Страница 190 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

94. Какое из уравнений есть уравнение некоторой окружности:

a) $x^2 + 1 = 4$;

б) $x^2 + y^2 = 4$;

в) $(x + y)^2 = 4$;

г) $x^2 - y^2 = 4$;

д) $x^2 + y^2 = 4xy?$;

Для определения, какое из уравнений является уравнением окружности, необходимо сравнить их с каноническим уравнением окружности. Общее уравнение окружности с центром в точке $(x_0, y_0)$ и радиусом $r$ имеет вид: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2$. Частный случай, когда центр окружности находится в начале координат $(0, 0)$, описывается уравнением $x^2 + y^2 = r^2$. Проанализируем каждый из предложенных вариантов.

а) Уравнение $x^2 + 1 = 4$ можно преобразовать к виду $x^2 = 3$. Решениями этого уравнения являются $x = \sqrt{3}$ и $x = -\sqrt{3}$. На координатной плоскости эти уравнения задают две параллельные вертикальные прямые, а не окружность.

б) Уравнение $x^2 + y^2 = 4$ в точности соответствует каноническому виду уравнения окружности с центром в начале координат $(0, 0)$. В данном случае $r^2 = 4$, следовательно, радиус окружности $r = 2$. Это уравнение является уравнением окружности.

в) Уравнение $(x + y)^2 = 4$ можно представить в виде двух уравнений: $x + y = 2$ и $x + y = -2$. Каждое из этих уравнений задает прямую линию. Таким образом, исходное уравнение описывает две параллельные прямые, а не окружность.

г) Уравнение $x^2 - y^2 = 4$ является каноническим уравнением гиперболы. Характерным признаком уравнения окружности является сумма квадратов координат $x$ и $y$ с одинаковыми коэффициентами, а в данном уравнении мы видим их разность.

д) Уравнение $x^2 + y^2 = 4xy$ после переноса всех членов в левую часть принимает вид $x^2 - 4xy + y^2 = 0$. Уравнение окружности в стандартном виде не содержит члена с произведением переменных $xy$. Следовательно, это не уравнение окружности. Это уравнение описывает пару прямых, проходящих через начало координат.

Таким образом, после анализа всех предложенных вариантов, мы приходим к выводу, что только уравнение из пункта б) является уравнением окружности.

Ответ: б)

95. Прямой $y = 10x - 4$ параллельны прямые:

а) $y = -10x - 4$;

б) $y = -10x$;

в) $y = 10x - 2$;

г) $y = 10 - 4x$;

д) $y = 10x$.

Две прямые, заданные уравнениями в виде $y = kx + b$, являются параллельными, если их угловые коэффициенты $k$ равны, а точки пересечения с осью Y, определяемые коэффициентом $b$, различны. Если и угловые коэффициенты, и свободные члены равны, то прямые совпадают.

Исходное уравнение прямой: $y = 10x - 4$. Угловой коэффициент этой прямой $k=10$, а свободный член $b=-4$. Мы ищем прямые с угловым коэффициентом $k=10$ и свободным членом $b \neq -4$.

а) $y = -10x - 4$

Угловой коэффициент этой прямой равен -10. Так как $-10 \neq 10$, эта прямая не параллельна данной.
Ответ: не параллельна.

б) $y = -10x$

Угловой коэффициент этой прямой равен -10. Так как $-10 \neq 10$, эта прямая не параллельна данной.
Ответ: не параллельна.

в) $y = 10x - 2$

Угловой коэффициент этой прямой равен 10, что совпадает с угловым коэффициентом данной прямой. Свободный член равен -2, что не равно -4. Следовательно, эти прямые параллельны.
Ответ: параллельна.

г) $y = 10 - 4x$

Перепишем уравнение в стандартном виде $y = kx + b$: $y = -4x + 10$. Угловой коэффициент этой прямой равен -4. Так как $-4 \neq 10$, эта прямая не параллельна данной.
Ответ: не параллельна.

д) $y = 10x$

Угловой коэффициент этой прямой равен 10, что совпадает с угловым коэффициентом данной прямой. Свободный член равен 0 (так как $y = 10x + 0$), что не равно -4. Следовательно, эти прямые параллельны.
Ответ: параллельна.

96. Окружность с центром в точке (-3; 4) и радиусом 8 можно за- дать уравнением:

a) $(x-3)^2+(y+4)^2=64$;

б) $(x-3)^2-(y+4)^2=64$;

в) $(x-3)^2+(y+4)^2=8$;

г) $(x+3)^2-(y-4)^2=64$;

д) $(x+3)^2+(y-4)^2=64$.

Общее уравнение окружности с центром в точке с координатами $(h; k)$ и радиусом $r$ имеет следующий вид:

$(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$

В соответствии с условием задачи, центр окружности находится в точке $(-3; 4)$, следовательно, координаты центра $h = -3$ и $k = 4$. Радиус окружности $r = 8$.

Подставим данные значения в формулу уравнения окружности:

$(x - (-3))^2 + (y - 4)^2 = 8^2$

После упрощения получаем искомое уравнение:

$(x + 3)^2 + (y - 4)^2 = 64$

Теперь сравним полученное нами уравнение с вариантами, предложенными в задаче:

а) $(x - 3)^2 + (y + 4)^2 = 64$ — неверно. Это уравнение описывает окружность с центром в точке $(3; -4)$.

б) $(x - 3)^2 - (y + 4)^2 = 64$ — неверно. Знак минуса между квадратами указывает на то, что это уравнение гиперболы, а не окружности.

