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ACD$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$.

Следовательно, $\angle CAD + \angle CDA + \angle ACD = 180^\circ$.

Подставим известные значения:$ \frac{\alpha}{2} + \alpha + 90^\circ = 180^\circ $

Объединим члены с $\alpha$:$ \frac{3\alpha}{2} = 180^\circ - 90^\circ $

$ \frac{3\alpha}{2} = 90^\circ $

Умножим обе части на 2:$ 3\alpha = 180^\circ $

Разделим на 3:$ \alpha = 60^\circ $

Таким образом, углы при большем основании равны:$\angle DAB = 60^\circ$$\angle CDA = 60^\circ$

В равнобедренной трапеции сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна $180^\circ$.

$\angle DAB + \angle ABC = 180^\circ$$60^\circ + \angle ABC = 180^\circ$$\angle ABC = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$

Поскольку трапеция равнобедренная, углы при меньшем основании также равны:$\angle BCD = \angle ABC = 120^\circ$

Проверим условия:$\angle DAB = 60^\circ$. Диагональ AC делит его пополам: $\angle DAC = 30^\circ$.В $\triangle ACD$: $\angle DAC = 30^\circ$, $\angle CDA = 60^\circ$. Тогда $\angle ACD = 180^\circ - (30^\circ + 60^\circ) = 90^\circ$. Это подтверждает перпендикулярность AC и CD.

Ответ:

Углы трапеции равны $60^\circ$, $60^\circ$, $120^\circ$, $120^\circ$.

354. Боковая сторона $AB$ равнобедренной трапеции $ABCD$ равна основанию $BC$ и в 2 раза меньше основания $AD$. Докажите, что $AC \perp CD$.

Дано:

Трапеция $ABCD$ равнобедренная.

$AB = BC$

$AB = \frac{1}{2} AD$

Найти:

Доказать, что $AC \perp CD$.

Решение:

Пусть длина боковой стороны $AB$ равна $x$.

Из условия задачи следует, что $AB = BC = x$.

Также дано, что $AB$ в $2$ раза меньше основания $AD$, то есть $AD = 2 \cdot AB = 2x$.

Поскольку трапеция $ABCD$ равнобедренная, то ее боковые стороны равны: $CD = AB = x$.

Таким образом, мы имеем следующие длины сторон: $AB = BC = CD = x$ и $AD = 2x$.

Проведем из вершины $C$ отрезок $CE$, параллельный боковой стороне $AB$, до пересечения с основанием $AD$ в точке $E$.

Поскольку $BC \parallel AD$ (основания трапеции) и $CE \parallel AB$ (по построению), то четырехугольник $ABCE$ является параллелограммом.

Из свойств параллелограмма $ABCE$ следует, что противолежащие стороны равны: $AE = BC$ и $CE = AB$.

Так как $BC = x$ и $AB = x$, то $AE = x$ и $CE = x$.

Рассмотрим треугольник $CED$.

Длины его сторон: $CD = x$ (дано), $CE = x$ (из параллелограмма $ABCE$), и $ED = AD - AE$.

Поскольку $AD = 2x$ и $AE = x$, то $ED = 2x - x = x$.

Таким образом, все стороны треугольника $CED$ равны $x$: $CD = CE = ED = x$.

Следовательно, треугольник $CED$ является равносторонним.

В равностороннем треугольнике все углы равны $60^\circ$. Значит, $\angle CDE = 60^\circ$.

В равнобедренной трапеции углы при одном основании равны. Поэтому $\angle DAB = \angle CDE$.

Так как $\angle CDE = 60^\circ$, то $\angle DAB = 60^\circ$.

Рассмотрим треугольник $ABC$.

Он является равнобедренным, так как $AB = BC = x$.

В трапеции сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна $180^\circ$.

Следовательно, $\angle ABC + \angle DAB = 180^\circ$.

Тогда $\angle ABC = 180^\circ - \angle DAB = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

В равнобедренном треугольнике $ABC$ углы при основании $AC$ равны:

$\angle BCA = \angle BAC = (180^\circ - \angle ABC)/2 = (180^\circ - 120^\circ)/2 = 60^\circ/2 = 30^\circ$.

Теперь найдем угол $\angle ACD$.

Угол $\angle BCD$ является углом трапеции. В равнобедренной трапеции углы при каждом из оснований равны. То есть $\angle BCD = \angle ABC$.

