Страница 156 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

371. Внутри данного треугольника $ABC$ найдите такую точку $X$, чтобы площади треугольников $ABX, BCX, ACX$ были равны.

Дано:

Треугольник $ABC$. Точка $X$ внутри треугольника $ABC$. Площади треугольников $ABX$, $BCX$, $ACX$ равны: $S_{ABX} = S_{BCX} = S_{ACX}$.

Найти:

Положение точки $X$.

Решение

Обозначим площади треугольников $ABX$, $BCX$, $ACX$ как $S_{ABX}$, $S_{BCX}$, $S_{ACX}$ соответственно.

По условию задачи, $S_{ABX} = S_{BCX} = S_{ACX}$.

Рассмотрим равенство площадей $S_{ACX} = S_{BCX}$. Эти два треугольника, $ACX$ и $BCX$, имеют общую вершину $C$. Пусть $h_A$ — высота, опущенная из вершины $A$ на прямую, содержащую отрезок $CX$. Пусть $h_B$ — высота, опущенная из вершины $B$ на прямую, содержащую отрезок $CX$. Тогда площади выражаются как $S_{ACX} = \frac{1}{2} \cdot CX \cdot h_A$ и $S_{BCX} = \frac{1}{2} \cdot CX \cdot h_B$. Из равенства площадей $S_{ACX} = S_{BCX}$ следует, что $\frac{1}{2} \cdot CX \cdot h_A = \frac{1}{2} \cdot CX \cdot h_B$. Поскольку $CX$ является длиной отрезка и не равен нулю, мы можем сократить его, получив $h_A = h_B$. Это означает, что вершины $A$ и $B$ находятся на одинаковом расстоянии от прямой, содержащей отрезок $CX$. Если две вершины треугольника находятся на одинаковом расстоянии от прямой, проходящей через третью вершину и некоторую точку внутри треугольника, то эта прямая должна проходить через середину стороны, соединяющей эти две вершины. Следовательно, прямая $CX$ проходит через середину стороны $AB$. По определению, отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, является медианой. Таким образом, точка $X$ лежит на медиане, проведенной из вершины $C$ к стороне $AB$.

Аналогично, рассмотрим равенство площадей $S_{ABX} = S_{ACX}$. Эти треугольники, $ABX$ и $ACX$, имеют общую вершину $A$. По тем же рассуждениям, прямая $AX$ должна проходить через середину стороны $BC$. Следовательно, точка $X$ лежит на медиане, проведенной из вершины $A$ к стороне $BC$.

И, наконец, рассмотрим равенство площадей $S_{BCX} = S_{ABX}$. Эти треугольники, $BCX$ и $ABX$, имеют общую вершину $B$. По тем же рассуждениям, прямая $BX$ должна проходить через середину стороны $AC$. Следовательно, точка $X$ лежит на медиане, проведенной из вершины $B$ к стороне $AC$.

Поскольку точка $X$ должна удовлетворять всем трем условиям одновременно, она должна быть точкой пересечения всех трех медиан треугольника $ABC$. Известно, что медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая называется центроидом (или центром тяжести) треугольника.

Ответ: Точка $X$ является центроидом треугольника $ABC$.

372. Докажите, что сумма расстояний от любой точки, взятой внутри равностороннего треугольника, до его сторон равна высоте данного треугольника.

Дано:

Равносторонний треугольник $ABC$ со стороной $a$.

Точка $P$ находится внутри треугольника $ABC$.

Расстояния от точки $P$ до сторон $BC$, $AC$, $AB$ обозначены как $h_1$, $h_2$, $h_3$ соответственно.

Высота треугольника $ABC$ обозначена как $H$.

Перевод в СИ:

Все величины уже представлены в общих геометрических терминах и не требуют перевода в конкретные единицы СИ.

Найти:

Доказать, что $h_1 + h_2 + h_3 = H$.

Решение:

Рассмотрим равносторонний треугольник $ABC$ со стороной $a$ и высоту $H$. Площадь этого треугольника $S_{ABC}$ можно выразить по формуле: $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot H$.

