Страница 183 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

61. Найдите площадь прямоугольной трапеции, боковые стороны которой относятся как $4:5$, а разность оснований равна 9 см, если ее:

а) меньшая диагональ равна 20 см;

б) большая диагональ равна 20 см.

Пусть дана прямоугольная трапеция $ABCD$, в которой основания $AB$ и $DC$, причем $DC > AB$, а боковая сторона $AD$ перпендикулярна основаниям. Таким образом, $AD$ является высотой трапеции $h$. Вторая боковая сторона — $BC$.

По условию, боковые стороны относятся как 4:5. Так как в прямоугольной трапеции боковая сторона, перпендикулярная основаниям (высота), короче наклонной боковой стороны, то $AD : BC = 4:5$. Обозначим коэффициент пропорциональности через $x$, тогда высота $h = AD = 4x$, а наклонная боковая сторона $BC = 5x$.

Разность оснований равна 9 см, то есть $DC - AB = 9$ см.

Проведем из вершины $B$ высоту $BH$ на основание $DC$. Получим прямоугольник $ABHD$, в котором $BH = AD = 4x$ и $DH = AB$. Отрезок $HC$ на большем основании будет равен разности оснований: $HC = DC - DH = DC - AB = 9$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BHC$. Его катеты $BH = 4x$ и $HC = 9$ см, а гипотенуза $BC = 5x$. По теореме Пифагора:

$BH^2 + HC^2 = BC^2$

$(4x)^2 + 9^2 = (5x)^2$

$16x^2 + 81 = 25x^2$

$9x^2 = 81$

$x^2 = 9$

$x = 3$ (так как длина не может быть отрицательной).

Теперь найдем высоту трапеции: $h = AD = 4x = 4 \cdot 3 = 12$ см.

Теперь решим задачу для каждого из двух случаев.

а) меньшая диагональ равна 20 см
В прямоугольной трапеции две диагонали: $AC$ и $BD$. Найдем их квадраты через стороны трапеции. Пусть меньшее основание $AB = a$, большее $DC = b$.
Из прямоугольного треугольника $ABD$: $BD^2 = AB^2 + AD^2 = a^2 + h^2$.
Из прямоугольного треугольника $ADC$: $AC^2 = DC^2 + AD^2 = b^2 + h^2$.
Так как $b > a$, то $b^2 > a^2$, и, следовательно, $AC^2 > BD^2$, что означает $AC > BD$. Значит, меньшая диагональ — это $BD$.
По условию $BD = 20$ см. Используем теорему Пифагора для $\triangle ABD$:
$a^2 + h^2 = BD^2$
$a^2 + 12^2 = 20^2$
$a^2 + 144 = 400$
$a^2 = 400 - 144 = 256$
$a = 16$ см.
Теперь найдем большее основание $b$:
$b = a + 9 = 16 + 9 = 25$ см.
Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$:
$S = \frac{16+25}{2} \cdot 12 = \frac{41}{2} \cdot 12 = 41 \cdot 6 = 246$ см$^2$.
Ответ: $246$ см$^2$.

б) большая диагональ равна 20 см
Как мы установили ранее, большая диагональ — это $AC$.
По условию $AC = 20$ см. Используем теорему Пифагора для $\triangle ADC$:
$b^2 + h^2 = AC^2$
$b^2 + 12^2 = 20^2$
$b^2 + 144 = 400$
$b^2 = 400 - 144 = 256$
$b = 16$ см.
Теперь найдем меньшее основание $a$:
$a = b - 9 = 16 - 9 = 7$ см.
Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$:
$S = \frac{7+16}{2} \cdot 12 = \frac{23}{2} \cdot 12 = 23 \cdot 6 = 138$ см$^2$.
Ответ: $138$ см$^2$.

