Страница 155 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

362. В треугольнике $ABC$ проведена средняя линия $MN$, параллельная $AC$. Какую часть площади данного треугольника составляет площадь трапеции $AMNC$?

Дано:

Треугольник $ABC$.

$MN$ — средняя линия треугольника $ABC$, параллельная $AC$.

Перевод в СИ:

Данные представлены в виде геометрических соотношений и не требуют перевода в систему СИ.

Найти:

Какую часть площади треугольника $ABC$ составляет площадь трапеции $AMNC$, т.е. найти отношение $\frac{S_{AMNC}}{S_{ABC}}$.

Решение:

По определению средней линии треугольника, $MN$ соединяет середины сторон $AB$ и $BC$. Следовательно, точка $M$ является серединой $AB$, а точка $N$ является серединой $BC$.

Также по свойству средней линии, $MN$ параллельна $AC$ и ее длина равна половине длины $AC$: $MN = \frac{1}{2}AC$.

Рассмотрим треугольник $BMN$ и треугольник $BAC$. Поскольку $MN \parallel AC$, то треугольник $BMN$ подобен треугольнику $BAC$ по двум углам (общий угол $B$, и $\angle BMN = \angle BAC$ как соответственные углы при параллельных прямых $MN$ и $AC$ и секущей $AB$).

Коэффициент подобия $k$ этих треугольников равен отношению соответствующих сторон:

$k = \frac{BM}{BA} = \frac{BN}{BC} = \frac{MN}{AC}$

Так как $M$ — середина $AB$, то $BM = \frac{1}{2}BA$. Следовательно, $k = \frac{1}{2}$.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

$\frac{S_{BMN}}{S_{BAC}} = k^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$

Из этого следует, что площадь треугольника $BMN$ составляет одну четвертую часть площади треугольника $BAC$:

$S_{BMN} = \frac{1}{4} S_{BAC}$

Площадь трапеции $AMNC$ можно найти как разность площади большого треугольника $BAC$ и площади маленького треугольника $BMN$:

$S_{AMNC} = S_{BAC} - S_{BMN}$

Подставим выражение для $S_{BMN}$:

$S_{AMNC} = S_{BAC} - \frac{1}{4} S_{BAC}$

$S_{AMNC} = \left(1 - \frac{1}{4}\right) S_{BAC}$

$S_{AMNC} = \frac{3}{4} S_{BAC}$

Таким образом, площадь трапеции $AMNC$ составляет $\frac{3}{4}$ площади треугольника $ABC$.

Ответ:

Площадь трапеции $AMNC$ составляет $\frac{3}{4}$ части площади треугольника $ABC$.

363. a) Выразите площадь равностороннего треугольника через его сторону, равную $a$.

б) Найдите сторону равностороннего треугольника, если его площадь равна $9\sqrt{3}$ см$^2$.

a) Выразите площадь равностороннего треугольника через его сторону, равную a.

Для равностороннего треугольника со стороной $a$ все углы равны по $60^{\circ}$. Чтобы найти площадь $S$, можно использовать формулу $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$. В данном случае основание равно $a$. Найдем высоту $h$.

Опустим высоту из одной вершины на противоположную сторону. Эта высота разделит равносторонний треугольник на два равных прямоугольных треугольника. В каждом таком прямоугольном треугольнике гипотенуза равна $a$, один катет равен половине основания, т.е. $\frac{a}{2}$, а второй катет — это высота $h$.

По теореме Пифагора:

$h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = a^2$

$h^2 = a^2 - \frac{a^2}{4}$

$h^2 = \frac{4a^2 - a^2}{4}$

$h^2 = \frac{3a^2}{4}$

Извлечем квадратный корень:

$h = \sqrt{\frac{3a^2}{4}}$

$h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Теперь подставим значение высоты в формулу площади треугольника $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$:

$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}$

$S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Ответ:

Площадь равностороннего треугольника выражается формулой $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

б) Найдите сторону равностороннего треугольника, если его площадь равна $9\sqrt{3}$ см$^2$.

