Страница 174 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

36. Заполните таблицу:

В основе всех решений лежат определения тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике и теорема Пифагора:

$sin(\alpha) = \frac{a}{c}$, $cos(\alpha) = \frac{b}{c}$, $tg(\alpha) = \frac{a}{b}$, $ctg(\alpha) = \frac{b}{a}$, $a^2 + b^2 = c^2$.

А также основное тригонометрическое тождество: $sin^2(\alpha) + cos^2(\alpha) = 1$.

Решение для c = 15, cos α = 3/5 (Столбец 1)

Дано: гипотенуза $c = 15$ и $cos(\alpha) = \frac{3}{5}$.

1. Найдем катет $b$. Из определения косинуса $cos(\alpha) = \frac{b}{c}$ следует, что $b = c \cdot cos(\alpha) = 15 \cdot \frac{3}{5} = 9$.

2. Найдем $sin(\alpha)$. По основному тригонометрическому тождеству $sin^2(\alpha) = 1 - cos^2(\alpha) = 1 - (\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$. Поскольку $\alpha$ - острый угол, $sin(\alpha) = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$.

3. Найдем катет $a$. Из определения синуса $sin(\alpha) = \frac{a}{c}$ следует, что $a = c \cdot sin(\alpha) = 15 \cdot \frac{4}{5} = 12$.

4. Найдем $tg(\alpha) = \frac{a}{b} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}$.

5. Найдем $ctg(\alpha) = \frac{b}{a} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}$.

Ответ: $a=12, b=9, sin(\alpha)=\frac{4}{5}, tg(\alpha)=\frac{4}{3}, ctg(\alpha)=\frac{3}{4}$.

Решение для b = 48, tg α = 5/12 (Столбец 2)

Дано: катет $b = 48$ и $tg(\alpha) = \frac{5}{12}$.

1. Найдем катет $a$. Из определения тангенса $tg(\alpha) = \frac{a}{b}$ следует, что $a = b \cdot tg(\alpha) = 48 \cdot \frac{5}{12} = 20$.

2. Найдем гипотенузу $c$ по теореме Пифагора: $c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{20^2 + 48^2} = \sqrt{400 + 2304} = \sqrt{2704} = 52$.

3. Найдем $sin(\alpha) = \frac{a}{c} = \frac{20}{52} = \frac{5}{13}$.

4. Найдем $cos(\alpha) = \frac{b}{c} = \frac{48}{52} = \frac{12}{13}$.

5. Найдем $ctg(\alpha) = \frac{1}{tg(\alpha)} = \frac{1}{5/12} = \frac{12}{5}$.

Ответ: $a=20, c=52, sin(\alpha)=\frac{5}{13}, cos(\alpha)=\frac{12}{13}, ctg(\alpha)=\frac{12}{5}$.

Решение для a = 9, ctg α = 9/40 (Столбец 3)

Дано: катет $a = 9$ и $ctg(\alpha) = \frac{9}{40}$.

1. Найдем катет $b$. Из определения котангенса $ctg(\alpha) = \frac{b}{a}$ следует, что $b = a \cdot ctg(\alpha) = 9 \cdot \frac{9}{40} = \frac{81}{40}$.

2. Найдем гипотенузу $c$ по теореме Пифагора: $c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{9^2 + (\frac{81}{40})^2} = \sqrt{81 + \frac{6561}{1600}} = \sqrt{\frac{81 \cdot 1600 + 6561}{1600}} = \sqrt{\frac{129600 + 6561}{1600}} = \sqrt{\frac{136161}{1600}} = \frac{\sqrt{136161}}{\sqrt{1600}} = \frac{369}{40}$.

3. Найдем $tg(\alpha) = \frac{1}{ctg(\alpha)} = \frac{1}{9/40} = \frac{40}{9}$.

4. Найдем $sin(\alpha) = \frac{a}{c} = \frac{9}{369/40} = \frac{9 \cdot 40}{369} = \frac{360}{369} = \frac{40}{41}$.

5. Найдем $cos(\alpha) = \frac{b}{c} = \frac{81/40}{369/40} = \frac{81}{369} = \frac{9}{41}$.

Ответ: $b=\frac{81}{40}, c=\frac{369}{40}, sin(\alpha)=\frac{40}{41}, cos(\alpha)=\frac{9}{41}, tg(\alpha)=\frac{40}{9}$.

Решение для a = 0,7, sin α = 7/25 (Столбец 4)

Дано: катет $a = 0,7$ и $sin(\alpha) = \frac{7}{25}$.

