Страница 159 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

1. Заполните таблицу:

$N$ 4 6 5

$S$ $180^\circ$ $900^\circ$ $1260^\circ$

где $N$ – количество сторон, $S$ – сумма углов многоугольника.

Для заполнения таблицы используется формула суммы внутренних углов выпуклого многоугольника: $S = (N - 2) \cdot 180^{\circ}$, где $N$ — количество сторон многоугольника, а $S$ — сумма его углов.

Когда известна сумма углов $S$ и требуется найти количество сторон $N$, можно использовать преобразованную формулу: $N = \frac{S}{180^{\circ}} + 2$.

Выполним расчеты для каждой пустой ячейки в таблице, двигаясь по столбцам.

Первый столбец (дано N = 4)

Необходимо найти сумму углов $S$ для многоугольника с 4 сторонами. Подставляем $N=4$ в основную формулу:

$S = (4 - 2) \cdot 180^{\circ} = 2 \cdot 180^{\circ} = 360^{\circ}$.

Ответ: $360^{\circ}$

Второй столбец (дано S = 180°)

Необходимо найти количество сторон $N$, если сумма углов $S = 180^{\circ}$. Используем преобразованную формулу:

$N = \frac{180^{\circ}}{180^{\circ}} + 2 = 1 + 2 = 3$.

Ответ: $3$

Третий столбец (дано N = 6)

Необходимо найти сумму углов $S$ для многоугольника с 6 сторонами:

$S = (6 - 2) \cdot 180^{\circ} = 4 \cdot 180^{\circ} = 720^{\circ}$.

Ответ: $720^{\circ}$

Четвертый столбец (дано S = 900°)

Необходимо найти количество сторон $N$, если сумма углов $S = 900^{\circ}$:

$N = \frac{900^{\circ}}{180^{\circ}} + 2 = 5 + 2 = 7$.

Ответ: $7$

Пятый столбец (дано N = 5)

Необходимо найти сумму углов $S$ для многоугольника с 5 сторонами:

$S = (5 - 2) \cdot 180^{\circ} = 3 \cdot 180^{\circ} = 540^{\circ}$.

Ответ: $540^{\circ}$

Шестой столбец (дано S = 1260°)

Необходимо найти количество сторон $N$, если сумма углов $S = 1260^{\circ}$:

$N = \frac{1260^{\circ}}{180^{\circ}} + 2 = 7 + 2 = 9$.

Ответ: $9$

Итоговая заполненная таблица:

2. Найдите угол:

а) Углы: $42^\circ$, $36^\circ$, $\alpha$. Вопрос: $\alpha - ? $

б) Углы: $23^\circ$, $126^\circ$, $\beta$. Вопрос: $\beta - ? $

в) Углы: $91^\circ$, $149^\circ$, $100^\circ$, $90^\circ$, $\alpha$. Вопрос: $\alpha - ? $

г) Углы: $123^\circ$, $96^\circ$, $117^\circ$, $90^\circ$, $\beta$. Вопрос: $\beta - ? $

д) Углы: $\alpha$, $2\alpha$, $3\alpha$, $2\alpha$. Вопрос: $\alpha - ? $

е) Углы: $\beta$, $4\beta$, $3\beta$, $2\beta$. Вопрос: $\beta - ? $

а) Сумма внутренних углов треугольника равна $180°$. Чтобы найти неизвестный угол $α$, нужно из $180°$ вычесть сумму двух известных углов. Составим уравнение: $α + 42° + 36° = 180°$. Решим его: $α = 180° - (42° + 36°) = 180° - 78° = 102°$. Ответ: $α = 102°$.

б) На рисунке изображен треугольник, у которого один из внешних углов равен $126°$. По свойству внешнего угла треугольника, он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. В данном случае это углы $β$ и $23°$. Составим уравнение: $β + 23° = 126°$. Отсюда находим $β$: $β = 126° - 23° = 103°$. Ответ: $β = 103°$.

в) На рисунке изображен пятиугольник. Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника вычисляется по формуле $(n-2) \times 180°$. Для пятиугольника ($n=5$) сумма углов равна $(5-2) \times 180° = 3 \times 180° = 540°$. Один из углов на рисунке обозначен квадратом, что означает прямой угол, равный $90°$. Чтобы найти неизвестный угол $α$, сложим все известные углы и вычтем их сумму из $540°$. Составим уравнение: $α + 91° + 149° + 100° + 90° = 540°$. Решим его: $α = 540° - (91° + 149° + 100° + 90°) = 540° - 430° = 110°$. Ответ: $α = 110°$.

г) Данная фигура также является пятиугольником, следовательно, сумма его внутренних углов составляет $540°$. Один из углов прямой ($90°$). Найдем неизвестный угол $β$, вычтя сумму известных углов из $540°$. Составим уравнение: $β + 123° + 96° + 117° + 90° = 540°$. Решим его: $β = 540° - (123° + 96° + 117° + 90°) = 540° - 426° = 114°$. Ответ: $β = 114°$.

