Страница 173 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

34. Заполните таблицу:

На рисунке изображен прямоугольный треугольник со сторонами $a$, $b$, $c$ и углами $\alpha$, $\beta$.

$a$: 4, 8, 16, , 39, $2\sqrt{7}$, 2, , 4

$b$: 4,2, , 63, 21, 80, $6\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, $2\sqrt{6}$,

$c$: , 17, , 29, , , , 5, 10

sin $\alpha$:

cos $\alpha$:

tg $\alpha$:

ctg $\alpha$:

В данной задаче мы будем использовать теорему Пифагора для прямоугольного треугольника ($a^2 + b^2 = c^2$) и определения тригонометрических функций острого угла $\alpha$:
$\sin \alpha = \frac{a}{c}$ (отношение противолежащего катета к гипотенузе)
$\cos \alpha = \frac{b}{c}$ (отношение прилежащего катета к гипотенузе)
$\tan \alpha = \frac{a}{b}$ (отношение противолежащего катета к прилежащему)
$\cot \alpha = \frac{b}{a}$ (отношение прилежащего катета к противолежащему)

Для столбца, где $a=4$ и $b=4,2$:
Сначала найдем гипотенузу $c$ по теореме Пифагора:
$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{4^2 + (4,2)^2} = \sqrt{16 + 17,64} = \sqrt{33,64} = 5,8$.
Теперь вычислим значения тригонометрических функций:
$\sin \alpha = \frac{a}{c} = \frac{4}{5,8} = \frac{40}{58} = \frac{20}{29}$.
$\cos \alpha = \frac{b}{c} = \frac{4,2}{5,8} = \frac{42}{58} = \frac{21}{29}$.
$\tan \alpha = \frac{a}{b} = \frac{4}{4,2} = \frac{40}{42} = \frac{20}{21}$.
$\cot \alpha = \frac{b}{a} = \frac{4,2}{4} = \frac{42}{40} = \frac{21}{20}$.
Ответ: $c = 5,8$; $\sin \alpha = \frac{20}{29}$; $\cos \alpha = \frac{21}{29}$; $\tan \alpha = \frac{20}{21}$; $\cot \alpha = \frac{21}{20}$.

Для столбца, где $a=8$ и $c=17$:
Найдем катет $b$ по теореме Пифагора:
$b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15$.
Теперь вычислим значения тригонометрических функций:
$\sin \alpha = \frac{a}{c} = \frac{8}{17}$.
$\cos \alpha = \frac{b}{c} = \frac{15}{17}$.
$\tan \alpha = \frac{a}{b} = \frac{8}{15}$.
$\cot \alpha = \frac{b}{a} = \frac{15}{8}$.
Ответ: $b = 15$; $\sin \alpha = \frac{8}{17}$; $\cos \alpha = \frac{15}{17}$; $\tan \alpha = \frac{8}{15}$; $\cot \alpha = \frac{15}{8}$.

Для столбца, где $a=16$ и $b=63$:
Найдем гипотенузу $c$ по теореме Пифагора:
$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{16^2 + 63^2} = \sqrt{256 + 3969} = \sqrt{4225} = 65$.
Теперь вычислим значения тригонометрических функций:
$\sin \alpha = \frac{a}{c} = \frac{16}{65}$.
$\cos \alpha = \frac{b}{c} = \frac{63}{65}$.
$\tan \alpha = \frac{a}{b} = \frac{16}{63}$.
$\cot \alpha = \frac{b}{a} = \frac{63}{16}$.
Ответ: $c = 65$; $\sin \alpha = \frac{16}{65}$; $\cos \alpha = \frac{63}{65}$; $\tan \alpha = \frac{16}{63}$; $\cot \alpha = \frac{63}{16}$.

Для столбца, где $b=21$ и $c=29$:
Найдем катет $a$ по теореме Пифагора:
$a = \sqrt{c^2 - b^2} = \sqrt{29^2 - 21^2} = \sqrt{(29-21)(29+21)} = \sqrt{8 \cdot 50} = \sqrt{400} = 20$.
Теперь вычислим значения тригонометрических функций:
$\sin \alpha = \frac{a}{c} = \frac{20}{29}$.
$\cos \alpha = \frac{b}{c} = \frac{21}{29}$.
$\tan \alpha = \frac{a}{b} = \frac{20}{21}$.
$\cot \alpha = \frac{b}{a} = \frac{21}{20}$.
Ответ: $a = 20$; $\sin \alpha = \frac{20}{29}$; $\cos \alpha = \frac{21}{29}$; $\tan \alpha = \frac{20}{21}$; $\cot \alpha = \frac{21}{20}$.