1. Найдем гипотенузу $c$. Из определения синуса $sin(\alpha) = \frac{a}{c}$ следует, что $c = \frac{a}{sin(\alpha)} = \frac{0,7}{7/25} = \frac{7/10}{7/25} = \frac{7}{10} \cdot \frac{25}{7} = \frac{25}{10} = 2,5$.

2. Найдем $cos(\alpha)$. По основному тригонометрическому тождеству $cos^2(\alpha) = 1 - sin^2(\alpha) = 1 - (\frac{7}{25})^2 = 1 - \frac{49}{625} = \frac{576}{625}$. Поскольку $\alpha$ - острый угол, $cos(\alpha) = \sqrt{\frac{576}{625}} = \frac{24}{25}$.

3. Найдем катет $b$. Из определения косинуса $b = c \cdot cos(\alpha) = 2,5 \cdot \frac{24}{25} = \frac{25}{10} \cdot \frac{24}{25} = \frac{24}{10} = 2,4$.

4. Найдем $tg(\alpha) = \frac{a}{b} = \frac{0,7}{2,4} = \frac{7}{24}$.

5. Найдем $ctg(\alpha) = \frac{b}{a} = \frac{2,4}{0,7} = \frac{24}{7}$.

Ответ: $b=2,4, c=2,5, cos(\alpha)=\frac{24}{25}, tg(\alpha)=\frac{7}{24}, ctg(\alpha)=\frac{24}{7}$.

Решение для b = 10√2, cos α = 2√2/3 (Столбец 5)

Дано: катет $b = 10\sqrt{2}$ и $cos(\alpha) = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.

1. Найдем гипотенузу $c$. Из определения косинуса $c = \frac{b}{cos(\alpha)} = \frac{10\sqrt{2}}{2\sqrt{2}/3} = 10\sqrt{2} \cdot \frac{3}{2\sqrt{2}} = 5 \cdot 3 = 15$.

2. Найдем $sin(\alpha)$. По тождеству $sin^2(\alpha) = 1 - cos^2(\alpha) = 1 - (\frac{2\sqrt{2}}{3})^2 = 1 - \frac{8}{9} = \frac{1}{9}$. Следовательно, $sin(\alpha) = \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3}$.

3. Найдем катет $a$. Из определения синуса $a = c \cdot sin(\alpha) = 15 \cdot \frac{1}{3} = 5$.

4. Найдем $tg(\alpha) = \frac{a}{b} = \frac{5}{10\sqrt{2}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$.

5. Найдем $ctg(\alpha) = \frac{b}{a} = \frac{10\sqrt{2}}{5} = 2\sqrt{2}$.

Ответ: $a=5, c=15, sin(\alpha)=\frac{1}{3}, tg(\alpha)=\frac{\sqrt{2}}{4}, ctg(\alpha)=2\sqrt{2}$.

Решение для a = 6, b = 12 (Столбец 6)

Дано: катеты $a = 6$ и $b = 12$.

1. Найдем гипотенузу $c$ по теореме Пифагора: $c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{6^2 + 12^2} = \sqrt{36 + 144} = \sqrt{180} = \sqrt{36 \cdot 5} = 6\sqrt{5}$.

2. Найдем $sin(\alpha) = \frac{a}{c} = \frac{6}{6\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$.

3. Найдем $cos(\alpha) = \frac{b}{c} = \frac{12}{6\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$.

4. Найдем $tg(\alpha) = \frac{a}{b} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$.

5. Найдем $ctg(\alpha) = \frac{b}{a} = \frac{12}{6} = 2$.

Ответ: $c=6\sqrt{5}, sin(\alpha)=\frac{\sqrt{5}}{5}, cos(\alpha)=\frac{2\sqrt{5}}{5}, tg(\alpha)=\frac{1}{2}, ctg(\alpha)=2$.

Решение для b = 4, tg α = 1 (Столбец 7)

Дано: катет $b = 4$ и $tg(\alpha) = 1$.

1. Если $tg(\alpha) = 1$, то $a/b = 1$, откуда $a=b$. Значит, $a = 4$. Треугольник равнобедренный.

2. Найдем гипотенузу $c$ по теореме Пифагора: $c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$.

3. Найдем $sin(\alpha) = \frac{a}{c} = \frac{4}{4\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

4. Найдем $cos(\alpha) = \frac{b}{c} = \frac{4}{4\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

5. Найдем $ctg(\alpha) = \frac{1}{tg(\alpha)} = \frac{1}{1} = 1$.

