Страница 177 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

43. Дан ромб $ABCD$ с тупым углом $B$, равным $120^\circ$, и стороной $AB = 6$. Найдите диагонали ромба.

а) 6 и $6\sqrt{3}$;

б) 6 и $3\sqrt{3}$;

в) 3 и $6\sqrt{3}$;

г) 6 и $12\sqrt{3}$;

д) другой ответ.

По условию задачи дан ромб $ABCD$ со стороной $AB=6$ и тупым углом $\angle B = 120^\circ$. Необходимо найти длины его диагоналей $AC$ и $BD$.

Свойства ромба, которые мы будем использовать:

• Все стороны ромба равны: $AB = BC = CD = DA = 6$.
• Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$.

1. Найдем острый угол ромба.

Угол $\angle A$ смежный с углом $\angle B$. Следовательно, их сумма равна $180^\circ$.

$\angle A = 180^\circ - \angle B = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

2. Найдем длину диагонали $BD$.

Рассмотрим треугольник $ABD$. Две его стороны $AB$ и $AD$ равны 6, а угол между ними $\angle A = 60^\circ$. Такой треугольник является равнобедренным. Углы при основании $BD$ равны: $\angle ABD = \angle ADB = (180^\circ - 60^\circ) / 2 = 60^\circ$.

Поскольку все углы треугольника $ABD$ равны $60^\circ$, он является равносторонним. Это значит, что все его стороны равны.

$BD = AB = AD = 6$.

Таким образом, длина меньшей диагонали равна 6.

3. Найдем длину диагонали $AC$.

Для нахождения второй диагонали $AC$ применим теорему косинусов к треугольнику $ABC$. В нем стороны $AB=6$, $BC=6$ и угол между ними $\angle B = 120^\circ$.

По теореме косинусов:

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle B)$

$AC^2 = 6^2 + 6^2 - 2 \cdot 6 \cdot 6 \cdot \cos(120^\circ)$

Используя значение $\cos(120^\circ) = -1/2$, получаем:

$AC^2 = 36 + 36 - 72 \cdot (-\frac{1}{2}) = 72 + 36 = 108$

Отсюда находим длину $AC$:

$AC = \sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = 6\sqrt{3}$.

Таким образом, длина большей диагонали равна $6\sqrt{3}$.

Итак, диагонали ромба равны 6 и $6\sqrt{3}$. Сравнивая с вариантами ответа, выбираем подходящий.

Ответ: а) 6 и $6\sqrt{3}$

44. Треугольник является прямоугольным, если его стороны

равны:

а) 4 см, 5 см, 6 см;

б) 6 см, 7 см, 8 см;

в) 6 см, 8 см, 10 см;

г) 7 см, 8 см, 9 см;

д) 8 см, 11 см, 15 см.

Для определения, является ли треугольник прямоугольным, необходимо применить теорему, обратную теореме Пифагора. Она гласит: если квадрат длины наибольшей стороны треугольника равен сумме квадратов длин двух других его сторон, то такой треугольник является прямоугольным. Формула имеет вид: $c^2 = a^2 + b^2$, где $c$ — наибольшая сторона (гипотенуза), а $a$ и $b$ — две другие стороны (катеты). Проверим каждый из предложенных вариантов.

а) 4 см, 5 см, 6 см;
Наибольшая сторона $c = 6$ см. Две другие стороны $a = 4$ см и $b = 5$ см.
Проверим равенство: $a^2 + b^2 = c^2$.
$4^2 + 5^2 = 16 + 25 = 41$.
$6^2 = 36$.
Поскольку $41 \neq 36$, треугольник с такими сторонами не является прямоугольным.
Ответ: не является прямоугольным.

б) 6 см, 7 см, 8 см;
Наибольшая сторона $c = 8$ см. Две другие стороны $a = 6$ см и $b = 7$ см.
Проверим равенство: $a^2 + b^2 = c^2$.
$6^2 + 7^2 = 36 + 49 = 85$.
$8^2 = 64$.
Поскольку $85 \neq 64$, треугольник с такими сторонами не является прямоугольным.
Ответ: не является прямоугольным.

в) 6 см, 8 см, 10 см;
Наибольшая сторона $c = 10$ см. Две другие стороны $a = 6$ см и $b = 8$ см.
Проверим равенство: $a^2 + b^2 = c^2$.
$6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$.
$10^2 = 100$.
Поскольку $100 = 100$, равенство выполняется. Следовательно, треугольник с такими сторонами является прямоугольным.
Ответ: является прямоугольным.

