Страница 185 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

75. Определите координаты концов и середины отрезка:

a)

Концы отрезка:

A($-3; -2$)

B($2; 2$)

Середина отрезка:

C($0; 0$)

Условие: $AC = BC$

б)

Концы отрезка:

M($-1; 4$)

N($3; -2$)

Середина отрезка:

K

Условие: $MK = KN$

а)

Чтобы определить координаты концов и середины отрезка AB, воспользуемся данными с графика.
1. Координаты концов отрезка:
Из графика видно, что абсцисса точки A равна -3, а ордината равна -2. Таким образом, координаты точки A: $A(-3; -2)$.
Абсцисса точки B равна 2, а ордината равна 2. Таким образом, координаты точки B: $B(2; 2)$.
2. Координаты середины отрезка:
По условию $AC = BC$, следовательно, точка C является серединой отрезка AB. Координаты середины отрезка C$(x_c; y_c)$ с концами в точках $A(x_a; y_a)$ и $B(x_b; y_b)$ вычисляются по формулам:
$x_c = \frac{x_a + x_b}{2}$
$y_c = \frac{y_a + y_b}{2}$
Подставим значения координат точек A и B:
$x_c = \frac{-3 + 2}{2} = \frac{-1}{2} = -0.5$
$y_c = \frac{-2 + 2}{2} = \frac{0}{2} = 0$
Таким образом, координаты точки C: $C(-0.5; 0)$.
Ответ: Координаты концов отрезка: $A(-3; -2)$, $B(2; 2)$. Координаты середины отрезка: $C(-0.5; 0)$.

б)

Чтобы определить координаты концов и середины отрезка MN, воспользуемся данными с графика.
1. Координаты концов отрезка:
Из графика видно, что абсцисса точки M равна -1, а ордината равна 4. Таким образом, координаты точки M: $M(-1; 4)$.
Абсцисса точки N равна 3, а ордината равна -2. Таким образом, координаты точки N: $N(3; -2)$.
2. Координаты середины отрезка:
По условию $MK = KN$, следовательно, точка K является серединой отрезка MN. Координаты середины отрезка K$(x_k; y_k)$ с концами в точках $M(x_m; y_m)$ и $N(x_n; y_n)$ вычисляются по формулам:
$x_k = \frac{x_m + x_n}{2}$
$y_k = \frac{y_m + y_n}{2}$
Подставим значения координат точек M и N:
$x_k = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1$
$y_k = \frac{4 + (-2)}{2} = \frac{2}{2} = 1$
Таким образом, координаты точки K: $K(1; 1)$.
Ответ: Координаты концов отрезка: $M(-1; 4)$, $N(3; -2)$. Координаты середины отрезка: $K(1; 1)$.

76. Заполните таблицу, если $AM = MB, M \in AB$:

A

(3; 8)

(1; 3)

(4; 8)

(-7; 3)

(5,4; 2,3)

B

(5; 2)

(4; -2)

(8; 4)

(3,6; 3,5)

M

(5; 6)

(0; 0)

(5; 2)

Поскольку точка M является серединой отрезка AB, ее координаты $(x_M; y_M)$ находятся по формулам: $x_M = \frac{x_A + x_B}{2}$ и $y_M = \frac{y_A + y_B}{2}$, где $(x_A; y_A)$ и $(x_B; y_B)$ — координаты точек A и B соответственно. Из этих формул можно выразить координаты одного из концов отрезка, если известны координаты другого конца и середины. Например, для точки B: $x_B = 2x_M - x_A$ и $y_B = 2y_M - y_A$. Аналогично для точки A: $x_A = 2x_M - x_B$ и $y_A = 2y_M - y_B$. Заполним таблицу, выполняя вычисления для каждого столбца.

Столбец 1

Даны точки A(3; 8) и B(5; 2). Находим координаты середины M.

$x_M = \frac{3 + 5}{2} = \frac{8}{2} = 4$

$y_M = \frac{8 + 2}{2} = \frac{10}{2} = 5$

Ответ: M(4; 5)

Столбец 2

Даны точки A(1; 3) и M(5; 6). Находим координаты точки B.

$x_B = 2 \cdot 5 - 1 = 10 - 1 = 9$

$y_B = 2 \cdot 6 - 3 = 12 - 3 = 9$

Ответ: B(9; 9)

Столбец 3

Даны точки B(4; –2) и M(0; 0). Находим координаты точки A.

$x_A = 2 \cdot 0 - 4 = 0 - 4 = -4$

$y_A = 2 \cdot 0 - (-2) = 0 + 2 = 2$

Ответ: A(-4; 2)

Столбец 4

Даны точки A(4; 8) и B(8; 4). Находим координаты середины M.

$x_M = \frac{4 + 8}{2} = \frac{12}{2} = 6$

$y_M = \frac{8 + 4}{2} = \frac{12}{2} = 6$

Ответ: M(6; 6)

Столбец 5

Даны точки A(–7; 3) и M(5; 2). Находим координаты точки B.

$x_B = 2 \cdot 5 - (-7) = 10 + 7 = 17$

$y_B = 2 \cdot 2 - 3 = 4 - 3 = 1$

Ответ: B(17; 1)

Столбец 6

Даны точки A(5,4; 2,3) и B(3,6; 3,5). Находим координаты середины M.