Так как $\angle ABC = 120^\circ$, то $\angle BCD = 120^\circ$.

Угол $\angle BCD$ состоит из двух углов: $\angle BCA$ и $\angle ACD$.

То есть $\angle BCD = \angle BCA + \angle ACD$.

Подставим известные значения: $120^\circ = 30^\circ + \angle ACD$.

Отсюда $\angle ACD = 120^\circ - 30^\circ = 90^\circ$.

Так как $\angle ACD = 90^\circ$, то отрезок $AC$ перпендикулярен отрезку $CD$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

355. Разделите равнобедренную трапецию на две части так, чтобы из них можно было составить:

а) треугольник;

б) прямоугольник.

Решение

а) треугольник

Для того чтобы из двух частей равнобедренной трапеции составить треугольник, можно применить следующую конструкцию:

1. Пусть дана равнобедренная трапеция $ABCD$ с параллельными основаниями $AD$ и $BC$, где $AD$ — большее основание, а $BC$ — меньшее. Стороны $AB$ и $CD$ равны.

2. Найдите середину $M$ одной из непараллельных сторон, например, стороны $CD$.

3. Проведите прямую через вершину $B$ и точку $M$ до пересечения с продолжением основания $AD$ в точке $P$.

4. Отрезок $BM$ делит трапецию на две части: треугольник $BCM$ и четырехугольник $ABMD$.

5. Рассмотрим треугольники $BCM$ и $PDM$:

• Сторона $CM$ равна стороне $MD$ (по построению, так как $M$ — середина $CD$).
• Углы $\angle CMB$ и $\angle DMP$ равны как вертикальные углы.
• Углы $\angle MCB$ и $\angle MDP$ равны как накрест лежащие углы при параллельных прямых $BC$ и $AP$ (продолжение $AD$) и секущей $CD$.

6. Таким образом, треугольник $BCM$ равен треугольнику $PDM$. Если перенести (повернуть на 180 градусов вокруг точки $M$) треугольник $BCM$ так, чтобы он занял место треугольника $PDM$, то исходная трапеция $ABCD$, состоящая из частей $BCM$ и $ABMD$, превратится в треугольник $ABP$. Площадь треугольника $ABP$ будет равна площади трапеции $ABCD$.

Ответ: Разрезать трапецию по отрезку, соединяющему одну из вершин меньшего основания с серединой одной из непараллельных сторон. Полученный при этом треугольник (например, $\triangle BCM$) перенести и приложить к другой части трапеции так, чтобы он образовал один большой треугольник (например, $\triangle ABP$).

б) прямоугольник

Для того чтобы из двух частей равнобедренной трапеции составить прямоугольник, можно использовать следующую конструкцию:

1. Пусть дана равнобедренная трапеция $ABCD$ с параллельными основаниями $AD$ и $BC$. Стороны $AB$ и $CD$ равны.

2. Проведите высоту из вершины $B$ к основанию $AD$, обозначив точку пересечения $E$.

3. Проведите высоту из вершины $C$ к основанию $AD$, обозначив точку пересечения $F$.

4. Разрежем трапецию по высоте $BE$. Таким образом, трапеция разделена на две части: прямоугольный треугольник $ABE$ и прямоугольную трапецию $EBCD$.

5. Так как трапеция $ABCD$ равнобедренная, то прямоугольные треугольники $\triangle ABE$ и $\triangle DCF$ (полученный при опускании высоты $CF$) конгруэнтны.

6. Чтобы составить прямоугольник, необходимо взять прямоугольный треугольник $ABE$ и перенести его (путем параллельного переноса) в такое положение, чтобы он совместился с треугольником $DCF$. То есть, сторона $BE$ совместится со стороной $CF$, а вершина $A$ совместится с вершиной $D$.

7. После переноса треугольник $ABE$ займет место треугольника $DCF$. Исходная трапеция состояла из $\triangle ABE$, прямоугольника $EBCF$ и $\triangle DCF$. После перемещения $\triangle ABE$ на место $\triangle DCF$, полученная фигура будет состоять из прямоугольной трапеции $EBCD$ и перемещенного треугольника, который теперь занимает место $\triangle DCF$. В совокупности это образует прямоугольник $EBCF$.

