Страница 152 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

332. Сформулируйте определение, свойства и признаки параллелограмма.

Определение
Параллелограммом называется четырёхугольник, у которого каждые две противоположные стороны параллельны. То есть, в четырёхугольнике ABCD, если сторона AB параллельна стороне CD ($AB \parallel CD$), а сторона BC параллельна стороне AD ($BC \parallel AD$), то этот четырёхугольник является параллелограммом.
Ответ:

Свойства
Параллелограмм обладает следующими основными свойствами:

1. Противоположные стороны параллелограмма равны ($AB = CD$, $BC = AD$).
2. Противоположные углы параллелограмма равны ($\angle A = \angle C$, $\angle B = \angle D$).
3. Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$ ($\angle A + \angle B = 180^\circ$, $\angle B + \angle C = 180^\circ$ и т.д.).
4. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. То есть, если диагонали AC и BD пересекаются в точке O, то $AO = OC$ и $BO = OD$.
Ответ:

Признаки
Четырёхугольник является параллелограммом, если выполняется одно из следующих условий:

1. Если в четырёхугольнике две стороны параллельны и равны.
2. Если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны.
3. Если в четырёхугольнике противоположные углы попарно равны.
4. Если в четырёхугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам.
Ответ:

333. Сформулируйте определение, свойства и признаки прямоугольника.

Определение

Прямоугольник — это четырехугольник, у которого все углы прямые (то есть равны $90^\circ$). Прямоугольник является частным случаем параллелограмма.

Ответ:

Свойства

Поскольку прямоугольник является параллелограммом, он обладает всеми свойствами параллелограмма, а также имеет свои специфические свойства:
1. Все углы прямоугольника прямые, то есть равны $90^\circ$.
2. Противоположные стороны прямоугольника параллельны и равны. ($AB \parallel CD$, $BC \parallel AD$, $AB = CD$, $BC = AD$)
3. Диагонали прямоугольника равны. ($AC = BD$)
4. Диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам. (Точка пересечения диагоналей является центром симметрии).
5. Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов его сторон (по теореме Пифагора): $d^2 = a^2 + b^2$, где $d$ — диагональ, $a$ и $b$ — стороны прямоугольника.
6. Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$.

Ответ:

Признаки

Четырехугольник является прямоугольником, если:
1. Все его углы равны $90^\circ$.
2. Это параллелограмм, у которого один угол равен $90^\circ$.
3. Это параллелограмм, у которого диагонали равны.
4. Это четырехугольник, у которого три угла прямые (тогда и четвертый угол будет прямым).
5. Это трапеция, у которой все углы прямые (такая трапеция вырождается в прямоугольник).

Ответ:

334. Отрезки $AB$ и $CD$ – диаметры окружности. Докажите, что четырехугольник $ACBD$ – прямоугольник.

Дано:

Отрезки $AB$ и $CD$ - диаметры окружности.

Найти:

Доказать, что четырехугольник $ACBD$ - прямоугольник.

Решение:

Пусть $O$ - центр данной окружности. По определению, диаметр окружности - это отрезок, соединяющий две точки окружности и проходящий через ее центр.

1. Поскольку отрезки $AB$ и $CD$ являются диаметрами одной и той же окружности, они оба проходят через центр $O$. Это означает, что $O$ является точкой пересечения диагоналей $AB$ и $CD$ четырехугольника $ACBD$.

2. Так как $O$ является центром окружности, то отрезки $AO$, $OB$, $CO$, $OD$ являются радиусами этой окружности. Следовательно, их длины равны: $AO = OB = CO = OD = R$, где $R$ - радиус окружности.

3. Из равенства $AO = OB$ и $CO = OD$ следует, что точка $O$ является серединой диагонали $AB$ и серединой диагонали $CD$. Таким образом, диагонали четырехугольника $ACBD$ пересекаются в их середине. Четырехугольник, у которого диагонали пересекаются в их середине, является параллелограммом. Следовательно, $ACBD$ - параллелограмм.

4. Кроме того, поскольку $AB$ и $CD$ являются диаметрами одной и той же окружности, их длины равны: $AB = 2R$ и $CD = 2R$, то есть $AB = CD$.

5. Параллелограмм, у которого диагонали равны, является прямоугольником. Поскольку мы доказали, что $ACBD$ - параллелограмм и его диагонали $AB$ и $CD$ равны, то четырехугольник $ACBD$ является прямоугольником.

Ответ:

Четырехугольник $ACBD$ является прямоугольником.

335. Сформулируйте определение, свойства и признаки ромба.

Определение

Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны.

Ответ:

Свойства

Ромб обладает всеми свойствами параллелограмма, а также следующими специфическими свойствами:

1. Все стороны ромба равны.

2. Противоположные углы ромба равны.

3. Диагонали ромба в точке пересечения делятся пополам.

4. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны: $d_1 \perp d_2$.

5. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

6. Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$.

Ответ:

Признаки

Параллелограмм является ромбом, если выполняется одно из следующих условий:

1. Его две смежные стороны равны.

2. Его диагонали взаимно перпендикулярны.