Дано:

Площадь равностороннего треугольника $S = 9\sqrt{3}$ см$^2$.

Перевод в СИ:

$S = 9\sqrt{3} \text{ см}^2 = 9\sqrt{3} \cdot (10^{-2} \text{ м})^2 = 9\sqrt{3} \cdot 10^{-4} \text{ м}^2$.

Найти:

Сторона равностороннего треугольника $a$.

Решение:

Используем формулу площади равностороннего треугольника, выведенную в предыдущем пункте:

$S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Подставим известное значение площади $S = 9\sqrt{3} \cdot 10^{-4} \text{ м}^2$ в формулу:

$9\sqrt{3} \cdot 10^{-4} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Разделим обе части уравнения на $\sqrt{3}$ (поскольку $\sqrt{3} \ne 0$):

$9 \cdot 10^{-4} = \frac{a^2}{4}$

Умножим обе части уравнения на 4, чтобы найти $a^2$:

$a^2 = 9 \cdot 4 \cdot 10^{-4}$

$a^2 = 36 \cdot 10^{-4}$

Извлечем квадратный корень из обеих частей. Поскольку длина стороны не может быть отрицательной, берем положительный корень:

$a = \sqrt{36 \cdot 10^{-4}}$

$a = 6 \cdot 10^{-2}$ м

Для удобства переведем полученное значение стороны обратно в сантиметры, так как исходная площадь была задана в см$^2$:

$a = 6 \cdot 10^{-2} \cdot 10^2 \text{ см}$

$a = 6 \text{ см}$

Ответ:

Сторона равностороннего треугольника равна 6 см.

364. Найдите площадь равностороннего треугольника, если:

а) радиус описанной около него окружности равен 2 см;

б) радиус вписанной в него окружности равен $\sqrt{3}$ см.

a) радиус описанной около него окружности равен 2 см

Дано:

равносторонний треугольник

радиус описанной окружности $R = 2 \text{ см}$

Перевод в СИ:

$R = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$

Найти:

площадь треугольника $S$

Решение:

для равностороннего треугольника сторона $a$ связана с радиусом описанной окружности $R$ формулой $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$.

выразим сторону $a$ из этой формулы: $a = R\sqrt{3}$.

подставим известное значение $R$: $a = 2\sqrt{3} \text{ см}$.

площадь равностороннего треугольника $S$ вычисляется по формуле $S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$.

подставим найденное значение стороны $a$ в формулу площади:

$S = \frac{(2\sqrt{3})^2 \sqrt{3}}{4}$

$S = \frac{(4 \cdot 3) \sqrt{3}}{4}$

$S = \frac{12 \sqrt{3}}{4}$

$S = 3\sqrt{3} \text{ см}^2$.

Ответ: $3\sqrt{3} \text{ см}^2$.

б) радиус вписанной в него окружности равен $\sqrt{3}$ см.

Дано:

равносторонний треугольник

радиус вписанной окружности $r = \sqrt{3} \text{ см}$

Перевод в СИ:

$r = \sqrt{3} \text{ см} = \sqrt{3} \cdot 0.01 \text{ м}$

Найти:

площадь треугольника $S$

Решение:

для равностороннего треугольника сторона $a$ связана с радиусом вписанной окружности $r$ формулой $r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$.

выразим сторону $a$ из этой формулы: $a = 2r\sqrt{3}$.

подставим известное значение $r$: $a = 2(\sqrt{3})\sqrt{3} \text{ см}$.

$a = 2 \cdot 3 \text{ см}$.

$a = 6 \text{ см}$.

площадь равностороннего треугольника $S$ вычисляется по формуле $S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$.

подставим найденное значение стороны $a$ в формулу площади:

$S = \frac{(6)^2 \sqrt{3}}{4}$

$S = \frac{36 \sqrt{3}}{4}$

$S = 9\sqrt{3} \text{ см}^2$.

Ответ: $9\sqrt{3} \text{ см}^2$.

