Страница 153 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

343. В выпуклом четырехугольнике $ABCD$ градусные меры углов $A$ и $B$ относятся как $7 : 8$, $\angle C = 150^\circ$, а угол $D$ меньше угла $B$ на $20^\circ$. Найдите неизвестные углы этого четырехугольника.

Дано:

В выпуклом четырехугольнике $ABCD$:

$\angle A : \angle B = 7 : 8$

$\angle C = 150^\circ$

$\angle D = \angle B - 20^\circ$

Перевод данных в СИ:

Градусные меры углов (в градусах) не переводятся в систему СИ для решения данной геометрической задачи, поскольку стандартные формулы и свойства четырехугольников оперируют именно градусами, а не радианами. Перевод не требуется.

Найти:

Неизвестные углы четырехугольника: $\angle A$, $\angle B$, $\angle D$.

Решение:

Сумма внутренних углов любого выпуклого четырехугольника равна $360^\circ$. Это значит, что $\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ$.

Из условия, что углы $A$ и $B$ относятся как $7 : 8$, мы можем ввести общую меру $x$. Тогда $\angle A = 7x$ и $\angle B = 8x$.

Также дано, что угол $D$ меньше угла $B$ на $20^\circ$. Подставим выражение для $\angle B$: $\angle D = \angle B - 20^\circ = 8x - 20^\circ$.

Теперь подставим выражения для углов $A$, $B$ и $D$, а также известное значение угла $C$ в формулу суммы углов четырехугольника:

$7x + 8x + 150^\circ + (8x - 20^\circ) = 360^\circ$.

Объединим слагаемые с $x$:

$7x + 8x + 8x = 23x$.

Объединим числовые слагаемые:

$150^\circ - 20^\circ = 130^\circ$.

Получим уравнение:

$23x + 130^\circ = 360^\circ$.

Вычтем $130^\circ$ из обеих частей уравнения:

$23x = 360^\circ - 130^\circ$.

$23x = 230^\circ$.

Разделим обе части на $23$, чтобы найти $x$:

$x = \frac{230^\circ}{23}$.

$x = 10^\circ$.

Теперь, зная значение $x$, вычислим градусные меры углов $A$, $B$ и $D$:

$\angle A = 7x = 7 \cdot 10^\circ = 70^\circ$.

$\angle B = 8x = 8 \cdot 10^\circ = 80^\circ$.

$\angle D = 8x - 20^\circ = 8 \cdot 10^\circ - 20^\circ = 80^\circ - 20^\circ = 60^\circ$.

Проверим сумму всех углов: $70^\circ + 80^\circ + 150^\circ + 60^\circ = 360^\circ$. Условие выполняется.

Ответ:

$\angle A = 70^\circ$, $\angle B = 80^\circ$, $\angle D = 60^\circ$.

344. Найдите неизвестные стороны и диагональ $BD$ выпуклого четырехугольника $ABCD$, в котором $AB = 12 \text{ см}$, $BC = CD$, $\angle C = 90^\circ$, $\angle B = 105^\circ$, $\angle D = 135^\circ$.

Дано:

Четырехугольник $ABCD$ выпуклый.
$AB = 12 \text{ см}$.
$BC = CD$.
$\angle C = 90^\circ$.
$\angle B = 105^\circ$.
$\angle D = 135^\circ$.

Перевод в СИ:

$AB = 12 \text{ см} = 0.12 \text{ м}$.

Найти:

Неизвестные стороны $BC$, $CD$, $AD$ и диагональ $BD$.

Решение:

Рассмотрим треугольник $BCD$. По условию $BC = CD$ и $\angle C = 90^\circ$.
Следовательно, $\triangle BCD$ является равнобедренным прямоугольным треугольником.
В равнобедренном прямоугольном треугольнике углы при основании равны $45^\circ$.
Значит, $\angle CBD = \angle CDB = (180^\circ - 90^\circ) / 2 = 45^\circ$.
По теореме Пифагора для $\triangle BCD$ гипотенуза $BD$ связана со катетами $BC$ и $CD$ следующим образом: $BD^2 = BC^2 + CD^2$.
Так как $BC = CD$, то $BD^2 = BC^2 + BC^2 = 2BC^2$.
Отсюда $BD = \sqrt{2BC^2} = BC\sqrt{2}$.