г) 7 см, 8 см, 9 см;
Наибольшая сторона $c = 9$ см. Две другие стороны $a = 7$ см и $b = 8$ см.
Проверим равенство: $a^2 + b^2 = c^2$.
$7^2 + 8^2 = 49 + 64 = 113$.
$9^2 = 81$.
Поскольку $113 \neq 81$, треугольник с такими сторонами не является прямоугольным.
Ответ: не является прямоугольным.

д) 8 см, 11 см, 15 см.
Наибольшая сторона $c = 15$ см. Две другие стороны $a = 8$ см и $b = 11$ см.
Проверим равенство: $a^2 + b^2 = c^2$.
$8^2 + 11^2 = 64 + 121 = 185$.
$15^2 = 225$.
Поскольку $185 \neq 225$, треугольник с такими сторонами не является прямоугольным.
Ответ: не является прямоугольным.

45. В прямоугольном треугольнике $ABC (\angle C = 90^\circ) AB = 10 \text{ см}, BC = 6 \text{ см}, BM$ – медиана. Найдите синус угла $CBM$.

а) $\frac{1}{2}$;

б) $\frac{\sqrt{13}}{13}$;

в) $\frac{\sqrt{52}}{4}$;

г) $\frac{2\sqrt{13}}{13}$;

д) другой ответ.

В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$ ($\angle C = 90^\circ$) известны гипотенуза $AB = 10$ см и катет $BC = 6$ см. Сначала найдём длину второго катета $AC$, используя теорему Пифагора:$AC^2 + BC^2 = AB^2$$AC^2 + 6^2 = 10^2$$AC^2 + 36 = 100$$AC^2 = 100 - 36 = 64$$AC = \sqrt{64} = 8$ см.

По условию, $BM$ — это медиана, проведённая к стороне $AC$. Это означает, что точка $M$ является серединой стороны $AC$. Следовательно, длина отрезка $MC$ равна половине длины $AC$:$MC = \frac{AC}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см.

Теперь рассмотрим треугольник $CBM$. Поскольку $\angle C$ в исходном треугольнике $ABC$ прямой, то и угол $\angle BCM$ в треугольнике $CBM$ также равен $90^\circ$. Таким образом, треугольник $CBM$ является прямоугольным с катетами $BC = 6$ см и $MC = 4$ см. Найдём длину его гипотенузы $BM$ по теореме Пифагора:$BM^2 = BC^2 + MC^2$$BM^2 = 6^2 + 4^2 = 36 + 16 = 52$$BM = \sqrt{52} = \sqrt{4 \cdot 13} = 2\sqrt{13}$ см.

Нам нужно найти синус угла $CBM$. Так как треугольник $CBM$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$, мы можем использовать определение синуса острого угла в прямоугольном треугольнике: синус угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. Для угла $\angle CBM$ противолежащим катетом является $MC$, а гипотенузой — $BM$.$\sin(\angle CBM) = \frac{MC}{BM}$Подставим найденные значения длин $MC=4$ см и $BM=2\sqrt{13}$ см:$\sin(\angle CBM) = \frac{4}{2\sqrt{13}} = \frac{2}{\sqrt{13}}$Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, домножим числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{13}$:$\sin(\angle CBM) = \frac{2 \cdot \sqrt{13}}{\sqrt{13} \cdot \sqrt{13}} = \frac{2\sqrt{13}}{13}$

Полученный результат $\frac{2\sqrt{13}}{13}$ соответствует варианту ответа г).

Ответ: $\frac{2\sqrt{13}}{13}$

46. Катеты прямоугольного треугольника равны 3 и 4. На отрезки какой длины делит гипотенузу высота треугольника, проведенная из вершины прямого угла?

а) $ \frac{4}{5} $ и $ \frac{21}{5} $

б) $ \frac{15}{8} $ и $ \frac{25}{8} $

в) $ \frac{9}{5} $ и $ \frac{16}{5} $

г) 2 и 3

д) другой ответ.

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $a=3$ и $b=4$. Необходимо найти длины отрезков, на которые высота, проведенная из вершины прямого угла, делит гипотенузу.

1. Найдем длину гипотенузы
Согласно теореме Пифагора, квадрат гипотенузы ($c$) равен сумме квадратов катетов ($a^2 + b^2 = c^2$).
$c^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$
$c = \sqrt{25} = 5$
Длина гипотенузы равна 5.