365. В равнобедренном $\Delta ABC$ на основании $AC$ взята точка $K$ так, что $AK : KC = 1 : 2$, а на сторонах $AB$ и $BC$ – точки $N$ и $M$ соответственно, так что $KN \parallel BC$, $KM \parallel AB$, периметр четырехугольника $KNBM$ равен 12 см. Найдите боковую сторону $\Delta ABC$ и его площадь, если $\angle B = 45^\circ$.

Дано:

Треугольник $\triangle ABC$ равнобедренный, основание $AC$.

Точка $K$ на $AC$ такая, что $AK : KC = 1 : 2$.

Точки $N$ на $AB$ и $M$ на $BC$.

$KN \parallel BC$.

$KM \parallel AB$.

Периметр четырехугольника $KNBM$, $P_{KNBM} = 12$ см.

Угол $\angle B = 45^\circ$.

Перевод данных в систему СИ:

$P_{KNBM} = 12$ см $= 0.12$ м.

$\angle B = 45^\circ = \frac{\pi}{4}$ радиан.

Найти:

Боковую сторону $\triangle ABC$ ($AB$ или $BC$).

Площадь $\triangle ABC$ ($S_{ABC}$).

Решение:

1. Рассмотрим четырехугольник $KNBM$. Из условия дано, что $KN \parallel BC$ и $KM \parallel AB$. Поскольку точки $N$ и $M$ лежат на сторонах $AB$ и $BC$ соответственно, то $BN$ является частью $AB$ и $BM$ является частью $BC$. Таким образом, $KN \parallel BM$ и $KM \parallel BN$. Это означает, что четырехугольник $KNBM$ является параллелограммом.

2. В параллелограмме противоположные стороны равны, то есть $KN = BM$ и $KM = BN$.

3. Периметр параллелограмма $P_{KNBM} = KN + NB + BM + MK = 2(KN + NB)$.

По условию $P_{KNBM} = 12$ см, следовательно, $2(KN + NB) = 12$ см, откуда $KN + NB = 6$ см.

4. Так как $\triangle ABC$ равнобедренный с основанием $AC$, то $AB = BC$. Пусть $AB = BC = x$.

5. Из условия $AK : KC = 1 : 2$ следует, что $AK = y$ и $KC = 2y$ для некоторого $y$. Тогда $AC = AK + KC = y + 2y = 3y$.

6. Рассмотрим подобие треугольников:

а) Поскольку $KN \parallel BC$, то $\triangle AKN \sim \triangle ABC$ по двум углам (общий угол $\angle A$ и соответственные углы $\angle ANK = \angle ABC$).

Из подобия следует отношение сторон:

$\frac{AK}{AC} = \frac{AN}{AB} = \frac{KN}{BC}$.

Мы знаем $\frac{AK}{AC} = \frac{y}{3y} = \frac{1}{3}$.

Значит, $\frac{KN}{BC} = \frac{1}{3} \implies KN = \frac{1}{3} BC = \frac{1}{3} x$.

И $\frac{AN}{AB} = \frac{1}{3} \implies AN = \frac{1}{3} AB = \frac{1}{3} x$.

Тогда $NB = AB - AN = x - \frac{1}{3}x = \frac{2}{3}x$.

б) Поскольку $KM \parallel AB$, то $\triangle CKM \sim \triangle CBA$ по двум углам (общий угол $\angle C$ и соответственные углы $\angle CMK = \angle CBA$).

Из подобия следует отношение сторон:

$\frac{CK}{AC} = \frac{CM}{BC} = \frac{KM}{AB}$.

Мы знаем $\frac{CK}{AC} = \frac{2y}{3y} = \frac{2}{3}$.

Значит, $\frac{KM}{AB} = \frac{2}{3} \implies KM = \frac{2}{3} AB = \frac{2}{3} x$.

И $\frac{CM}{BC} = \frac{2}{3} \implies CM = \frac{2}{3} BC = \frac{2}{3} x$.