Теперь найдем углы треугольника $ABD$.
Угол $\angle B = 105^\circ$ и $\angle CBD = 45^\circ$.
Тогда $\angle ABD = \angle B - \angle CBD = 105^\circ - 45^\circ = 60^\circ$.
Угол $\angle D = 135^\circ$ и $\angle CDB = 45^\circ$.
Тогда $\angle ADB = \angle D - \angle CDB = 135^\circ - 45^\circ = 90^\circ$.

Рассмотрим треугольник $ABD$.
Мы имеем $AB = 12 \text{ см}$ (гипотенуза).
Угол $\angle ABD = 60^\circ$.
Угол $\angle ADB = 90^\circ$.
Таким образом, $\triangle ABD$ является прямоугольным треугольником с прямым углом при вершине $D$.
Сумма углов треугольника равна $180^\circ$, поэтому $\angle BAD = 180^\circ - \angle ADB - \angle ABD = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.
$\triangle ABD$ - это прямоугольный треугольник с углами $30^\circ$, $60^\circ$, $90^\circ$.
В таком треугольнике катет, лежащий напротив угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы.
Катет $BD$ лежит напротив угла $\angle BAD = 30^\circ$.
Следовательно, $BD = AB / 2 = 12 / 2 = 6 \text{ см}$.

Теперь найдем сторону $AD$ в $\triangle ABD$.
Катет $AD$ лежит напротив угла $\angle ABD = 60^\circ$.
В прямоугольном треугольнике $AD = BD \cdot \tan(\angle ABD) = BD \cdot \tan(60^\circ) = 6 \cdot \sqrt{3} \text{ см}$.
Или, используя свойство $30^\circ-60^\circ-90^\circ$ треугольника, катет напротив $60^\circ$ равен катету напротив $30^\circ$ умноженному на $\sqrt{3}$.
$AD = BD \cdot \sqrt{3} = 6 \sqrt{3} \text{ см}$.

Вернемся к треугольнику $BCD$.
Мы нашли $BD = 6 \text{ см}$.
Мы знаем, что $BD = BC\sqrt{2}$.
Значит, $BC\sqrt{2} = 6 \text{ см}$.
$BC = 6 / \sqrt{2} = 6 \sqrt{2} / 2 = 3 \sqrt{2} \text{ см}$.
По условию $CD = BC$, поэтому $CD = 3 \sqrt{2} \text{ см}$.

Ответ:

Неизвестные стороны:
$BC = 3\sqrt{2} \text{ см}$.
$CD = 3\sqrt{2} \text{ см}$.
$AD = 6\sqrt{3} \text{ см}$.
Ответ: $BC = 3\sqrt{2} \text{ см}$, $CD = 3\sqrt{2} \text{ см}$, $AD = 6\sqrt{3} \text{ см}$.

Диагональ $BD$:
$BD = 6 \text{ см}$.
Ответ: $BD = 6 \text{ см}$.

345. Диагонали выпуклого четырехугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$, причем $CO = OA$, $\angle ABO = \angle CDO$. Докажите, что $ABCD$ – параллелограмм.

Дано:

Выпуклый четырехугольник $ABCD$.

Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$.

$CO = OA$

$\angle ABO = \angle CDO$

Найти:

Доказать, что $ABCD$ – параллелограмм.

Решение:

Рассмотрим два треугольника: $\triangle ABO$ и $\triangle CDO$.

1. Угол $\angle AOB$ и угол $\angle COD$ являются вертикальными углами. Известно, что вертикальные углы равны, следовательно, $\angle AOB = \angle COD$.

