Страница 178 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

Заполните пропуски (48–54).

48. Медианы $BM$ и $AN$ равностороннего треугольника пересекаются в точке $O$. Если $AB = 12$ см, то $BO$ и $ON$ соответственно равны ....

48.

Пусть дан равносторонний треугольник $ABC$ со стороной $AB = BC = AC = 12$ см. Медианы $BM$ и $AN$ пересекаются в точке $O$.

1. В равностороннем треугольнике медиана является одновременно высотой и биссектрисой. Это означает, что все три медианы равны по длине. Найдем длину одной из них, например, медианы $AN$.

2. Поскольку $AN$ — медиана, проведенная к стороне $BC$, она делит эту сторону пополам. Следовательно, $BN = NC = \frac{BC}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.

3. Так как медиана $AN$ также является высотой, треугольник $ANC$ — прямоугольный, с прямым углом при вершине $N$ ($\angle ANC = 90^\circ$).

4. Применим теорему Пифагора к треугольнику $ANC$, где $AC$ — гипотенуза, а $AN$ и $NC$ — катеты:

$AC^2 = AN^2 + NC^2$

$12^2 = AN^2 + 6^2$

$144 = AN^2 + 36$

$AN^2 = 144 - 36 = 108$

$AN = \sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = 6\sqrt{3}$ см.

5. Так как все медианы в равностороннем треугольнике равны, то длина медианы $BM$ также равна $6\sqrt{3}$ см.

6. Точка пересечения медиан треугольника (центроид) делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Это означает, что $BO : OM = 2:1$ и $AO : ON = 2:1$.

7. Используя это свойство, вычислим длины отрезков $BO$ и $ON$:

Отрезок $BO$ составляет $\frac{2}{3}$ от всей длины медианы $BM$:

$BO = \frac{2}{3} \cdot BM = \frac{2}{3} \cdot 6\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$ см.

Отрезок $ON$ составляет $\frac{1}{3}$ от всей длины медианы $AN$:

$ON = \frac{1}{3} \cdot AN = \frac{1}{3} \cdot 6\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$ см.

Ответ: $4\sqrt{3}$ см и $2\sqrt{3}$ см.

49. Если сторона ромба равна $a$, а его диагональ $a\sqrt{2}$, то углы ромба равны ... градусов.

Пусть дан ромб, сторона которого равна $a$, а одна из его диагоналей равна $d = a\sqrt{2}$.

Диагональ делит ромб на два равных равнобедренных треугольника. Рассмотрим один из этих треугольников. Две его стороны равны стороне ромба ($a$), а третья сторона — это диагональ ($a\sqrt{2}$).

Проверим, выполняется ли для этого треугольника теорема Пифагора. Для этого сравним сумму квадратов двух равных сторон с квадратом третьей стороны (диагонали).

Сумма квадратов сторон: $a^2 + a^2 = 2a^2$.

Квадрат диагонали: $(a\sqrt{2})^2 = a^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 2a^2$.

Поскольку $a^2 + a^2 = (a\sqrt{2})^2$, то по обратной теореме Пифагора треугольник является прямоугольным. Угол, лежащий напротив гипотенузы (диагонали $a\sqrt{2}$), является прямым, то есть его величина составляет $90^\circ$.

Этот прямой угол является одним из углов ромба. В ромбе сумма соседних углов равна $180^\circ$. Следовательно, угол, соседний с прямым углом, равен $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.

Так как противоположные углы ромба равны, то все четыре угла ромба равны $90^\circ$. Такой ромб является квадратом.

Ответ: 90, 90, 90, 90.

50. Если высота прямоугольного треугольника делит гипотенузу на отрезки 2 см и 8 см, то длина этой высоты равна ... см.

В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе, является средним геометрическим для отрезков, на которые она делит гипотенузу.

Пусть $h$ — искомая длина высоты, а $a'$ и $b'$ — длины отрезков, на которые высота делит гипотенузу. Согласно условию, $a' = 2$ см и $b' = 8$ см.

Формула, связывающая эти величины, выглядит так: $h^2 = a' \cdot b'$

Подставим в формулу известные значения: $h^2 = 2 \cdot 8$ $h^2 = 16$

Чтобы найти длину высоты $h$, извлечем квадратный корень из 16: $h = \sqrt{16}$ $h = 4$

Следовательно, длина высоты равна 4 см.

Ответ: 4

51. Если в равнобедренном треугольнике $ABC$ с углом при вершине $B$, равным $120^\circ$, проведена высота $CD = 3$ см, то боковая сторона $AB$ равна ... см.

Поскольку треугольник $ABC$ является равнобедренным с вершиной в точке $B$, его боковые стороны равны: $AB = BC$.

Так как угол при вершине $\angle ABC = 120^\circ$ является тупым, высота $CD$, проведенная из вершины $C$ к боковой стороне $AB$, опускается на продолжение этой стороны за точку $B$. В результате образуется прямоугольный треугольник $CDB$ с прямым углом $\angle CDB = 90^\circ$.

Угол $\angle CBD$ и угол $\angle ABC$ являются смежными, их сумма равна $180^\circ$. Найдем величину угла $\angle CBD$:
$\angle CBD = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $CDB$. В нем известен катет $CD = 3$ см, который лежит напротив угла $\angle CBD = 60^\circ$. Гипотенуза $BC$ этого треугольника является боковой стороной исходного треугольника $ABC$.

Воспользуемся определением синуса для нахождения гипотенузы $BC$:
$\sin(\angle CBD) = \frac{CD}{BC}$
Подставим известные значения:
$\sin(60^\circ) = \frac{3}{BC}$

Зная, что $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем уравнение:
$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{BC}$

Выразим $BC$:
$BC = \frac{3 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}}$
Упростим выражение, избавившись от иррациональности в знаменателе:
$BC = \frac{6 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$ см.