Для столбца, где $a=39$ и $b=80$:
Найдем гипотенузу $c$ по теореме Пифагора:
$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{39^2 + 80^2} = \sqrt{1521 + 6400} = \sqrt{7921} = 89$.
Теперь вычислим значения тригонометрических функций:
$\sin \alpha = \frac{a}{c} = \frac{39}{89}$.
$\cos \alpha = \frac{b}{c} = \frac{80}{89}$.
$\tan \alpha = \frac{a}{b} = \frac{39}{80}$.
$\cot \alpha = \frac{b}{a} = \frac{80}{39}$.
Ответ: $c = 89$; $\sin \alpha = \frac{39}{89}$; $\cos \alpha = \frac{80}{89}$; $\tan \alpha = \frac{39}{80}$; $\cot \alpha = \frac{80}{39}$.

Для столбца, где $a=2\sqrt{7}$ и $b=6\sqrt{2}$:
Найдем гипотенузу $c$ по теореме Пифагора:
$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{(2\sqrt{7})^2 + (6\sqrt{2})^2} = \sqrt{28 + 72} = \sqrt{100} = 10$.
Теперь вычислим значения тригонометрических функций:
$\sin \alpha = \frac{a}{c} = \frac{2\sqrt{7}}{10} = \frac{\sqrt{7}}{5}$.
$\cos \alpha = \frac{b}{c} = \frac{6\sqrt{2}}{10} = \frac{3\sqrt{2}}{5}$.
$\tan \alpha = \frac{a}{b} = \frac{2\sqrt{7}}{6\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{7}}{3\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{14}}{6}$.
$\cot \alpha = \frac{b}{a} = \frac{6\sqrt{2}}{2\sqrt{7}} = \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{7}} = \frac{3\sqrt{14}}{7}$.
Ответ: $c = 10$; $\sin \alpha = \frac{\sqrt{7}}{5}$; $\cos \alpha = \frac{3\sqrt{2}}{5}$; $\tan \alpha = \frac{\sqrt{14}}{6}$; $\cot \alpha = \frac{3\sqrt{14}}{7}$.

Для столбца, где $a=2$ и $b=\sqrt{3}$:
Найдем гипотенузу $c$ по теореме Пифагора:
$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{2^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 + 3} = \sqrt{7}$.
Теперь вычислим значения тригонометрических функций:
$\sin \alpha = \frac{a}{c} = \frac{2}{\sqrt{7}} = \frac{2\sqrt{7}}{7}$.
$\cos \alpha = \frac{b}{c} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{21}}{7}$.
$\tan \alpha = \frac{a}{b} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$.
$\cot \alpha = \frac{b}{a} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $c = \sqrt{7}$; $\sin \alpha = \frac{2\sqrt{7}}{7}$; $\cos \alpha = \frac{\sqrt{21}}{7}$; $\tan \alpha = \frac{2\sqrt{3}}{3}$; $\cot \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Для столбца, где $b=2\sqrt{6}$ и $c=5$:
Найдем катет $a$ по теореме Пифагора:
$a = \sqrt{c^2 - b^2} = \sqrt{5^2 - (2\sqrt{6})^2} = \sqrt{25 - 24} = \sqrt{1} = 1$.
Теперь вычислим значения тригонометрических функций:
$\sin \alpha = \frac{a}{c} = \frac{1}{5}$.
$\cos \alpha = \frac{b}{c} = \frac{2\sqrt{6}}{5}$.
$\tan \alpha = \frac{a}{b} = \frac{1}{2\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{12}$.
$\cot \alpha = \frac{b}{a} = \frac{2\sqrt{6}}{1} = 2\sqrt{6}$.
Ответ: $a = 1$; $\sin \alpha = \frac{1}{5}$; $\cos \alpha = \frac{2\sqrt{6}}{5}$; $\tan \alpha = \frac{\sqrt{6}}{12}$; $\cot \alpha = 2\sqrt{6}$.

Для столбца, где $a=4$ и $c=10$:
Найдем катет $b$ по теореме Пифагора:
$b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{10^2 - 4^2} = \sqrt{100 - 16} = \sqrt{84} = \sqrt{4 \cdot 21} = 2\sqrt{21}$.
Теперь вычислим значения тригонометрических функций:
$\sin \alpha = \frac{a}{c} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$.
$\cos \alpha = \frac{b}{c} = \frac{2\sqrt{21}}{10} = \frac{\sqrt{21}}{5}$.
$\tan \alpha = \frac{a}{b} = \frac{4}{2\sqrt{21}} = \frac{2}{\sqrt{21}} = \frac{2\sqrt{21}}{21}$.
$\cot \alpha = \frac{b}{a} = \frac{2\sqrt{21}}{4} = \frac{\sqrt{21}}{2}$.
Ответ: $b = 2\sqrt{21}$; $\sin \alpha = \frac{2}{5}$; $\cos \alpha = \frac{\sqrt{21}}{5}$; $\tan \alpha = \frac{2\sqrt{21}}{21}$; $\cot \alpha = \frac{\sqrt{21}}{2}$.

