Страница 161 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

6. Найдите стороны параллелограмма, если:

а) его периметр 126 см, а отношение соседних сторон равно 0,8;

б) его периметр 36 см, а разность соседних сторон равна 1 см.

а)

Пусть соседние стороны параллелограмма равны $a$ и $b$. Периметр параллелограмма $P$ вычисляется по формуле $P = 2(a + b)$.

По условию задачи, периметр $P = 126$ см. Подставим это значение в формулу:

$2(a + b) = 126$

Разделим обе части уравнения на 2, чтобы найти сумму соседних сторон:

$a + b = \frac{126}{2} = 63$ см.

Также из условия известно, что отношение соседних сторон равно 0,8. Запишем это в виде уравнения:

$\frac{a}{b} = 0,8$

Из этого уравнения можно выразить одну сторону через другую: $a = 0,8b$.

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

$a + b = 63$

$a = 0,8b$

Подставим выражение для $a$ из второго уравнения в первое:

$0,8b + b = 63$

$1,8b = 63$

$b = \frac{63}{1,8} = \frac{630}{18} = 35$ см.

Теперь, зная значение $b$, найдем $a$:

$a = 0,8 \cdot b = 0,8 \cdot 35 = 28$ см.

Таким образом, стороны параллелограмма равны 28 см и 35 см.

Ответ: 28 см и 35 см.

б)

Пусть соседние стороны параллелограмма равны $a$ и $b$. Его периметр $P = 2(a + b)$ и по условию равен 36 см.

$2(a + b) = 36$

Найдем сумму соседних сторон:

$a + b = \frac{36}{2} = 18$ см.

По условию, разность соседних сторон равна 1 см. Предположим, что $b$ — большая сторона, тогда:

$b - a = 1$

Выразим $b$ через $a$:

$b = a + 1$

Мы получили систему из двух уравнений:

$a + b = 18$

$b = a + 1$

Подставим выражение для $b$ из второго уравнения в первое:

$a + (a + 1) = 18$

$2a + 1 = 18$

$2a = 18 - 1$

$2a = 17$

$a = \frac{17}{2} = 8,5$ см.

Теперь найдем вторую сторону $b$:

$b = a + 1 = 8,5 + 1 = 9,5$ см.

Таким образом, стороны параллелограмма равны 8,5 см и 9,5 см.

Ответ: 8,5 см и 9,5 см.

7. В параллелограмме $ABCD$ проведена биссектриса его острого угла $A$. На отрезки какой длины она делит сторону:

а) $BC$, если $AB = 4 \text{ см}$, $AD = 11 \text{ см}$;

б) $CD$, если $AB = 7 \text{ см}$, $AD = 2 \text{ см}$?

а)

Пусть в параллелограмме $ABCD$ проведена биссектриса $AK$ острого угла $A$, где точка $K$ лежит на стороне $BC$.

По определению биссектрисы, она делит угол $A$ на два равных угла: $\angle BAK = \angle DAK$.

В параллелограмме $ABCD$ противоположные стороны параллельны, следовательно, $AD \parallel BC$. Прямая $AK$ является секущей для этих параллельных прямых.

Углы $\angle DAK$ и $\angle BKA$ являются накрест лежащими углами при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AK$, поэтому они равны: $\angle DAK = \angle BKA$.

Из двух полученных равенств следует, что $\angle BAK = \angle BKA$.

Рассмотрим треугольник $ABK$. Так как два его угла ($\angle BAK$ и $\angle BKA$) равны, то треугольник $ABK$ является равнобедренным с основанием $AK$. В равнобедренном треугольнике стороны, противолежащие равным углам, равны. Следовательно, $AB = BK$.

По условию задачи, $AB = 4$ см. Значит, длина отрезка $BK$ также равна 4 см: $BK = 4$ см.

В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому $BC = AD$. По условию, $AD = 11$ см, следовательно, $BC = 11$ см.

Точка $K$ делит сторону $BC$ на два отрезка: $BK$ и $KC$. Длину отрезка $KC$ можно найти как разность длин $BC$ и $BK$:

$KC = BC - BK = 11 \text{ см} - 4 \text{ см} = 7 \text{ см}$.

Таким образом, биссектриса угла $A$ делит сторону $BC$ на отрезки длиной 4 см и 7 см.

Ответ: на отрезки 4 см и 7 см.

