Страница 168 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

18. Тупой угол ромба в 5 раз больше острого угла. Во сколько раз сторона ромба больше его высоты?

а) 1,5;

б) 2;

в) 2,5;

г) 4;

д) 5.

Пусть $ \alpha $ — острый угол ромба, а $ \beta $ — тупой угол. Согласно условию задачи, тупой угол в 5 раз больше острого, что можно записать как $ \beta = 5\alpha $.

Сумма углов ромба, прилежащих к одной стороне, составляет $ 180^\circ $. Таким образом, мы можем составить уравнение:

$ \alpha + \beta = 180^\circ $

Подставим в это уравнение выражение для $ \beta $:

$ \alpha + 5\alpha = 180^\circ $

$ 6\alpha = 180^\circ $

$ \alpha = \frac{180^\circ}{6} = 30^\circ $

Итак, мы нашли, что острый угол ромба равен $ 30^\circ $.

Теперь рассмотрим связь между стороной ромба $ a $ и его высотой $ h $. Если мы проведем высоту ромба, она образует прямоугольный треугольник. В этом треугольнике гипотенузой будет сторона ромба $ a $, а катетом, противолежащим острому углу $ \alpha $, будет высота $ h $.

Из определения синуса в прямоугольном треугольнике следует:

$ \sin(\alpha) = \frac{h}{a} $

Нам необходимо найти, во сколько раз сторона ромба больше его высоты, то есть найти отношение $ \frac{a}{h} $. Выразим это отношение из полученной формулы:

$ \frac{a}{h} = \frac{1}{\sin(\alpha)} $

Подставим известное значение острого угла $ \alpha = 30^\circ $:

$ \frac{a}{h} = \frac{1}{\sin(30^\circ)} $

Поскольку $ \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} $, получаем:

$ \frac{a}{h} = \frac{1}{1/2} = 2 $

Следовательно, сторона ромба в 2 раза больше его высоты.

Ответ: 2

19. В параллелограмме $ABCD$ проведена биссектриса угла $A$, которая пересекает прямую $BC$ в точке $K$. Чему равны отрезки $BK$ и $KC$, если $AB = 5$ см и $AD = 12$ см?

а) 3 см и 2 см;

б) 4 см и 1 см;

в) 5 см и 7 см;

г) 12 см и 7 см;

д) 17 см и 7 см.

Согласно свойствам параллелограмма, его противолежащие стороны параллельны и равны. В параллелограмме $ABCD$ сторона $AD$ параллельна стороне $BC$ ($AD \parallel BC$) и равна ей по длине. Поскольку по условию $AD = 12$ см, то и $BC = 12$ см.

По условию, прямая $AK$ является биссектрисой угла $A$, что означает, что она делит угол $A$ на два равных угла: $\angle BAK = \angle DAK$. Поскольку прямые $AD$ и $BC$ параллельны, а $AK$ является секущей, то внутренние накрест лежащие углы $\angle DAK$ и $\angle BKA$ равны. Таким образом, мы имеем $\angle BAK = \angle BKA$.

Рассмотрим треугольник $ABK$. Так как два его угла, $\angle BAK$ и $\angle BKA$, равны, то этот треугольник является равнобедренным с основанием $AK$. В равнобедренном треугольнике боковые стороны, лежащие напротив равных углов, равны. Следовательно, $BK = AB$.

Из условия задачи известно, что $AB = 5$ см. Значит, $BK = 5$ см. Точка $K$ лежит на отрезке $BC$, так как $BK < BC$ ($5 \text{ см} < 12 \text{ см}$). Длину отрезка $KC$ можно найти, вычтя из длины всего отрезка $BC$ длину его части $BK$: $KC = BC - BK = 12 \text{ см} - 5 \text{ см} = 7 \text{ см}$.

Ответ: 5 см и 7 см.

20. Длины оснований трапеции относятся как $7:3$, а их разность равна 3,2 см. Найдите длину средней линии этой трапеции.

а) 1,2 см;

б) 2,8 см;

в) 3,2 см;

г) 4 см;

д) 8 см.

Пусть длины большего и меньшего оснований трапеции равны $a$ и $b$ соответственно.Согласно условию, их отношение составляет 7:3. Введем коэффициент пропорциональности $x$, тогда:$a = 7x$$b = 3x$

Также известно, что разность длин оснований равна 3,2 см. Составим и решим уравнение:$a - b = 3.2$$7x - 3x = 3.2$$4x = 3.2$$x = \frac{3.2}{4} = 0.8$

Теперь найдем длины каждого основания:Большее основание: $a = 7 \cdot 0.8 = 5.6$ см.Меньшее основание: $b = 3 \cdot 0.8 = 2.4$ см.

Средняя линия трапеции ($m$) вычисляется по формуле как полусумма ее оснований:$m = \frac{a+b}{2}$Подставим найденные значения $a$ и $b$:$m = \frac{5.6 + 2.4}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см.

Среди предложенных вариантов ответов этот результат соответствует варианту г).
Ответ: г) 4 см.

21. Дана прямоугольная трапеция $ABCD$, в которой $\angle D = 90^\circ$, $\angle ABD = \angle DBC = 60^\circ$, $CD = b$, $BD = a$. Найдите периметр трапеции.

