Страница 187 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

82. Найдите неизвестные коэффициенты уравнения прямой

$y = kx + p$

a) $p-?$

б) $p-?$

в) $k-?$

г) $k-?$

а) В уравнении прямой $y = kx + p$ коэффициент $p$ представляет собой ординату точки пересечения прямой с осью $y$ (y-перехват). На графике видно, что прямая пересекает ось $y$ в точке с координатами $(0, 5)$. Следовательно, значение коэффициента $p$ равно 5.
Ответ: $p = 5$.

б) Коэффициент $p$ в уравнении $y = kx + p$ соответствует значению $y$ при $x=0$, то есть точке пересечения с осью ординат. Судя по графику, прямая пересекает ось $y$ в точке $(0, 6)$. Таким образом, $p = 6$.
Ответ: $p = 6$.

в) Коэффициент $k$ в уравнении прямой $y = kx + p$ является угловым коэффициентом. Его можно найти, зная координаты двух точек на прямой $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$ по формуле $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$. Из графика видно, что прямая проходит через начало координат, точку $(0, 0)$, и точку с координатами $(-5, 10)$.
Подставим координаты этих точек в формулу:
$k = \frac{10 - 0}{-5 - 0} = \frac{10}{-5} = -2$.
Ответ: $k = -2$.

г) Для нахождения углового коэффициента $k$ воспользуемся координатами двух точек, принадлежащих прямой. Из графика мы видим, что прямая проходит через точки $(-4, 0)$ и $(8, 6)$.
Применим формулу для углового коэффициента $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$:
$k = \frac{6 - 0}{8 - (-4)} = \frac{6}{8 + 4} = \frac{6}{12} = 0.5$.
Ответ: $k = 0.5$.

83. Выберите параллельные прямые:

а) $y = 2x + 4$; б) $y = 6x - 5$; в) $y = 8$; г) $y = 4x$;

д) $y = -5x + 6$; е) $y = 8 - 2x$; ж) $y = 9x + 1$; з) $y = 8x$;

и) $y = 2x$; к) $y = 24$; л) $y = x + 9$; м) $y = 8x - 9$.

Основным условием параллельности двух прямых, заданных уравнениями в виде $y = kx + b$, является равенство их угловых коэффициентов. То есть, для двух прямых $y = k_1x + b_1$ и $y = k_2x + b_2$ должно выполняться условие $k_1 = k_2$. Если при этом $b_1 \neq b_2$, то прямые параллельны и не совпадают. Если $b_1 = b_2$, то прямые совпадают. Проанализируем все данные уравнения, найдем их угловые коэффициенты и сгруппируем прямые с одинаковыми коэффициентами.

Группа 1: Прямые с угловым коэффициентом $k=2$
К этой группе относятся две прямые:
а) $y = 2x + 4$, где угловой коэффициент $k=2$.
и) $y = 2x$, где угловой коэффициент $k=2$.
Поскольку угловые коэффициенты этих прямых равны ($2=2$), они параллельны.
Ответ: прямые а) и и) параллельны.

Группа 2: Прямые с угловым коэффициентом $k=0$
К этой группе относятся две прямые:
в) $y = 8$, уравнение можно представить как $y = 0x + 8$, где угловой коэффициент $k=0$.
к) $y = 24$, уравнение можно представить как $y = 0x + 24$, где угловой коэффициент $k=0$.
Так как угловые коэффициенты равны ($0=0$), эти прямые параллельны (обе являются горизонтальными линиями).
Ответ: прямые в) и к) параллельны.

Группа 3: Прямые с угловым коэффициентом $k=8$
К этой группе относятся две прямые:
з) $y = 8x$, где угловой коэффициент $k=8$.
м) $y = 8x - 9$, где угловой коэффициент $k=8$.
Поскольку угловые коэффициенты равны ($8=8$), эти прямые параллельны.
Ответ: прямые з) и м) параллельны.

Анализ остальных прямых
Оставшиеся прямые имеют следующие угловые коэффициенты:
б) $y = 6x - 5 \implies k=6$
г) $y = 4x \implies k=4$
д) $y = -5x + 6 \implies k=-5$
е) $y = 8 - 2x$ (или $y = -2x + 8$) $\implies k=-2$
ж) $y = 9x + 1 \implies k=9$
л) $y = x + 9 \implies k=1$
Все эти угловые коэффициенты уникальны в данном списке, поэтому эти прямые не имеют параллельных среди представленных.
Ответ: для прямых б), г), д), е), ж) и л) в заданном списке нет параллельных прямых.

84. Выберите перпендикулярные прямые:

а) $y = 5x - 4$;

б) $y = 6x - 5$;

в) $y = 6x + 7$;

г) $y = 4x - 2$;

д) $y = -5x + 6$;

е) $y = 8 - 0.2x$;

ж) $y = -6x - 7$;

з) $y = 2 - 0.25x$.

Две прямые, заданные уравнениями в виде $y = kx + b$, являются перпендикулярными, если произведение их угловых коэффициентов $k$ равно -1. Условие перпендикулярности выглядит так: $k_1 \cdot k_2 = -1$.

Сначала определим угловые коэффициенты для каждой из предложенных прямых:

а) $y = 5x - 4 \implies k_a = 5$
б) $y = 6x - 5 \implies k_б = 6$
в) $y = 6x + 7 \implies k_в = 6$
г) $y = 4x - 2 \implies k_г = 4$
д) $y = -5x + 6 \implies k_д = -5$
е) $y = 8 - 0.2x$ (или $y = -0.2x + 8$) $\implies k_е = -0.2$
ж) $y = -6x - 7 \implies k_ж = -6$
з) $y = 2 - 0.25x$ (или $y = -0.25x + 2$) $\implies k_з = -0.25$

Теперь проверим, какие пары прямых удовлетворяют условию перпендикулярности.

а) и е)У прямой а) угловой коэффициент $k_a = 5$. У прямой е) угловой коэффициент $k_e = -0.2$. Проверим произведение их коэффициентов: $k_a \cdot k_e = 5 \cdot (-0.2) = 5 \cdot (-\frac{1}{5}) = -1$. Так как произведение равно -1, эти прямые перпендикулярны.Ответ: прямые а) и е) перпендикулярны.

г) и з)У прямой г) угловой коэффициент $k_г = 4$. У прямой з) угловой коэффициент $k_з = -0.25$. Проверим произведение их коэффициентов: $k_г \cdot k_з = 4 \cdot (-0.25) = 4 \cdot (-\frac{1}{4}) = -1$. Так как произведение равно -1, эти прямые также перпендикулярны.Ответ: прямые г) и з) перпендикулярны.

Проверка остальных комбинаций показывает, что других перпендикулярных пар в списке нет. Например, для прямой б) с $k=6$ перпендикулярной была бы прямая с коэффициентом $k = -\frac{1}{6}$, которой нет в списке.