62. $ABCD$ – параллелограмм, точка $K$ – середина стороны $BC$. Площадь треугольника $ABK$ равна $S$. Найдите площадь $x$, используя данные на рисунке 136:

а)

б)

Рисунок 136

а)

Рассмотрим треугольники $\triangle ABK$ и $\triangle AKC$. Они имеют общую высоту, проведенную из вершины A к прямой BC. Поскольку точка K является серединой стороны BC, их основания $BK$ и $KC$ равны. Следовательно, площади этих треугольников также равны: $S_{AKC} = S_{ABK} = S$.Площадь треугольника $\triangle ABC$ равна сумме площадей $\triangle ABK$ и $\triangle AKC$: $S_{ABC} = S_{ABK} + S_{AKC} = S + S = 2S$.Диагональ AC делит параллелограмм ABCD на два равновеликих (имеющих равную площадь) треугольника, поэтому площадь параллелограмма $S_{ABCD}$ в два раза больше площади $\triangle ABC$: $S_{ABCD} = 2 \cdot S_{ABC} = 2 \cdot (2S) = 4S$.Площадь $x$ треугольника $\triangle AKD$ можно вычислить по формуле $x = S_{AKD} = \frac{1}{2} AD \cdot h$, где $h$ — высота параллелограмма, проведенная к стороне AD. Так как K лежит на прямой BC, параллельной AD, высота $\triangle AKD$ из вершины K к основанию AD равна высоте параллелограмма $h$.Площадь параллелограмма также выражается формулой $S_{ABCD} = AD \cdot h$.Следовательно, $x = S_{AKD} = \frac{1}{2} S_{ABCD}$.Подставляя найденное выражение для площади параллелограмма, получаем: $x = \frac{1}{2} (4S) = 2S$.

Ответ: $x = 2S$.

б)

Из решения пункта а) мы знаем, что площадь параллелограмма $S_{ABCD} = 4S$.Площадь $x$ искомого треугольника $\triangle AKN$ можно найти, вычтя из площади параллелограмма площади трех треугольников по углам: $\triangle ABK$, $\triangle KCN$ и $\triangle ADN$.$x = S_{AKN} = S_{ABCD} - S_{ABK} - S_{KCN} - S_{ADN}$.По условию, $S_{ABK} = S$.Найдем площадь $\triangle KCN$. Точка K — середина BC ($KC = \frac{1}{2}BC$), а точка N — середина CD ($CN = \frac{1}{2}CD$).Площадь $\triangle KCN$ равна $S_{KCN} = \frac{1}{2} KC \cdot CN \cdot \sin(\angle C) = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{2}BC\right) \left(\frac{1}{2}CD\right) \sin(\angle C) = \frac{1}{8} BC \cdot CD \cdot \sin(\angle C)$.Площадь параллелограмма $S_{ABCD} = BC \cdot CD \cdot \sin(\angle C)$.Следовательно, $S_{KCN} = \frac{1}{8} S_{ABCD} = \frac{1}{8}(4S) = \frac{S}{2}$.Теперь найдем площадь $\triangle ADN$. Рассмотрим $\triangle ADC$. Его площадь равна половине площади параллелограмма: $S_{ADC} = \frac{1}{2}S_{ABCD} = \frac{1}{2}(4S) = 2S$. В $\triangle ADC$ отрезок AN является медианой, так как N — середина стороны CD. Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника.Следовательно, $S_{ADN} = \frac{1}{2}S_{ADC} = \frac{1}{2}(2S) = S$.Подставим все найденные значения в формулу для $x$:$x = S_{ABCD} - S_{ABK} - S_{KCN} - S_{ADN} = 4S - S - \frac{S}{2} - S = 2S - \frac{S}{2} = \frac{3S}{2}$.

Ответ: $x = \frac{3S}{2}$.

Выберите верный ответ (63–70).

63. Стороны параллелограмма равны 7,2 см и 4,8 см. Высота, проведенная к большей стороне, равна 6,4 см. Найдите другую высоту параллелограмма.

а) ≈ 4,3 см; б) 4,8 см; в) 6,4 см; г) 7,2 см; д) 9,6 см.

63.

