Страница 188 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

85. Приведите уравнение к виду $y = kx + p$ и укажите значения $k$ и $p$:

a) $4y - 8x + 20 = 0;$

б) $5y + 2x - 30 = 0;$

в) $3x - 0,2y + 2 = 0;$

г) $5y + 8x - 4 = 0.$

а)

Исходное уравнение: $4y - 8x + 20 = 0$.

Для того чтобы привести это уравнение к виду $y = kx + p$, необходимо выразить переменную $y$. Сначала изолируем слагаемое с $y$ в левой части, перенеся остальные слагаемые в правую часть с противоположными знаками:

$4y = 8x - 20$

Далее, разделим обе части уравнения на коэффициент при $y$, то есть на 4:

$y = \frac{8x}{4} - \frac{20}{4}$

$y = 2x - 5$

Теперь уравнение представлено в виде $y = kx + p$. Сравнивая, находим коэффициенты:

Ответ: $k = 2$, $p = -5$.

б)

Исходное уравнение: $5y + 2x - 30 = 0$.

Выразим переменную $y$. Перенесем $2x$ и $-30$ в правую часть уравнения, изменив их знаки:

$5y = -2x + 30$

Разделим обе части уравнения на 5:

$y = \frac{-2x}{5} + \frac{30}{5}$

$y = -\frac{2}{5}x + 6$ или $y = -0,4x + 6$

Сравнивая полученное уравнение с видом $y = kx + p$, находим коэффициенты:

Ответ: $k = -0,4$ (или $-\frac{2}{5}$), $p = 6$.

в)

Исходное уравнение: $3x - 0,2y + 2 = 0$.

Выразим переменную $y$. Перенесем слагаемое $-0,2y$ в правую часть, чтобы коэффициент при $y$ стал положительным:

$3x + 2 = 0,2y$

Теперь запишем уравнение в привычном виде, поменяв левую и правую части местами:

$0,2y = 3x + 2$

Разделим обе части уравнения на 0,2. Деление на 0,2 эквивалентно умножению на 5:

$y = \frac{3x}{0,2} + \frac{2}{0,2}$

$y = 15x + 10$

Сравнивая полученное уравнение с видом $y = kx + p$, находим коэффициенты:

Ответ: $k = 15$, $p = 10$.

г)

Исходное уравнение: $5y + 8x - 4 = 0$.

Выразим переменную $y$. Перенесем $8x$ и $-4$ в правую часть, изменив их знаки:

$5y = -8x + 4$

Разделим обе части уравнения на 5:

$y = \frac{-8x}{5} + \frac{4}{5}$

$y = -1,6x + 0,8$

Сравнивая полученное уравнение с видом $y = kx + p$, находим коэффициенты:

Ответ: $k = -1,6$ (или $-\frac{8}{5}$), $p = 0,8$ (или $\frac{4}{5}$).

86. Выберите точки, лежащие на прямой $y=8x-15$:

A (1; 5), B (2; -7), C (-2; -31), D (1; -7), E (4; 32), F (0; -15), G (2; 1), H (1.5; -3)

Для того чтобы определить, лежит ли точка на прямой, заданной уравнением $y = 8x - 15$, необходимо подставить координаты $(x; y)$ каждой точки в это уравнение. Если в результате подстановки получается верное равенство, то точка лежит на прямой. В противном случае — не лежит.

A (1; 5). Подставляем координаты $x=1$ и $y=5$ в уравнение прямой: $5 = 8 \cdot 1 - 15$. Вычисляем правую часть: $8 - 15 = -7$. Получаем равенство $5 = -7$, которое является неверным. Ответ: точка A не лежит на прямой.

B (2; -7). Подставляем $x=2$ и $y=-7$: $-7 = 8 \cdot 2 - 15$. Вычисляем правую часть: $16 - 15 = 1$. Получаем равенство $-7 = 1$, которое является неверным. Ответ: точка B не лежит на прямой.

C (-2; -31). Подставляем $x=-2$ и $y=-31$: $-31 = 8 \cdot (-2) - 15$. Вычисляем правую часть: $-16 - 15 = -31$. Получаем равенство $-31 = -31$, которое является верным. Ответ: точка C лежит на прямой.

D (1; -7). Подставляем $x=1$ и $y=-7$: $-7 = 8 \cdot 1 - 15$. Вычисляем правую часть: $8 - 15 = -7$. Получаем равенство $-7 = -7$, которое является верным. Ответ: точка D лежит на прямой.

E (4; 32). Подставляем $x=4$ и $y=32$: $32 = 8 \cdot 4 - 15$. Вычисляем правую часть: $32 - 15 = 17$. Получаем равенство $32 = 17$, которое является неверным. Ответ: точка E не лежит на прямой.

F (0; -15). Подставляем $x=0$ и $y=-15$: $-15 = 8 \cdot 0 - 15$. Вычисляем правую часть: $0 - 15 = -15$. Получаем равенство $-15 = -15$, которое является верным. Ответ: точка F лежит на прямой.

G (2; 1). Подставляем $x=2$ и $y=1$: $1 = 8 \cdot 2 - 15$. Вычисляем правую часть: $16 - 15 = 1$. Получаем равенство $1 = 1$, которое является верным. Ответ: точка G лежит на прямой.