Поскольку $AB = BC$ по определению равнобедренного треугольника, то искомая боковая сторона $AB$ также равна $2\sqrt{3}$ см.

Ответ: $2\sqrt{3}$

52. Зная косинус угла, можно найти его синус (применяя основное тригонометрическое тождество):

$\sin \alpha = ....$

Для того чтобы выразить синус угла через его косинус, необходимо использовать основное тригонометрическое тождество. Это тождество связывает квадраты синуса и косинуса одного и того же угла и имеет следующий вид:

$sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1$

Чтобы из этого уравнения найти $sin \alpha$, выполним следующие алгебраические преобразования:

1. Выразим $sin^2 \alpha$, перенеся $cos^2 \alpha$ в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$sin^2 \alpha = 1 - cos^2 \alpha$

2. Теперь извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения, чтобы найти $sin \alpha$. При извлечении квадратного корня необходимо учесть, что результат может быть как положительным, так и отрицательным. Знак синуса зависит от того, в какой координатной четверти находится угол $\alpha$. Синус положителен в I и II четвертях ($0° < \alpha < 180°$) и отрицателен в III и IV четвертях ($180° < \alpha < 360°$). Поэтому в общем виде формула должна содержать знак "плюс-минус" ($±$).

$sin \alpha = \pm\sqrt{1 - cos^2 \alpha}$

Таким образом, зная косинус угла, можно найти его синус, но для однозначного определения знака синуса требуется дополнительная информация о положении угла.

Ответ: $\pm\sqrt{1 - \cos^2 \alpha}$

53. Зная косинус и тангенс угла, можно найти его синус: $\sin \alpha = ...$

Чтобы найти синус угла $\alpha$, зная его косинус ($\cos \alpha$) и тангенс ($\tan \alpha$), следует использовать основное тригонометрическое определение тангенса.

Тангенс угла определяется как отношение синуса этого угла к его косинусу:

$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$

Для того чтобы выразить $\sin \alpha$ из этой формулы, необходимо умножить обе части равенства на $\cos \alpha$. Это действие правомерно, так как для существования тангенса значение $\cos \alpha$ не должно быть равно нулю.

Выполним умножение:

$\tan \alpha \cdot \cos \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \cdot \cos \alpha$

В правой части уравнения $\cos \alpha$ в числителе и знаменателе сокращаются, и мы получаем итоговую формулу для нахождения синуса:

$\sin \alpha = \cos \alpha \cdot \tan \alpha$

Ответ: $\cos \alpha \cdot \tan \alpha$

54. Если $\text{tg } \alpha = \frac{\sqrt{21}}{2}$, то $\text{ctg } \alpha = \dots$, $\text{cos } \alpha = \dots$, $\text{sin } \alpha = \dots$

ctg α

Котангенс является величиной, обратной тангенсу. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством, связывающим тангенс и котангенс: $ \text{ctg } \alpha = \frac{1}{\text{tg } \alpha} $.

Подставим известное значение $ \text{tg } \alpha = \frac{\sqrt{21}}{2} $:

$ \text{ctg } \alpha = \frac{1}{\frac{\sqrt{21}}{2}} = \frac{2}{\sqrt{21}} $

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $ \sqrt{21} $:

$ \text{ctg } \alpha = \frac{2 \cdot \sqrt{21}}{\sqrt{21} \cdot \sqrt{21}} = \frac{2\sqrt{21}}{21} $

Ответ: $ \frac{2\sqrt{21}}{21} $

cos α

Чтобы найти косинус, воспользуемся тождеством, связывающим тангенс и косинус: $ 1 + \text{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha} $.

Подставим значение тангенса:

$ 1 + \left(\frac{\sqrt{21}}{2}\right)^2 = \frac{1}{\cos^2 \alpha} $

$ 1 + \frac{21}{4} = \frac{1}{\cos^2 \alpha} $

$ \frac{4}{4} + \frac{21}{4} = \frac{1}{\cos^2 \alpha} $

$ \frac{25}{4} = \frac{1}{\cos^2 \alpha} $

Отсюда выразим $ \cos^2 \alpha $:

$ \cos^2 \alpha = \frac{4}{25} $

Извлечем квадратный корень. Так как в условии не указана четверть, в которой находится угол $ \alpha $, а тангенс положителен в I и III четвертях, косинус может быть как положительным (в I четверти), так и отрицательным (в III четверти).

$ \cos \alpha = \pm\sqrt{\frac{4}{25}} = \pm\frac{2}{5} $

Ответ: $ \pm\frac{2}{5} $

sin α

Для нахождения синуса используем определение тангенса: $ \text{tg } \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} $, откуда $ \sin \alpha = \text{tg } \alpha \cdot \cos \alpha $.

Значение синуса зависит от знака косинуса. Так как $ \text{tg } \alpha > 0 $, знаки $ \sin \alpha $ и $ \cos \alpha $ должны совпадать.

1. Если угол $ \alpha $ находится в I четверти, то $ \cos \alpha = \frac{2}{5} $.

$ \sin \alpha = \frac{\sqrt{21}}{2} \cdot \frac{2}{5} = \frac{\sqrt{21}}{5} $

2. Если угол $ \alpha $ находится в III четверти, то $ \cos \alpha = -\frac{2}{5} $.

$ \sin \alpha = \frac{\sqrt{21}}{2} \cdot \left(-\frac{2}{5}\right) = -\frac{\sqrt{21}}{5} $

Таким образом, синус также может принимать два значения, которые соответствуют знакам косинуса.

Ответ: $ \pm\frac{\sqrt{21}}{5} $