б)

Пусть в параллелограмме $ABCD$ проведена биссектриса $AL$ острого угла $A$, где точка $L$ лежит на стороне $CD$. (Примечание: биссектриса угла $A$ пересекает сторону $CD$, а не $BC$, когда боковая сторона $AB$ длиннее прилежащей стороны $AD$).

По определению биссектрисы, $\angle BAL = \angle DAL$.

В параллелограмме $ABCD$ противоположные стороны параллельны, то есть $AB \parallel DC$. Прямая $AL$ является секущей для этих параллельных прямых.

Углы $\angle BAL$ и $\angle ALD$ (или $\angle ALC$) являются накрест лежащими углами при параллельных прямых $AB$ и $DC$ и секущей $AL$, поэтому они равны: $\angle BAL = \angle ALD$.

Из равенств $\angle BAL = \angle DAL$ и $\angle BAL = \angle ALD$ следует, что $\angle DAL = \angle ALD$.

Рассмотрим треугольник $ADL$. Так как два его угла ($\angle DAL$ и $\angle ALD$) равны, то треугольник $ADL$ является равнобедренным с основанием $AL$. В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны, то есть $AD = DL$.

По условию задачи, $AD = 2$ см. Следовательно, длина отрезка $DL$ также равна 2 см: $DL = 2$ см.

В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому $CD = AB$. По условию, $AB = 7$ см, следовательно, $CD = 7$ см.

Точка $L$ делит сторону $CD$ на два отрезка: $CL$ и $DL$. Длину отрезка $CL$ можно найти как разность длин $CD$ и $DL$:

$CL = CD - DL = 7 \text{ см} - 2 \text{ см} = 5 \text{ см}$.

Таким образом, биссектриса угла $A$ делит сторону $CD$ на отрезки длиной 2 см и 5 см.

Ответ: на отрезки 2 см и 5 см.

8. Найдите углы параллелограмма ABCD, если известно, что:

а) $\angle B - \angle A = 50^{\circ}$

б) $\angle D = 3 \cdot \angle C$

Для решения задачи воспользуемся свойствами углов параллелограмма:

• Противоположные углы равны. Для параллелограмма $ABCD$ это означает, что $\angle A = \angle C$ и $\angle B = \angle D$.
• Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. Например, $\angle A + \angle B = 180^\circ$.

а)

По условию задачи имеем $\angle B - \angle A = 50^\circ$.

Также мы знаем, что сумма углов, прилежащих к стороне $AB$, равна $180^\circ$: $\angle A + \angle B = 180^\circ$.

Получаем систему из двух линейных уравнений:

$\begin{cases} \angle B - \angle A = 50^\circ \\ \angle B + \angle A = 180^\circ \end{cases}$

Сложим два уравнения:

$(\angle B - \angle A) + (\angle B + \angle A) = 50^\circ + 180^\circ$

$2 \cdot \angle B = 230^\circ$

$\angle B = 230^\circ / 2 = 115^\circ$

Теперь найдем угол $A$, подставив значение угла $B$ в одно из уравнений:

$\angle A = 180^\circ - \angle B = 180^\circ - 115^\circ = 65^\circ$

Так как в параллелограмме противоположные углы равны:

$\angle C = \angle A = 65^\circ$

$\angle D = \angle B = 115^\circ$

Ответ: $\angle A = 65^\circ$, $\angle B = 115^\circ$, $\angle C = 65^\circ$, $\angle D = 115^\circ$.

б)

По условию задачи имеем $\angle D = 3 \cdot \angle C$.

Углы $C$ и $D$ прилежат к одной стороне $CD$, следовательно, их сумма равна $180^\circ$:

$\angle C + \angle D = 180^\circ$

Подставим в это уравнение условие $\angle D = 3 \cdot \angle C$:

$\angle C + 3 \cdot \angle C = 180^\circ$

$4 \cdot \angle C = 180^\circ$

$\angle C = 180^\circ / 4 = 45^\circ$

Теперь найдем угол $D$:

$\angle D = 3 \cdot \angle C = 3 \cdot 45^\circ = 135^\circ$

Так как в параллелограмме противоположные углы равны:

$\angle A = \angle C = 45^\circ$

$\angle B = \angle D = 135^\circ$

Ответ: $\angle A = 45^\circ$, $\angle B = 135^\circ$, $\angle C = 45^\circ$, $\angle D = 135^\circ$.