Пусть $P$ - произвольная точка внутри треугольника $ABC$. Проведем отрезки из точки $P$ к вершинам треугольника: $PA$, $PB$, $PC$. Эти отрезки делят исходный треугольник $ABC$ на три меньших треугольника: $PBC$, $PCA$ и $PAB$.

Сумма площадей этих трех меньших треугольников равна площади исходного треугольника $ABC$:$S_{ABC} = S_{PBC} + S_{PCA} + S_{PAB}$.

Расстояния от точки $P$ до сторон треугольника являются высотами этих меньших треугольников, опущенными из вершины $P$ на соответствующие стороны.Таким образом, площади меньших треугольников могут быть выражены следующим образом:

• Площадь треугольника $PBC$: $S_{PBC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h_1$. Так как $BC = a$, то $S_{PBC} = \frac{1}{2} a h_1$.

• Площадь треугольника $PCA$: $S_{PCA} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot h_2$. Так как $AC = a$, то $S_{PCA} = \frac{1}{2} a h_2$.

• Площадь треугольника $PAB$: $S_{PAB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h_3$. Так как $AB = a$, то $S_{PAB} = \frac{1}{2} a h_3$.

Подставим эти выражения в уравнение для общей площади:

$\frac{1}{2} a H = \frac{1}{2} a h_1 + \frac{1}{2} a h_2 + \frac{1}{2} a h_3$.

Мы можем вынести общий множитель $\frac{1}{2} a$ из правой части уравнения:

$\frac{1}{2} a H = \frac{1}{2} a (h_1 + h_2 + h_3)$.

Поскольку $a$ является длиной стороны треугольника, $a \neq 0$. Также $\frac{1}{2} \neq 0$. Поэтому мы можем разделить обе части уравнения на $\frac{1}{2} a$:

$H = h_1 + h_2 + h_3$.

Это доказывает, что сумма расстояний от любой точки, взятой внутри равностороннего треугольника, до его сторон равна высоте данного треугольника.

Ответ: Доказано.

373. а) Биссектриса BD треугольника ABC делит сторону AC на части $AD=m, DC=n$. Докажите, используя площади, что $\frac{AB}{m} = \frac{BC}{n}$.

б) Площадь $\triangle ABC$ равна $75 \text{ см}^2$, известно, что $\frac{AB}{BC} = \frac{2}{3}$, $BD$ – биссектриса треугольника. Найдите площадь треугольника $ABD$.

а)

Дано:

Треугольник $ABC$, $BD$ - биссектриса угла $B$. Точка $D$ лежит на стороне $AC$.

$AD = m$, $DC = n$.

Найти:

Доказать, что $\frac{AB}{m} = \frac{BC}{n}$.

Решение:

Рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle DBC$. У этих двух треугольников одна и та же высота, опущенная из вершины $B$ на сторону $AC$. Обозначим эту высоту через $h_B$.

Площадь треугольника $S$ вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$.

Тогда площадь треугольника $\triangle ABD$ равна $S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot h_B = \frac{1}{2} \cdot m \cdot h_B$.

Площадь треугольника $\triangle DBC$ равна $S_{DBC} = \frac{1}{2} \cdot DC \cdot h_B = \frac{1}{2} \cdot n \cdot h_B$.

Разделим $S_{ABD}$ на $S_{DBC}$: $\frac{S_{ABD}}{S_{DBC}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot m \cdot h_B}{\frac{1}{2} \cdot n \cdot h_B} = \frac{m}{n}$ (1)

Теперь рассмотрим площади этих же треугольников, используя формулу $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin C$, где $a$ и $b$ - стороны, а $C$ - угол между ними.

Так как $BD$ - биссектриса угла $B$, то $\angle ABD = \angle DBC$. Обозначим этот угол через $\alpha$. То есть $\angle ABD = \angle DBC = \alpha$.

Площадь треугольника $\triangle ABD$ равна $S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BD \cdot \sin(\angle ABD) = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BD \cdot \sin\alpha$.

Площадь треугольника $\triangle DBC$ равна $S_{DBC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot BD \cdot \sin(\angle DBC) = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot BD \cdot \sin\alpha$.

