Страница 167 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

Выберите верный ответ (15-21).

15. Если сумма двух углов параллелограмма равна $94^{\circ}$, то его тупой угол равен:

а) $200^{\circ}$;

б) $166^{\circ}$;

в) $133^{\circ}$;

г) $100^{\circ}$;

д) $89^{\circ}$.

15.

Рассмотрим свойства углов параллелограмма. Противолежащие углы в параллелограмме равны, а сумма углов, прилежащих к одной стороне, составляет $180^\circ$.

В условии задачи указано, что сумма двух углов равна $94^\circ$. Так как эта сумма не равна $180^\circ$, эти два угла не могут быть прилежащими к одной стороне. Следовательно, это могут быть только противолежащие углы, которые равны между собой.

Найдем величину каждого из этих равных углов:

$94^\circ \div 2 = 47^\circ$

Угол величиной $47^\circ$ является острым, так как он меньше $90^\circ$. В задаче требуется найти тупой угол параллелограмма.

Тупой угол является прилежащим к острому, а их сумма, как известно, равна $180^\circ$. Вычислим величину тупого угла:

$180^\circ - 47^\circ = 133^\circ$

Таким образом, тупой угол параллелограмма равен $133^\circ$.

Ответ: в) $133^\circ$

16. Если разность двух углов параллелограмма равна $100^\circ$, то

меньший из них равен:

a) $50^\circ$;

б) $40^\circ$;

в) $30^\circ$;

г) $45^\circ$;

д) $35^\circ$.

В параллелограмме есть два вида углов: противолежащие, которые равны между собой, и смежные (прилежащие к одной стороне), сумма которых равна 180°.

По условию, разность двух углов равна 100°. Если бы это были противолежащие углы, их разность была бы равна нулю. Следовательно, речь идет о смежных углах.

Обозначим эти смежные углы как $\alpha$ и $\beta$. Пусть $\alpha$ — больший угол, а $\beta$ — меньший.

Исходя из свойств параллелограмма и условия задачи, мы можем составить систему из двух уравнений:

1. Сумма смежных углов равна 180°:

$\alpha + \beta = 180°$

2. Разность этих углов равна 100°:

$\alpha - \beta = 100°$

Получаем систему:

$ \begin{cases} \alpha + \beta = 180° \\ \alpha - \beta = 100° \end{cases} $

Для решения системы сложим два уравнения:

$(\alpha + \beta) + (\alpha - \beta) = 180° + 100°$

$2\alpha = 280°$

$\alpha = \frac{280°}{2} = 140°$

Мы нашли больший угол. Теперь найдем меньший угол $\beta$, подставив значение $\alpha$ в первое уравнение:

$140° + \beta = 180°$

$\beta = 180° - 140°$

$\beta = 40°$

Итак, углы параллелограмма равны 140° и 40°. Вопрос задачи — найти меньший из них. Меньший угол равен 40°.

Среди предложенных вариантов ответа это вариант б).

Ответ: б) 40°.

17. В параллелограмме $ABCD$ из вершины $B$ к сторонам $AD$ и $CD$ проведены перпендикуляры $BH$ и $BK$ соответственно, угол $HBK$ равен $64^\circ$. Найдите углы параллелограмма $ABCD$.

а) $26^\circ, 154^\circ, 26^\circ, 154^\circ$;

б) $52^\circ, 128^\circ, 52^\circ, 128^\circ$;

в) $56^\circ, 124^\circ, 56^\circ, 124^\circ$;

г) $58^\circ, 122^\circ, 58^\circ, 122^\circ$;

д) $64^\circ, 116^\circ, 64^\circ, 116^\circ$.

Пусть дан параллелограмм $ABCD$. Из вершины $B$ проведены перпендикуляры $BH$ к прямой, содержащей сторону $AD$, и $BK$ к прямой, содержащей сторону $CD$. По условию $\angle HBK = 64^\circ$.
Рассмотрим четырехугольник $HBKD$. Сумма внутренних углов любого четырехугольника равна $360^\circ$.
$\angle D + \angle BHD + \angle HBK + \angle BKD = 360^\circ$.
1. Угол $\angle KDH$ четырехугольника $HBKD$ является углом $\angle D$ параллелограмма $ABCD$.
2. Так как $BH$ является перпендикуляром к прямой $AD$, то угол при вершине $H$ в четырехугольнике $HBKD$ прямой: $\angle BHD = 90^\circ$.
3. Аналогично, так как $BK$ является перпендикуляром к прямой $CD$, то угол при вершине $K$ прямой: $\angle BKD = 90^\circ$.
4. Угол $\angle HBK$ дан по условию и равен $64^\circ$.

Подставим известные значения в формулу суммы углов четырехугольника:
$\angle D + 90^\circ + 64^\circ + 90^\circ = 360^\circ$
$\angle D + 244^\circ = 360^\circ$
$\angle D = 360^\circ - 244^\circ$
$\angle D = 116^\circ$

Теперь найдем остальные углы параллелограмма, используя его свойства:
- Противолежащие углы параллелограмма равны, следовательно, $\angle B = \angle D = 116^\circ$.
- Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. Следовательно, $\angle A = 180^\circ - \angle D = 180^\circ - 116^\circ = 64^\circ$.
- Так как $\angle C$ противоположен углу $\angle A$, то $\angle C = \angle A = 64^\circ$.

Таким образом, углы параллелограмма равны $64^\circ$, $116^\circ$, $64^\circ$, $116^\circ$.
Ответ: Углы параллелограмма равны $64^\circ, 116^\circ, 64^\circ, 116^\circ$.