35. Найдите неизвестные элементы треугольника:

a)

$sin \alpha = \frac{3}{4}$

$x-?$

б)

$cos \alpha = \frac{4}{5}$

$x-?$

в)

$cos \beta = \frac{5}{13}$

$x-?$

$y-?$

г)

$sin \beta = \frac{3}{5}$

$x-?$

$y-?$

д)

$tg \alpha = \frac{15}{8}$

$x-?$

$y-?$

e)

$ctg \beta = \frac{4}{3}$

$x-?$

$y-?$

а) В прямоугольном треугольнике катет $x$ является противолежащим углу $\alpha$, а гипотенуза равна 12. По определению синуса острого угла: $\sin \alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}}$. Подставляем известные значения в формулу: $\sin \alpha = \frac{x}{12}$. Так как по условию $\sin \alpha = \frac{3}{4}$, получаем уравнение: $\frac{x}{12} = \frac{3}{4}$. Из этого уравнения находим $x$: $x = 12 \cdot \frac{3}{4} = 9$.
Ответ: $x=9$.

б) В прямоугольном треугольнике катет, равный 8, является прилежащим к углу $\alpha$, а сторона $x$ — гипотенуза. По определению косинуса острого угла: $\cos \alpha = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}}$. Подставляем известные значения: $\cos \alpha = \frac{8}{x}$. Так как по условию $\cos \alpha = \frac{4}{5}$, получаем уравнение: $\frac{8}{x} = \frac{4}{5}$. Решая это уравнение, находим $x$: $4x = 8 \cdot 5$, $4x = 40$, $x = 10$.
Ответ: $x=10$.

в) В данном прямоугольном треугольнике сторона $x$ — катет, прилежащий к углу $\beta$, сторона $y$ — катет, противолежащий углу $\beta$, а гипотенуза равна 26. Для нахождения $x$ воспользуемся определением косинуса: $\cos \beta = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{x}{26}$. Поскольку $\cos \beta = \frac{5}{13}$, имеем: $\frac{x}{26} = \frac{5}{13}$. Отсюда $x = 26 \cdot \frac{5}{13} = 10$. Для нахождения $y$ применим теорему Пифагора $x^2 + y^2 = c^2$, где $c$ — гипотенуза: $10^2 + y^2 = 26^2$. Вычисляем: $100 + y^2 = 676$, $y^2 = 676 - 100 = 576$, $y = \sqrt{576} = 24$.
Ответ: $x=10, y=24$.

г) В этом прямоугольном треугольнике $x$ — катет, противолежащий углу $\beta$, $y$ — катет, прилежащий к углу $\beta$, а гипотенуза равна 20. Для нахождения $x$ используем определение синуса: $\sin \beta = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{x}{20}$. По условию $\sin \beta = \frac{3}{5}$, следовательно: $\frac{x}{20} = \frac{3}{5}$. Отсюда $x = 20 \cdot \frac{3}{5} = 12$. Катет $y$ найдем по теореме Пифагора $x^2 + y^2 = c^2$: $12^2 + y^2 = 20^2$. Вычисляем: $144 + y^2 = 400$, $y^2 = 400 - 144 = 256$, $y = \sqrt{256} = 16$.
Ответ: $x=12, y=16$.

д) В данном треугольнике катет $x$ противолежит углу $\alpha$, катет равный 8 прилежит к углу $\alpha$, а $y$ — гипотенуза. По определению тангенса: $\tan \alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{x}{8}$. По условию $\tan \alpha = \frac{15}{8}$, значит: $\frac{x}{8} = \frac{15}{8}$. Отсюда $x = 15$. Гипотенузу $y$ найдем по теореме Пифагора $a^2 + b^2 = y^2$, где $a$ и $b$ — катеты: $8^2 + 15^2 = y^2$. Вычисляем: $64 + 225 = y^2$, $289 = y^2$, $y = \sqrt{289} = 17$.
Ответ: $x=15, y=17$.

е) В этом треугольнике катет $x$ прилежит к углу $\beta$, катет равный 15 противолежит углу $\beta$, а $y$ — гипотенуза. По определению котангенса: $\cot \beta = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{противолежащий катет}} = \frac{x}{15}$. По условию $\cot \beta = \frac{4}{3}$, следовательно: $\frac{x}{15} = \frac{4}{3}$. Отсюда $x = 15 \cdot \frac{4}{3} = 20$. Гипотенузу $y$ найдем по теореме Пифагора $a^2 + b^2 = y^2$: $15^2 + 20^2 = y^2$. Вычисляем: $225 + 400 = y^2$, $625 = y^2$, $y = \sqrt{625} = 25$.
Ответ: $x=20, y=25$.