Страница 179 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

55. Найдите площадь фигуры (одна клетка равна единице измерения):

a) $S-?$

б) $S-?$

в) $S-?$

г) $S-?$

д) $S-?$

е) $S-?$

а) Фигура на рисунке — это квадрат. Посчитав клетки, определяем, что длина его стороны составляет 4 единицы. Площадь квадрата находится по формуле $S = a^2$, где $a$ — длина стороны.
В данном случае:
$S = 4^2 = 16$ квадратных единиц.
Ответ: 16.

б) Фигура на рисунке — это прямоугольный треугольник. Его катеты, которые можно принять за основание и высоту, равны 5 и 3 единицы соответственно. Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2}bh$, где $b$ — основание, а $h$ — высота.
В данном случае:
$S = \frac{1}{2} \times 5 \times 3 = \frac{15}{2} = 7.5$ квадратных единиц.
Ответ: 7.5.

в) Фигура на рисунке — это параллелограмм. Его основание равно 4 единицам. Высота, проведенная к этому основанию, равна 3 единицам. Площадь параллелограмма вычисляется по формуле $S = bh$, где $b$ — основание, а $h$ — высота.
В данном случае:
$S = 4 \times 3 = 12$ квадратных единиц.
Ответ: 12.

г) Фигура на рисунке — это прямоугольник. Его длина составляет 6 единиц, а ширина — 3 единицы. Площадь прямоугольника вычисляется по формуле $S = l \times w$, где $l$ — длина, а $w$ — ширина.
В данном случае:
$S = 6 \times 3 = 18$ квадратных единиц.
Ответ: 18.

д) Фигура на рисунке — это треугольник. Его основание, расположенное на горизонтальной линии сетки, равно 6 единицам. Высота, проведенная из верхней вершины к основанию, равна 3 единицам. Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2}bh$, где $b$ — основание, а $h$ — высота.
В данном случае:
$S = \frac{1}{2} \times 6 \times 3 = 9$ квадратных единиц.
Ответ: 9.

е) Для нахождения площади этого треугольника удобно использовать метод вычитания. Достроим фигуру до прямоугольника, стороны которого проходят через вершины треугольника.
Получится прямоугольник с размерами 5 на 3 клетки. Его площадь $S_{прям} = 5 \times 3 = 15$ квадратных единиц.
Этот прямоугольник содержит искомый треугольник и три "лишних" прямоугольных треугольника по углам. Найдем их площади:
1. Нижний треугольник: катеты 5 и 1. Площадь $S_1 = \frac{1}{2} \times 5 \times 1 = 2.5$.
2. Верхний правый треугольник: катеты 1 и 2. Площадь $S_2 = \frac{1}{2} \times 1 \times 2 = 1$.
3. Верхний левый треугольник: катеты 4 и 3. Площадь $S_3 = \frac{1}{2} \times 4 \times 3 = 6$.
Теперь вычтем площади этих трех треугольников из площади большого прямоугольника, чтобы найти площадь искомой фигуры:
$S = S_{прям} - (S_1 + S_2 + S_3) = 15 - (2.5 + 1 + 6) = 15 - 9.5 = 5.5$ квадратных единиц.
Ответ: 5.5.

56. Найдите площадь параллелограмма и его неизвестные элементы:

a) S - ?

б) S - ?

в) S - ?

г) S - ?

д) $S = 48\sqrt{3}$

x - ?

е) S = 10

x - ?

ж) $S = 24\sqrt{2}$

a - ?

з) $S = 60\sqrt{3}$

a - ?

и) S - ?

к) S - ?

л) $AC = 12\sqrt{3}$

$BD = 12$

S - ?

м) $AC = 10\sqrt{3}$

$BD = 10$

S - ?

а) Площадь параллелограмма вычисляется по формуле $S = a \cdot h$, где $a$ – основание, а $h$ – высота, проведенная к этому основанию. В данном случае, основание $a = 14$, а высота $h = 9$. Подставим значения в формулу: $S = 14 \cdot 9 = 126$.
Ответ: $S=126$.

б) Площадь параллелограмма вычисляется по формуле $S = b \cdot h_b$, где $b$ – сторона, а $h_b$ – высота, проведенная к этой стороне. В данном случае, сторона $b = 11$, а высота $h_b = 10$. Подставим значения в формулу: $S = 11 \cdot 10 = 110$.
Ответ: $S=110$.

в) Площадь параллелограмма можно найти по формуле $S = a \cdot b \cdot \sin(\alpha)$, где $a$ и $b$ – смежные стороны, а $\alpha$ – угол между ними. По условию, $a = 8$, $b = 7$, и $\alpha = 30^\circ$. Значение синуса $30^\circ$ равно $\frac{1}{2}$. Вычисляем площадь: $S = 8 \cdot 7 \cdot \sin(30^\circ) = 56 \cdot \frac{1}{2} = 28$.
Ответ: $S=28$.

г) Для нахождения площади используем формулу $S = a \cdot b \cdot \sin(\alpha)$, где $a=11$, $b=6$, и $\alpha=60^\circ$. Синус $60^\circ$ равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Подставляем значения: $S = 11 \cdot 6 \cdot \sin(60^\circ) = 66 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 33\sqrt{3}$.
Ответ: $S=33\sqrt{3}$.