Тогда $BM = BC - CM = x - \frac{2}{3}x = \frac{1}{3}x$.

7. Теперь подставим найденные выражения для $KN$ и $NB$ в уравнение периметра $KN + NB = 6$ см:

$\frac{1}{3}x + \frac{2}{3}x = 6$

$\frac{3}{3}x = 6$

$x = 6$ см.

Таким образом, боковая сторона $\triangle ABC$ равна $6$ см.

8. Найдем площадь $\triangle ABC$. Для площади треугольника используется формула $S = \frac{1}{2}ab \sin C$, где $a$ и $b$ - стороны, а $C$ - угол между ними.

В нашем случае, $AB = BC = x = 6$ см, и угол между ними $\angle B = 45^\circ$.

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin \angle B$

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 \cdot \sin 45^\circ$

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 36 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$S_{ABC} = 18 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$S_{ABC} = 9\sqrt{2}$ см$^2$.

Ответ:

Боковая сторона $\triangle ABC$ равна $6$ см.

Площадь $\triangle ABC$ равна $9\sqrt{2}$ см$^2$.

366. Постройте (с помощью циркуля и линейки) треугольник по двум сторонам $a$, $b$ и медиане $m$, проведенной к третьей стороне.

Дано:

Две стороны треугольника $a$ и $b$, и медиана $m_c$ (обозначим ее как $m$), проведенная к третьей стороне.

Найти:

Построить треугольник $ABC$ с помощью циркуля и линейки.

Решение:

Пусть искомый треугольник будет $ABC$ со сторонами $BC=a$, $AC=b$, и пусть медиана $CM$ проведена к стороне $AB$ (которую обозначим $c$). Таким образом, $CM = m$, а точка $M$ является серединой отрезка $AB$.

Для построения воспользуемся известным геометрическим приемом. Продлим медиану $CM$ за точку $M$ на ее собственную длину до точки $D$. Следовательно, $MD = CM = m$, и общая длина отрезка $CD$ составит $2m$.

Рассмотрим получившийся четырехугольник $ADBC$. Его диагонали $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $M$, которая является серединой обеих диагоналей ($AM=MB$ по определению медианы, и $CM=MD$ по построению). Четырехугольник, у которого диагонали делятся точкой пересечения пополам, является параллелограммом. Таким образом, $ADBC$ – параллелограмм.

Из свойств параллелограмма следует, что его противоположные стороны равны. Значит, $AD = BC = a$ и $BD = AC = b$.

Теперь рассмотрим треугольник $DBC$. Мы знаем длины всех его сторон: $BC=a$, $BD=b$ и $CD=2m$. Такой треугольник можно однозначно построить, используя только циркуль и линейку.

Алгоритм построения:

1. Проведите произвольную прямую. На этой прямой отложите отрезок $CD$ длиной $2m$.

2. Найдите середину отрезка $CD$ и обозначьте ее точкой $M$. Это можно сделать, построив серединный перпендикуляр к $CD$ или с помощью циркуля, отложив половину длины $CD$ от $C$ или $D$.

3. Из точки $C$ как центра проведите дугу (или окружность) радиусом $a$.

4. Из точки $D$ как центра проведите дугу (или окружность) радиусом $b$.

5. Точка пересечения этих двух дуг даст вершину $B$ вспомогательного треугольника $DBC$. Если дуги пересекаются в двух точках, можно выбрать любую из них, так как получившиеся треугольники будут конгруэнтны.

6. Соедините точки $C$, $B$ и $D$ отрезками, чтобы образовать треугольник $DBC$.

7. Теперь, зная точки $B$ и $M$, проведите прямую через эти две точки (луч $BM$).

8. Отложите на луче $BM$ от точки $M$ отрезок $MA$ такой же длины, как $BM$. Это означает, что точка $A$ симметрична точке $B$ относительно точки $M$.

9. Соедините точки $A$ и $C$ отрезком. Полученный треугольник $ABC$ является искомым, так как $BC=a$, $AC=b$ и $CM=m$ (по построению $M$ - середина $AB$, и $CM$ была продлена до $D$, а $CD=2m$, что делает $CM=m$).

