Страница 171 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

30. Заполните таблицу:

катет: 8, , 12, 40, , 1, 6, 2

катет: 6, 17, 35, 42, 15, $2\sqrt{6}$, $6\sqrt{3}$,

гипотенуза: , 15, , , 20, , , $10\sqrt{2}$

Для заполнения таблицы необходимо использовать теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, которая гласит: сумма квадратов длин катетов ($a$ и $b$) равна квадрату длины гипотенузы ($c$). Формула: $a^2 + b^2 = c^2$. Из этой формулы можно найти любую из сторон, если известны две другие:
- Для нахождения гипотенузы: $c = \sqrt{a^2 + b^2}$
- Для нахождения катета: $a = \sqrt{c^2 - b^2}$ или $b = \sqrt{c^2 - a^2}$
Решим задачу для каждого столбца таблицы.

Столбец 1

Даны два катета: $a = 8$ и $b = 6$. Необходимо найти гипотенузу $c$.

Применяем теорему Пифагора:

$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{8^2 + 6^2}$

$c = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100}$

$c = 10$

Ответ: 10

Столбец 2

Даны катет $b = 17$ и гипотенуза $c = 15$. Необходимо найти другой катет $a$.

В прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда является самой длинной стороной, то есть она должна быть длиннее каждого из катетов. В данном случае дано, что гипотенуза $c = 15$, а катет $b = 17$. Так как $15 < 17$, такое соотношение сторон в прямоугольном треугольнике невозможно.

Если формально применить теорему Пифагора для нахождения катета $a$:

$a^2 = c^2 - b^2 = 15^2 - 17^2$

$a^2 = 225 - 289 = -64$

Квадрат действительного числа не может быть отрицательным, что подтверждает, что прямоугольный треугольник с такими сторонами не существует. Вероятно, в условии допущена опечатка.

Ответ: Решения не существует.

Столбец 3

Даны два катета: $a = 12$ и $b = 35$. Необходимо найти гипотенузу $c$.

Применяем теорему Пифагора:

$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{12^2 + 35^2}$

$c = \sqrt{144 + 1225} = \sqrt{1369}$

$c = 37$

Ответ: 37

Столбец 4

Даны два катета: $a = 40$ и $b = 42$. Необходимо найти гипотенузу $c$.

Применяем теорему Пифагора:

$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{40^2 + 42^2}$

$c = \sqrt{1600 + 1764} = \sqrt{3364}$

$c = 58$

Ответ: 58

Столбец 5

Даны катет $b = 15$ и гипотенуза $c = 20$. Необходимо найти катет $a$.

Применяем теорему Пифагора:

$a = \sqrt{c^2 - b^2} = \sqrt{20^2 - 15^2}$

$a = \sqrt{400 - 225} = \sqrt{175}$

Упростим корень: $a = \sqrt{25 \cdot 7} = 5\sqrt{7}$

Ответ: $5\sqrt{7}$

Столбец 6

Даны два катета: $a = 1$ и $b = 2\sqrt{6}$. Необходимо найти гипотенузу $c$.

Применяем теорему Пифагора:

$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{1^2 + (2\sqrt{6})^2}$

$c = \sqrt{1 + 4 \cdot 6} = \sqrt{1 + 24} = \sqrt{25}$

$c = 5$

Ответ: 5

Столбец 7

Даны два катета: $a = 6$ и $b = 6\sqrt{3}$. Необходимо найти гипотенузу $c$.

Применяем теорему Пифагора:

$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{6^2 + (6\sqrt{3})^2}$

$c = \sqrt{36 + 36 \cdot 3} = \sqrt{36 + 108} = \sqrt{144}$

$c = 12$

Ответ: 12

Столбец 8

Даны катет $a = 2$ и гипотенуза $c = 10\sqrt{2}$. Необходимо найти катет $b$.

Применяем теорему Пифагора:

$b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{(10\sqrt{2})^2 - 2^2}$

$b = \sqrt{100 \cdot 2 - 4} = \sqrt{200 - 4} = \sqrt{196}$

$b = 14$

Ответ: 14

31. Выберите прямоугольные треугольники:

a)

3, 2, 4

б)

3, 5, 7

в)

10, 24, 26

г)

6, 8, 10

д)

2, 4, $2\sqrt{5}$

е)

7, 24, 25

ж)

$2\sqrt{7}$, $2\sqrt{2}$, 7

з)

3, 13, 14

Для определения, является ли треугольник прямоугольным, необходимо проверить, выполняется ли для него обратная теорема Пифагора. Согласно этой теореме, если квадрат длины наибольшей стороны треугольника равен сумме квадратов длин двух других сторон ($c^2 = a^2 + b^2$), то такой треугольник является прямоугольным.