Ответ: Разрезать трапецию по одной из высот, опущенной из вершины меньшего основания на большее (например, $BE$). Полученный при этом прямоугольный треугольник ($ABE$) перенести и приложить к другой части трапеции (правосторонней прямоугольной трапеции $EBCD$) так, чтобы он заполнил место другого равновеликого прямоугольного треугольника ($DFC$), который является частью трапеции. В результате образуется прямоугольник.

356. Докажите, что все треугольники $ABC_1, ABC_2, ..., ABC_n$ равновелики, если точки $C_1, C_2, ..., C_n$ лежат на прямой, параллельной отрезку $AB$.

Дано:

Рассматриваются треугольники $ABC_1, ABC_2, \dots, ABC_n$.

Точки $C_1, C_2, \dots, C_n$ лежат на одной прямой.

Эта прямая, на которой лежат точки $C_k$, параллельна отрезку $AB$.

Найти:

Доказать, что все треугольники $ABC_1, ABC_2, \dots, ABC_n$ равновелики (то есть имеют равные площади).

Решение:

Площадь любого треугольника может быть вычислена по формуле: $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$

Рассмотрим любой из заданных треугольников, например, $ABC_k$, где $k$ является целым числом от $1$ до $n$.

В каждом из этих треугольников отрезок $AB$ является общей стороной. Мы можем выбрать его в качестве основания. Длина этого основания, обозначим ее $|AB|$, является фиксированной и одинаковой для всех рассматриваемых треугольников.

Высота треугольника $ABC_k$, соответствующая основанию $AB$, представляет собой перпендикулярное расстояние от вершины $C_k$ до прямой, содержащей отрезок $AB$.

Согласно условию задачи, все точки $C_1, C_2, \dots, C_n$ лежат на одной прямой. При этом эта прямая параллельна отрезку $AB$ (а значит, и прямой, на которой лежит $AB$).

Известно, что расстояние между двумя параллельными прямыми является постоянной величиной. Следовательно, перпендикулярное расстояние от любой точки $C_k$ (которая лежит на одной из параллельных прямых) до другой параллельной прямой (содержащей $AB$) будет одинаковым для всех $k$.

Обозначим это постоянное расстояние (высоту) как $h$.

Таким образом, площадь любого треугольника $ABC_k$ может быть выражена следующей формулой: $S_{ABC_k} = \frac{1}{2} \cdot |AB| \cdot h$

Поскольку длина основания $|AB|$ является константой, и высота $h$ также является константой (постоянным расстоянием между параллельными прямыми), то произведение $\frac{1}{2} \cdot |AB| \cdot h$ будет одинаковым для всех значений $k$.

Это означает, что площади всех треугольников $ABC_1, ABC_2, \dots, ABC_n$ равны между собой: $S_{ABC_1} = S_{ABC_2} = \dots = S_{ABC_n}$

Следовательно, все эти треугольники равновелики.

Ответ: Доказано.

357. Точка $M$ симметрична вершине $D$ параллелограмма $ABCD$ относительно точки $C$. Докажите, что площадь этого параллелограмма равна площади треугольника $AMD$.

Дано:

Параллелограмм $ABCD$.

Точка $M$ симметрична вершине $D$ относительно точки $C$.

Найти:

Доказать, что площадь параллелограмма $ABCD$ равна площади треугольника $AMD$ ($S_{ABCD} = S_{AMD}$).

Решение:

Пусть $h$ – высота параллелограмма $ABCD$, опущенная из вершины $A$ на прямую, содержащую сторону $CD$.

Площадь параллелограмма $ABCD$ вычисляется по формуле: $S_{ABCD} = CD \times h$.

По условию, точка $M$ симметрична вершине $D$ относительно точки $C$. Это означает, что точка $C$ является серединой отрезка $DM$.

Следовательно, отрезки $DC$ и $CM$ равны по длине: $DC = CM$.

Тогда длина отрезка $DM$ равна сумме длин $DC$ и $CM$: $DM = DC + CM$.

Подставив $CM = DC$, получаем: $DM = DC + DC = 2 \times DC$.

Рассмотрим треугольник $AMD$. Основанием этого треугольника можно взять отрезок $DM$.

Высота треугольника $AMD$, опущенная из вершины $A$ на прямую, содержащую основание $DM$, будет той же самой высотой $h$. Это обусловлено тем, что прямая $DM$ совпадает с прямой $CD$, а высота $h$ по определению перпендикулярна этой прямой.

Площадь треугольника $AMD$ вычисляется по формуле: $S_{AMD} = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота}$.