2. Найдем длины отрезков гипотенузы
Высота, проведенная к гипотенузе, делит ее на два отрезка, которые являются проекциями катетов на гипотенузу. Обозначим их $c_a$ и $c_b$.
Используем метрическое соотношение в прямоугольном треугольнике: квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу.
Для катета $a=3$ его проекция $c_a$ вычисляется по формуле $a^2 = c \cdot c_a$:
$3^2 = 5 \cdot c_a$
$9 = 5 \cdot c_a$
$c_a = \frac{9}{5}$

Для катета $b=4$ его проекция $c_b$ вычисляется по формуле $b^2 = c \cdot c_b$:
$4^2 = 5 \cdot c_b$
$16 = 5 \cdot c_b$
$c_b = \frac{16}{5}$

Проверим, что сумма длин отрезков равна длине гипотенузы: $\frac{9}{5} + \frac{16}{5} = \frac{25}{5} = 5$. Расчеты верны.
Таким образом, искомые длины отрезков равны $\frac{9}{5}$ и $\frac{16}{5}$. Этот результат соответствует варианту в).

Ответ: $\frac{9}{5}$ и $\frac{16}{5}$.

47. Укажите, какие из равенств являются тождествами:

а) $tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\sqrt{1 - \sin^2 \alpha}}$;

б) $ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sqrt{\cos^2 \alpha - 1}}$;

в) $1 + tg^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$;

г) $1 + ctg^2 \alpha = \frac{1}{\sqrt{\cos^2 \alpha}}$;

д) $tg \alpha + ctg \alpha = 1$.

Для того чтобы определить, какие из равенств являются тождествами, необходимо проверить каждое из них, используя основные тригонометрические формулы и определения.

а) $tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\sqrt{1 - \sin^2 \alpha}}$

Рассмотрим правую часть равенства. Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, из которого следует, что $1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha$. Подставим это выражение в знаменатель:

$\frac{\sin \alpha}{\sqrt{\cos^2 \alpha}} = \frac{\sin \alpha}{|\cos \alpha|}$

По определению, $tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$. Равенство $ \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\sin \alpha}{|\cos \alpha|} $ выполняется только тогда, когда $\cos \alpha = |\cos \alpha|$, то есть при $\cos \alpha \ge 0$. Это условие не выполняется для всех углов $\alpha$ (например, для углов во II и III четвертях), следовательно, это не тождество.

Ответ: не является тождеством.

б) $ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sqrt{\cos^2 \alpha - 1}}$

Рассмотрим выражение под корнем в знаменателе. Из основного тригонометрического тождества $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ следует, что $\cos^2 \alpha - 1 = -\sin^2 \alpha$.

Тогда знаменатель принимает вид $\sqrt{-\sin^2 \alpha}$. Так как $\sin^2 \alpha \ge 0$ для любого действительного $\alpha$, то $-\sin^2 \alpha \le 0$. Квадратный корень из неположительного числа не определен в области действительных чисел (за исключением нуля, но при $\sin \alpha = 0$ котангенс не определен). Таким образом, правая часть равенства не определена для почти всех значений $\alpha$.

Ответ: не является тождеством.

в) $1 + tg^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$

Преобразуем левую часть равенства, используя определение тангенса $tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$:

$1 + tg^2 \alpha = 1 + \left(\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\right)^2 = 1 + \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}$

Приводя к общему знаменателю, получаем:

$\frac{\cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} + \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \frac{\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}$

Применяя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, получаем:

$\frac{1}{\cos^2 \alpha}$

Левая часть равна правой для всех допустимых значений $\alpha$ (где $\cos \alpha \neq 0$). Это равенство является одним из основных тригонометрических тождеств.

Ответ: является тождеством.

г) $1 + ctg^2 \alpha = \frac{1}{\sqrt{\cos^2 \alpha}}$

Известно тригонометрическое тождество $1 + ctg^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$. Преобразуем правую часть исходного равенства:

$\frac{1}{\sqrt{\cos^2 \alpha}} = \frac{1}{|\cos \alpha|}$

Таким образом, нужно проверить, является ли тождеством равенство $\frac{1}{\sin^2 \alpha} = \frac{1}{|\cos \alpha|}$. Это неверно. Например, при $\alpha = \frac{\pi}{4}$ левая часть равна $\frac{1}{(\sin(\pi/4))^2} = \frac{1}{(1/\sqrt{2})^2} = 2$, а правая равна $\frac{1}{|\cos(\pi/4)|} = \frac{1}{1/\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.

Ответ: не является тождеством.

д) $tg \alpha + ctg \alpha = 1$

Преобразуем левую часть, используя определения тангенса и котангенса:

$tg \alpha + ctg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} + \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha}$

Используя основное тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, получаем:

$\frac{1}{\sin \alpha \cos \alpha}$

Равенство принимает вид $\frac{1}{\sin \alpha \cos \alpha} = 1$, или $\sin \alpha \cos \alpha = 1$. Используя формулу синуса двойного угла, $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$, получаем $\frac{1}{2}\sin(2\alpha) = 1$, то есть $\sin(2\alpha) = 2$. Это уравнение не имеет решений, так как максимальное значение синуса равно 1.

Ответ: не является тождеством.