H (1,5; -3). Подставляем $x=1,5$ и $y=-3$: $-3 = 8 \cdot 1,5 - 15$. Вычисляем правую часть: $12 - 15 = -3$. Получаем равенство $-3 = -3$, которое является верным. Ответ: точка H лежит на прямой.

87. Выберите прямые, проходящие через точку $A(4; 7)$:

а) $y = 4x + 7;$

б) $y = 2x - 1;$

в) $y = 5x + 2;$

г) $y = 4x - 9;$

д) $y = 7x + 4;$

е) $y = 11 - x;$

ж) $y = x + 3;$

з) $y = 2 + 0.7x.$

Чтобы проверить, проходит ли прямая через точку $A(4; 7)$, нужно подставить координаты этой точки, то есть $x=4$ и $y=7$, в уравнение каждой прямой. Если в результате подстановки получается верное числовое равенство, то прямая проходит через заданную точку.

а) $y=4x+7$

Подставляем значения $x=4$ и $y=7$ в уравнение:

$7 = 4 \cdot 4 + 7$

$7 = 16 + 7$

$7 = 23$

Полученное равенство неверно.

Ответ: Прямая $y=4x+7$ не проходит через точку $A(4; 7)$.

б) $y=2x-1$

Подставляем значения $x=4$ и $y=7$ в уравнение:

$7 = 2 \cdot 4 - 1$

$7 = 8 - 1$

$7 = 7$

Полученное равенство верно.

Ответ: Прямая $y=2x-1$ проходит через точку $A(4; 7)$.

в) $y=5x+2$

Подставляем значения $x=4$ и $y=7$ в уравнение:

$7 = 5 \cdot 4 + 2$

$7 = 20 + 2$

$7 = 22$

Полученное равенство неверно.

Ответ: Прямая $y=5x+2$ не проходит через точку $A(4; 7)$.

г) $y=4x-9$

Подставляем значения $x=4$ и $y=7$ в уравнение:

$7 = 4 \cdot 4 - 9$

$7 = 16 - 9$

$7 = 7$

Полученное равенство верно.

Ответ: Прямая $y=4x-9$ проходит через точку $A(4; 7)$.

д) $y=7x+4$

Подставляем значения $x=4$ и $y=7$ в уравнение:

$7 = 7 \cdot 4 + 4$

$7 = 28 + 4$

$7 = 32$

Полученное равенство неверно.

Ответ: Прямая $y=7x+4$ не проходит через точку $A(4; 7)$.

е) $y=11-x$

Подставляем значения $x=4$ и $y=7$ в уравнение:

$7 = 11 - 4$

$7 = 7$

Полученное равенство верно.

Ответ: Прямая $y=11-x$ проходит через точку $A(4; 7)$.

ж) $y=x+3$

Подставляем значения $x=4$ и $y=7$ в уравнение:

$7 = 4 + 3$

$7 = 7$

Полученное равенство верно.

Ответ: Прямая $y=x+3$ проходит через точку $A(4; 7)$.

з) $y=2+0,7x$

Подставляем значения $x=4$ и $y=7$ в уравнение:

$7 = 2 + 0,7 \cdot 4$

$7 = 2 + 2,8$

$7 = 4,8$

Полученное равенство неверно.

Ответ: Прямая $y=2+0,7x$ не проходит через точку $A(4; 7)$.

88. Установите соответствие между графиками и уравнениями:

a)

б)

в)

г)

1) $y = 0.5x + 2$

2) $y = 2 - x$

3) $y = 2x + 3$

4) $y = 1.5x - 3$

Для решения задачи сопоставим каждый график с одним из предложенных уравнений вида $y = kx + b$. Коэффициент $k$ отвечает за наклон прямой (если $k>0$ – функция возрастает, если $k<0$ – убывает), а коэффициент $b$ – за точку пересечения с осью $OY$.

а) График а) представляет собой возрастающую прямую, следовательно, угловой коэффициент $k>0$. Прямая пересекает ось ординат в точке $(0, 3)$, значит, $b=3$. Из предложенных уравнений только одно удовлетворяет этим двум условиям: $y = 2x + 3$. Это уравнение под номером 3.

Ответ: 3

б) График б) также является возрастающей прямой, поэтому $k>0$. Точка пересечения с осью $OY$ – $(0, 2)$, следовательно, $b=2$. Среди уравнений с положительным $k$ и $b=2$ есть только одно: $y = 0,5x + 2$. Это уравнение под номером 1.

Ответ: 1

в) График в) показывает убывающую прямую, значит, $k<0$. Точка пересечения с осью $OY$ – $(0, 2)$, так что $b=2$. Единственное уравнение с отрицательным коэффициентом $k$ – это $y = 2 - x$ (что равносильно $y = -1x + 2$), где $k=-1$ и $b=2$. Это уравнение под номером 2.

Ответ: 2

г) График г) – это возрастающая прямая ($k>0$), которая пересекает ось $OY$ в точке $(0, -3)$, то есть $b=-3$. Этим условиям соответствует уравнение $y = 1,5x - 3$. Это уравнение под номером 4.

Ответ: 4