Разделим $S_{ABD}$ на $S_{DBC}$: $\frac{S_{ABD}}{S_{DBC}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot AB \cdot BD \cdot \sin\alpha}{\frac{1}{2} \cdot BC \cdot BD \cdot \sin\alpha} = \frac{AB}{BC}$ (2)

Из равенств (1) и (2) следует, что: $\frac{m}{n} = \frac{AB}{BC}$

Перегруппируем члены для получения искомого выражения: $\frac{AB}{m} = \frac{BC}{n}$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

б)

Дано:

Площадь $\triangle ABC$, $S_{ABC} = 75 \text{ см}^2$.

Отношение сторон $\frac{AB}{BC} = \frac{2}{3}$.

$BD$ - биссектриса треугольника $ABC$.

Перевод в СИ:

$S_{ABC} = 75 \text{ см}^2 = 75 \cdot (10^{-2} \text{ м})^2 = 75 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 = 0.0075 \text{ м}^2$.

Найти:

Площадь треугольника $ABD$, $S_{ABD}$.

Решение:

По свойству биссектрисы треугольника (доказанному в пункте а)), биссектриса делит противоположную сторону в отношении, равном отношению двух других сторон треугольника.

Следовательно, для биссектрисы $BD$ в треугольнике $ABC$ верно: $\frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BC}$

Подставляем известное отношение сторон: $\frac{AD}{DC} = \frac{2}{3}$

Треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle DBC$ имеют общую высоту, опущенную из вершины $B$ на сторону $AC$. Если два треугольника имеют одинаковую высоту, то их площади относятся как длины их оснований.

Следовательно: $\frac{S_{ABD}}{S_{DBC}} = \frac{AD}{DC} = \frac{2}{3}$

Из этого соотношения выразим $S_{DBC}$: $S_{DBC} = \frac{3}{2} S_{ABD}$

Общая площадь треугольника $ABC$ складывается из площадей $\triangle ABD$ и $\triangle DBC$: $S_{ABC} = S_{ABD} + S_{DBC}$

Подставим известные значения и выражение для $S_{DBC}$: $75 = S_{ABD} + \frac{3}{2} S_{ABD}$

Суммируем члены с $S_{ABD}$: $75 = \left(1 + \frac{3}{2}\right) S_{ABD}$

$75 = \left(\frac{2}{2} + \frac{3}{2}\right) S_{ABD}$

$75 = \frac{5}{2} S_{ABD}$

Теперь найдем $S_{ABD}$: $S_{ABD} = 75 \cdot \frac{2}{5}$

$S_{ABD} = \frac{150}{5}$

$S_{ABD} = 30 \text{ см}^2$

Ответ: Площадь треугольника $ABD$ равна $30 \text{ см}^2$.

374. Может ли в каком-нибудь прямоугольном треугольнике сумма синусов двух углов быть равной 1?

Прямоугольный треугольник с углами $\alpha$, $\beta$, $\gamma$.

Может ли сумма синусов двух углов быть равной 1?

Пусть углы прямоугольного треугольника будут $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$. В прямоугольном треугольнике один из углов равен $90^\circ$. Пусть $\gamma = 90^\circ$.

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Следовательно, $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$.

Подставляя $\gamma = 90^\circ$, получаем $\alpha + \beta + 90^\circ = 180^\circ$, откуда $\alpha + \beta = 90^\circ$.

В геометрии под "треугольником" обычно подразумевается невырожденный треугольник, у которого все углы строго больше $0^\circ$. Следовательно, острые углы $\alpha$ и $\beta$ должны удовлетворять условиям $0^\circ < \alpha < 90^\circ$ и $0^\circ < \beta < 90^\circ$.

Рассмотрим все возможные пары углов, сумма синусов которых может быть равна 1.

Случай 1: Сумма синусов двух острых углов ($\alpha$ и $\beta$).

Нам нужно проверить, может ли $\sin \alpha + \sin \beta = 1$.

Поскольку $\alpha + \beta = 90^\circ$, то $\beta = 90^\circ - \alpha$.