в) $(x - 3)^2 + (y + 4)^2 = 8$ — неверно. Здесь центр в точке $(3; -4)$ и квадрат радиуса равен $8$, а не $64$.

г) $(x + 3)^2 - (y - 4)^2 = 64$ — неверно. Это также уравнение гиперболы.

д) $(x + 3)^2 + (y - 4)^2 = 64$ — верно. Это уравнение окружности с центром в точке $(-3; 4)$ и радиусом $r = \sqrt{64} = 8$.

Ответ: д

Заполните пропуски (97–100).

97. Если $C(-1; 4)$, $D(-3; -10)$, то середина $O$ отрезка $CD$ имеет координаты ....

97.

Для нахождения координат середины O отрезка CD с концами в точках $C(x_1; y_1)$ и $D(x_2; y_2)$ используются следующие формулы:

$x_O = \frac{x_1 + x_2}{2}$

$y_O = \frac{y_1 + y_2}{2}$

Даны координаты точек: $C(-1; 4)$ и $D(-3; -10)$.

Подставим значения координат x в первую формулу, чтобы найти абсциссу середины отрезка:

$x_O = \frac{-1 + (-3)}{2} = \frac{-1 - 3}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Теперь подставим значения координат y во вторую формулу, чтобы найти ординату середины отрезка:

$y_O = \frac{4 + (-10)}{2} = \frac{4 - 10}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

Таким образом, координаты середины O отрезка CD равны $(-2; -3)$.

Ответ: $(-2; -3)$.

98. Расстояние между точками $A(5; -7)$ и $B(2; -3)$ равно ...

Чтобы найти расстояние между двумя точками $A(x_1; y_1)$ и $B(x_2; y_2)$ на координатной плоскости, используется формула расстояния, которая является следствием теоремы Пифагора:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

В данной задаче даны координаты точек $A(5; -7)$ и $B(2; -3)$. Подставим значения координат, где $x_1 = 5$, $y_1 = -7$, $x_2 = 2$ и $y_2 = -3$, в формулу:

$d = \sqrt{(2 - 5)^2 + (-3 - (-7))^2}$

Сначала выполним вычисления в скобках:

$d = \sqrt{(-3)^2 + (-3 + 7)^2} = \sqrt{(-3)^2 + 4^2}$

Затем возведем полученные числа в квадрат и сложим их:

$d = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25}$

Наконец, извлечем квадратный корень:

$d = 5$

Ответ: 5.

99. Координаты центра окружности $(x - 2)^2 + (y + 4)^2 = 25$ ...

Для нахождения координат центра окружности необходимо сравнить данное уравнение с его стандартной формой.

Стандартное уравнение окружности с центром в точке $(h, k)$ и радиусом $r$ выглядит следующим образом:

$(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$

В задаче дано уравнение:

$(x - 2)^2 + (y + 4)^2 = 25$

Сопоставим это уравнение со стандартной формой:

1. Сравнивая часть $(x - 2)^2$ с $(x - h)^2$, мы видим, что $h = 2$.

2. Сравнивая часть $(y + 4)^2$ с $(y - k)^2$, мы можем переписать $(y + 4)^2$ как $(y - (-4))^2$. Отсюда следует, что $k = -4$.

Таким образом, координаты центра окружности $(h, k)$ равны $(2, -4)$.

(Радиус окружности $r$ можно найти из уравнения $r^2 = 25$, следовательно, $r = \sqrt{25} = 5$, но это не требуется для ответа на вопрос).

Ответ: $(2, -4)$

100. Если треугольник имеет вершины $A(8; 12)$, $B(-8; 0)$, $C(-2; -8)$, то его медиана $CM$ лежит на прямой ....

Для того чтобы найти уравнение прямой, на которой лежит медиана $CM$ треугольника $ABC$, необходимо выполнить два шага: найти координаты точки $M$, которая является серединой стороны $AB$, а затем составить уравнение прямой, проходящей через точки $C$ и $M$.

1. Нахождение координат точки M.
Медиана $CM$ по определению соединяет вершину $C$ с серединой противоположной стороны $AB$. Координаты середины отрезка $M(x_M; y_M)$ с концами в точках $A(x_A; y_A)$ и $B(x_B; y_B)$ вычисляются по формулам:
$x_M = \frac{x_A + x_B}{2}$
$y_M = \frac{y_A + y_B}{2}$
Подставим координаты вершин $A(8; 12)$ и $B(-8; 0)$:
$x_M = \frac{8 + (-8)}{2} = \frac{0}{2} = 0$
$y_M = \frac{12 + 0}{2} = \frac{12}{2} = 6$
Таким образом, координаты точки $M$ равны $(0; 6)$.

2. Нахождение уравнения прямой CM.
Теперь у нас есть координаты двух точек, через которые проходит искомая прямая: $C(-2; -8)$ и $M(0; 6)$. Уравнение прямой, проходящей через две точки $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$, можно записать в виде:
$\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$
Подставим координаты точек $C$ и $M$ в эту формулу:
$\frac{x - (-2)}{0 - (-2)} = \frac{y - (-8)}{6 - (-8)}$
$\frac{x + 2}{2} = \frac{y + 8}{14}$
Теперь упростим полученное уравнение, чтобы привести его к стандартному виду $y = kx + b$. Для этого умножим обе части равенства на 14:
$14 \cdot \frac{x + 2}{2} = y + 8$
$7(x + 2) = y + 8$
$7x + 14 = y + 8$
Выразим $y$:
$y = 7x + 14 - 8$
$y = 7x + 6$
Это и есть уравнение прямой, на которой лежит медиана $CM$.

Ответ: $y = 7x + 6$.