Страница 189 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

89. Напишите уравнение окружности:

a)

$x^2 + y^2 = 4$

б)

$x^2 + y^2 = 9$

в)

$x^2 + y^2 = 16$

г)

$(x-1)^2 + y^2 = 1$

Общее уравнение окружности с центром в точке с координатами $(x_0, y_0)$ и радиусом $R$ имеет вид: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$. Для нахождения уравнения каждой окружности необходимо определить координаты ее центра и длину радиуса по представленному графику.

а) Центр окружности находится в точке $C(1, -1)$, следовательно, $x_0 = 1$ и $y_0 = -1$. Радиус $R$ равен расстоянию от центра до любой точки на окружности. Из графика видно, что радиус равен 2 единичным отрезкам. Подставим эти значения в общую формулу уравнения окружности: $(x - 1)^2 + (y - (-1))^2 = 2^2$. После упрощения получаем уравнение: $(x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 4$. Ответ: $(x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 4$.

б) Центр окружности совпадает с началом координат, то есть находится в точке $O(0, 0)$. Таким образом, $x_0 = 0$ и $y_0 = 0$. Радиус $R$ равен 3 единичным отрезкам, что видно из пересечения окружности с осями координат в точках $(3, 0)$, $(-3, 0)$, $(0, 3)$ и $(0, -3)$. Подставляем значения в формулу: $(x - 0)^2 + (y - 0)^2 = 3^2$. Упрощенное уравнение имеет вид: $x^2 + y^2 = 9$. Ответ: $x^2 + y^2 = 9$.

в) Центр окружности расположен в точке $C(-2, 1)$, поэтому $x_0 = -2$ и $y_0 = 1$. Радиус $R$ этой окружности равен 3 единичным отрезкам. Подставляем значения в стандартную формулу: $(x - (-2))^2 + (y - 1)^2 = 3^2$. После упрощения получаем: $(x + 2)^2 + (y - 1)^2 = 9$. Ответ: $(x + 2)^2 + (y - 1)^2 = 9$.

г) Центр данной окружности находится в точке $C(1, 2)$, значит $x_0 = 1$ и $y_0 = 2$. Радиус $R$ окружности равен 2 единичным отрезкам. Подставляем эти значения в общую формулу: $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 2^2$. В результате получаем следующее уравнение: $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 4$. Ответ: $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 4$.

90. Выберите точки, лежащие на окружности $(x - 3)^2 + (y + 4)^2 = 25$:

A (1; 0)

B (3; 1)

C (8; -4)

D (0; 0)

E (2; -3)

F (7; -1)

G (2; 20)

H (6,5; 2)

Чтобы определить, принадлежит ли точка окружности, необходимо подставить ее координаты $(x; y)$ в уравнение окружности $(x - 3)^2 + (y + 4)^2 = 25$. Если в результате подстановки получается верное равенство $25 = 25$, то точка лежит на окружности. Если равенство неверное, то точка не лежит на окружности.

A (1; 0)

Подставляем координаты $x = 1$ и $y = 0$ в левую часть уравнения:
$(1 - 3)^2 + (0 + 4)^2 = (-2)^2 + 4^2 = 4 + 16 = 20$.
Получили $20$, что не равно $25$.
Ответ: Точка A не лежит на окружности.

B (3; 1)

Подставляем координаты $x = 3$ и $y = 1$ в левую часть уравнения:
$(3 - 3)^2 + (1 + 4)^2 = 0^2 + 5^2 = 0 + 25 = 25$.
Получили $25$, что равно $25$.
Ответ: Точка B лежит на окружности.

C (8; -4)

Подставляем координаты $x = 8$ и $y = -4$ в левую часть уравнения:
$(8 - 3)^2 + (-4 + 4)^2 = 5^2 + 0^2 = 25 + 0 = 25$.
Получили $25$, что равно $25$.
Ответ: Точка C лежит на окружности.

D (0; 0)

Подставляем координаты $x = 0$ и $y = 0$ в левую часть уравнения:
$(0 - 3)^2 + (0 + 4)^2 = (-3)^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$.
Получили $25$, что равно $25$.
Ответ: Точка D лежит на окружности.

E (2; -3)

Подставляем координаты $x = 2$ и $y = -3$ в левую часть уравнения:
$(2 - 3)^2 + (-3 + 4)^2 = (-1)^2 + 1^2 = 1 + 1 = 2$.
Получили $2$, что не равно $25$.
Ответ: Точка E не лежит на окружности.