Ответ: $a=4, c=4\sqrt{2}, sin(\alpha)=\frac{\sqrt{2}}{2}, cos(\alpha)=\frac{\sqrt{2}}{2}, ctg(\alpha)=1$.

37. Сравните значения тригонометрических функций углов:

a) $sin 40^{\circ}$ и $sin 50^{\circ}$;

б) $cos 15^{\circ}$ и $cos 70^{\circ}$;

в) $tg 20^{\circ}$ и $tg 30^{\circ}$;

г) $sin 35^{\circ}$ и $sin 20^{\circ}$;

д) $cos 65^{\circ}$ и $cos 40^{\circ}$;

e) $tg 80^{\circ}$ и $tg 50^{\circ}$.

а) Для сравнения значений $sin(40^\circ)$ и $sin(50^\circ)$ необходимо рассмотреть поведение функции синуса. В первой координатной четверти, то есть на промежутке от $0^\circ$ до $90^\circ$, функция $y=sin(x)$ является строго возрастающей. Это означает, что большему значению угла соответствует большее значение синуса. Поскольку оба угла, $40^\circ$ и $50^\circ$, находятся в первой четверти и выполняется неравенство $40^\circ < 50^\circ$, то для их синусов будет выполняться такое же неравенство.
Ответ: $sin(40^\circ) < sin(50^\circ)$.

б) Для сравнения значений $cos(15^\circ)$ и $cos(70^\circ)$ необходимо рассмотреть поведение функции косинуса. В первой координатной четверти, на промежутке от $0^\circ$ до $90^\circ$, функция $y=cos(x)$ является строго убывающей. Это означает, что большему значению угла соответствует меньшее значение косинуса. Поскольку оба угла, $15^\circ$ и $70^\circ$, находятся в первой четверти и выполняется неравенство $15^\circ < 70^\circ$, то для их косинусов будет выполняться противоположное по знаку неравенство.
Ответ: $cos(15^\circ) > cos(70^\circ)$.

в) Для сравнения значений $tg(20^\circ)$ и $tg(30^\circ)$ необходимо рассмотреть поведение функции тангенса. В первой координатной четверти, на промежутке от $0^\circ$ до $90^\circ$, функция $y=tg(x)$ является строго возрастающей. Это означает, что большему значению угла соответствует большее значение тангенса. Поскольку оба угла, $20^\circ$ и $30^\circ$, находятся в первой четверти и выполняется неравенство $20^\circ < 30^\circ$, то для их тангенсов будет выполняться такое же неравенство.
Ответ: $tg(20^\circ) < tg(30^\circ)$.

г) Для сравнения значений $sin(35^\circ)$ и $sin(20^\circ)$ воспользуемся свойством возрастания функции синус в первой четверти (от $0^\circ$ до $90^\circ$). Так как большему значению угла соответствует большее значение синуса, а $35^\circ > 20^\circ$, то и для их синусов будет выполняться такое же неравенство.
Ответ: $sin(35^\circ) > sin(20^\circ)$.

д) Для сравнения значений $cos(65^\circ)$ и $cos(40^\circ)$ воспользуемся свойством убывания функции косинус в первой четверти (от $0^\circ$ до $90^\circ$). Так как большему значению угла соответствует меньшее значение косинуса, а $65^\circ > 40^\circ$, то для их косинусов будет выполняться противоположное по знаку неравенство.
Ответ: $cos(65^\circ) < cos(40^\circ)$.

е) Для сравнения значений $tg(80^\circ)$ и $tg(50^\circ)$ воспользуемся свойством возрастания функции тангенс в первой четверти (от $0^\circ$ до $90^\circ$). Так как большему значению угла соответствует большее значение тангенса, а $80^\circ > 50^\circ$, то и для их тангенсов будет выполняться такое же неравенство.
Ответ: $tg(80^\circ) > tg(50^\circ)$.

38. Используя тригонометрические формулы, заполните таблицу:

$sin a$

$cos a$

$tg a$

$ctg a$

$0,6$

$\frac{40}{9}$

Решение для первой строки (где cos α = 0,6)

В этой строке дано значение $cos \alpha = 0,6$. Нам нужно найти $sin \alpha$, $tg \alpha$ и $ctg \alpha$.

1. Для нахождения $sin \alpha$ воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1$.

