Страница 180 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

57. Найдите площадь треугольника и его неизвестные элементы:

а) 6, 11, $S-?$

б) 5, 8, $S-?$

в) 12, 5, 13, $S-?$

г) 3, 4, 5, $S-?$

д) 8, 18, $S-?$

е) 14, 12, $S-?$

ж) 14, $S=84$, $x-?$

з) 10, $S=85$, $x-?$

и) 13, 6, $135^\circ$, $S-?$

к) 10, 5, $150^\circ$, $S-?$

л) 10, $S-?$

м) 8, $S-?$

а) Данный треугольник является прямоугольным, так как один из его углов прямой. Катеты треугольника равны 6 и 11. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. Формула для вычисления площади: $S = \frac{1}{2}ab$. Подставим известные значения: $S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 11 = 3 \cdot 11 = 33$.
Ответ: $S=33$.

б) Это прямоугольный треугольник с катетами 5 и 8. Площадь вычисляется как половина произведения катетов по формуле $S = \frac{1}{2}ab$. $S = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 8 = 5 \cdot 4 = 20$.
Ответ: $S=20$.

в) Это прямоугольный треугольник, катеты которого равны 5 и 12. Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2}ab$. $S = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = 5 \cdot 6 = 30$.
Ответ: $S=30$.

г) Дан прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4. Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2}ab$. $S = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 3 \cdot 2 = 6$.
Ответ: $S=6$.

д) В данном треугольнике известны основание $b=18$ и высота $h=8$, проведенная к этому основанию. Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2}bh$. $S = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 8 = 9 \cdot 8 = 72$.
Ответ: $S=72$.

е) В треугольнике даны сторона $a=14$ и высота $h=12$, проведенная к ней. Площадь треугольника можно найти по формуле $S = \frac{1}{2}ah$. $S = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 12 = 7 \cdot 12 = 84$.
Ответ: $S=84$.

ж) Известны площадь треугольника $S=84$ и одна из его сторон $a=14$. Необходимо найти высоту $x$, проведенную к этой стороне. Используем формулу площади $S = \frac{1}{2}ax$. Выразим из этой формулы высоту $x$. $x = \frac{2S}{a} = \frac{2 \cdot 84}{14} = \frac{168}{14} = 12$.
Ответ: $x=12$.

з) Дана площадь треугольника $S=85$ и высота $h=10$. Требуется найти длину основания $x$, к которому проведена эта высота. Воспользуемся формулой площади $S = \frac{1}{2}xh$ и выразим из нее $x$. $x = \frac{2S}{h} = \frac{2 \cdot 85}{10} = \frac{170}{10} = 17$.
Ответ: $x=17$.

и) В треугольнике известны две стороны $a=13$, $b=6$ и угол между ними $\gamma=135^{\circ}$. Площадь такого треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$. Значение $\sin(135^{\circ}) = \sin(180^{\circ}-45^{\circ}) = \sin(45^{\circ}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. $S = \frac{1}{2} \cdot 13 \cdot 6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 39 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{39\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $S=\frac{39\sqrt{2}}{2}$.

к) Даны две стороны треугольника $a=10$, $b=5$ и угол между ними $\gamma=150^{\circ}$. Площадь найдем по формуле $S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$. Значение $\sin(150^{\circ}) = \sin(180^{\circ}-30^{\circ}) = \sin(30^{\circ}) = \frac{1}{2}$. $S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 5 \cdot \frac{1}{2} = \frac{50}{4} = 12.5$.
Ответ: $S=12.5$.

л) Дан равносторонний треугольник, так как все его стороны равны. Длина стороны $a=10$. Площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$. $S = \frac{10^2\sqrt{3}}{4} = \frac{100\sqrt{3}}{4} = 25\sqrt{3}$.
Ответ: $S=25\sqrt{3}$.

м) Дан равносторонний треугольник со стороной $a=8$. Площадь равностороннего треугольника находится по формуле $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$. $S = \frac{8^2\sqrt{3}}{4} = \frac{64\sqrt{3}}{4} = 16\sqrt{3}$.
Ответ: $S=16\sqrt{3}$.