Ответ: Треугольник $ABC$ построен по заданным сторонам $a$, $b$ и медиане $m$ к третьей стороне.

367. Какой вид должен иметь параллелограмм со сторонами $a$ и $b$, чтобы его площадь была наибольшей?

Дано:

стороны параллелограмма: $a$, $b$.

Найти:

вид параллелограмма, при котором его площадь будет наибольшей.

Решение:

площадь параллелограмма $S$ вычисляется по формуле $S = a \cdot b \cdot \sin(\alpha)$, где $a$ и $b$ — длины его сторон, а $\alpha$ — угол между этими сторонами.

поскольку длины сторон $a$ и $b$ являются фиксированными, площадь $S$ будет наибольшей тогда, когда значение $\sin(\alpha)$ будет максимальным.

максимальное значение функции синуса равно $1$. это достигается, когда угол $\alpha$ равен $90^\circ$.

$ \sin(\alpha)_{max} = 1 $ при $ \alpha = 90^\circ $

таким образом, чтобы площадь параллелограмма с заданными сторонами $a$ и $b$ была наибольшей, угол между этими сторонами должен быть равен $90^\circ$.

параллелограмм, у которого все углы равны $90^\circ$, называется прямоугольником.

Ответ:

параллелограмм должен быть прямоугольником.

368. Разделите данный прямоугольник на три равновеликих многоугольника двумя лучами, выходящими из одной вершины.

Дано:

Дан прямоугольник.

Найти:

Разделить данный прямоугольник на три равновеликих многоугольника двумя лучами, выходящими из одной вершины.

Решение:

Пусть дан прямоугольник $ABCD$. Для выполнения условия задачи выберем одну из его вершин, например, вершину $A$. Сторона, противоположная выбранной вершине $A$, — это сторона $CD$. Следующим шагом необходимо разделить сторону $CD$ на три равные части. Для этого можно измерить длину стороны $CD$ и разделить ее на три, либо использовать метод деления отрезка на $N$ равных частей с помощью линейки и циркуля. Пусть $P$ и $Q$ — точки деления на стороне $CD$ такие, что $DP = PQ = QC$. Теперь проведем два луча из выбранной вершины $A$ к этим двум точкам деления $P$ и $Q$. То есть, лучи $AP$ и $AQ$.

Таким образом, прямоугольник $ABCD$ будет разделен на три многоугольника: $\triangle ADP$, $\triangle APQ$ и $\triangle AQC$. Все эти многоугольники являются треугольниками. Докажем, что эти многоугольники являются равновеликими, то есть имеют равные площади. Площадь любого треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$. Для всех трех образованных треугольников ($\triangle ADP$, $\triangle APQ$, $\triangle AQC$) высота, проведенная из вершины $A$ к их основаниям (которые лежат на прямой, содержащей сторону $CD$), будет одинаковой. Эта высота равна длине стороны $AD$ (или $BC$) прямоугольника, так как $AD$ перпендикулярна $CD$. Обозначим эту высоту как $h$. Пусть длина стороны $CD$ равна $L$. По построению, мы разделили сторону $CD$ на три равные части, поэтому длины оснований треугольников равны: $DP = PQ = QC = \frac{L}{3}$.

Теперь вычислим площади каждого из треугольников:

Площадь $\Delta ADP = \frac{1}{2} \cdot DP \cdot h = \frac{1}{2} \cdot \frac{L}{3} \cdot h = \frac{Lh}{6}$.

Площадь $\Delta APQ = \frac{1}{2} \cdot PQ \cdot h = \frac{1}{2} \cdot \frac{L}{3} \cdot h = \frac{Lh}{6}$.

Площадь $\Delta AQC = \frac{1}{2} \cdot QC \cdot h = \frac{1}{2} \cdot \frac{L}{3} \cdot h = \frac{Lh}{6}$.