Подставим известные значения: $S_{AMD} = \frac{1}{2} \times DM \times h$.

Заменим $DM$ на $2 \times DC$: $S_{AMD} = \frac{1}{2} \times (2 \times DC) \times h$.

Упростим выражение: $S_{AMD} = DC \times h$.

Сравнивая выражения для площадей, мы видим, что площадь параллелограмма $S_{ABCD} = DC \times h$ и площадь треугольника $S_{AMD} = DC \times h$.

Таким образом, $S_{ABCD} = S_{AMD}$.

Что и требовалось доказать.

Ответ:

Площадь параллелограмма $ABCD$ равна площади треугольника $AMD$.

358. a) В треугольнике $ABC$ известны $AC = 20$ см, $AB = 11$ см и высота $BH = 6.6$ см. Найдите высоту $CD$.

б) В равнобедренном $\triangle ABC$ с основанием $AC$ отрезки $AD$ и $BH$ его высоты. Найдите $CD$, если $BH = 9$ см, $\sin A = 0.6$.

a)

Дано
Треугольник $ABC$.
$AC = 20$ см
$AB = 11$ см
$BH = 6.6$ см (высота, опущенная из вершины $B$ на сторону $AC$)

Перевод в систему СИ:
$AC = 20 \text{ см} = 0.2 \text{ м}$
$AB = 11 \text{ см} = 0.11 \text{ м}$
$BH = 6.6 \text{ см} = 0.066 \text{ м}$

Найти:
$CD$ (высота, опущенная из вершины $C$ на сторону $AB$)

Решение
Площадь треугольника $ABC$ может быть найдена по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$.

1. Найдем площадь треугольника $ABC$, используя основание $AC$ и высоту $BH$:
$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH$
$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 0.2 \text{ м} \cdot 0.066 \text{ м} = 0.1 \cdot 0.066 \text{ м}^2 = 0.0066 \text{ м}^2$.

2. Та же площадь может быть выражена с использованием основания $AB$ и высоты $CD$:
$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CD$

3. Приравняем два выражения для площади и найдем $CD$:
$0.0066 \text{ м}^2 = \frac{1}{2} \cdot 0.11 \text{ м} \cdot CD$
$0.0132 = 0.11 \cdot CD$
$CD = \frac{0.0132}{0.11} = 0.12 \text{ м}$.

4. Переведем результат в сантиметры:
$CD = 0.12 \text{ м} = 12 \text{ см}$.

Ответ: $CD = 12$ см

б)

Дано
Равнобедренный $\triangle ABC$ с основанием $AC$.
$AD$ - высота (из вершины $A$ на сторону $BC$).
$BH$ - высота (из вершины $B$ на сторону $AC$).
$BH = 9$ см
$\sin A = 0.6$

Перевод в систему СИ:
$BH = 9 \text{ см} = 0.09 \text{ м}$
$\sin A = 0.6$ (безразмерная величина)

Найти:
$CD$

Решение
1. Поскольку $\triangle ABC$ равнобедренный с основанием $AC$, то боковые стороны равны $AB = BC$, а углы при основании равны $\angle A = \angle C$.

2. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABH$ (так как $BH$ - высота, $\angle AHB = 90^\circ$).
Из определения синуса угла:
$\sin A = \frac{BH}{AB}$
$0.6 = \frac{0.09 \text{ м}}{AB}$
$AB = \frac{0.09}{0.6} = \frac{9}{60} = \frac{3}{20} = 0.15 \text{ м}$.
Так как $AB = BC$, то $BC = 0.15 \text{ м}$.

3. Найдем косинус угла $C$. Поскольку $\angle C = \angle A$, то $\sin C = 0.6$.
$\cos C = \sqrt{1 - \sin^2 C}$ (так как $C$ - угол треугольника, он острый, и косинус положителен).
$\cos C = \sqrt{1 - (0.6)^2} = \sqrt{1 - 0.36} = \sqrt{0.64} = 0.8$.

4. Найдем длину отрезка $AH$. В прямоугольном $\triangle ABH$ по теореме Пифагора:
$AH^2 = AB^2 - BH^2$
$AH^2 = (0.15 \text{ м})^2 - (0.09 \text{ м})^2 = 0.0225 \text{ м}^2 - 0.0081 \text{ м}^2 = 0.0144 \text{ м}^2$.
$AH = \sqrt{0.0144} = 0.12 \text{ м}$.