2. По условию задачи дано, что $CO = OA$.

3. Также по условию задачи дано, что $\angle ABO = \angle CDO$.

Таким образом, в треугольниках $\triangle ABO$ и $\triangle CDO$ мы имеем две пары равных углов ($\angle AOB = \angle COD$ и $\angle ABO = \angle CDO$) и по одной паре равных сторон, не заключенных между этими углами ($OA = OC$).

Согласно признаку равенства треугольников по двум углам и стороне (УУС или AAS), если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны. В нашем случае, мы используем вариант этого признака, где сторона не является прилежащей к обоим углам. То есть, если два угла и одна сторона одного треугольника равны двум углам и соответствующей стороне другого треугольника, то треугольники равны.

Следовательно, $\triangle ABO \cong \triangle CDO$.

Из равенства этих треугольников вытекает равенство их соответствующих сторон и углов:

1. Сторона $OB$ треугольника $\triangle ABO$ равна соответствующей стороне $OD$ треугольника $\triangle CDO$. То есть, $OB = OD$.

2. Угол $\angle OAB$ треугольника $\triangle ABO$ равен соответствующему углу $\angle OCD$ треугольника $\triangle CDO$. То есть, $\angle OAB = \angle OCD$.

Итак, мы имеем, что $OA = OC$ (дано по условию) и $OB = OD$ (доказано из равенства треугольников).

Это означает, что диагонали $AC$ и $BD$ четырехугольника $ABCD$ точкой их пересечения $O$ делятся пополам.

По одному из признаков параллелограмма, если диагонали четырехугольника делятся точкой пересечения пополам, то этот четырехугольник является параллелограммом.

Также, из равенства углов $\angle OAB = \angle OCD$ следует, что прямые $AB$ и $CD$ параллельны, так как $\angle OAB$ и $\angle OCD$ являются накрест лежащими углами при пересечении прямых $AB$ и $CD$ секущей $AC$.

Из равенства $\triangle ABO \cong \triangle CDO$ также следует, что $AB = CD$ (соответствующие стороны).

Поскольку в четырехугольнике $ABCD$ две противоположные стороны ($AB$ и $CD$) равны и параллельны, то $ABCD$ является параллелограммом.

Ответ: Доказано.

346. Периметр параллелограмма 16 см, одна из его сторон на 2 см больше другой, а один из углов $150^\circ$. Найдите высоту параллелограмма, проведенную к большей стороне, и его площадь.

Дано:

Периметр параллелограмма $P = 16 \text{ см}$

Одна сторона на $2 \text{ см}$ больше другой, т.е. если стороны $a$ и $b$, то $a = b + 2 \text{ см}$

Один из углов параллелограмма $\alpha = 150^\circ$

Перевод в СИ:

$P = 16 \text{ см} = 0.16 \text{ м}$

Разница сторон $2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$

Найти:

Высоту параллелограмма, проведенную к большей стороне, $h_a$

Площадь параллелограмма $S$

Решение:

1. Найдем длины сторон параллелограмма.

Периметр параллелограмма вычисляется по формуле $P = 2(a+b)$.

Подставим известные значения:

$16 = 2(a+b)$

$a+b = 8$

Мы знаем, что $a = b+2$. Подставим это выражение в уравнение:

$(b+2)+b = 8$

$2b+2 = 8$

$2b = 8-2$

$2b = 6$

$b = 3 \text{ см}$

Теперь найдем сторону $a$:

$a = b+2 = 3+2 = 5 \text{ см}$

Итак, стороны параллелограмма равны $5 \text{ см}$ и $3 \text{ см}$. Большая сторона $a = 5 \text{ см}$.

2. Определим острый угол параллелограмма.

Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна $180^\circ$.

Если один из углов равен $150^\circ$, то смежный с ним острый угол $\beta$ равен:

$\beta = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$

3. Найдем высоту, проведенную к большей стороне.