$x_M = \frac{5,4 + 3,6}{2} = \frac{9,0}{2} = 4,5$

$y_M = \frac{2,3 + 3,5}{2} = \frac{5,8}{2} = 2,9$

Ответ: M(4,5; 2,9)

77. Найдите координаты концов отрезка и его длину:

a) Координаты точек: $A(-3, 2)$, $B(1, -2)$

б) Координаты точек: $A(8, 5)$, $B(-7, -3)$

а)

1. Нахождение координат концов отрезка.

Чтобы найти координаты точки, нужно определить ее проекции на оси координат.

Для точки A: опустим перпендикуляры на оси Ox и Oy. Проекция на ось x (абсцисса) равна -3. Проекция на ось y (ордината) равна 2. Таким образом, координаты точки A: $A(-3; 2)$.

Для точки B: проекция на ось x (абсцисса) равна 1. Проекция на ось y (ордината) равна -2. Таким образом, координаты точки B: $B(1; -2)$.

2. Нахождение длины отрезка.

Длину отрезка AB можно найти по формуле расстояния между двумя точками с координатами $A(x_1; y_1)$ и $B(x_2; y_2)$:

$|AB| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Подставим координаты наших точек $A(-3; 2)$ и $B(1; -2)$:

$|AB| = \sqrt{(1 - (-3))^2 + (-2 - 2)^2} = \sqrt{(1 + 3)^2 + (-4)^2} = \sqrt{4^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32}$

Упростим полученное значение:

$\sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$

Ответ: Координаты концов отрезка: $A(-3; 2)$, $B(1; -2)$. Длина отрезка равна $4\sqrt{2}$.

б)

1. Нахождение координат концов отрезка.

Действуем аналогично предыдущему пункту.

Для точки A: проекция на ось x равна 8, проекция на ось y равна 5. Координаты точки A: $A(8; 5)$.

Для точки B: проекция на ось x равна -7, проекция на ось y равна -3. Координаты точки B: $B(-7; -3)$.

2. Нахождение длины отрезка.

Используем ту же формулу расстояния между двумя точками. Подставим координаты точек $A(8; 5)$ и $B(-7; -3)$:

$|AB| = \sqrt{(-7 - 8)^2 + (-3 - 5)^2} = \sqrt{(-15)^2 + (-8)^2} = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289}$

Вычислим значение корня:

$\sqrt{289} = 17$

Ответ: Координаты концов отрезка: $A(8; 5)$, $B(-7; -3)$. Длина отрезка равна 17.

78. Заполните таблицу, где $AB$ – расстояние между точками:

A: (5; 5), (-2; 14), (1; -1), (0; -7), (6,9; 6,8), ( $5\sqrt{3}$ ; -7)

B: (2; 9), (10; 9), (7; -9), (24; 0), (8,1; 5,1), ( $2\sqrt{3}$ ; -9)

AB:

Для нахождения расстояния AB между двумя точками $A(x_1; y_1)$ и $B(x_2; y_2)$ на плоскости используется формула:

$AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Применим эту формулу для каждой пары точек из таблицы, чтобы найти значение AB.

Для точек A(5; 5) и B(2; 9):

Подставляем координаты в формулу расстояния:

$AB = \sqrt{(2 - 5)^2 + (9 - 5)^2}$

$AB = \sqrt{(-3)^2 + 4^2}$

$AB = \sqrt{9 + 16}$

$AB = \sqrt{25}$

$AB = 5$

Ответ: 5

Для точек A(-2; 14) и B(10; 9):

Подставляем координаты в формулу расстояния:

$AB = \sqrt{(10 - (-2))^2 + (9 - 14)^2}$

$AB = \sqrt{(10 + 2)^2 + (-5)^2}$

$AB = \sqrt{12^2 + (-5)^2}$

$AB = \sqrt{144 + 25}$

$AB = \sqrt{169}$

$AB = 13$

Ответ: 13

Для точек A(1; -1) и B(7; -9):

Подставляем координаты в формулу расстояния:

$AB = \sqrt{(7 - 1)^2 + (-9 - (-1))^2}$

$AB = \sqrt{6^2 + (-9 + 1)^2}$

$AB = \sqrt{6^2 + (-8)^2}$

$AB = \sqrt{36 + 64}$

$AB = \sqrt{100}$

$AB = 10$

Ответ: 10

Для точек A(0; -7) и B(24; 0):

Подставляем координаты в формулу расстояния:

$AB = \sqrt{(24 - 0)^2 + (0 - (-7))^2}$

$AB = \sqrt{24^2 + 7^2}$

$AB = \sqrt{576 + 49}$

$AB = \sqrt{625}$

$AB = 25$

Ответ: 25

Для точек A(6,9; 6,8) и B(8,1; 5,1):

Подставляем координаты в формулу расстояния:

$AB = \sqrt{(8,1 - 6,9)^2 + (5,1 - 6,8)^2}$

$AB = \sqrt{(1,2)^2 + (-1,7)^2}$

$AB = \sqrt{1,44 + 2,89}$

$AB = \sqrt{4,33}$

Ответ: $\sqrt{4,33}$

Для точек A(5$\sqrt{3}$; -7) и B(2$\sqrt{3}$; -9):

Подставляем координаты в формулу расстояния:

$AB = \sqrt{(2\sqrt{3} - 5\sqrt{3})^2 + (-9 - (-7))^2}$

$AB = \sqrt{(-3\sqrt{3})^2 + (-2)^2}$

$AB = \sqrt{9 \cdot (\sqrt{3})^2 + 4}$

$AB = \sqrt{9 \cdot 3 + 4}$

$AB = \sqrt{27 + 4}$

$AB = \sqrt{31}$

Ответ: $\sqrt{31}$