Для решения этой задачи воспользуемся свойством площади параллелограмма. Площадь параллелограмма можно вычислить как произведение длины стороны на высоту, опущенную на эту сторону.

Пусть стороны параллелограмма равны $a$ и $b$, а высоты, проведенные к этим сторонам, — $h_a$ и $h_b$ соответственно. Площадь параллелограмма $S$ можно выразить двумя способами:

$S = a \cdot h_a$

$S = b \cdot h_b$

Так как речь идет об одном и том же параллелограмме, его площадь постоянна. Следовательно, мы можем приравнять эти два выражения:

$a \cdot h_a = b \cdot h_b$

По условию задачи нам даны:

• Большая сторона $a = 7,2$ см.
• Меньшая сторона $b = 4,8$ см.
• Высота, проведенная к большей стороне, $h_a = 6,4$ см.

Нам нужно найти другую высоту, то есть высоту, проведенную к меньшей стороне, $h_b$.

Подставим известные значения в полученное нами равенство:

$7,2 \cdot 6,4 = 4,8 \cdot h_b$

Теперь решим это уравнение относительно $h_b$:

$h_b = \frac{7,2 \cdot 6,4}{4,8}$

Выполним вычисление. Можно сократить дробь, заметив, что 7,2 и 4,8 делятся на 2,4 ($7,2 = 3 \cdot 2,4$; $4,8 = 2 \cdot 2,4$):

$h_b = \frac{3 \cdot 2,4 \cdot 6,4}{2 \cdot 2,4} = \frac{3 \cdot 6,4}{2}$

$h_b = 3 \cdot 3,2 = 9,6$ см.

Итак, другая высота параллелограмма равна 9,6 см.

Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, видим, что он соответствует варианту д).

Ответ: д) 9,6 см.

64. В трапеции ABCD с основаниями 4 см и 10 см проведены две высоты BK и CM. Чему равна площадь трапеции, если четырехугольник BCMK – квадрат?

а) 20 $см^2$;

б) 28 $см^2$;

в) 30 $см^2$;

г) 40 $см^2$;

д) 56 $см^2$.

Пусть в трапеции $ABCD$ основаниями являются $BC$ и $AD$. По условию задачи, длины оснований равны 4 см и 10 см. Также дано, что проведены две высоты $BK$ и $CM$ (где точки $K$ и $M$ лежат на основании $AD$), и четырехугольник $BCMK$ является квадратом.

Так как $BCMK$ — это квадрат, то все его стороны равны. Одна из сторон этого квадрата, $BC$, является также меньшим основанием трапеции. Следовательно, длина стороны $BC$ равна 4 см.

Поскольку $BCMK$ — квадрат со стороной 4 см, то его другие стороны также равны 4 см. В частности, сторона $BK$ (или $CM$), которая по определению является высотой трапеции, равна 4 см.

Таким образом, для вычисления площади трапеции мы имеем следующие данные:
- меньшее основание $a = BC = 4$ см;
- большее основание $b = AD = 10$ см;
- высота $h = BK = 4$ см.

Площадь трапеции вычисляется по формуле: $S = \frac{a + b}{2} \cdot h$

Подставим известные значения в формулу: $S = \frac{4 + 10}{2} \cdot 4 = \frac{14}{2} \cdot 4 = 7 \cdot 4 = 28$ см².

Следовательно, площадь трапеции равна 28 см², что соответствует варианту б).

Ответ: б) 28 см².

65. Высота равнобедренной трапеции, проведенная из вершины тупого угла, образует с боковой стороной угол $45^\circ$ и делит основание трапеции на отрезки 6 см и 30 см. Найдите площадь трапеции.

а) $108 \text{ см}^2$;

б) $144 \text{ см}^2$;

в) $180 \text{ см}^2$;

г) $216 \text{ см}^2$;

д) $360 \text{ см}^2$.

Пусть дана равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, и боковыми сторонами $AB$ и $CD$. Проведем высоту $BH$ из вершины тупого угла $B$ на большее основание $AD$.