Высота $h_a$, проведенная к большей стороне $a$, образует прямоугольный треугольник со стороной $b$ (смежной стороной) и острым углом $\beta = 30^\circ$. В этом треугольнике сторона $b$ является гипотенузой, а высота $h_a$ — катетом, противолежащим углу $\beta$.

Используем синус угла:

$h_a = b \cdot \sin(\beta)$

$h_a = 3 \text{ см} \cdot \sin(30^\circ)$

Так как $\sin(30^\circ) = 0.5$:

$h_a = 3 \cdot 0.5 = 1.5 \text{ см}$

4. Найдем площадь параллелограмма.

Площадь параллелограмма $S$ вычисляется по формуле $S = \text{основание} \cdot \text{высота}$. В нашем случае, основание - большая сторона $a$, а высота к ней - $h_a$.

$S = a \cdot h_a$

$S = 5 \text{ см} \cdot 1.5 \text{ см}$

$S = 7.5 \text{ см}^2$

Ответ:

Высота параллелограмма, проведенная к большей стороне, равна $1.5 \text{ см}$.

Площадь параллелограмма равна $7.5 \text{ см}^2$.

347. Биссектрисы углов $A$ и $D$ прямоугольника $ABCD$ пересекаются в точке $M$, принадлежащей стороне $BC$. Найдите площадь прямоугольника, если $AM = 5 \text{ см}$.

Дано

Прямоугольник $ABCD$. Биссектрисы углов $A$ и $D$ пересекаются в точке $M$. Точка $M$ принадлежит стороне $BC$. $AM = 5 \text{ см}$.

Перевод в систему СИ:

$AM = 5 \text{ см} = 0.05 \text{ м}$.

Найти:

Площадь прямоугольника $S_{ABCD}$.

Решение

1. В прямоугольнике $ABCD$ все углы равны $90^\circ$. 2. $AM$ — биссектриса угла $A$, значит, она делит угол пополам: $\angle BAM = \angle DAM = \frac{1}{2} \cdot 90^\circ = 45^\circ$. 3. $DM$ — биссектриса угла $D$, значит, она делит угол пополам: $\angle CDM = \angle ADM = \frac{1}{2} \cdot 90^\circ = 45^\circ$.

4. Рассмотрим треугольник $ABM$. Он является прямоугольным, так как $\angle B = 90^\circ$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Значит, $\angle AMB = 180^\circ - \angle B - \angle BAM = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$. Так как $\angle BAM = \angle AMB = 45^\circ$, треугольник $ABM$ является равнобедренным с основанием $AM$. Следовательно, $AB = BM$.

5. Рассмотрим треугольник $DCM$. Он является прямоугольным, так как $\angle C = 90^\circ$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Значит, $\angle DMC = 180^\circ - \angle C - \angle CDM = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$. Так как $\angle CDM = \angle DMC = 45^\circ$, треугольник $DCM$ является равнобедренным с основанием $DM$. Следовательно, $DC = CM$.

6. В прямоугольнике противоположные стороны равны, то есть $AB = DC$. Из пунктов 4 и 5 следует, что $BM = AB$ и $CM = DC$. Поскольку $AB = DC$, то $BM = CM$. Это означает, что точка $M$ является серединой стороны $BC$.

7. Длина стороны $BC$ равна $BM + CM$. Так как $BM = CM = AB$, получаем $BC = AB + AB = 2AB$. Поскольку $AD = BC$ (противоположные стороны прямоугольника), то $AD = 2AB$.

8. Вернемся к прямоугольному треугольнику $ABM$. По теореме Пифагора: $AM^2 = AB^2 + BM^2$. Мы знаем, что $AM = 5$ см и $AB = BM$. Подставим эти значения: $5^2 = AB^2 + AB^2 \Rightarrow 25 = 2 \cdot AB^2 \Rightarrow AB^2 = \frac{25}{2} \Rightarrow AB = \sqrt{\frac{25}{2}} = \frac{5}{\sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{2} \text{ см}$.