а) $b + 4a$;

б) $b + 2,5a$;

в) $1,5b + 2a$;

г) $2(b + a)$;

д) $3b + 0,5a$.

Решение:

Пусть дана прямоугольная трапеция $ABCD$. Условие $\angle D = 90^\circ$ и тот факт, что это трапеция, позволяют нам определить ее геометрию. Предположим, что $AD$ и $BC$ являются основаниями ($AD \parallel BC$). В этом случае, если $\angle D = 90^\circ$, то боковая сторона $CD$ перпендикулярна основанию $AD$. Так как $BC \parallel AD$, то $CD$ перпендикулярна и $BC$, а значит, $\angle C = 90^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BCD$, в котором $\angle C = 90^\circ$. По условию, гипотенуза $BD = a$ и угол $\angle DBC = 60^\circ$. Катет $CD$ равен $b$.

Из определения тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике найдем длину катета $BC$:
$BC = BD \cdot \cos(\angle DBC) = a \cdot \cos(60^\circ) = a \cdot \frac{1}{2} = 0,5a$.

Также найдем второй острый угол в этом треугольнике:
$\angle BDC = 90^\circ - \angle DBC = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.

Теперь проанализируем треугольник $ABD$. Угол трапеции при вершине $D$ равен $\angle ADC = 90^\circ$. Этот угол состоит из двух частей: $\angle ADB$ и $\angle BDC$. Мы можем найти угол $\angle ADB$:
$\angle ADB = \angle ADC - \angle BDC = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

В треугольнике $ABD$ нам известны два угла: $\angle ABD = 60^\circ$ (по условию) и $\angle ADB = 60^\circ$ (как мы только что нашли). Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому третий угол $\angle DAB$ также равен:
$\angle DAB = 180^\circ - \angle ABD - \angle ADB = 180^\circ - 60^\circ - 60^\circ = 60^\circ$.

Поскольку все три угла в треугольнике $ABD$ равны $60^\circ$, он является равносторонним. Это означает, что все его стороны равны длине известной стороны $BD$:
$AB = AD = BD = a$.

Теперь мы знаем длины всех четырех сторон трапеции:
$AB = a$
$BC = 0,5a$
$CD = b$
$AD = a$

Периметр трапеции $P$ — это сумма длин всех ее сторон:
$P = AB + BC + CD + AD = a + 0,5a + b + a = 2,5a + b$.

Ответ: $b + 2,5a$.

Заполните пропуски (22–28).

22. Если провести два перпендикулярных диаметра окружности и последовательно соединить их концы отрезками, то полученный четырехугольник является ....

22.

Пусть дана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$.

Проведем в этой окружности два взаимно перпендикулярных диаметра, например $AC$ и $BD$. Поскольку это диаметры, они проходят через центр окружности $O$ и их длина равна $2R$. По условию, они пересекаются под прямым углом, то есть $AC \perp BD$.

Концы этих диаметров — точки $A$, $B$, $C$ и $D$ — лежат на окружности. Соединим последовательно эти точки отрезками. Получим четырехугольник $ABCD$.

Чтобы определить вид этого четырехугольника, рассмотрим его свойства:

1. Анализ диагоналей. Диагоналями четырехугольника $ABCD$ являются отрезки $AC$ и $BD$. По построению, это два диаметра окружности. Значит, их длины равны: $AC = BD = 2R$. По условию задачи, эти диаметры перпендикулярны: $AC \perp BD$. Так как они оба проходят через центр $O$, они делят друг друга пополам в точке пересечения. Четырехугольник, диагонали которого равны, перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, является квадратом.

2. Анализ сторон. Диагонали делят четырехугольник на четыре треугольника: $\triangle AOB$, $\triangle BOC$, $\triangle COD$ и $\triangle DOA$. Рассмотрим любой из них, например, $\triangle AOB$. Его стороны $AO$ и $BO$ являются радиусами окружности, поэтому $AO = BO = R$. Угол $\angle AOB = 90^\circ$, так как диаметры перпендикулярны. Таким образом, $\triangle AOB$ является равнобедренным прямоугольным треугольником. Аналогично, треугольники $\triangle BOC$, $\triangle COD$ и $\triangle DOA$ также являются равными ему равнобедренными прямоугольными треугольниками (равенство по двум катетам).

Из равенства этих треугольников следует равенство их гипотенуз, которые являются сторонами четырехугольника $ABCD$: $AB = BC = CD = DA$. Четырехугольник, у которого все стороны равны, является ромбом.

По теореме Пифагора для $\triangle AOB$: $AB^2 = AO^2 + BO^2 = R^2 + R^2 = 2R^2$. Длина каждой стороны равна $AB = R\sqrt{2}$.

Поскольку все четыре треугольника являются равнобедренными прямоугольными, их острые углы равны $45^\circ$. Например, $\angle OAB = \angle OBA = 45^\circ$. Углы четырехугольника $ABCD$ состоят из двух таких углов. Например, $\angle DAB = \angle DAO + \angle OAB = 45^\circ + 45^\circ = 90^\circ$. Аналогично, все остальные углы четырехугольника также равны $90^\circ$.

Четырехугольник, у которого все стороны равны и все углы прямые, является квадратом. Также ромб, у которого есть хотя бы один прямой угол (или у которого равны диагонали), является квадратом.

Следовательно, полученный четырехугольник является квадратом.

Ответ: квадратом.