а) Стороны треугольника: 2, 3, 4. Наибольшая сторона равна 4. Проверим равенство: $4^2 = 2^2 + 3^2$.
$4^2 = 16$.
$2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13$.
Поскольку $16 \neq 13$, треугольник не является прямоугольным.
Ответ: не является прямоугольным.

б) Стороны треугольника: 3, 5, 7. Наибольшая сторона равна 7. Проверим равенство: $7^2 = 3^2 + 5^2$.
$7^2 = 49$.
$3^2 + 5^2 = 9 + 25 = 34$.
Поскольку $49 \neq 34$, треугольник не является прямоугольным.
Ответ: не является прямоугольным.

в) Стороны треугольника: 10, 24, 26. Наибольшая сторона равна 26. Проверим равенство: $26^2 = 10^2 + 24^2$.
$26^2 = 676$.
$10^2 + 24^2 = 100 + 576 = 676$.
Поскольку $676 = 676$, треугольник является прямоугольным.
Ответ: является прямоугольным.

г) Стороны треугольника: 6, 8, 10. Наибольшая сторона равна 10. Проверим равенство: $10^2 = 6^2 + 8^2$.
$10^2 = 100$.
$6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$.
Поскольку $100 = 100$, треугольник является прямоугольным.
Ответ: является прямоугольным.

д) Стороны треугольника: 2, 4, $2\sqrt{5}$. Чтобы найти наибольшую сторону, сравним их квадраты: $2^2=4$, $4^2=16$, $(2\sqrt{5})^2 = 4 \cdot 5 = 20$. Наибольшая сторона - $2\sqrt{5}$. Проверим равенство: $(2\sqrt{5})^2 = 2^2 + 4^2$.
$(2\sqrt{5})^2 = 20$.
$2^2 + 4^2 = 4 + 16 = 20$.
Поскольку $20 = 20$, треугольник является прямоугольным.
Ответ: является прямоугольным.

е) Стороны треугольника: 7, 24, 25. Наибольшая сторона равна 25. Проверим равенство: $25^2 = 7^2 + 24^2$.
$25^2 = 625$.
$7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625$.
Поскольку $625 = 625$, треугольник является прямоугольным.
Ответ: является прямоугольным.

ж) Стороны треугольника: $2\sqrt{7}$, $2\sqrt{2}$, 7. Чтобы найти наибольшую сторону, сравним их квадраты: $(2\sqrt{7})^2=28$, $(2\sqrt{2})^2=8$, $7^2=49$. Наибольшая сторона - 7. Проверим равенство: $7^2 = (2\sqrt{7})^2 + (2\sqrt{2})^2$.
$7^2 = 49$.
$(2\sqrt{7})^2 + (2\sqrt{2})^2 = 28 + 8 = 36$.
Поскольку $49 \neq 36$, треугольник не является прямоугольным.
Ответ: не является прямоугольным.

з) Стороны треугольника: 3, 13, 14. Наибольшая сторона равна 14. Проверим равенство: $14^2 = 3^2 + 13^2$.
$14^2 = 196$.
$3^2 + 13^2 = 9 + 169 = 178$.
Поскольку $196 \neq 178$, треугольник не является прямоугольным.
Ответ: не является прямоугольным.

Итого, прямоугольными являются треугольники: в, г, д, е.

32. Найдите неизвестные элементы многоугольника:

а) $x - ?$

б) $AB \parallel CD$, $BC \parallel AD$, $x - ?$

в) $x - ?$

г) $P_{ABCD} - ?$, $AO - ?$

д) $AC = 12$, $BD = 16$, $AB - ?$, $P_{ABCD} - ?$

е) $AB = 10$, $AC = 16$, $BD - ?$, $P_{ABCD} - ?$

ж) $x - ?$

з) $x - ?$

и) $AB - ?$, $P_{ABC} - ?$

к) $AC = 5\sqrt{2}$, $AB - ?$, $CD - ?$

а)

Рассмотрим несколько возможных интерпретаций неоднозначного чертежа. Наиболее вероятной, приводящей к единственному решению, является следующая: дана прямоугольная трапеция, у которой высота равна 7, большее основание равно 25, а диагональ, проведенная из вершины острого угла, перпендикулярна боковой стороне.