9. Найдите неизвестные элементы прямоугольника:

a) $AO = 14$
$\angle ODC = 33^\circ$
$BO - ?$
$DO - ?$
$\alpha - ?$

б) $BO = 27$
$\angle ODC = 37^\circ$
$AO - ?$
$DB - ?$
$\alpha - ?$
$\beta - ?$

в) $AO = 16$
$AD = 16$
$\angle OAB = 43^\circ$
$P_{ABCD} = 90$
$P_{COD} - ?$
$\alpha - ?$

г) $BO = 32$
$\angle ADO = 49^\circ$
$P_{ABC} = 155$
$P_{ABCD} - ?$
$\beta - ?$

д) $BD = 34$
$AD = x$
$\angle AOD = 60^\circ$
$x - ?$

e) $AD = 9$
$\angle AOD = 60^\circ$
$AC - ?$

ж) $\alpha + \beta = 145^\circ$
$\gamma - ?$

з) $\alpha + \beta = 155^\circ$
$\gamma - ?$

и) $AO = 5$
$AD = x$
$\angle OCD = 30^\circ$
$x - ?$

к) $AD = 11$
$\angle BAC = 30^\circ$
$OC - ?$

а) В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, все отрезки $AO, BO, CO, DO$ равны между собой.
Так как $AO = 14$, то $BO = AO = 14$ и $DO = AO = 14$.
Угол $D$ прямоугольника равен $90^\circ$. Он состоит из двух углов: $\angle ADO$ и $\angle CDO$.
$\angle ADC = \angle ADO + \angle CDO = 90^\circ$.
По условию $\angle ADO = 33^\circ$, а $\angle CDO = \alpha$.
Получаем уравнение: $33^\circ + \alpha = 90^\circ$.
Отсюда $\alpha = 90^\circ - 33^\circ = 57^\circ$.
Ответ: $BO = 14, DO = 14, \alpha = 57^\circ$.

б) В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам, поэтому $AO = BO = CO = DO$.
Из условия $BO = 27$, следует, что $AO = 27$ и $DO = 27$.
Длина диагонали $DB$ равна сумме ее половин: $DB = BO + DO = 27 + 27 = 54$.
Угол $D$ прямоугольника равен $90^\circ$: $\angle ADC = \angle ADO + \angle ODC = 90^\circ$.
Подставляем известные значения: $\alpha + 37^\circ = 90^\circ$.
Отсюда $\alpha = 90^\circ - 37^\circ = 53^\circ$.
Рассмотрим треугольник $\triangle ADO$. Так как $AO = DO$, он равнобедренный. Углы при основании равны: $\angle DAO = \angle ADO = \alpha = 53^\circ$.
Противоположные стороны прямоугольника параллельны ($AD \parallel BC$), поэтому накрест лежащие углы при секущей $AC$ равны: $\beta = \angle OCB = \angle DAO = 53^\circ$.
Ответ: $AO = 27, DB = 54, \alpha = 53^\circ, \beta = 53^\circ$.

в) Угол $A$ прямоугольника равен $90^\circ$: $\angle DAB = \angle DAO + \angle OAB = 90^\circ$.
Треугольник $\triangle AOB$ равнобедренный, так как $AO=BO$ (половины диагоналей). Значит, углы при основании равны: $\angle OAB = \angle OBA = 43^\circ$.
Подставляем известные значения в формулу для угла A: $\alpha + 43^\circ = 90^\circ$.
Отсюда $\alpha = 90^\circ - 43^\circ = 47^\circ$.
Периметр треугольника $\triangle COD$ равен $P_{COD} = CO + OD + CD$.
Так как $AO = 16$, то $CO = OD = 16$. Значит, $P_{COD} = 16 + 16 + CD = 32 + CD$.
Периметр прямоугольника $P_{ABCD} = 2(AD + CD) = 90$, откуда $AD + CD = 45$.
По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $\triangle ADC$: $AD^2 + CD^2 = AC^2$.
Диагональ $AC = 2 \cdot AO = 2 \cdot 16 = 32$.
Получаем систему уравнений:
$AD + CD = 45$
$AD^2 + CD^2 = 32^2 = 1024$
Из первого уравнения $AD = 45 - CD$. Подставляем во второе:
$(45 - CD)^2 + CD^2 = 1024$
$2025 - 90 \cdot CD + CD^2 + CD^2 = 1024$
$2 \cdot CD^2 - 90 \cdot CD + 1001 = 0$
Решая квадратное уравнение, находим $CD = \frac{90 \pm \sqrt{8100 - 8008}}{4} = \frac{90 \pm \sqrt{92}}{4} = \frac{45 \pm \sqrt{23}}{2}$.
В треугольнике $\triangle ADC$ угол $\angle CAD = \alpha = 47^\circ$, а угол $\angle ACD = \angle OAB = 43^\circ$. Так как $\angle CAD > \angle ACD$, то противолежащая сторона $CD$ больше стороны $AD$. Следовательно, выбираем большее значение для $CD$.
$CD = \frac{45 + \sqrt{23}}{2}$.
$P_{COD} = 32 + CD = 32 + \frac{45 + \sqrt{23}}{2} = \frac{64 + 45 + \sqrt{23}}{2} = \frac{109 + \sqrt{23}}{2}$.
Ответ: $\alpha = 47^\circ, P_{COD} = \frac{109 + \sqrt{23}}{2}$.

