Страница 182 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

59. Высота трапеции равна 8 см. Найдите основания трапеции, если:

а) они относятся как 1 : 5, а ее площадь равна $24\text{ см}^2$;

б) их разность равна 6 см, а площадь трапеции – $56\text{ см}^2$.

а) Для решения задачи воспользуемся формулой площади трапеции: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — основания трапеции, а $h$ — ее высота. По условию, высота $h = 8$ см, а площадь $S = 24$ см². Основания относятся как $1 : 5$. Пусть меньшее основание $a = x$ см, тогда большее основание $b = 5x$ см. Подставим известные значения в формулу площади: $24 = \frac{x + 5x}{2} \cdot 8$ Упростим уравнение: $24 = \frac{6x}{2} \cdot 8$ $24 = 3x \cdot 8$ $24 = 24x$ Отсюда находим $x$: $x = \frac{24}{24} = 1$ Таким образом, меньшее основание $a = 1$ см. Большее основание $b = 5x = 5 \cdot 1 = 5$ см. Проверим: $S = \frac{1+5}{2} \cdot 8 = \frac{6}{2} \cdot 8 = 3 \cdot 8 = 24$ см². Условие выполняется.
Ответ: основания трапеции равны 1 см и 5 см.

б) Используем ту же формулу площади трапеции: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$. По условию, высота $h = 8$ см, площадь $S = 56$ см², а разность оснований равна 6 см. Пусть меньшее основание равно $a$ см, тогда большее основание $b = a + 6$ см. Подставим известные значения в формулу: $56 = \frac{a + (a + 6)}{2} \cdot 8$ Упростим уравнение: $56 = \frac{2a + 6}{2} \cdot 8$ $56 = (a + 3) \cdot 8$ Разделим обе части уравнения на 8: $7 = a + 3$ Отсюда находим $a$: $a = 7 - 3 = 4$ Таким образом, меньшее основание $a = 4$ см. Большее основание $b = a + 6 = 4 + 6 = 10$ см. Проверим: $S = \frac{4+10}{2} \cdot 8 = \frac{14}{2} \cdot 8 = 7 \cdot 8 = 56$ см². Условие выполняется.
Ответ: основания трапеции равны 4 см и 10 см.

60. Найдите площадь равнобедренной трапеции с основаниями:

а) 3 см и 9 см, если ее диагональ равна 15 см;

б) 7 см и 25 см, если ее диагональ перпендикулярна боковой стороне.

а)

Площадь трапеции находится по формуле $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — длины оснований, а $h$ — высота трапеции.

Пусть дана равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD = 9$ см, $BC = 3$ см и диагональю $AC = 15$ см.

Для нахождения площади необходимо найти высоту трапеции. Проведем высоту $CE$ из вершины $C$ к большему основанию $AD$. В равнобедренной трапеции проекция боковой стороны на большее основание равна полуразности оснований.

Длина отрезка $ED$ равна:

$ED = \frac{AD - BC}{2} = \frac{9 - 3}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см.

Теперь можем найти длину отрезка $AE$, который является частью основания $AD$:

$AE = AD - ED = 9 - 3 = 6$ см.

Рассмотрим треугольник $AEC$. Он является прямоугольным, так как $CE$ — высота. По теореме Пифагора, $AC^2 = AE^2 + CE^2$. Отсюда мы можем найти высоту $h = CE$.

$h^2 = CE^2 = AC^2 - AE^2 = 15^2 - 6^2 = 225 - 36 = 189$.

$h = \sqrt{189} = \sqrt{9 \cdot 21} = 3\sqrt{21}$ см.

Теперь, зная высоту, вычислим площадь трапеции:

$S = \frac{AD + BC}{2} \cdot h = \frac{9 + 3}{2} \cdot 3\sqrt{21} = \frac{12}{2} \cdot 3\sqrt{21} = 6 \cdot 3\sqrt{21} = 18\sqrt{21}$ см².

Ответ: $18\sqrt{21}$ см².

б)

В данной равнобедренной трапеции основания равны $a = 25$ см и $b = 7$ см. Известно, что диагональ перпендикулярна боковой стороне.

Пусть в трапеции $ABCD$ основаниями являются $AD=25$ см и $BC=7$ см, а диагональ $AC$ перпендикулярна боковой стороне $CD$. Это означает, что треугольник $ACD$ — прямоугольный с прямым углом при вершине $C$.

Проведем высоту $CE$ из вершины $C$ к основанию $AD$. В прямоугольном треугольнике $ACD$ отрезок $CE$ является высотой, проведенной к гипотенузе $AD$.

Найдем длины отрезков $ED$ и $AE$, на которые высота $CE$ делит основание $AD$. Для равнобедренной трапеции отрезок $ED$ равен полуразности оснований:

$ED = \frac{AD - BC}{2} = \frac{25 - 7}{2} = \frac{18}{2} = 9$ см.

Длина отрезка $AE$ составит:

$AE = AD - ED = 25 - 9 = 16$ см.

Квадрат высоты, проведенной к гипотенузе, равен произведению длин отрезков, на которые она делит гипотенузу: $CE^2 = AE \cdot ED$.

Найдем высоту трапеции $h = CE$:

$h^2 = 16 \cdot 9 = 144$.

$h = \sqrt{144} = 12$ см.

Теперь можем вычислить площадь трапеции:

$S = \frac{AD + BC}{2} \cdot h = \frac{25 + 7}{2} \cdot 12 = \frac{32}{2} \cdot 12 = 16 \cdot 12 = 192$ см².

Ответ: $192$ см².