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, причем $AD || BC$. Пусть трапеция прямоугольная, с прямыми углами при вершинах $A$ и $B$. Тогда $AB$ — высота трапеции.Из условия имеем: $AB = 7$, $AD = 25$. Меньшее основание $BC = x$.По условию, диагональ $BD$ перпендикулярна боковой стороне $CD$, то есть $\angle BDC = 90^\circ$.Рассмотрим прямоугольный треугольник $BDC$. По теореме Пифагора: $BC^2 + CD^2 = BD^2$.Проведем высоту $CH$ из вершины $C$ к основанию $AD$. Так как $ABCD$ — прямоугольная трапеция с $\angle A = \angle B = 90^\circ$, то $ABCH$ — прямоугольник. Следовательно, $CH = AB = 7$ и $AH = BC = x$.Тогда отрезок $HD = AD - AH = 25 - x$.Рассмотрим прямоугольный треугольник $CHD$. По теореме Пифагора: $CD^2 = CH^2 + HD^2 = 7^2 + (25 - x)^2 = 49 + (25-x)^2$.Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABD$. По теореме Пифагора: $BD^2 = AB^2 + AD^2 = 7^2 + 25^2 = 49 + 625 = 674$.Теперь подставим выражения для $CD^2$ и $BD^2$ в уравнение для треугольника $BDC$:$x^2 + (49 + (25-x)^2) = 674$$x^2 + 49 + 625 - 50x + x^2 = 674$$2x^2 - 50x + 674 = 674$$2x^2 - 50x = 0$$2x(x - 25) = 0$Так как $x$ — это длина стороны, $x \ne 0$. Следовательно, $x-25=0$, откуда $x=25$.Ответ: $x = 25$.

б)

На рисунке изображен параллелограмм $ABCD$, так как дано, что $AB || CD$ и $BC || AD$.Даны длины: сторона $AB=10$, сторона $BC=21$. Проведена высота $BH$ к стороне $AD$, $BH=8$. Необходимо найти длину диагонали $AC$, обозначенной как $x$.Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$. По теореме Пифагора найдем катет $AH$:$AH^2 = AB^2 - BH^2 = 10^2 - 8^2 = 100 - 64 = 36$$AH = \sqrt{36} = 6$.В параллелограмме противолежащие стороны равны, поэтому $AD = BC = 21$.Найдем длину отрезка $HD$:$HD = AD - AH = 21 - 6 = 15$.Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $BHD$. Искомая диагональ $BD$, обозначенная на чертеже как $x$, является его гипотенузой.По теореме Пифагора:$x^2 = BD^2 = BH^2 + HD^2 = 8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289$$x = \sqrt{289} = 17$.*Примечание: на чертеже как $x$ обозначена диагональ $BD$, а не $AC$.*Ответ: $x = 17$.

в)

На рисунке изображен прямоугольник со сторонами 8 и 15. Неизвестная величина $x$ — это диагональ прямоугольника.Диагональ делит прямоугольник на два равных прямоугольных треугольника. Стороны прямоугольника являются катетами, а диагональ — гипотенузой.По теореме Пифагора:$x^2 = 8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289$$x = \sqrt{289} = 17$.Ответ: $x = 17$.

г)

На рисунке изображен прямоугольник $ABCD$ со сторонами $AB=36$ и $AD=27$. Диагонали пересекаются в точке $O$.Нужно найти периметр $P_{ABCD}$ и длину отрезка $AO$.1. Периметр прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2(a+b)$, где $a$ и $b$ — его смежные стороны.$P_{ABCD} = 2(AB + AD) = 2(36 + 27) = 2(63) = 126$.2. Диагонали прямоугольника равны и в точке пересечения делятся пополам. Найдем длину диагонали $AC$, используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника $ADC$ (где $DC=AB=36$):$AC^2 = AD^2 + DC^2 = 27^2 + 36^2 = 729 + 1296 = 2025$$AC = \sqrt{2025} = 45$.Отрезок $AO$ является половиной диагонали $AC$:$AO = \frac{AC}{2} = \frac{45}{2} = 22.5$.Ответ: $P_{ABCD} = 126$, $AO = 22.5$.