9. Теперь найдем длину стороны $AD$: $AD = 2AB = 2 \cdot \frac{5\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2} \text{ см}$.

10. Площадь прямоугольника $ABCD$ вычисляется по формуле $S_{ABCD} = AB \cdot AD$. $S_{ABCD} = \left(\frac{5\sqrt{2}}{2}\right) \cdot (5\sqrt{2}) = \frac{5 \cdot 5 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{2} = \frac{25 \cdot 2}{2} = 25 \text{ см}^2$.

Ответ: $25 \text{ см}^2$

348. a) Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке O, расстояние от точки O до стороны AD равно 2 см. Найдите площадь прямоугольника, если $\angle BAO = 60^{\circ}$.

б) Какой из прямоугольников с данной диагональю d имеет наибольшую площадь?

а)

Дано:

Прямоугольник $ABCD$.

Диагонали пересекаются в точке $O$.

Расстояние от точки $O$ до стороны $AD$ равно $h_O = 2 \text{ см}$.

Угол $\angle BAO = 60^\circ$.

Перевод в СИ:

$h_O = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$.

$\angle BAO = 60^\circ$.

Найти:

Площадь прямоугольника $S_{ABCD}$.

Решение:

1. Пусть $K$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $O$ на сторону $AD$. Тогда $OK = 2 \text{ см}$.

2. В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам, то есть $AO = BO = CO = DO$. Следовательно, треугольник $AOB$ является равнобедренным.

3. По условию $\angle BAO = 60^\circ$. Так как $\triangle AOB$ равнобедренный с углом при основании $60^\circ$, то он является равносторонним. Значит, $AB = AO = BO$.

4. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABD$. Точка $O$ является серединой гипотенузы $BD$. Отрезок $OK$, перпендикулярный $AD$, параллелен стороне $AB$ (поскольку $AB \perp AD$ и $OK \perp AD$, то $OK \parallel AB$). По теореме о средней линии треугольника (или ее следствии), если прямая проходит через середину одной стороны треугольника и параллельна другой стороне, то она пересекает третью сторону в ее середине и равна половине параллельной стороны. Таким образом, $OK$ является средней линией треугольника $ABD$ относительно стороны $AB$.

5. Из этого следует, что $OK = \frac{1}{2} AB$. Зная $OK = 2 \text{ см}$, находим $AB = 2 \cdot OK = 2 \cdot 2 \text{ см} = 4 \text{ см}$.

6. Поскольку $\triangle AOB$ равносторонний, $AO = AB = 4 \text{ см}$. Длина диагонали прямоугольника $AC = 2 \cdot AO = 2 \cdot 4 \text{ см} = 8 \text{ см}$.

7. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$. По теореме Пифагора $BC^2 = AC^2 - AB^2$.

$BC^2 = 8^2 - 4^2 = 64 - 16 = 48$.

$BC = \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3} \text{ см}$.

8. Площадь прямоугольника $S_{ABCD} = AB \cdot BC = 4 \cdot 4\sqrt{3} = 16\sqrt{3} \text{ см}^2$.

Ответ: $16\sqrt{3} \text{ см}^2$.

б)

Решение:

Пусть стороны прямоугольника равны $x$ и $y$, а его диагональ равна $d$. Площадь прямоугольника $S = xy$.

По теореме Пифагора, связывающей стороны прямоугольного треугольника, образованного двумя сторонами и диагональю, имеем $x^2 + y^2 = d^2$.

Мы хотим максимизировать значение произведения $xy$ при фиксированной сумме квадратов $x^2 + y^2 = d^2$.

Воспользуемся неравенством между средним арифметическим и средним геометрическим для неотрицательных чисел $x^2$ и $y^2$: $\frac{x^2 + y^2}{2} \ge \sqrt{x^2y^2}$.

Подставим известное значение $x^2 + y^2 = d^2$: $\frac{d^2}{2} \ge \sqrt{(xy)^2}$.