F (7; -1)

Подставляем координаты $x = 7$ и $y = -1$ в левую часть уравнения:
$(7 - 3)^2 + (-1 + 4)^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$.
Получили $25$, что равно $25$.
Ответ: Точка F лежит на окружности.

G (2; 20)

Подставляем координаты $x = 2$ и $y = 20$ в левую часть уравнения:
$(2 - 3)^2 + (20 + 4)^2 = (-1)^2 + 24^2 = 1 + 576 = 577$.
Получили $577$, что не равно $25$.
Ответ: Точка G не лежит на окружности.

H (6,5; 2)

Подставляем координаты $x = 6,5$ и $y = 2$ в левую часть уравнения:
$(6,5 - 3)^2 + (2 + 4)^2 = (3,5)^2 + 6^2 = 12,25 + 36 = 48,25$.
Получили $48,25$, что не равно $25$.
Ответ: Точка H не лежит на окружности.

Итоговый ответ: На окружности лежат точки B, C, D, F.

91. Заполните таблицу, где O – центр, R – радиус окружности:

Вариант 1:

O: (4; 2)

R: 4

уравнение: (требуется заполнить)

Вариант 2:

O: (требуется заполнить)

R: (требуется заполнить)

уравнение: $x^2 + y^2 = 36$

Вариант 3:

O: (-1; 5)

R: 3

уравнение: (требуется заполнить)

Вариант 4:

O: (требуется заполнить)

R: (требуется заполнить)

уравнение: $(x - 7)^2 + (y + 2)^2 = 49$

Для решения задачи используется общее уравнение окружности с центром в точке $O(a; b)$ и радиусом $R$: $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$.

Первый столбец

В данном столбце известны координаты центра $O(4; 2)$ и радиус $R = 4$.

Подставим значения $a = 4$, $b = 2$ и $R = 4$ в общую формулу уравнения окружности:

$(x - 4)^2 + (y - 2)^2 = 4^2$

Возведем радиус в квадрат:

$(x - 4)^2 + (y - 2)^2 = 16$

Ответ: $(x - 4)^2 + (y - 2)^2 = 16$

Второй столбец

Дано уравнение окружности $x^2 + y^2 = 36$.

Сравним его с общим уравнением $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$. Запишем данное уравнение в виде $(x - 0)^2 + (y - 0)^2 = 6^2$.

Из этого вида следует, что координаты центра $a = 0$ и $b = 0$. Таким образом, центр окружности — это точка $O(0; 0)$.

Квадрат радиуса $R^2 = 36$, следовательно, радиус $R = \sqrt{36} = 6$.

Ответ: $O(0; 0)$, $R = 6$

Третий столбец

В данном столбце известны координаты центра $O(-1; 5)$ и радиус $R = 3$.

Подставим значения $a = -1$, $b = 5$ и $R = 3$ в общую формулу уравнения окружности:

$(x - (-1))^2 + (y - 5)^2 = 3^2$

Упростим выражение и возведем радиус в квадрат:

$(x + 1)^2 + (y - 5)^2 = 9$

Ответ: $(x + 1)^2 + (y - 5)^2 = 9$

Четвертый столбец

Дано уравнение окружности $(x - 7)^2 + (y + 2)^2 = 49$.

Сравним его с общим уравнением $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$. Запишем данное уравнение в виде $(x - 7)^2 + (y - (-2))^2 = 7^2$.

Из этого вида следует, что координаты центра $a = 7$ и $b = -2$. Таким образом, центр окружности — это точка $O(7; -2)$.

Квадрат радиуса $R^2 = 49$, следовательно, радиус $R = \sqrt{49} = 7$.

Ответ: $O(7; -2)$, $R = 7$

Выберите верный ответ (92-95).

92. Прямой $y=6x-5$ принадлежит точка:

а) (-1; 1); б) (2; -7); в) (-2; -7); г) (2; 7); д) (0; 5).

Чтобы определить, какая из предложенных точек принадлежит прямой, заданной уравнением $y = 6x - 5$, необходимо поочередно подставить координаты каждой точки $(x; y)$ в это уравнение. Если в результате подстановки получится верное числовое равенство, то точка принадлежит прямой.

а) Проверим точку $(-1; 1)$. Подставим $x = -1$ и $y = 1$ в уравнение прямой:
$1 = 6 \cdot (-1) - 5$
$1 = -6 - 5$
$1 = -11$
Равенство неверное, следовательно, точка не принадлежит прямой.