3. Одна из его диагоналей является биссектрисой угла.

Также, если у четырехугольника все стороны равны, то он является ромбом.

Ответ:

336. Найдите площадь ромба, если:

а) его высота 12 см, а большая диагональ 20 см;

б) его сторона 33,8 см, а меньшая диагональ 26 см.

а) его высота 12 см, а большая диагональ 20 см

Дано:

высота ромба $h = 12$ см

большая диагональ $d_1 = 20$ см

Перевод в СИ:

$h = 12 \text{ см} = 0.12 \text{ м}$

$d_1 = 20 \text{ см} = 0.20 \text{ м}$

Найти:

площадь ромба $S$

Решение:

Площадь ромба может быть найдена по формуле $S = a \cdot h$, где $a$ — сторона ромба, $h$ — его высота. Также площадь ромба может быть найдена по формуле $S = \frac{1}{2} d_1 d_2$, где $d_1$ и $d_2$ — его диагонали.

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся точкой пересечения пополам. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половинами диагоналей и стороной ромба. По теореме Пифагора $a^2 = \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2$.

Из равенства формул для площади ромба получаем:

$a \cdot h = \frac{1}{2} d_1 d_2$

Подставим известные значения:

$a \cdot 12 = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot d_2$

$12a = 10d_2$

Выразим сторону $a$ через меньшую диагональ $d_2$:

$a = \frac{10}{12} d_2 = \frac{5}{6} d_2$

Теперь подставим это выражение для $a$ в формулу теоремы Пифагора:

$\left(\frac{5}{6} d_2\right)^2 = \left(\frac{20}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2$

$\frac{25}{36} d_2^2 = 10^2 + \frac{d_2^2}{4}$

$\frac{25}{36} d_2^2 = 100 + \frac{d_2^2}{4}$

Перенесем слагаемые с $d_2^2$ в одну сторону:

$\frac{25}{36} d_2^2 - \frac{d_2^2}{4} = 100$

Приведем дроби к общему знаменателю (36):

$\frac{25}{36} d_2^2 - \frac{9}{36} d_2^2 = 100$

$\frac{16}{36} d_2^2 = 100$

$\frac{4}{9} d_2^2 = 100$

$d_2^2 = 100 \cdot \frac{9}{4}$

$d_2^2 = 25 \cdot 9$

$d_2 = \sqrt{225}$

$d_2 = 15$ см

Теперь найдем площадь ромба по формуле $S = \frac{1}{2} d_1 d_2$:

$S = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 15$

$S = 10 \cdot 15$

$S = 150 \text{ см}^2$

Ответ: $150 \text{ см}^2$

б) его сторона 33,8 см, а меньшая диагональ 26 см

Дано:

сторона ромба $a = 33.8$ см

меньшая диагональ $d_2 = 26$ см

Перевод в СИ:

$a = 33.8 \text{ см} = 0.338 \text{ м}$

$d_2 = 26 \text{ см} = 0.26 \text{ м}$

Найти:

площадь ромба $S$

Решение:

Площадь ромба может быть найдена по формуле $S = \frac{1}{2} d_1 d_2$, где $d_1$ и $d_2$ — его диагонали. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся точкой пересечения пополам.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половинами диагоналей и стороной ромба. По теореме Пифагора $a^2 = \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2$.

Подставим известные значения в теорему Пифагора:

$(33.8)^2 = \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{26}{2}\right)^2$

$1142.44 = \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + 13^2$

$1142.44 = \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + 169$

Вычислим $\left(\frac{d_1}{2}\right)^2$:

$\left(\frac{d_1}{2}\right)^2 = 1142.44 - 169$

$\left(\frac{d_1}{2}\right)^2 = 973.44$

Найдем половину большей диагонали $d_1/2$:

$\frac{d_1}{2} = \sqrt{973.44}$

$\frac{d_1}{2} = 31.2$

Найдем большую диагональ $d_1$:

$d_1 = 2 \cdot 31.2$

$d_1 = 62.4$ см

Теперь найдем площадь ромба по формуле $S = \frac{1}{2} d_1 d_2$:

$S = \frac{1}{2} \cdot 62.4 \cdot 26$

$S = 62.4 \cdot 13$

$S = 811.2 \text{ см}^2$

Ответ: $811.2 \text{ см}^2$

337. Сформулируйте определение, свойства и признаки квадрата.

Определение

Квадрат — это четырёхугольник, у которого все стороны равны и все углы прямые. Квадрат является частным случаем прямоугольника (прямоугольник с равными сторонами) и частным случаем ромба (ромб с прямыми углами).

Ответ:

Свойства

• Все стороны квадрата равны: $a = b = c = d$.

• Все углы квадрата прямые и равны $90^\circ$: $\angle A = \angle B = \angle C = \angle D = 90^\circ$.

• Противоположные стороны квадрата параллельны.

• Диагонали квадрата равны между собой: $d_1 = d_2$.

• Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны.

• Диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам.

• Диагонали квадрата являются биссектрисами его углов, то есть делят углы пополам (на $45^\circ$).

• