Страница 175 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

40. Заполните таблицу:

$a$: , 3, , 30, , $17\sqrt{3}$

$b$: , , 8, , $4\sqrt{2}$,

$c$: , 2, , 60, 8, 34

$\alpha$: , $45^\circ$, , $60^\circ$, ,

$\beta$: , , $30^\circ$, , ,

Для решения задачи воспользуемся основными соотношениями в прямоугольном треугольнике: теоремой Пифагора $a^2 + b^2 = c^2$, свойством острых углов $\alpha + \beta = 90^\circ$ и тригонометрическими функциями: $\sin \alpha = a/c$, $\cos \alpha = b/c$, $\tan \alpha = a/b$.

Решение для столбца 1

Дано: $c = 2$, $\alpha = 45^\circ$.

1. Найдём угол $\beta$. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$, поэтому $\beta = 90^\circ - \alpha = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$.

2. Поскольку углы $\alpha$ и $\beta$ равны, треугольник является равнобедренным, следовательно, катеты $a$ и $b$ равны: $a = b$.

3. Найдём катет $a$ по формуле $a = c \cdot \sin \alpha$.

$a = 2 \cdot \sin 45^\circ = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$.

4. Так как $a = b$, то $b = \sqrt{2}$.

Ответ: $a = \sqrt{2}$, $b = \sqrt{2}$, $\beta = 45^\circ$.

Решение для столбца 2

Дано: $a = 3$, $\beta = 30^\circ$.

1. Найдём угол $\alpha$: $\alpha = 90^\circ - \beta = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

2. Найдём катет $b$ через тангенс угла $\beta$: $\tan \beta = b/a$.

$b = a \cdot \tan \beta = 3 \cdot \tan 30^\circ = 3 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$.

3. Найдём гипотенузу $c$ через косинус угла $\beta$: $\cos \beta = a/c$.

$c = \frac{a}{\cos \beta} = \frac{3}{\cos 30^\circ} = \frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$.

Ответ: $b = \sqrt{3}$, $c = 2\sqrt{3}$, $\alpha = 60^\circ$.

Решение для столбца 3

Дано: $b = 8$, $\alpha = 60^\circ$.

1. Найдём угол $\beta$: $\beta = 90^\circ - \alpha = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.

2. Найдём катет $a$ через тангенс угла $\alpha$: $\tan \alpha = a/b$.

$a = b \cdot \tan \alpha = 8 \cdot \tan 60^\circ = 8\sqrt{3}$.

3. Найдём гипотенузу $c$ через косинус угла $\alpha$: $\cos \alpha = b/c$.

$c = \frac{b}{\cos \alpha} = \frac{8}{\cos 60^\circ} = \frac{8}{\frac{1}{2}} = 16$.

Ответ: $a = 8\sqrt{3}$, $c = 16$, $\beta = 30^\circ$.

Решение для столбца 4

Дано: $a = 30$, $c = 60$.

1. Найдём угол $\alpha$ через синус: $\sin \alpha = a/c$.

$\sin \alpha = \frac{30}{60} = \frac{1}{2}$. Следовательно, $\alpha = 30^\circ$.

2. Найдём угол $\beta$: $\beta = 90^\circ - \alpha = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

3. Найдём катет $b$ по теореме Пифагора: $b = \sqrt{c^2 - a^2}$.

$b = \sqrt{60^2 - 30^2} = \sqrt{3600 - 900} = \sqrt{2700} = \sqrt{900 \cdot 3} = 30\sqrt{3}$.

Ответ: $b = 30\sqrt{3}$, $\alpha = 30^\circ$, $\beta = 60^\circ$.

Решение для столбца 5

Дано: $b = 4\sqrt{2}$, $c = 8$.

1. Найдём катет $a$ по теореме Пифагора: $a = \sqrt{c^2 - b^2}$.

$a = \sqrt{8^2 - (4\sqrt{2})^2} = \sqrt{64 - 16 \cdot 2} = \sqrt{64 - 32} = \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$.