Используя тригонометрическое тождество $\sin(90^\circ - x) = \cos x$, получаем $\sin \beta = \sin(90^\circ - \alpha) = \cos \alpha$.

Таким образом, условие $\sin \alpha + \sin \beta = 1$ преобразуется в $\sin \alpha + \cos \alpha = 1$.

Для того чтобы решить это уравнение, воспользуемся преобразованием суммы синуса и косинуса: $\sin x + \cos x = \sqrt{2} \sin(x + 45^\circ)$.

Тогда уравнение принимает вид: $\sqrt{2} \sin(\alpha + 45^\circ) = 1$.

Отсюда $\sin(\alpha + 45^\circ) = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Так как $0^\circ < \alpha < 90^\circ$, то аргумент $(\alpha + 45^\circ)$ находится в интервале $(45^\circ, 135^\circ)$.

В этом интервале функция $\sin x$ имеет значения, которые строго больше $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ (то есть $\sin x \in (\frac{\sqrt{2}}{2}, 1]$).Единственные значения $x$ в интервале $[0^\circ, 180^\circ]$, для которых $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$, это $45^\circ$ и $135^\circ$.

Если $\alpha + 45^\circ = 45^\circ$, то $\alpha = 0^\circ$. Это соответствует вырожденному треугольнику, так как один из углов равен $0^\circ$.

Если $\alpha + 45^\circ = 135^\circ$, то $\alpha = 90^\circ$. Это также соответствует вырожденному треугольнику, так как один из углов равен $0^\circ$ (другой острый угол $\beta = 90^\circ - 90^\circ = 0^\circ$).

Так как для невырожденного треугольника $0^\circ < \alpha < 90^\circ$, то значение $\alpha + 45^\circ$ будет строго в интервале $(45^\circ, 135^\circ)$. В этом интервале значение $\sin(\alpha + 45^\circ)$ всегда строго больше $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Поэтому $\sqrt{2} \sin(\alpha + 45^\circ)$ будет всегда строго больше $\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 1$. Таким образом, $\sin \alpha + \sin \beta > 1$ для невырожденных треугольников.

Случай 2: Сумма синусов острого угла и прямого угла (например, $\alpha$ и $\gamma$).

Нам нужно проверить, может ли $\sin \alpha + \sin \gamma = 1$.

Так как $\gamma = 90^\circ$, то $\sin \gamma = \sin 90^\circ = 1$.

Условие становится $\sin \alpha + 1 = 1$.

Это приводит к $\sin \alpha = 0$.

Для невырожденного треугольника острый угол $\alpha$ должен быть строго больше $0^\circ$. В интервале $0^\circ < \alpha < 90^\circ$, значение $\sin \alpha$ всегда строго больше $0$. Следовательно, $\sin \alpha$ не может быть равен 0.

Таким образом, сумма синусов острого угла и прямого угла не может быть равна 1 в невырожденном прямоугольном треугольнике.

Случай 3: Сумма синусов другого острого угла и прямого угла ($\beta$ и $\gamma$).

Этот случай полностью аналогичен Случаю 2. Условие $\sin \beta + \sin \gamma = 1$ приводит к $\sin \beta = 0$, что также невозможно для острого угла в невырожденном треугольнике.

Исходя из рассмотрения всех возможных пар углов в невырожденном прямоугольном треугольнике, сумма синусов любых двух углов всегда будет строго больше 1.

Нет, не может.

375. 1A) Запишите две различные формулы, выражающие площадь прямоугольного треугольника с катетами $a$, $b$, гипотенузой $c$ и высотой $h$, проведенной к гипотенузе.

2A) В прямоугольном $\triangle ABC$ гипотенуза $AB = 10$ см, катет $BC = 6$ см, $BM$ – медиана. Найдите тангенс угла $CBM$.

3B) Докажите, что в любом выпуклом четырехугольнике отрезки, соединяющие середины его противоположных сторон, делятся точкой пересечения пополам.

4B) Найдите длину наибольшей средней линии треугольника с вершинами в точках $A(5; -3)$, $B(-7; 6)$, $C(0; 6)$.