г) Периметр треугольника $P_{ABC} = AB + BC + AC$.
Диагональ $AC = 2 \cdot BO = 2 \cdot 32 = 64$.
Подставляем в формулу периметра: $AB + BC + 64 = 155$.
Отсюда сумма смежных сторон прямоугольника $AB + BC = 155 - 64 = 91$.
Периметр прямоугольника $P_{ABCD} = 2(AB + BC) = 2 \cdot 91 = 182$.
В прямоугольнике противоположные стороны параллельны ($AD \parallel BC$), поэтому накрест лежащие углы при секущей $BD$ равны: $\beta = \angle CBD = \angle ADB$.
Из условия $\angle ADB = 49^\circ$, значит $\beta = 49^\circ$.
Ответ: $P_{ABCD} = 182, \beta = 49^\circ$.

д) В прямоугольнике диагонали равны и в точке пересечения делятся пополам, поэтому $AO=DO=BD/2$.
При $BD=34$, получаем $AO = DO = 34/2 = 17$.
Рассмотрим треугольник $\triangle AOD$. Он является равнобедренным, так как $AO = DO$.
По условию, угол при вершине $\angle AOD = 60^\circ$.
Равнобедренный треугольник с углом $60^\circ$ является равносторонним.
Следовательно, все его стороны равны: $x = AD = AO = DO = 17$.
Ответ: $x = 17$.

е) В прямоугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, поэтому $AO=BO=CO=DO$.
Вертикальные углы равны, значит $\angle AOD$ и $\angle BOC$ смежные с $\angle AOB$.
$\angle AOD = 180^\circ - \angle AOB = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.
Рассмотрим треугольник $\triangle AOD$. Он равнобедренный с боковыми сторонами $AO$ и $DO$ и основанием $AD=9$. Угол при вершине $\angle AOD = 120^\circ$.
Углы при основании равны: $\angle DAO = \angle ADO = (180^\circ - 120^\circ)/2 = 30^\circ$.
По теореме синусов в $\triangle AOD$: $\frac{AD}{\sin(\angle AOD)} = \frac{AO}{\sin(\angle ADO)}$.
$\frac{9}{\sin(120^\circ)} = \frac{AO}{\sin(30^\circ)}$.
$AO = 9 \cdot \frac{\sin(30^\circ)}{\sin(120^\circ)} = 9 \cdot \frac{1/2}{\sqrt{3}/2} = \frac{9}{\sqrt{3}} = 3\sqrt{3}$.
Диагональ $AC = 2 \cdot AO = 2 \cdot 3\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$.
Ответ: $AC = 6\sqrt{3}$.

