Страница 186 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

79. Найдите неизвестные элементы:

a)

$AM = MB$

$MO-?$

б)

$AM = MB$

$MO-?$

а)

Чтобы найти длину отрезка MO, сначала определим координаты точек A, B и M. Точка O является началом координат, поэтому ее координаты $O(0, 0)$.

1. Из графика находим координаты точек A и B:

Точка A имеет координаты $A(-3, 7)$.

Точка B имеет координаты $B(9, 1)$.

2. По условию $AM = MB$, значит, точка M — середина отрезка AB. Найдем ее координаты $(x_M, y_M)$ по формулам середины отрезка:

$x_M = \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{-3 + 9}{2} = \frac{6}{2} = 3$

$y_M = \frac{y_A + y_B}{2} = \frac{7 + 1}{2} = \frac{8}{2} = 4$

Таким образом, координаты точки M: $M(3, 4)$.

3. Теперь найдем расстояние MO по формуле расстояния между двумя точками $O(0, 0)$ и $M(3, 4)$:

$MO = \sqrt{(x_M - x_O)^2 + (y_M - y_O)^2} = \sqrt{(3 - 0)^2 + (4 - 0)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

Ответ: 5

б)

Действуем аналогично первому пункту. Координаты точки O — $O(0, 0)$.

1. Из графика находим координаты точек A и B:

Точка A имеет координаты $A(10, 6)$.

Точка B имеет координаты $B(2, -1)$.

2. Так как M — середина отрезка AB, найдем ее координаты $(x_M, y_M)$:

$x_M = \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{10 + 2}{2} = \frac{12}{2} = 6$

$y_M = \frac{y_A + y_B}{2} = \frac{6 + (-1)}{2} = \frac{5}{2} = 2.5$

Таким образом, координаты точки M: $M(6, 2.5)$.

3. Найдем расстояние MO по формуле расстояния между точками $O(0, 0)$ и $M(6, 2.5)$:

$MO = \sqrt{(x_M - x_O)^2 + (y_M - y_O)^2} = \sqrt{(6 - 0)^2 + (2.5 - 0)^2} = \sqrt{6^2 + (2.5)^2} = \sqrt{36 + 6.25} = \sqrt{42.25} = 6.5$.

Ответ: 6.5

80. Заполните таблицу, если $O$ – начало координат, $B \in Ox, C \in Oy$ и $AB \perp Ox, AC \perp Oy$:

A (3; 4) (-5; 12) (15; 0) (16; 30) (0,8; 0,6) ($3\sqrt{3}$; $\sqrt{22}$)

AO

AB

AC

Для точки A(3; 4):

Для любой точки $A(x; y)$ в декартовой системе координат с началом в точке $O(0; 0)$ и точками $B(x; 0)$ на оси $Ox$ и $C(0; y)$ на оси $Oy$, длины отрезков вычисляются по следующим формулам:

• Длина отрезка $AO$ (расстояние от точки A до начала координат) вычисляется по формуле: $AO = \sqrt{x^2 + y^2}$.
• Длина отрезка $AB$ (расстояние от точки A до оси $Ox$) равна модулю ординаты точки A: $AB = |y|$.
• Длина отрезка $AC$ (расстояние от точки A до оси $Oy$) равна модулю абсциссы точки A: $AC = |x|$.

(3; 4)

Дано: $A(3; 4)$, значит $x=3$, $y=4$.

$AO = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

$AB = |4| = 4$

$AC = |3| = 3$

Ответ: $AO=5$; $AB=4$; $AC=3$.

(-5; 12)

Дано: $A(-5; 12)$, значит $x=-5$, $y=12$.

$AO = \sqrt{(-5)^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$

$AB = |12| = 12$

$AC = |-5| = 5$

Ответ: $AO=13$; $AB=12$; $AC=5$.

(15; 0)

Дано: $A(15; 0)$, значит $x=15$, $y=0$.

$AO = \sqrt{15^2 + 0^2} = \sqrt{225} = 15$

$AB = |0| = 0$

$AC = |15| = 15$

Ответ: $AO=15$; $AB=0$; $AC=15$.

(16; 30)

Дано: $A(16; 30)$, значит $x=16$, $y=30$.

$AO = \sqrt{16^2 + 30^2} = \sqrt{256 + 900} = \sqrt{1156} = 34$

$AB = |30| = 30$

$AC = |16| = 16$

Ответ: $AO=34$; $AB=30$; $AC=16$.

(0,8; 0,6)

Дано: $A(0,8; 0,6)$, значит $x=0,8$, $y=0,6$.

$AO = \sqrt{(0,8)^2 + (0,6)^2} = \sqrt{0,64 + 0,36} = \sqrt{1} = 1$

$AB = |0,6| = 0,6$

$AC = |0,8| = 0,8$

Ответ: $AO=1$; $AB=0,6$; $AC=0,8$.

($3\sqrt{3}$; $\sqrt{22}$)

Дано: $A(3\sqrt{3}; \sqrt{22})$, значит $x=3\sqrt{3}$, $y=\sqrt{22}$.

$AO = \sqrt{(3\sqrt{3})^2 + (\sqrt{22})^2} = \sqrt{9 \cdot 3 + 22} = \sqrt{27 + 22} = \sqrt{49} = 7$

$AB = |\sqrt{22}| = \sqrt{22}$

$AC = |3\sqrt{3}| = 3\sqrt{3}$

Ответ: $AO=7$; $AB=\sqrt{22}$; $AC=3\sqrt{3}$.