Так как $x$ и $y$ — длины сторон, они являются положительными числами, поэтому $\sqrt{(xy)^2} = xy$.

Таким образом, получаем неравенство $xy \le \frac{d^2}{2}$.

Максимальное значение площади $S_{max} = \frac{d^2}{2}$ достигается, когда в неравенстве между средним арифметическим и средним геометрическим достигается равенство. Это происходит тогда и только тогда, когда $x^2 = y^2$. Поскольку $x$ и $y$ положительны, это означает $x = y$.

Следовательно, прямоугольник, у которого стороны равны ($x=y$), является квадратом.

Ответ: Квадрат.

349. Большая сторона параллелограмма 5 дм, а высоты 2 дм и 2,5 дм. Найдите меньшую сторону параллелограмма.

Дано:

$a = 5 \text{ дм}$ (большая сторона параллелограмма)

$h_1 = 2 \text{ дм}$

$h_2 = 2.5 \text{ дм}$

Перевод в СИ:

$a = 5 \text{ дм} = 0.5 \text{ м}$

$h_1 = 2 \text{ дм} = 0.2 \text{ м}$

$h_2 = 2.5 \text{ дм} = 0.25 \text{ м}$

Найти:

$b$ (меньшая сторона параллелограмма)

Решение:

Площадь параллелограмма $S$ можно найти как произведение одной из его сторон на высоту, проведенную к этой стороне. При этом большей стороне соответствует меньшая высота, а меньшей стороне — большая высота.

Пусть $a$ — большая сторона параллелограмма, а $h_a$ — высота, проведенная к этой стороне. Пусть $b$ — меньшая сторона параллелограмма, а $h_b$ — высота, проведенная к этой стороне.

По условию, большая сторона $a = 5 \text{ дм}$. Из двух данных высот, $2 \text{ дм}$ и $2.5 \text{ дм}$, меньшей высоте соответствует большая сторона. Следовательно, $h_a = 2 \text{ дм}$.

Тогда большая высота $h_b = 2.5 \text{ дм}$ соответствует меньшей стороне $b$.

Вычислим площадь параллелограмма $S$ с использованием большой стороны и соответствующей ей меньшей высоты:

$S = a \cdot h_a$

$S = 5 \text{ дм} \cdot 2 \text{ дм} = 10 \text{ дм}^2$

Теперь, зная площадь параллелограмма и большую высоту, мы можем найти меньшую сторону $b$:

$S = b \cdot h_b$

Выразим $b$ из этой формулы:

$b = \frac{S}{h_b}$

Подставим известные значения:

$b = \frac{10 \text{ дм}^2}{2.5 \text{ дм}} = 4 \text{ дм}$

Ответ:

Меньшая сторона параллелограмма равна 4 дм.

350. a) В $\triangle ABC$ проведены биссектриса $AN$ и отрезки $NM \parallel AC$, $NL \parallel AB$ ($M \in AB, L \in AC$). Докажите, что четырехугольник $AMNL$ – ромб.

б) Хорда $BC$ окружности с центром в точке $O$ перпендикулярна радиусу $OA$ и проходит через его середину. Докажите, что четырехугольник $ABOC$ – ромб.

а)

Дано:

В $\triangle ABC$ проведена биссектриса $AN$.

Отрезки $NM \parallel AC$ ($M \in AB$).

Отрезок $NL \parallel AB$ ($L \in AC$).

Найти:

Доказать, что четырехугольник $AMNL$ – ромб.

Решение:

1. По условию, $NM \parallel AC$ и $NL \parallel AB$. Поскольку противоположные стороны четырехугольника $AMNL$ попарно параллельны, то $AMNL$ является параллелограммом по определению.

2. Так как $AN$ – биссектриса угла $\angle BAC$, то $\angle MAN = \angle NAL$.

3. Поскольку $NL \parallel AB$ (или $NL \parallel AM$), то углы $\angle ANL$ и $\angle NAM$ являются накрест лежащими при параллельных прямых $NL$ и $AM$ и секущей $AN$. Следовательно, $\angle ANL = \angle NAM$.