б) Проверим точку $(2; -7)$. Подставим $x = 2$ и $y = -7$ в уравнение прямой:
$-7 = 6 \cdot 2 - 5$
$-7 = 12 - 5$
$-7 = 7$
Равенство неверное, следовательно, точка не принадлежит прямой.

в) Проверим точку $(-2; -7)$. Подставим $x = -2$ и $y = -7$ в уравнение прямой:
$-7 = 6 \cdot (-2) - 5$
$-7 = -12 - 5$
$-7 = -17$
Равенство неверное, следовательно, точка не принадлежит прямой.

г) Проверим точку $(2; 7)$. Подставим $x = 2$ и $y = 7$ в уравнение прямой:
$7 = 6 \cdot 2 - 5$
$7 = 12 - 5$
$7 = 7$
Равенство верное, следовательно, точка принадлежит прямой.

д) Проверим точку $(0; 5)$. Подставим $x = 0$ и $y = 5$ в уравнение прямой:
$5 = 6 \cdot 0 - 5$
$5 = 0 - 5$
$5 = -5$
Равенство неверное, следовательно, точка не принадлежит прямой.

Единственная точка, координаты которой удовлетворяют уравнению прямой, это $(2; 7)$.
Ответ: г)

93. Какое из уравнений является уравнением некоторой прямой:

а) $x + y = 4$;

б) $|x + y| = 4$;

в) $(x + y)^2 = 4$;

г) $x^2 - y^2 = 4$;

д) $x + y = 4xy?`

Общее уравнение прямой на плоскости в декартовых координатах имеет вид $Ax + By + C = 0$, где $A$ и $B$ — числовые коэффициенты, причем хотя бы один из них не равен нулю, а $C$ — свободный член. Важнейшим свойством такого уравнения является то, что переменные $x$ и $y$ входят в него в первой степени. Проанализируем каждый из предложенных вариантов.

а) $x + y = 4$
Это уравнение является линейным, так как переменные $x$ и $y$ находятся в первой степени. Оно полностью соответствует общему виду уравнения прямой, где $A=1$, $B=1$, $C=-4$. Его можно преобразовать к виду $y = -x + 4$, что является уравнением прямой с угловым коэффициентом $k=-1$ и точкой пересечения с осью ординат $(0, 4)$.
Ответ: является уравнением прямой.

б) $|x + y| = 4$
Наличие модуля означает, что выражение $x+y$ может быть равно как $4$, так и $-4$. Таким образом, это уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений:
1) $x + y = 4$, что является уравнением прямой $y = -x + 4$.
2) $x + y = -4$, что является уравнением прямой $y = -x - 4$.
Графиком исходного уравнения является объединение этих двух параллельных прямых, а не одна единственная прямая.
Ответ: не является уравнением одной прямой.

в) $(x + y)^2 = 4$
Чтобы упростить это уравнение, извлечем квадратный корень из обеих частей: $\sqrt{(x+y)^2} = \sqrt{4}$, что дает $|x+y|=2$. Аналогично предыдущему пункту, это уравнение равносильно совокупности двух уравнений:
1) $x + y = 2$ (прямая $y = -x + 2$).
2) $x + y = -2$ (прямая $y = -x - 2$).
Следовательно, графиком является пара параллельных прямых.
Ответ: не является уравнением одной прямой.

г) $x^2 - y^2 = 4$
В этом уравнении переменные $x$ и $y$ возведены во вторую степень. Это каноническое уравнение гиперболы, которое можно записать как $\frac{x^2}{2^2} - \frac{y^2}{2^2} = 1$. Графиком является кривая второго порядка, а не прямая линия.
Ответ: не является уравнением прямой.

д) $x + y = 4xy$
Это уравнение является нелинейным, так как содержит член $xy$, в котором переменные перемножаются. Для анализа преобразуем уравнение, выразив $y$ через $x$:
$y - 4xy = -x$
$y(1 - 4x) = -x$
$y = \frac{-x}{1 - 4x} = \frac{x}{4x - 1}$
Это уравнение дробно-рациональной функции, график которой — гипербола, а не прямая.
Ответ: не является уравнением прямой.

Таким образом, проанализировав все варианты, мы приходим к выводу, что единственным уравнением, которое является уравнением некоторой прямой, является уравнение а) $x+y=4$.