2. Так как $a = b = 4\sqrt{2}$, треугольник является равнобедренным, следовательно, углы $\alpha$ и $\beta$ равны: $\alpha = \beta$.

3. Поскольку $\alpha + \beta = 90^\circ$ и $\alpha = \beta$, то $2\alpha = 90^\circ$, откуда $\alpha = 45^\circ$ и $\beta = 45^\circ$.

Ответ: $a = 4\sqrt{2}$, $\alpha = 45^\circ$, $\beta = 45^\circ$.

Решение для столбца 6

Дано: $a = 17\sqrt{3}$, $c = 34$.

1. Найдём угол $\alpha$ через синус: $\sin \alpha = a/c$.

$\sin \alpha = \frac{17\sqrt{3}}{34} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Следовательно, $\alpha = 60^\circ$.

2. Найдём угол $\beta$: $\beta = 90^\circ - \alpha = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.

3. Найдём катет $b$ по теореме Пифагора: $b = \sqrt{c^2 - a^2}$.

$b = \sqrt{34^2 - (17\sqrt{3})^2} = \sqrt{1156 - 289 \cdot 3} = \sqrt{1156 - 867} = \sqrt{289} = 17$.

Ответ: $b = 17$, $\alpha = 60^\circ$, $\beta = 30^\circ$.

41. Найдите неизвестные элементы многоугольника:

a) $60^\circ$, 20, $S$-?

б) $30^\circ$, 14, $S$-?

в) $12\sqrt{3}$, $P$-?

г) 24, $60^\circ$, $P$-?

д) $45^\circ$, 10, $P$-?

е) B, C, D, A, $60^\circ$, $AB = 40$, $AC$-?

ж) 8, 16, $a$, 8, $a$-?

з) 7, 13, $a$, 6, $a$-?

и) 30, $x$, $60^\circ$, 40, $x$-?

к) 30, $x$, $60^\circ$, 40, $x$-?

а) Дан прямоугольник. Диагональ является гипотенузой прямоугольного треугольника, катетами которого являются стороны прямоугольника. Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$. Дана гипотенуза $d=20$ и угол $60°$ между диагональю и одной из сторон. Найдем стороны прямоугольника, используя тригонометрические функции: $a = d \cdot \cos(60°) = 20 \cdot \frac{1}{2} = 10$. $b = d \cdot \sin(60°) = 20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}$. Площадь прямоугольника $S$ равна произведению его сторон: $S = a \cdot b = 10 \cdot 10\sqrt{3} = 100\sqrt{3}$. Ответ: $100\sqrt{3}$.

б) Дан прямоугольник с диагональю $d=14$ и углом $30°$ между диагональю и стороной. Аналогично предыдущей задаче, найдем стороны прямоугольника $a$ и $b$: $a = d \cdot \sin(30°) = 14 \cdot \frac{1}{2} = 7$. $b = d \cdot \cos(30°) = 14 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 7\sqrt{3}$. Площадь прямоугольника $S$ равна: $S = a \cdot b = 7 \cdot 7\sqrt{3} = 49\sqrt{3}$. Ответ: $49\sqrt{3}$.

в) Дан прямоугольник, у которого известна длина одной стороны $12\sqrt{3}$. Для нахождения периметра необходима длина второй стороны. В условии задачи недостаточно данных. Предположим, что острый угол между диагоналями равен $60°$. В этом случае отношение сторон прямоугольника равно $\sqrt{3}$. Пусть большая сторона $b = 12\sqrt{3}$. Тогда меньшая сторона $a = \frac{b}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 12$. Периметр прямоугольника $P$ равен: $P = 2(a+b) = 2(12 + 12\sqrt{3}) = 24(1+\sqrt{3})$. Ответ: $24(1+\sqrt{3})$.