По условию, высота $BH$ образует с боковой стороной $AB$ угол $45^\circ$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABH$. В нем $\angle BHA = 90^\circ$ (так как $BH$ - высота) и $\angle ABH = 45^\circ$ (по условию). Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, следовательно, угол при основании трапеции $\angle BAH$ равен:
$\angle BAH = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$.

Так как два угла в треугольнике $\triangle ABH$ равны ($\angle BAH = \angle ABH = 45^\circ$), то этот треугольник является равнобедренным, и его катеты равны: $BH = AH$. Таким образом, высота трапеции $h$ равна отрезку $AH$.

Высота $BH$ делит большее основание $AD$ на два отрезка: $AH$ и $HD$. Их длины по условию равны 6 см и 30 см.

В равнобедренной трапеции отрезок, отсекаемый высотой от большего основания (в нашем случае $AH$), равен полуразности оснований $AH = \frac{AD-BC}{2}$. Другой отрезок, $HD$, равен полусумме оснований $HD = \frac{AD+BC}{2}$ (то есть длине средней линии трапеции). Поскольку основания - это длины, они положительны, следовательно, $HD > AH$.
Таким образом, $AH$ - это меньший из отрезков, а $HD$ - больший.
$AH = 6$ см.
$HD = 30$ см.

Теперь мы можем найти все необходимые для расчета площади элементы:
1. Высота трапеции: $h = BH = AH = 6$ см.
2. Большее основание: $AD = AH + HD = 6 + 30 = 36$ см.
3. Меньшее основание: Так как средняя линия трапеции равна $HD$, то $\frac{AD+BC}{2} = HD$.
$\frac{36+BC}{2} = 30 \Rightarrow 36 + BC = 60 \Rightarrow BC = 24$ см.

Площадь трапеции вычисляется по формуле:
$S = \frac{AD + BC}{2} \cdot h$
Подставляем найденные значения:
$S = \frac{36 + 24}{2} \cdot 6 = \frac{60}{2} \cdot 6 = 30 \cdot 6 = 180 \text{ см}^2$.

Также можно было вычислить площадь, зная высоту $h=6$ см и среднюю линию $m=HD=30$ см:
$S = m \cdot h = 30 \cdot 6 = 180 \text{ см}^2$.
Ответ: $180 \text{ см}^2$.

66. Стороны параллелограмма относятся как $1 : 2$. Найдите его площадь, если периметр параллелограмма равен $72 \text{ см}$, а один из углов – $120^\circ$.

а) $144 \text{ см}^2$

б) $144\sqrt{2} \text{ см}^2$

в) $144\sqrt{3} \text{ см}^2$

г) $288 \text{ см}^2$

д) $288\sqrt{3} \text{ см}^2$

Пусть меньшая сторона параллелограмма равна $a$, а большая - $b$. Согласно условию, стороны относятся как $1:2$, поэтому можно записать $b = 2a$.

Периметр параллелограмма $P$ равен удвоенной сумме смежных сторон: $P = 2(a + b)$. Подставим известные данные: $P = 72$ см и $b = 2a$.$72 = 2(a + 2a)$$72 = 2(3a)$$72 = 6a$$a = \frac{72}{6} = 12$ см.

Теперь найдем большую сторону: $b = 2a = 2 \cdot 12 = 24$ см.

Площадь параллелограмма $S$ вычисляется по формуле $S = a \cdot b \cdot \sin(\alpha)$, где $\alpha$ — угол между сторонами $a$ и $b$. В условии дан угол $120^\circ$. Синус этого угла равен $\sin(120^\circ) = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Подставим значения сторон и синуса угла в формулу площади:$S = 12 \cdot 24 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$$S = 6 \cdot 24 \cdot \sqrt{3}$$S = 144\sqrt{3}$ см$^2$.

Полученное значение соответствует варианту ответа в).
Ответ: в) $144\sqrt{3}$ см$^2$.