4. Из пунктов 2 и 3 следует, что $\angle NAL = \angle ANL$.

5. Рассмотрим треугольник $\triangle ANL$. У него углы $\angle NAL$ и $\angle ANL$ равны. Треугольник, у которого два угла равны, является равнобедренным. Следовательно, $AL = NL$.

6. Мы уже доказали, что $AMNL$ – параллелограмм. В параллелограмме противоположные стороны равны, то есть $AM = NL$ и $AL = NM$.

7. Из $AL = NL$ (пункт 5) и $AM = NL$ (пункт 6) следует, что $AM = AL$.

8. Поскольку $AMNL$ – параллелограмм, у которого смежные стороны $AM$ и $AL$ равны, то $AMNL$ является ромбом (ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны: $AM = NL = AL = NM$).

Ответ: Четырехугольник $AMNL$ является ромбом.

б)

Дано:

Окружность с центром в точке $O$.

Хорда $BC$ окружности перпендикулярна радиусу $OA$ ($BC \perp OA$).

Хорда $BC$ проходит через середину радиуса $OA$.

Найти:

Доказать, что четырехугольник $ABOC$ – ромб.

Решение:

1. Пусть $K$ – точка пересечения хорды $BC$ и радиуса $OA$.

2. По условию, хорда $BC$ перпендикулярна радиусу $OA$, то есть $BC \perp OA$. Значит, $\angle OKB = \angle OKC = 90^\circ$.

3. Известно свойство окружности: радиус, перпендикулярный хорде, делит эту хорду пополам. Следовательно, $K$ является серединой хорды $BC$, то есть $BK = KC$.

4. По условию, хорда $BC$ проходит через середину радиуса $OA$. Значит, $K$ является серединой $OA$, то есть $OK = KA$.

5. Рассмотрим четырехугольник $ABOC$. Его диагонали $OA$ и $BC$ пересекаются в точке $K$.

6. Мы установили, что точка $K$ делит обе диагонали пополам ($BK = KC$ и $OK = KA$). Следовательно, четырехугольник $ABOC$ является параллелограммом (по признаку параллелограмма, если диагонали четырехугольника пересекаются и делятся точкой пересечения пополам).

7. Мы также знаем, что диагонали $OA$ и $BC$ перпендикулярны ($BC \perp OA$).

8. Параллелограмм, у которого диагонали перпендикулярны, является ромбом. Таким образом, $ABOC$ – ромб.

9. Дополнительно можно показать равенство сторон. Поскольку $ABOC$ - параллелограмм, $AB=OC$ и $AC=OB$. Все радиусы окружности равны: $OA = OB = OC = R$. Поскольку $K$ - середина $OA$, то $OK = KA = R/2$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OKB$. По теореме Пифагора $OB^2 = OK^2 + BK^2$. Подставляя значения: $R^2 = (R/2)^2 + BK^2$, откуда $R^2 = R^2/4 + BK^2$. Тогда $BK^2 = R^2 - R^2/4 = 3R^2/4$, и $BK = \frac{R\sqrt{3}}{2}$. Аналогично, в прямоугольном треугольнике $\triangle AKB$, $AB^2 = AK^2 + BK^2 = (R/2)^2 + (\frac{R\sqrt{3}}{2})^2 = R^2/4 + 3R^2/4 = R^2$. Значит, $AB = R$. Таким образом, $AB = OB = OC = R$. А поскольку $ABOC$ - параллелограмм, то $AB=OC$ и $AC=OB$, что означает $AB=AC=OB=OC=R$. Все стороны четырехугольника равны.

Ответ: Четырехугольник $ABOC$ является ромбом.

351. Найдите периметр и площадь ромба $ABCD$, если серединный перпендикуляр к стороне $AD$ проходит через вершину $B$ и $BD = 8$ см.

Дано:

Ромб $ABCD$.