5. Поскольку $\triangle ABC$ равнобедренный и $BH$ является высотой, опущенной на основание, то $BH$ также является медианой. Следовательно, $H$ - середина $AC$.
$AC = 2 \cdot AH = 2 \cdot 0.12 \text{ м} = 0.24 \text{ м}$.

6. Высота $AD$ опущена из вершины $A$ на сторону $BC$. Следовательно, $\triangle ADC$ является прямоугольным треугольником с прямым углом при $D$. В этом треугольнике $CD$ - катет, $AC$ - гипотенуза.
Из определения косинуса угла в прямоугольном треугольнике $\triangle ADC$:
$\cos C = \frac{CD}{AC}$
$CD = AC \cdot \cos C$
$CD = 0.24 \text{ м} \cdot 0.8 = 0.192 \text{ м}$.

7. Переведем результат в сантиметры:
$CD = 0.192 \text{ м} = 19.2 \text{ см}$.

Ответ: $CD = 19.2$ см

359. Даны точки $A(-1; 2)$, $B(2; 7)$, $C(4; 3)$. Найдите длину средней линии треугольника $ABC$, параллельную стороне $AC$.

Дано

Точки: $A(-1; 2)$, $B(2; 7)$, $C(4; 3)$.

Найти

Длину средней линии треугольника $ABC$, параллельную стороне $AC$.

Решение

Средняя линия треугольника, параллельная одной из его сторон, равна половине длины этой стороны.

В данном случае, нам нужно найти длину средней линии, параллельной стороне $AC$. Это означает, что ее длина будет равна половине длины стороны $AC$.

Длину отрезка $AC$ между двумя точками $A(x_1; y_1)$ и $C(x_2; y_2)$ можно найти по формуле расстояния:

$L = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Для точек $A(-1; 2)$ и $C(4; 3)$:

$x_1 = -1$, $y_1 = 2$

$x_2 = 4$, $y_2 = 3$

Подставим значения в формулу:

$AC = \sqrt{(4 - (-1))^2 + (3 - 2)^2}$

$AC = \sqrt{(4 + 1)^2 + (1)^2}$

$AC = \sqrt{(5)^2 + 1^2}$

$AC = \sqrt{25 + 1}$

$AC = \sqrt{26}$

Теперь найдем длину средней линии ($L_{ср}$), которая параллельна $AC$. Она равна половине длины $AC$:

$L_{ср} = \frac{AC}{2}$

$L_{ср} = \frac{\sqrt{26}}{2}$

Ответ

Длина средней линии треугольника $ABC$, параллельной стороне $AC$, равна $ \frac{\sqrt{26}}{2} $.

360. a) Найдите площадь треугольника с вершинами $A(-2; 2)$, $B(2; 5)$, $C(-1; 9)$.

б) Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его высота делит гипотенузу на отрезки, равные 16 см и 9 см.

а)

Дано:

Вершины треугольника: $A(-2; 2)$, $B(2; 5)$, $C(-1; 9)$.

Найти:

Площадь треугольника $S_{ABC}$.

Решение:

Площадь треугольника по координатам его вершин $A(x_1; y_1)$, $B(x_2; y_2)$, $C(x_3; y_3)$ можно найти по формуле:

$S = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$

Подставим координаты вершин $A(-2; 2)$, $B(2; 5)$, $C(-1; 9)$ в формулу:

$S = \frac{1}{2} |(-2)(5 - 9) + (2)(9 - 2) + (-1)(2 - 5)|$

$S = \frac{1}{2} |(-2)(-4) + (2)(7) + (-1)(-3)|$

$S = \frac{1}{2} |8 + 14 + 3|$

$S = \frac{1}{2} |25|$

$S = 12.5$

Ответ: $12.5$

б)

Дано:

Прямоугольный треугольник.

Высота, проведенная к гипотенузе, делит ее на отрезки:

$AD = 16 \text{ см}$

$DB = 9 \text{ см}$

Перевод в СИ:

$AD = 16 \text{ см} = 0.16 \text{ м}$

$DB = 9 \text{ см} = 0.09 \text{ м}$

Найти:

Площадь прямоугольного треугольника $S$.

Решение:

Пусть высота, проведенная к гипотенузе, равна $h$. В прямоугольном треугольнике высота, опущенная на гипотенузу, является средним геометрическим отрезков, на которые она делит гипотенузу. То есть, $h^2 = AD \cdot DB$.