5C) Участок земли имеет форму равнобедренной трапеции, большее основание которой равно 64 м, прилежащий к нему угол равен $60^\circ$, а боковая сторона – 14 м. Какова площадь этого участка? Ответ запишите в арах, с точностью до 0,1 а.

1A) Запишите две различные формулы, выражающие площадь прямоугольного треугольника с катетами a, b, гипотенузой c и высотой h, проведенной к гипотенузе.

Площадь прямоугольного треугольника может быть выражена как половина произведения его катетов: $S = \frac{1}{2}ab$.

Также площадь прямоугольного треугольника может быть выражена как половина произведения гипотенузы на высоту, проведенную к этой гипотенузе: $S = \frac{1}{2}ch$.

Ответ: $S = \frac{1}{2}ab$ $S = \frac{1}{2}ch$

2A) В прямоугольном $\triangle ABC$ гипотенуза $AB = 10$ см, катет $BC = 6$ см, $BM$ – медиана. Найдите тангенс угла $CBM$.

Дано: Прямоугольный $\triangle ABC$ ($\angle C = 90^\circ$) Гипотенуза $AB = 10$ см Катет $BC = 6$ см $BM$ - медиана к катету $AC$

Перевод в СИ: $AB = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$ $BC = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$

Найти: $\text{tg}(\angle CBM)$

Решение: 1. Поскольку $\triangle ABC$ прямоугольный с гипотенузой $AB$ и катетом $BC$, то $\angle C = 90^\circ$. Используем теорему Пифагора для нахождения длины катета $AC$: $AC^2 + BC^2 = AB^2$ $AC^2 + 6^2 = 10^2$ $AC^2 + 36 = 100$ $AC^2 = 100 - 36$ $AC^2 = 64$ $AC = \sqrt{64} = 8$ см.

2. $BM$ - медиана, проведенная к стороне $AC$. Это означает, что точка $M$ является серединой отрезка $AC$. Следовательно, $MC = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4$ см.

3. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle CBM$. Он является прямоугольным, так как $\angle C = 90^\circ$.

4. Тангенс угла $CBM$ в прямоугольном треугольнике определяется как отношение противолежащего катета к прилежащему катету: $\text{tg}(\angle CBM) = \frac{MC}{BC}$ $\text{tg}(\angle CBM) = \frac{4}{6}$ $\text{tg}(\angle CBM) = \frac{2}{3}$.

Ответ: $\text{tg}(\angle CBM) = \frac{2}{3}$

3B) Докажите, что в любом выпуклом четырехугольнике отрезки, соединяющие середины его противоположных сторон, делятся точкой пересечения пополам.

Решение: Пусть дан выпуклый четырехугольник $ABCD$. Обозначим середины его сторон: $P$ - середина $AB$ $Q$ - середина $BC$ $R$ - середина $CD$ $S$ - середина $DA$

Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, это $PR$ и $QS$. Необходимо доказать, что они делятся точкой пересечения пополам.

1. Рассмотрим треугольник $ABC$. Отрезок $PQ$ соединяет середины сторон $AB$ и $BC$. По свойству средней линии треугольника, $PQ \parallel AC$ и $PQ = \frac{1}{2}AC$.

2. Рассмотрим треугольник $ADC$. Отрезок $SR$ соединяет середины сторон $DA$ и $CD$. По свойству средней линии треугольника, $SR \parallel AC$ и $SR = \frac{1}{2}AC$.

3. Из пунктов 1 и 2 следует, что $PQ \parallel SR$ и $PQ = SR$.

4. Если в четырехугольнике одна пара противоположных сторон параллельна и равна, то этот четырехугольник является параллелограммом. Таким образом, $PQRS$ - параллелограмм.

5. Отрезки $PR$ и $QS$ являются диагоналями параллелограмма $PQRS$.

6. По свойству диагоналей параллелограмма, они точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, отрезки $PR$ и $QS$ делятся точкой пересечения пополам.

Ответ: Доказано.

4B) Найдите длину наибольшей средней линии треугольника с вершинами в точках $A(5; -3)$, $B(-7; 6)$, $C(0; 6)$.