ж) Обозначим вершины прямоугольника A, B, C, D, начиная с левого верхнего угла и по часовой стрелке. Тогда $\alpha = \angle OAB$, $\gamma = \angle OAD$.
Угол $A$ прямоугольника равен $90^\circ$, т.е. $\alpha + \gamma = 90^\circ$.
В $\triangle AOD$ стороны $AO=DO$, значит он равнобедренный, и $\angle ODA = \angle OAD = \gamma$.
Сумма углов в $\triangle AOD$ равна $180^\circ$. Угол $\beta$ на рисунке может быть $\angle AOB$ или $\angle AOD$. Если $\beta=\angle AOD$, то $2\gamma + \beta = 180^\circ$. Решая систему с $\alpha + \beta = 145^\circ$ и $\alpha + \gamma = 90^\circ$, получаем $\gamma = 125/3$, что маловероятно.
Предположим, $\beta = \angle AOB = 145^\circ - \alpha$. Тогда $\angle AOD = 180^\circ - \beta$. В $\triangle AOD$ имеем $2\gamma + (180^\circ - \beta) = 180^\circ$, что дает $\beta = 2\gamma$.
Решаем систему:
$\alpha + \gamma = 90^\circ$
$\alpha + 2\gamma = 145^\circ$
Вычитая первое уравнение из второго, получаем: $\gamma = 145^\circ - 90^\circ = 55^\circ$.
Ответ: $\gamma = 55^\circ$.

з) Обозначим вершины: A (верхняя левая), B (верхняя правая), C (нижняя правая), D (нижняя левая). Тогда $\alpha = \angle BAC$, $\beta = \angle AOB$, $\gamma = \angle ADB$.
В треугольнике $\triangle AOB$ стороны $AO=BO$, он равнобедренный. Углы при основании равны: $\angle OAB = \angle OBA = \alpha$.
Сумма углов в $\triangle AOB$ равна $180^\circ$: $\alpha + \alpha + \beta = 180^\circ$, то есть $2\alpha + \beta = 180^\circ$.
Из условия имеем $\alpha + \beta = 155^\circ$.
Решим систему из двух уравнений:
$2\alpha + \beta = 180^\circ$
$\alpha + \beta = 155^\circ$
Вычитая второе уравнение из первого: $\alpha = 180^\circ - 155^\circ = 25^\circ$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABD$ (угол $\angle DAB = 90^\circ$). Сумма его острых углов равна $90^\circ$: $\angle ABD + \angle ADB = 90^\circ$.
$\angle ABD = \alpha = 25^\circ$, а $\angle ADB = \gamma$.
Следовательно, $25^\circ + \gamma = 90^\circ$.
$\gamma = 90^\circ - 25^\circ = 65^\circ$.
Ответ: $\gamma = 65^\circ$.

и) В прямоугольнике диагонали равны и делятся пополам в точке пересечения, поэтому $AO = CO = DO = 5$.
Диагональ $AC = AO + CO = 5 + 5 = 10$.
Треугольник $\triangle COD$ равнобедренный, так как $CO = DO$. Значит, углы при основании равны: $\angle ODC = \angle OCD = 30^\circ$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ADC$, где $\angle D = 90^\circ$. Мы ищем катет $x=AD$.
В $\triangle ADC$ катет $AD$ лежит напротив угла $\angle ACD = 30^\circ$.
По свойству катета, лежащего против угла в $30^\circ$, он равен половине гипотенузы $AC$.
$x = AD = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5$.
Ответ: $x = 5$.

к) В прямоугольнике диагонали равны и делятся пополам, поэтому $OC = AO$.
Углы $\angle AOB$ и $\angle AOD$ — смежные, их сумма равна $180^\circ$.
$\angle AOD = 180^\circ - \angle AOB = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$.
Рассмотрим треугольник $\triangle AOD$. Он равнобедренный ($AO=DO$) с основанием $AD=11$.
Углы при основании равны: $\angle OAD = \angle ODA = (180^\circ - 150^\circ)/2 = 15^\circ$.
Применим теорему синусов для $\triangle AOD$: $\frac{AD}{\sin(\angle AOD)} = \frac{AO}{\sin(\angle ODA)}$.
$\frac{11}{\sin(150^\circ)} = \frac{AO}{\sin(15^\circ)}$.
Так как $\sin(150^\circ) = \sin(30^\circ) = 1/2$, получаем:
$AO = 11 \cdot \frac{\sin(15^\circ)}{\sin(150^\circ)} = 11 \cdot \frac{\sin(15^\circ)}{1/2} = 22\sin(15^\circ)$.
Используя формулу синуса половинного угла или разности: $\sin(15^\circ) = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$.
$OC = AO = 22 \cdot \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} = \frac{11(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{2}$.
Ответ: $OC = \frac{11(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{2}$.