д) Используем формулу площади параллелограмма через две стороны и угол между ними: $S = a \cdot b \cdot \sin(\alpha)$. В данном случае, $S=48\sqrt{3}$, одна сторона равна 12, другая $x$, а угол между ними $60^\circ$. Получаем уравнение: $48\sqrt{3} = 12 \cdot x \cdot \sin(60^\circ)$. Так как $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, уравнение принимает вид: $48\sqrt{3} = 12 \cdot x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$. Сокращаем на $\sqrt{3}$: $48 = 12 \cdot x \cdot \frac{1}{2}$, или $48 = 6x$. Отсюда находим $x$: $x = \frac{48}{6} = 8$.
Ответ: $x=8$.

е) Площадь параллелограмма равна произведению смежных сторон на синус угла между ними: $S = a \cdot b \cdot \sin(\alpha)$. По условию $S=10$, стороны равны $4$ и $x$, а угол между ними $30^\circ$. Подставляем в формулу: $10 = 4 \cdot x \cdot \sin(30^\circ)$. Зная, что $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем: $10 = 4 \cdot x \cdot \frac{1}{2}$. $10 = 2x$. Находим $x$: $x = \frac{10}{2} = 5$.
Ответ: $x=5$.

ж) Воспользуемся формулой площади $S = a \cdot b \cdot \sin(\alpha)$. Нам известны площадь $S = 24\sqrt{2}$ и стороны $a=8$, $b=6$. Подставим эти значения в формулу: $24\sqrt{2} = 8 \cdot 6 \cdot \sin(\alpha)$. $24\sqrt{2} = 48 \sin(\alpha)$. Выразим синус угла $\alpha$: $\sin(\alpha) = \frac{24\sqrt{2}}{48} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Углом параллелограмма может быть острый или тупой угол. На рисунке изображен острый угол, поэтому $\alpha = \arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) = 45^\circ$.
Ответ: $\alpha=45^\circ$.

з) Применим формулу площади $S = a \cdot b \cdot \sin(\alpha)$, где $S = 60\sqrt{3}$, $a=10$, $b=12$. Подставляем значения: $60\sqrt{3} = 10 \cdot 12 \cdot \sin(\alpha)$. $60\sqrt{3} = 120 \sin(\alpha)$. Отсюда $\sin(\alpha) = \frac{60\sqrt{3}}{120} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Так как на рисунке угол $\alpha$ острый, его значение равно $60^\circ$.
Ответ: $\alpha=60^\circ$.

и) Сначала найдем высоту параллелограмма $h$. Высота является катетом в прямоугольном треугольнике, образованном высотой, боковой стороной и частью основания. Другой катет этого треугольника равен 4, а прилежащий к нему острый угол параллелограмма равен $60^\circ$. Из определения тангенса в прямоугольном треугольнике: $\tan(60^\circ) = \frac{h}{4}$. Отсюда $h = 4 \cdot \tan(60^\circ) = 4\sqrt{3}$. Основание параллелограмма равно сумме отрезков, на которые его делит высота: $a = 4 + 8 = 12$. Теперь можно найти площадь по формуле $S = a \cdot h$: $S = 12 \cdot 4\sqrt{3} = 48\sqrt{3}$.
Ответ: $S=48\sqrt{3}$.

к) Из рисунка видно, что высота, опущенная на основание, делит его на два отрезка длиной 7 и 2. Следовательно, длина всего основания $a = 7 + 2 = 9$. Высота $h$ является катетом в прямоугольном треугольнике, другой катет которого равен 2. Противолежащий этому катету угол равен $30^\circ$. Используем определение тангенса: $\tan(30^\circ) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{2}{h}$. Отсюда находим высоту $h = \frac{2}{\tan(30^\circ)} = \frac{2}{1/\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$. Теперь вычисляем площадь параллелограмма: $S = a \cdot h = 9 \cdot 2\sqrt{3} = 18\sqrt{3}$.
Ответ: $S=18\sqrt{3}$.

л) Площадь параллелограмма можно найти по формуле через его диагонали и угол между ними: $S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin(\gamma)$. По условию, диагонали $d_1 = 12\sqrt{3}$ и $d_2 = 12$, а угол между ними $\gamma = 60^\circ$. (Примечание: на рисунке есть противоречие - указан и угол $60^\circ$, и символ прямого угла. Будем использовать указанное числовое значение угла). Подставляем значения в формулу: $S = \frac{1}{2} \cdot 12\sqrt{3} \cdot 12 \cdot \sin(60^\circ)$. Так как $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем: $S = \frac{1}{2} \cdot 12\sqrt{3} \cdot 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{144 \cdot (\sqrt{3})^2}{4} = \frac{144 \cdot 3}{4} = 36 \cdot 3 = 108$.
Ответ: $S=108$.

м) Для нахождения площади используем формулу через диагонали и угол между ними: $S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin(\gamma)$. Даны диагонали $d_1 = 10\sqrt{3}$, $d_2 = 10$ и угол между ними $\gamma = 30^\circ$. (Как и в предыдущей задаче, игнорируем противоречащий символ прямого угла на рисунке). Подставляем значения: $S = \frac{1}{2} \cdot 10\sqrt{3} \cdot 10 \cdot \sin(30^\circ)$. Зная, что $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, вычисляем: $S = \frac{1}{2} \cdot 10\sqrt{3} \cdot 10 \cdot \frac{1}{2} = \frac{100\sqrt{3}}{4} = 25\sqrt{3}$.
Ответ: $S=25\sqrt{3}$.