Дано: Вершины треугольника: $A(5; -3)$, $B(-7; 6)$, $C(0; 6)$

Найти: Длину наибольшей средней линии.

Решение: 1. Длина средней линии треугольника равна половине длины стороны, которой она параллельна. Чтобы найти наибольшую среднюю линию, нужно найти самую длинную сторону треугольника.

2. Вычислим длины всех сторон треугольника, используя формулу расстояния между двумя точками $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$.

Длина стороны $AB$: $AB = \sqrt{(-7-5)^2 + (6-(-3))^2}$ $AB = \sqrt{(-12)^2 + (9)^2}$ $AB = \sqrt{144 + 81}$ $AB = \sqrt{225} = 15$.

Длина стороны $BC$: $BC = \sqrt{(0-(-7))^2 + (6-6)^2}$ $BC = \sqrt{(7)^2 + (0)^2}$ $BC = \sqrt{49 + 0}$ $BC = \sqrt{49} = 7$.

Длина стороны $AC$: $AC = \sqrt{(0-5)^2 + (6-(-3))^2}$ $AC = \sqrt{(-5)^2 + (9)^2}$ $AC = \sqrt{25 + 81}$ $AC = \sqrt{106}$.

3. Сравним длины сторон: $AB = 15$ $BC = 7$ $AC = \sqrt{106} \approx 10.29$.

Наибольшая сторона - $AB = 15$.

4. Длина наибольшей средней линии равна половине длины самой длинной стороны: $L_{\text{max}} = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} \cdot 15 = 7.5$.

Ответ: $7.5$

5C) Участок земли имеет форму равнобедренной трапеции, большее основание которой равно 64 м, прилежащий к нему угол равен $60^\circ$, а боковая сторона – 14 м. Какова площадь этого участка? Ответ запишите в арах, с точностью до 0,1 а.

Дано: Трапеция - равнобедренная. Большее основание $a = 64$ м. Угол при большем основании $\alpha = 60^\circ$. Боковая сторона $c = 14$ м.

Найти: Площадь трапеции $S$ в арах, с точностью до 0,1 а.

Решение: 1. Обозначим вершины трапеции $ABCD$, где $AB$ - большее основание, $CD$ - меньшее основание. Опустим высоты $DH$ и $CK$ из вершин $D$ и $C$ на большее основание $AB$.

2. В равнобедренной трапеции отрезки $AH$ и $KB$ равны. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ADH$. Угол $\angle A = 60^\circ$, гипотенуза $AD = c = 14$ м.

3. Найдем высоту $h$ трапеции (отрезок $DH$): $h = DH = AD \cdot \sin(\angle A) = 14 \cdot \sin(60^\circ) = 14 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 7\sqrt{3}$ м.

4. Найдем отрезок $AH$: $AH = AD \cdot \cos(\angle A) = 14 \cdot \cos(60^\circ) = 14 \cdot \frac{1}{2} = 7$ м.

5. Зная $AH$, мы можем найти меньшее основание $b$ (отрезок $CD$ или $HK$). В равнобедренной трапеции $HK = CD = AB - 2 \cdot AH$. $b = CD = 64 - 2 \cdot 7 = 64 - 14 = 50$ м.

6. Теперь у нас есть оба основания ($a=64$ м, $b=50$ м) и высота ($h=7\sqrt{3}$ м). Площадь трапеции вычисляется по формуле: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$ $S = \frac{64+50}{2} \cdot 7\sqrt{3}$ $S = \frac{114}{2} \cdot 7\sqrt{3}$ $S = 57 \cdot 7\sqrt{3}$ $S = 399\sqrt{3}$ м$^2$.

7. Вычислим приближенное значение: $\sqrt{3} \approx 1.73205$. $S \approx 399 \cdot 1.73205 \approx 691.08995$ м$^2$.

8. Переведем площадь из квадратных метров в ары. $1 \text{ ар} = 100 \text{ м}^2$. $S_{\text{ары}} = \frac{S_{\text{м}^2}}{100} = \frac{691.08995}{100} \approx 6.9108995$ аров.

9. Округлим ответ до 0,1 ара: $6.9$ аров.

Ответ: $6.9$ а