Как видно из вычислений, площади всех трех треугольников равны между собой. Общая площадь прямоугольника $ABCD$ составляет $S_{ABCD} = L \cdot h$. Площадь каждого из полученных треугольников равна $S_{треугольника} = \frac{Lh}{6} = \frac{S_{ABCD}}{3}$. Таким образом, прямоугольник разделен на три равновеликих многоугольника (в данном случае, треугольника) с помощью двух лучей, исходящих из одной вершины.

Ответ:

Для разделения прямоугольника на три равновеликих многоугольника двумя лучами, выходящими из одной вершины, необходимо выбрать любую вершину прямоугольника. Затем следует найти сторону, противоположную выбранной вершине, и разделить эту сторону на три равные части. После этого провести два луча из выбранной вершины к двум точкам деления на противоположной стороне. В результате будут образованы три треугольника, площади которых будут равны одной трети от общей площади прямоугольника.

369. Постройте (с помощью циркуля и линейки) ромб по его стороне $a$ и диагонали $d$.

Решение

Для построения ромба по его стороне $a$ и одной из диагоналей $d$ выполните следующие шаги с помощью циркуля и линейки:

1. Начертите отрезок $AC$ длиной, равной заданной диагонали $d$. Этот отрезок будет одной из диагоналей искомого ромба.

2. Из точки $A$ как из центра проведите дугу окружности радиусом, равным стороне $a$.

3. Из точки $C$ как из центра проведите дугу окружности радиусом, равным стороне $a$.

4. Эти две дуги пересекутся в двух точках. Обозначьте эти точки как $B$ и $D$. Обратите внимание, что для возможности построения должен выполняться условие $d < 2a$ (иначе дуги не пересекутся).

5. Соедините последовательно точки $A$, $B$, $C$, $D$ отрезками. Полученная фигура $ABCD$ является искомым ромбом, так как все ее стороны $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ равны $a$ по построению, а диагональ $AC$ равна $d$.

Ответ: Построен ромб по его стороне $a$ и диагонали $d$ с помощью циркуля и линейки.

370. Окружность радиуса 4 см касается стороны и продолжений двух других сторон равностороннего треугольника. Найдите его площадь.

Дано:

Радиус вневписанной окружности равностороннего треугольника $r_a = 4$ см.

Перевод в СИ:

$r_a = 4$ см $ = 0.04$ м

Найти:

Площадь треугольника $S$.

Решение:

Окружность, которая касается одной стороны треугольника и продолжений двух других сторон, называется вневписанной окружностью. В данном случае, треугольник является равносторонним.

Для равностороннего треугольника со стороной $a$, радиус вневписанной окружности $r_a$ связан со стороной $a$ следующей формулой:

$r_a = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

Эта формула также соответствует высоте $h$ равностороннего треугольника.

Нам дан радиус вневписанной окружности $r_a = 4$ см. Подставим это значение в формулу для нахождения стороны $a$:

$4 = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

Выразим сторону $a$:

$a \sqrt{3} = 4 \cdot 2$

$a \sqrt{3} = 8$

$a = \frac{8}{\sqrt{3}}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$a = \frac{8 \sqrt{3}}{3}$ см

Теперь, когда мы знаем сторону равностороннего треугольника, мы можем найти его площадь $S$. Формула для площади равностороннего треугольника со стороной $a$ выглядит так:

$S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$

Подставим найденное значение $a$:

$S = \frac{\left(\frac{8 \sqrt{3}}{3}\right)^2 \sqrt{3}}{4}$

$S = \frac{\frac{8^2 (\sqrt{3})^2}{3^2} \sqrt{3}}{4}$

$S = \frac{\frac{64 \cdot 3}{9} \sqrt{3}}{4}$

$S = \frac{\frac{64}{3} \sqrt{3}}{4}$

$S = \frac{64 \sqrt{3}}{3 \cdot 4}$

$S = \frac{16 \sqrt{3}}{3}$

Ответ:

Площадь треугольника составляет $\frac{16 \sqrt{3}}{3}$ см$^2$.