д)

На рисунке изображен ромб $ABCD$, так как все его стороны отмечены как равные.Даны длины диагоналей: $AC = 12$ и $BD = 16$.Нужно найти длину стороны $AB$ и периметр $P_{ABCD}$.Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей.Тогда $AO = \frac{AC}{2} = \frac{12}{2} = 6$ и $BO = \frac{BD}{2} = \frac{16}{2} = 8$.Рассмотрим прямоугольный треугольник $AOB$ (угол $AOB=90^\circ$). Сторона ромба $AB$ является гипотенузой этого треугольника.По теореме Пифагора:$AB^2 = AO^2 + BO^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$$AB = \sqrt{100} = 10$.Периметр ромба равен $P = 4a$, где $a$ — длина стороны.$P_{ABCD} = 4 \cdot AB = 4 \cdot 10 = 40$.Ответ: $AB = 10$, $P_{ABCD} = 40$.

е)

На рисунке изображен ромб, так как все четыре стороны отмечены равными штрихами.Дана длина стороны $AB = 10$ и длина одной диагонали $AC = 16$.Нужно найти длину второй диагонали $BD$ и периметр $P_{ABCD}$.1. Так как все стороны равны 10, периметр ромба:$P_{ABCD} = 4 \cdot 10 = 40$.2. Для нахождения второй диагонали воспользуемся свойством параллелограмма (и ромба в частности): сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон.$AC^2 + BD^2 = 4 \cdot AB^2$$16^2 + BD^2 = 4 \cdot 10^2$$256 + BD^2 = 4 \cdot 100 = 400$$BD^2 = 400 - 256 = 144$$BD = \sqrt{144} = 12$.Ответ: $BD = 12$, $P_{ABCD} = 40$.

ж)

На рисунке изображен квадрат со стороной $a$. Неизвестная величина $x$ — это диагональ квадрата $d$.Диагональ делит квадрат на два равных прямоугольных равнобедренных треугольника.По теореме Пифагора для одного из этих треугольников:$x^2 = d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$$x = d = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.Ответ: $x = a\sqrt{2}$.

з)

На рисунке изображен квадрат со стороной $a$. Диагонали пересекаются в точке $O$. Неизвестная величина $x$ — это длина отрезка $BO$.Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам.Длина всей диагонали $BD$ (из предыдущей задачи) равна $a\sqrt{2}$.Отрезок $BO$ является половиной диагонали $BD$.$x = BO = \frac{BD}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.Ответ: $x = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

и)

Для решения данной задачи недостаточно данных.На чертеже изображена фигура, состоящая из прямоугольника $ABCH$ и прямоугольного треугольника $CHD$. Чтобы найти численные значения длины стороны $AB$ и периметра треугольника $ABC$, необходимо знать длину хотя бы одного из элементов фигуры (например, $AD$, $CD$, $CH$ и т.д.).В общем виде, если обозначить $AB=h$ и $BC=b$, то периметр прямоугольного треугольника $ABC$ ($\angle B=90^\circ$) выражается как:$P_{ABC} = AB + BC + AC = h + b + \sqrt{h^2+b^2}$.Без числовых значений найти ответ невозможно.Ответ: Недостаточно данных для решения.

к)

Для решения данной задачи недостаточно данных.Проанализируем чертеж:1. Фигура является трапецией, так как показаны высоты $BE$ и $CF$, характерные для этого четырехугольника.2. Равные углы при основании $A$ и $D$ ($\angle A = \angle D$) указывают на то, что трапеция равнобедренная. Следовательно, боковые стороны равны: $AB = CD$.3. Указан прямой угол при вершине $B$. В трапеции сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна $180^\circ$. То есть $\angle A + \angle B = 180^\circ$. Если $\angle B = 90^\circ$, то и $\angle A = 90^\circ$.4. Так как трапеция равнобедренная, то $\angle D = \angle A = 90^\circ$ и $\angle C = \angle B = 90^\circ$.5. Четырехугольник, у которого все углы прямые, является прямоугольником.Таким образом, из условий на чертеже следует, что $ABCD$ — прямоугольник. В прямоугольнике $AB = CD$. Нам нужно найти длину этих сторон. Дана только длина диагонали $AC = 5\sqrt{2}$.Для прямоугольника со сторонами $a$ и $b$ и диагональю $d$ верно соотношение $a^2 + b^2 = d^2$.В нашем случае $AB^2 + BC^2 = AC^2 = (5\sqrt{2})^2 = 50$.Мы имеем одно уравнение с двумя неизвестными ($AB$ и $BC$). Если фигура не является квадратом (т.е. $AB \ne BC$), то однозначно определить длину стороны $AB$ невозможно. Никаких данных, указывающих на то, что это квадрат, на чертеже нет.Ответ: Недостаточно данных для решения.