Подставим известное значение $cos \alpha$:

$sin^2 \alpha + (0,6)^2 = 1$

$sin^2 \alpha + 0,36 = 1$

$sin^2 \alpha = 1 - 0,36$

$sin^2 \alpha = 0,64$

Извлекая квадратный корень, получаем: $sin \alpha = \pm\sqrt{0,64} = \pm 0,8$.

Поскольку в условии не указана четверть, в которой находится угол $\alpha$, мы предполагаем, что угол острый (находится в I четверти), где все тригонометрические функции положительны. Следовательно, выбираем положительное значение: $sin \alpha = 0,8$.

2. Теперь найдем $tg \alpha$ по формуле $tg \alpha = \frac{sin \alpha}{cos \alpha}$.

$tg \alpha = \frac{0,8}{0,6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$.

3. Наконец, найдем $ctg \alpha$ по формуле $ctg \alpha = \frac{1}{tg \alpha}$.

$ctg \alpha = \frac{1}{4/3} = \frac{3}{4}$.

Ответ: $sin \alpha = 0,8$; $tg \alpha = \frac{4}{3}$; $ctg \alpha = \frac{3}{4}$.

Решение для второй строки (где ctg α = 40/9)

В этой строке дано значение $ctg \alpha = \frac{40}{9}$. Нам нужно найти $sin \alpha$, $cos \alpha$ и $tg \alpha$.

1. Для нахождения $tg \alpha$ воспользуемся тождеством $tg \alpha = \frac{1}{ctg \alpha}$.

$tg \alpha = \frac{1}{\frac{40}{9}} = \frac{9}{40}$.

2. Для нахождения $sin \alpha$ воспользуемся тождеством $1 + ctg^2 \alpha = \frac{1}{sin^2 \alpha}$.

$1 + (\frac{40}{9})^2 = 1 + \frac{1600}{81} = \frac{81}{81} + \frac{1600}{81} = \frac{1681}{81}$.

Таким образом, $\frac{1}{sin^2 \alpha} = \frac{1681}{81}$, откуда $sin^2 \alpha = \frac{81}{1681}$.

Извлекая квадратный корень, получаем $sin \alpha = \pm\sqrt{\frac{81}{1681}} = \pm\frac{9}{41}$.

Поскольку $ctg \alpha$ положителен, угол $\alpha$ находится в I или III четверти. Мы снова предположим, что угол находится в I четверти, где синус положителен. Значит, $sin \alpha = \frac{9}{41}$.

3. Найдем $cos \alpha$, используя определение котангенса $ctg \alpha = \frac{cos \alpha}{sin \alpha}$, откуда $cos \alpha = ctg \alpha \cdot sin \alpha$.

$cos \alpha = \frac{40}{9} \cdot \frac{9}{41} = \frac{40}{41}$.

Ответ: $sin \alpha = \frac{9}{41}$; $cos \alpha = \frac{40}{41}$; $tg \alpha = \frac{9}{40}$.

39. Найдите неизвестные элементы треугольника:

a)

$a-?$

$x-?$

$y-?$

б)

$a-?$

$x-?$

$y-?$

в)

$\beta-?$

$x-?$

$y-?$

г)

$\beta-?$

$x-?$

$y-?$

д)

$a-?$

$x-?$

$y-?$

е)

$\beta-?$

$x-?$

$y-?$

а)

В данном прямоугольном треугольнике известен острый угол $30^{\circ}$ и противолежащий ему катет, равный 8. Требуется найти второй острый угол $a$, прилежащий катет $x$ и гипотенузу $y$.

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^{\circ}$, следовательно, угол $a$ можно найти как: $a = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$.

Катет $x$ является прилежащим к углу $30^{\circ}$. Мы можем найти его, используя тангенс угла $30^{\circ}$, который равен отношению противолежащего катета к прилежащему: $\text{tg}(30^{\circ}) = \frac{8}{x}$. Отсюда $x = \frac{8}{\text{tg}(30^{\circ})} = \frac{8}{1/\sqrt{3}} = 8\sqrt{3}$.

Гипотенузу $y$ можно найти, используя синус угла $30^{\circ}$, который равен отношению противолежащего катета к гипотенузе: $\sin(30^{\circ}) = \frac{8}{y}$. Отсюда $y = \frac{8}{\sin(30^{\circ})} = \frac{8}{1/2} = 16$.

Ответ: $a = 60^{\circ}, x = 8\sqrt{3}, y = 16$.