$h = \sqrt{AD \cdot DB}$

Подставим значения:

$h = \sqrt{16 \text{ см} \cdot 9 \text{ см}}$

$h = \sqrt{144 \text{ см}^2}$

$h = 12 \text{ см}$

Длина гипотенузы $AB$ равна сумме длин отрезков, на которые ее делит высота:

$AB = AD + DB = 16 \text{ см} + 9 \text{ см} = 25 \text{ см}$

Площадь прямоугольного треугольника можно найти как половину произведения гипотенузы на высоту, проведенную к ней:

$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h$

Подставим значения:

$S = \frac{1}{2} \cdot 25 \text{ см} \cdot 12 \text{ см}$

$S = 25 \text{ см} \cdot 6 \text{ см}$

$S = 150 \text{ см}^2$

Ответ: $150 \text{ см}^2$

361. a) Как можно измерить площадь цветочной клумбы формы ромба, используя мерную рулетку?

б) В комнате длиной 4 м, шириной 3,5 м, высотой 2,8 м имеется дверь размером $0,9 \text{ м} \times 2 \text{ м}$ и окно размером $1,5 \text{ м} \times 1,2 \text{ м}$. Сколько рулонов обоев потребуется для оклейки стен комнаты, если размеры обоев в рулоне $10 \text{ м} \times 0,5 \text{ м}$?

в) Катон-Карагайский национальный природный парк, через который проходил Великий Шелковый путь, является одним из самых больших в Казахстане. Выразите его площадь (в кв. м) числом, записанным в стандартном виде, если она равна площади прямоугольного треугольника с гипотенузой $2 \cdot 10^5 \text{ м}$ и углом $70^\circ$.

a) Как можно измерить площадь цветочной клумбы формы ромба, используя мерную рулетку?

Для измерения площади цветочной клумбы, имеющей форму ромба, с помощью мерной рулетки можно использовать один из следующих методов:

1. Измерение диагоналей: Измерьте длины обеих диагоналей ромба ($d_1$ и $d_2$). Площадь ромба ($S$) вычисляется как половина произведения длин его диагоналей: $S = \frac{1}{2} d_1 d_2$.

2. Измерение стороны и высоты: Измерьте длину одной стороны ромба ($a$) и высоту ($h$), проведенную к этой стороне (перпендикуляр от одной вершины к противоположной стороне). Площадь ромба ($S$) вычисляется как произведение длины стороны на высоту: $S = a \cdot h$. Для измерения высоты может потребоваться построение перпендикуляра с помощью вспомогательных измерений рулеткой, например, методом "треугольника" или используя свойства прямоугольного треугольника.

Наиболее простым и точным способом при использовании только рулетки является измерение диагоналей.

Ответ:

Площадь ромба можно измерить, измерив длины его диагоналей $d_1$ и $d_2$ и вычислив по формуле $S = \frac{1}{2} d_1 d_2$. Или измерив длину стороны $a$ и высоту $h$ к этой стороне, вычислив по формуле $S = a \cdot h$.

б) В комнате длиной 4 м, шириной 3,5 м, высотой 2,8 м имеется дверь размером 0,9 м × 2 м и окно размером 1,5 м × 1,2 м. Сколько рулонов обоев потребуется для оклейки стен комнаты, если размеры обоев в рулоне 10 м × 0,5 м?

Дано:

Длина комнаты ($L_к$) = 4 м

Ширина комнаты ($W_к$) = 3,5 м

Высота комнаты ($H_к$) = 2,8 м

Размеры двери ($L_д \times W_д$) = 0,9 м $\times$ 2 м

Размеры окна ($L_о \times W_о$) = 1,5 м $\times$ 1,2 м

Размеры обоев в рулоне ($L_{об} \times W_{об}$) = 10 м $\times$ 0,5 м

Перевод в СИ:

Все величины уже представлены в системе СИ (метры), поэтому перевод не требуется.