д) На рисунке изображен четырехугольник. Сумма внутренних углов четырехугольника равна $360°$. Все углы выражены через переменную $α$. Чтобы найти $α$, сложим все углы и приравняем их сумму к $360°$. Составим уравнение: $α + 2α + 3α + 2α = 360°$. Упростим и решим уравнение: $8α = 360°$. Отсюда $α = \frac{360°}{8} = 45°$. Ответ: $α = 45°$.

е) Это четырехугольник, сумма внутренних углов которого равна $360°$. Все углы выражены через переменную $β$. Сложим все углы и приравняем их сумму к $360°$. Составим уравнение: $β + 4β + 3β + 2β = 360°$. Упростим и решим уравнение: $10β = 360°$. Отсюда $β = \frac{360°}{10} = 36°$. Ответ: $β = 36°$.

3. Найдите углы четырехугольника, если они относятся как:

а) $6:2:3:4$;

б) $1:2:3:4$.

а)

Сумма внутренних углов любого выпуклого четырехугольника равна $360^{\circ}$.

Пусть коэффициент пропорциональности равен $x$. Тогда, согласно заданному отношению $6:2:3:4$, углы четырехугольника можно выразить как $6x, 2x, 3x$ и $4x$.

Составим уравнение, приравняв сумму углов к $360^{\circ}$:

$6x + 2x + 3x + 4x = 360^{\circ}$

Сложим все части с коэффициентом $x$:

$15x = 360^{\circ}$

Найдем значение $x$:

$x = \frac{360^{\circ}}{15} = 24^{\circ}$

Теперь, зная значение $x$, вычислим каждый угол:

Первый угол: $6 \cdot 24^{\circ} = 144^{\circ}$

Второй угол: $2 \cdot 24^{\circ} = 48^{\circ}$

Третий угол: $3 \cdot 24^{\circ} = 72^{\circ}$

Четвертый угол: $4 \cdot 24^{\circ} = 96^{\circ}$

Ответ: $144^{\circ}, 48^{\circ}, 72^{\circ}, 96^{\circ}$.

б)

Аналогично предыдущему пункту, используем тот факт, что сумма углов четырехугольника равна $360^{\circ}$.

Пусть коэффициент пропорциональности равен $x$. Для отношения $1:2:3:4$ углы четырехугольника будут равны $x, 2x, 3x$ и $4x$.

Составим уравнение:

$x + 2x + 3x + 4x = 360^{\circ}$

Суммируем все части:

$10x = 360^{\circ}$

Найдем значение $x$:

$x = \frac{360^{\circ}}{10} = 36^{\circ}$

Теперь вычислим величину каждого угла:

Первый угол: $1 \cdot 36^{\circ} = 36^{\circ}$

Второй угол: $2 \cdot 36^{\circ} = 72^{\circ}$

Третий угол: $3 \cdot 36^{\circ} = 108^{\circ}$

Четвертый угол: $4 \cdot 36^{\circ} = 144^{\circ}$

Ответ: $36^{\circ}, 72^{\circ}, 108^{\circ}, 144^{\circ}$.

4. Существует ли выпуклый четырехугольник, три из сторон которого равны 5 см, 10 см, 12 см, а его периметр равен:

а) 80 см;

б) 45 см? Ответ объясните.

Для существования выпуклого многоугольника (в частности, четырехугольника) необходимо, чтобы длина любой его стороны была меньше суммы длин остальных сторон. Это является обобщением неравенства треугольника.

В задаче даны три стороны четырехугольника: $a = 5$ см, $b = 10$ см, $c = 12$ см. Сумма длин этих трех сторон равна:

$5 + 10 + 12 = 27$ см.

Пусть $d$ — длина четвертой стороны.

а)

Если периметр четырехугольника равен 80 см, то найдем длину четвертой стороны $d$:

$d = 80 - (5 + 10 + 12) = 80 - 27 = 53$ см.

Теперь проверим, выполняется ли основное условие существования многоугольника. Самая длинная сторона равна 53 см. Сравним ее с суммой длин остальных трех сторон:

$53 < 5 + 10 + 12$

$53 < 27$

Это неравенство неверно, так как 53 больше 27. Следовательно, выпуклый четырехугольник с такими сторонами не может существовать.

Ответ: не существует.

б)

Если периметр четырехугольника равен 45 см, то найдем длину четвертой стороны $d$:

$d = 45 - (5 + 10 + 12) = 45 - 27 = 18$ см.

Стороны четырехугольника равны 5 см, 10 см, 12 см и 18 см. Самая длинная сторона равна 18 см. Сравним ее с суммой длин остальных трех сторон:

$18 < 5 + 10 + 12$

$18 < 27$

Это неравенство верно. Так как условие выполняется для самой длинной стороны, оно будет выполняться и для всех остальных сторон. Следовательно, выпуклый четырехугольник с такими сторонами существует.

Ответ: существует.