Страница 181 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

58. Найдите площадь трапеции и ее неизвестные элементы:

а) 5, 6, 9, $S-?$

б) 4, 5, 10, $S-?$

в) 6, $h=5$, $S-?$

г) 9, $h=6$, $S-?$

д) $30^\circ$, 8, $S-?$

е) $45^\circ$, 6, $S-?$

ж) $d_1=10$, $d_2=12$, $S-?$

з) $d_1=15$, $d_2=14$, $S-?$

и) $60^\circ$, $d_1=8$, $d_2=5$, $S-?$

к) $45^\circ$, $d_1=12$, $d_2=10$, $S-?$

л) $a$, $d_1=12$, $d_2=18$, $S=48\sqrt{2}$, $a-?$

м) $a$, $d_1=15$, $d_2=12$, $S=45\sqrt{3}$, $a-?$

а) Дана прямоугольная трапеция с основаниями $a=5$ и $b=9$ и высотой $h=6$. Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{a+b}{2}h$.
Подставляем известные значения: $S = \frac{5+9}{2} \cdot 6 = \frac{14}{2} \cdot 6 = 7 \cdot 6 = 42$.
Ответ: $S=42$.

б) Дана прямоугольная трапеция с основаниями $a=4$ и $b=10$ и высотой $h=5$. Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{a+b}{2}h$.
Подставляем известные значения: $S = \frac{4+10}{2} \cdot 5 = \frac{14}{2} \cdot 5 = 7 \cdot 5 = 35$.
Ответ: $S=35$.

в) Дана трапеция, у которой известна средняя линия $m=6$ и высота $h=5$. Площадь трапеции можно найти по формуле $S = m \cdot h$, где $m$ - средняя линия.
Подставляем известные значения: $S = 6 \cdot 5 = 30$.
Ответ: $S=30$.

г) Дана трапеция, у которой известна средняя линия $m=9$ и высота $h=6$. Площадь трапеции можно найти по формуле $S = m \cdot h$.
Подставляем известные значения: $S = 9 \cdot 6 = 54$.
Ответ: $S=54$.

д) Дана равнобедренная трапеция. Из вершины верхнего основания проведена высота $h=8$. Диагональ образует с нижним основанием угол $30^\circ$.
В равнобедренной трапеции проекция диагонали на большее основание равна средней линии трапеции ($m$). Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю, высотой трапеции и этой проекцией. В этом треугольнике высота $h=8$ является катетом, прилежащим к углу $90^\circ-30^\circ=60^\circ$, а проекция диагонали $m$ — катетом, противолежащим этому углу.
Из соотношений в прямоугольном треугольнике: $\text{tg}(30^\circ) = \frac{h}{m}$. Отсюда $m = \frac{h}{\text{tg}(30^\circ)} = \frac{8}{1/\sqrt{3}} = 8\sqrt{3}$.
Площадь трапеции равна произведению средней линии на высоту: $S = m \cdot h$.
$S = 8\sqrt{3} \cdot 8 = 64\sqrt{3}$.
Ответ: $S=64\sqrt{3}$.

е) Дана равнобедренная трапеция. Из вершины верхнего основания проведена высота $h=6$ и диагональ. Угол между высотой и диагональю равен $45^\circ$.
Пусть трапеция ABCD с основаниями BC и AD. Проведем высоту BH из вершины B на основание AD. Проведем диагональ BD. По условию $BH=6$ и $\angle HBD = 45^\circ$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник BHD. Он является равнобедренным, так как один из острых углов равен $45^\circ$ ($\angle HBD = 45^\circ$), значит и другой острый угол $\angle BDH = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$. Следовательно, катеты равны: $HD=BH=6$.
В равнобедренной трапеции отрезок HD, отсекаемый высотой BH на большем основании AD от вершины D, равен средней линии трапеции $m$.
Итак, средняя линия $m=6$ и высота $h=6$.
Площадь трапеции: $S = m \cdot h = 6 \cdot 6 = 36$.
Ответ: $S=36$.

ж) Дана трапеция с перпендикулярными диагоналями $d_1=10$ и $d_2=12$. Угол между диагоналями $\alpha = 90^\circ$.
Площадь любого выпуклого четырехугольника (в том числе трапеции) можно найти по формуле $S = \frac{1}{2}d_1 d_2 \sin\alpha$.
Поскольку $\sin(90^\circ)=1$, формула упрощается до $S = \frac{1}{2}d_1 d_2$.
Подставляем значения: $S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 = 60$.
Ответ: $S=60$.

з) Дана трапеция с перпендикулярными диагоналями $d_1=15$ и $d_2=14$. Угол между диагоналями $\alpha = 90^\circ$.
Используем формулу площади $S = \frac{1}{2}d_1 d_2 \sin\alpha$. C учетом $\sin(90^\circ)=1$, получаем $S = \frac{1}{2}d_1 d_2$.
Подставляем значения: $S = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 14 = 15 \cdot 7 = 105$.
Ответ: $S=105$.

и) Дана трапеция с диагоналями $d_1=8$ и $d_2=5$. Угол между диагоналями $\alpha=60^\circ$.
Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2}d_1 d_2 \sin\alpha$.
Значение синуса: $\sin(60^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Подставляем значения: $S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{40\sqrt{3}}{4} = 10\sqrt{3}$.
Ответ: $S=10\sqrt{3}$.

к) Дана трапеция с диагоналями $d_1=12$ и $d_2=10$. Угол между диагоналями $\alpha=45^\circ$.
Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2}d_1 d_2 \sin\alpha$.
Значение синуса: $\sin(45^\circ)=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Подставляем значения: $S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{120\sqrt{2}}{4} = 30\sqrt{2}$.
Ответ: $S=30\sqrt{2}$.

л) Дана трапеция с диагоналями $d_1=12$ и $d_2=18$ и площадью $S=48\sqrt{2}$. Требуется найти угол $\alpha$ между диагоналями.
Используем формулу площади: $S = \frac{1}{2}d_1 d_2 \sin\alpha$.
Подставим известные значения: $48\sqrt{2} = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 18 \cdot \sin\alpha$.
$48\sqrt{2} = 108 \cdot \sin\alpha$.
Выразим синус угла: $\sin\alpha = \frac{48\sqrt{2}}{108}$.
Сократим дробь $\frac{48}{108}$ на 12: $\frac{48 \div 12}{108 \div 12} = \frac{4}{9}$.
Таким образом, $\sin\alpha = \frac{4\sqrt{2}}{9}$.
Угол между диагоналями (обычно берется острый) равен $\alpha = \arcsin\left(\frac{4\sqrt{2}}{9}\right)$.
Ответ: $\alpha=\arcsin\left(\frac{4\sqrt{2}}{9}\right)$.

м) Дана трапеция с диагоналями $d_1=15$ и $d_2=12$ и площадью $S=45\sqrt{3}$. Требуется найти угол $\alpha$ между диагоналями.
Используем формулу площади: $S = \frac{1}{2}d_1 d_2 \sin\alpha$.
Подставим известные значения: $45\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 12 \cdot \sin\alpha$.
$45\sqrt{3} = 90 \cdot \sin\alpha$.
Выразим синус угла: $\sin\alpha = \frac{45\sqrt{3}}{90} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Значение синуса $\frac{\sqrt{3}}{2}$ соответствует острому углу $60^\circ$ (и тупому $120^\circ$). В качестве угла между диагоналями принято считать острый угол.
Ответ: $\alpha=60^\circ$.