г) Дан прямоугольник со стороной $a=24$. Угол между этой стороной и диагональю равен $60°$. Найдем вторую сторону $b$ через тангенс этого угла: $\tan(60°) = \frac{b}{a}$. $b = a \cdot \tan(60°) = 24 \cdot \sqrt{3} = 24\sqrt{3}$. Периметр прямоугольника $P$ равен: $P = 2(a+b) = 2(24 + 24\sqrt{3}) = 48(1+\sqrt{3})$. Ответ: $48(1+\sqrt{3})$.

д) Условие задачи содержит неоднозначные или противоречивые данные. На чертеже изображена трапеция, для которой указаны длина одной стороны, угол в $45°$ и два символа прямого угла в разных местах. Различные последовательные интерпретации этих данных приводят к противоречиям (например, сумма углов треугольника превышает $180°$ или геометрия фигуры нарушается). Ввиду этого, однозначное решение задачи невозможно. Ответ: Решение невозможно из-за противоречивых условий.

е) На чертеже изображен параллелограмм, у которого отмечены равные смежные стороны, что означает, что это ромб. Указан угол при вершине B, равный $60°$. Сторона ромба $AB = 40$. Нужно найти диагональ $AC$. Рассмотрим треугольник $ABC$. Он равнобедренный, так как $AB=BC=40$ (стороны ромба). Угол между этими сторонами $\angle ABC = 60°$. Треугольник, являющийся равнобедренным с углом $60°$ при вершине, является равносторонним. Следовательно, все его стороны равны. $AC = AB = BC = 40$. Символ перпендикулярности диагоналей является свойством любого ромба и дополнительной информации не несет. Ответ: $40$.

ж) Дана равнобедренная трапеция. Верхнее основание равно $8$, нижнее – $16$, боковая сторона – $8$. Требуется найти угол при основании $\alpha$. Опустим высоту из вершины верхнего основания на нижнее. Получим прямоугольный треугольник, одним из катетов которого будет эта высота, а другим – отрезок на нижнем основании. Длина этого отрезка равна полуразности оснований: $x = \frac{16 - 8}{2} = 4$. Гипотенузой этого треугольника является боковая сторона трапеции, равная $8$. Угол $\alpha$ является углом между боковой стороной (гипотенузой) и нижним основанием. Косинус этого угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе: $\cos(\alpha) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$. Отсюда следует, что $\alpha = 60°$. Ответ: $60°$.

з) Дана равнобедренная трапеция. Верхнее основание равно $7$, нижнее – $13$, боковая сторона – $6$. Требуется найти угол при основании $\alpha$. Аналогично предыдущей задаче, опустим высоту и найдем длину проекции боковой стороны на нижнее основание: $x = \frac{13 - 7}{2} = \frac{6}{2} = 3$. В полученном прямоугольном треугольнике гипотенуза равна $6$, а прилежащий к углу $\alpha$ катет равен $3$. Найдем косинус угла $\alpha$: $\cos(\alpha) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$. Отсюда следует, что $\alpha = 60°$. Ответ: $60°$.

и) Дана прямоугольная трапеция. Верхнее основание равно $30$, нижнее – $40$. Угол при большем основании равен $60°$. Требуется найти высоту трапеции $x$. Опустим высоту из вершины тупого угла на большее основание. Получим прямоугольный треугольник, в котором один катет – это высота трапеции $x$, а другой катет – это разность оснований: $40 - 30 = 10$. Угол, противолежащий катету $x$, равен $60°$. Используем тангенс для нахождения $x$: $\tan(60°) = \frac{x}{10}$. $x = 10 \cdot \tan(60°) = 10\sqrt{3}$. Ответ: $10\sqrt{3}$.

к) Задача идентична предыдущей. Дана прямоугольная трапеция с основаниями $30$ и $40$ и углом $60°$ при большем основании. Высота $x$ находится аналогично: опускаем высоту из вершины тупого угла, получаем прямоугольный треугольник с катетом $40 - 30 = 10$. Тогда второй катет (высота трапеции) равен: $x = 10 \cdot \tan(60°) = 10\sqrt{3}$. Ответ: $10\sqrt{3}$.