Серединный перпендикуляр к стороне $AD$ проходит через вершину $B$.

Диагональ $BD = 8$ см.

Перевод в систему СИ:

$BD = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$.

Найти:

Периметр $P_{ABCD}$.

Площадь $S_{ABCD}$.

Решение:

1. Рассмотрим ромб $ABCD$. По определению ромба, все его стороны равны. Обозначим длину стороны ромба как $a$. Таким образом, $AB = BC = CD = AD = a$.

2. Условие задачи гласит, что серединный перпендикуляр к стороне $AD$ проходит через вершину $B$. Пусть $M$ — середина стороны $AD$. Тогда линия $BM$ является этим серединным перпендикуляром. Это означает, что $BM \perp AD$ (по определению перпендикуляра) и $AM = MD$ (по определению середины).

3. Известно свойство серединного перпендикуляра: любая точка, лежащая на серединном перпендикуляре к отрезку, равноудалена от концов этого отрезка. Поскольку вершина $B$ лежит на серединном перпендикуляре к $AD$, то расстояние от $B$ до $A$ равно расстоянию от $B$ до $D$. То есть $BA = BD$.

4. Мы знаем, что $BA = a$ (сторона ромба) и $BD = 8$ см (дано). Следовательно, $a = BD = 8$ см.

5. Таким образом, в треугольнике $ABD$ имеем $AB = AD = BD = 8$ см. Это означает, что треугольник $ABD$ является равносторонним.

6. В равностороннем треугольнике все углы равны $60^\circ$. Значит, угол $\angle DAB = 60^\circ$.

Периметр:

Периметр ромба равен учетверенной длине его стороны: $P = 4a$.

Подставим значение стороны $a = 8$ см:

$P = 4 \cdot 8 \text{ см} = 32 \text{ см}$.

Переведем в систему СИ: $P = 4 \cdot 0.08 \text{ м} = 0.32 \text{ м}$.

Ответ: Периметр ромба $P_{ABCD} = 32 \text{ см}$ ($0.32 \text{ м}$).

Площадь:

Площадь ромба можно найти по формуле $S = a^2 \sin(\alpha)$, где $a$ — сторона ромба, а $\alpha$ — один из его углов. Мы уже определили, что сторона ромба $a = 8$ см и угол $\angle DAB = 60^\circ$.

Подставим эти значения в формулу:

$S = (8 \text{ см})^2 \cdot \sin(60^\circ)$

$S = 64 \text{ см}^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$S = 32\sqrt{3} \text{ см}^2$.

Для проверки, найдем площадь через длины диагоналей. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$. Тогда треугольник $AOB$ является прямоугольным.

Длина $BO$ равна половине длины диагонали $BD$: $BO = \frac{BD}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см.

Длина стороны ромба $AB = 8$ см.

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $AOB$: $AO^2 + BO^2 = AB^2$

$AO^2 + 4^2 = 8^2$

$AO^2 + 16 = 64$

$AO^2 = 64 - 16$

$AO^2 = 48$

$AO = \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$ см.

Длина второй диагонали $AC$ равна удвоенной длине $AO$: $AC = 2 \cdot AO = 2 \cdot 4\sqrt{3} = 8\sqrt{3}$ см.

Площадь ромба также можно найти по формуле $S = \frac{1}{2} d_1 d_2$, где $d_1$ и $d_2$ — длины диагоналей.

$S = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 8 \text{ см} \cdot 8\sqrt{3} \text{ см}$

$S = 32\sqrt{3} \text{ см}^2$.

Переведем в систему СИ: $S = 32\sqrt{3} \text{ см}^2 = 32\sqrt{3} \cdot (10^{-2} \text{ м})^2 = 32\sqrt{3} \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 = 0.0032\sqrt{3} \text{ м}^2$.

Ответ: Площадь ромба $S_{ABCD} = 32\sqrt{3} \text{ см}^2$ ($0.0032\sqrt{3} \text{ м}^2$).