Найти:

Количество рулонов обоев ($N$)

Решение:

1. Вычислим периметр комнаты:

$P_к = 2 \cdot (L_к + W_к) = 2 \cdot (4 \text{ м} + 3.5 \text{ м}) = 2 \cdot 7.5 \text{ м} = 15 \text{ м}$

2. Вычислим общую площадь стен комнаты:

$S_{стен} = P_к \cdot H_к = 15 \text{ м} \cdot 2.8 \text{ м} = 42 \text{ м}^2$

3. Вычислим площадь двери:

$S_д = L_д \cdot W_д = 0.9 \text{ м} \cdot 2 \text{ м} = 1.8 \text{ м}^2$

4. Вычислим площадь окна:

$S_о = L_о \cdot W_о = 1.5 \text{ м} \cdot 1.2 \text{ м} = 1.8 \text{ м}^2$

5. Вычислим площадь стен, которую необходимо оклеить (за вычетом площади двери и окна):

$S_{поклейки} = S_{стен} - S_д - S_о = 42 \text{ м}^2 - 1.8 \text{ м}^2 - 1.8 \text{ м}^2 = 42 \text{ м}^2 - 3.6 \text{ м}^2 = 38.4 \text{ м}^2$

6. Вычислим площадь одного рулона обоев:

$S_{рулон} = L_{об} \cdot W_{об} = 10 \text{ м} \cdot 0.5 \text{ м} = 5 \text{ м}^2$

7. Вычислим необходимое количество рулонов обоев. Поскольку рулоны продаются целыми, результат необходимо округлить в большую сторону:

$N = \frac{S_{поклейки}}{S_{рулон}} = \frac{38.4 \text{ м}^2}{5 \text{ м}^2} = 7.68$

Округляем до ближайшего целого числа в большую сторону: $N = 8$ рулонов.

Ответ: 8 рулонов

в) Катон-Карагайский национальный природный парк, через который проходил Великий Шелковый путь, является одним из самых больших в Казахстане. Выразите его площадь (в кв. м) числом, записанным в стандартном виде, если она равна площади прямоугольного треугольника с гипотенузой $2 \cdot 10^5$ м и углом $70^\circ$.

Дано:

Длина гипотенузы прямоугольного треугольника ($c$) = $2 \cdot 10^5$ м

Один из острых углов ($\alpha$) = $70^\circ$

Перевод в СИ:

Все величины уже представлены в системе СИ (метры, градусы), поэтому перевод не требуется.

Найти:

Площадь парка ($S_{парк}$) в стандартном виде (в квадратных метрах).

Решение:

Площадь прямоугольного треугольника можно найти по формуле $S = \frac{1}{2}ab$, где $a$ и $b$ - катеты. Катеты можно выразить через гипотенузу $c$ и угол $\alpha$:

$a = c \cdot \sin(\alpha)$

$b = c \cdot \cos(\alpha)$

Тогда площадь $S$ будет:

$S = \frac{1}{2} (c \cdot \sin(\alpha)) (c \cdot \cos(\alpha)) = \frac{1}{2} c^2 \sin(\alpha) \cos(\alpha)$

Используем тригонометрическое тождество $\sin(2\alpha) = 2 \sin(\alpha) \cos(\alpha)$, из которого следует $\sin(\alpha) \cos(\alpha) = \frac{1}{2} \sin(2\alpha)$.

Подставим это в формулу для площади:

$S = \frac{1}{2} c^2 \left( \frac{1}{2} \sin(2\alpha) \right) = \frac{1}{4} c^2 \sin(2\alpha)$

Теперь подставим известные значения:

$c = 2 \cdot 10^5 \text{ м}$

$\alpha = 70^\circ$

$2\alpha = 2 \cdot 70^\circ = 140^\circ$

Найдем значение $\sin(140^\circ)$. Известно, что $\sin(180^\circ - x) = \sin(x)$, поэтому $\sin(140^\circ) = \sin(180^\circ - 40^\circ) = \sin(40^\circ)$.

Используем значение $\sin(40^\circ) \approx 0.6427876$

$S_{парк} = \frac{1}{4} (2 \cdot 10^5 \text{ м})^2 \sin(140^\circ)$

$S_{парк} = \frac{1}{4} (4 \cdot 10^{10} \text{ м}^2) \sin(140^\circ)$

$S_{парк} = (1 \cdot 10^{10} \text{ м}^2) \cdot \sin(140^\circ)$

$S_{парк} \approx 10^{10} \cdot 0.6427876 \text{ м}^2$

$S_{парк} \approx 6.427876 \cdot 10^9 \text{ м}^2$

Запишем число в стандартном виде, округлив до нескольких значащих цифр, например, до четырех:

$S_{парк} \approx 6.428 \cdot 10^9 \text{ м}^2$

Ответ: $6.428 \cdot 10^9 \text{ м}^2$