81. Найдите неизвестные элементы:

a) A(-14; -12) B(12; 12) M C(20; -4) $BM = CM$ $AM - ?$

б) A(-3; -2) B(-1; 3) M C(3; -1) $BM = CM$ $AM - ?$

б) A(-6; 0) B(-4; 6) C(6; 6) D(4; 0) $S_{ABCD} - ?$

г) A(-8; 0) B(8; 12) C(12; 0) $S_{ABC} - ?$

д) A(-4; -4) B(-18; 6) C(-6; 18) D(8; 4) $S_{ABCD} - ?$

е) A(-12; -4) B(-4; 12) C(8; 12) D(12; 4) $S_{ABCD} - ?$

а) По условию $BM = CM$, значит точка M — середина отрезка BC. Найдем ее координаты по формуле середины отрезка: $x_M = \frac{x_B + x_C}{2}$, $y_M = \frac{y_B + y_C}{2}$.

Подставим координаты точек B(12; 12) и C(20; -4):
$x_M = \frac{12 + 20}{2} = \frac{32}{2} = 16$
$y_M = \frac{12 + (-4)}{2} = \frac{8}{2} = 4$
Следовательно, координаты точки M(16; 4).

Теперь найдем длину медианы AM как расстояние между точками A(-14; -12) и M(16; 4) по формуле $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$:

$AM = \sqrt{(16 - (-14))^2 + (4 - (-12))^2} = \sqrt{(30)^2 + (16)^2} = \sqrt{900 + 256} = \sqrt{1156} = 34$.

Ответ: 34

б) Аналогично предыдущей задаче, M — середина BC. Найдем координаты M(x_M; y_M), имея B(-1; 3) и C(3; -1):

$x_M = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1$
$y_M = \frac{3 + (-1)}{2} = \frac{2}{2} = 1$
Координаты точки M(1; 1).

Найдем длину медианы AM как расстояние между точками A(-3; -2) и M(1; 1):

$AM = \sqrt{(1 - (-3))^2 + (1 - (-2))^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$.

Ответ: 5

в) Координаты вершин: A(-6; 0), B(-4; 6), C(6; 6), D(4; 0). Так как ординаты точек A и D, а также B и C попарно равны ($y_A=y_D=0$, $y_B=y_C=6$), стороны AD и BC параллельны оси Ox и друг другу. Следовательно, ABCD — трапеция.

Найдем длины оснований AD и BC. Поскольку они горизонтальны, их длины равны модулю разности абсцисс:
$AD = |x_D - x_A| = |4 - (-6)| = 10$
$BC = |x_C - x_B| = |6 - (-4)| = 10$

Высота трапеции h равна разности ординат оснований: $h = y_B - y_A = 6 - 0 = 6$.

Площадь трапеции: $S_{ABCD} = \frac{AD + BC}{2} \cdot h = \frac{10 + 10}{2} \cdot 6 = 10 \cdot 6 = 60$.

Ответ: 60

г) Вершины треугольника: A(-8; 0), B(8; 12), C(12; 0). Сторона AC лежит на оси Ox, так как ординаты точек A и C равны нулю. Примем AC за основание треугольника.

Длина основания AC: $AC = |x_C - x_A| = |12 - (-8)| = 20$.

Высота, проведенная из вершины B к основанию AC, равна ординате точки B: $h = y_B = 12$.

Площадь треугольника: $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 12 = 120$.

Ответ: 120

д) Для нахождения площади четырехугольника ABCD с вершинами A(-4; -4), B(-18; 6), C(-6; 18), D(8; 4) воспользуемся формулой площади Гаусса (формулой шнурков):

$S = \frac{1}{2} |(x_A y_B + x_B y_C + x_C y_D + x_D y_A) - (y_A x_B + y_B x_C + y_C x_D + y_D x_A)|$.

Подставим координаты вершин:
$S = \frac{1}{2} |((-4) \cdot 6 + (-18) \cdot 18 + (-6) \cdot 4 + 8 \cdot (-4)) - ((-4) \cdot (-18) + 6 \cdot (-6) + 18 \cdot 8 + 4 \cdot (-4))|$

$S = \frac{1}{2} |(-24 - 324 - 24 - 32) - (72 - 36 + 144 - 16)|$

$S = \frac{1}{2} |(-404) - (164)| = \frac{1}{2} |-568| = \frac{568}{2} = 284$.

Ответ: 284

е) Координаты вершин: A(-12; -4), B(-4; 12), C(8; 12), D(12; -4). Так как $y_A=y_D=-4$ и $y_B=y_C=12$, стороны AD и BC параллельны. Следовательно, ABCD — трапеция.

Длины оснований:
$AD = |x_D - x_A| = |12 - (-12)| = 24$
$BC = |x_C - x_B| = |8 - (-4)| = 12$

Высота трапеции: $h = y_B - y_A = 12 - (-4) = 16$.

Площадь трапеции: $S_{ABCD} = \frac{AD + BC}{2} \cdot h = \frac{24 + 12}{2} \cdot 16 = \frac{36}{2} \cdot 16 = 18 \cdot 16 = 288$.

Ответ: 288