б)

В данном прямоугольном треугольнике известен острый угол $60^{\circ}$ и прилежащий к нему катет, равный 12. Необходимо найти второй острый угол $a$, противолежащий катет $y$ и гипотенузу $x$.

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^{\circ}$, поэтому угол $a$ равен: $a = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$.

Катет $y$ противолежит углу $60^{\circ}$. Найдем его через тангенс: $\text{tg}(60^{\circ}) = \frac{y}{12}$. Отсюда $y = 12 \cdot \text{tg}(60^{\circ}) = 12\sqrt{3}$.

Гипотенузу $x$ найдем через косинус угла $60^{\circ}$: $\cos(60^{\circ}) = \frac{12}{x}$. Отсюда $x = \frac{12}{\cos(60^{\circ})} = \frac{12}{1/2} = 24$.

Ответ: $a = 30^{\circ}, x = 24, y = 12\sqrt{3}$.

в)

Дан прямоугольный треугольник, у которого гипотенуза равна 20, а один из острых углов равен $60^{\circ}$. Требуется найти второй острый угол $\beta$ и катеты $x$ и $y$.

Второй острый угол $\beta$ равен: $\beta = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$.

Катет $x$ прилежит к углу $60^{\circ}$. Найдем его, используя косинус: $\cos(60^{\circ}) = \frac{x}{20}$. Отсюда $x = 20 \cdot \cos(60^{\circ}) = 20 \cdot \frac{1}{2} = 10$.

Катет $y$ противолежит углу $60^{\circ}$. Найдем его, используя синус: $\sin(60^{\circ}) = \frac{y}{20}$. Отсюда $y = 20 \cdot \sin(60^{\circ}) = 20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}$.

Ответ: $\beta = 30^{\circ}, x = 10, y = 10\sqrt{3}$.

г)

В прямоугольном треугольнике известны гипотенуза $8\sqrt{3}$ и острый угол $30^{\circ}$. Нужно найти второй острый угол $\beta$ и катеты $x$ и $y$.

Второй острый угол $\beta$ равен: $\beta = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$.

Катет $x$ противолежит углу $30^{\circ}$. Найдем его через синус: $\sin(30^{\circ}) = \frac{x}{8\sqrt{3}}$. Отсюда $x = 8\sqrt{3} \cdot \sin(30^{\circ}) = 8\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = 4\sqrt{3}$.

Катет $y$ прилежит к углу $30^{\circ}$. Найдем его через косинус: $\cos(30^{\circ}) = \frac{y}{8\sqrt{3}}$. Отсюда $y = 8\sqrt{3} \cdot \cos(30^{\circ}) = 8\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{8 \cdot 3}{2} = 12$.

Ответ: $\beta = 60^{\circ}, x = 4\sqrt{3}, y = 12$.

д)

Дан прямоугольный треугольник с острым углом $45^{\circ}$ и гипотенузой $18\sqrt{2}$. Необходимо найти второй острый угол $a$ и катеты $x$ и $y$.

Так как один из острых углов равен $45^{\circ}$, то и второй острый угол $a$ будет равен: $a = 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ}$.

Поскольку оба острых угла равны $45^{\circ}$, треугольник является равнобедренным, а это значит, что его катеты равны: $x = y$.

Найдем катет $x$ (прилежащий к углу $45^{\circ}$) через косинус: $\cos(45^{\circ}) = \frac{x}{18\sqrt{2}}$. Отсюда $x = 18\sqrt{2} \cdot \cos(45^{\circ}) = 18\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{18 \cdot 2}{2} = 18$.

Поскольку $x = y$, то $y = 18$.

Ответ: $a = 45^{\circ}, x = 18, y = 18$.

е)

В прямоугольном треугольнике известен острый угол $45^{\circ}$ и противолежащий ему катет, равный 12. Требуется найти второй острый угол $\beta$, прилежащий катет $x$ и гипотенузу $y$.

Второй острый угол $\beta$ равен: $\beta = 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ}$.

Так как оба острых угла равны $45^{\circ}$, треугольник является равнобедренным, и его катеты равны. Следовательно, катет $x$ также равен 12: $x = 12$.

Гипотенузу $y$ найдем по теореме Пифагора: $y^2 = x^2 + 12^2 = 12^2 + 12^2 = 2 \cdot 144$. $y = \sqrt{2 \cdot 144} = 12\sqrt{2}$.

Ответ: $\beta = 45^{\circ}, x = 12, y = 12\sqrt{2}$.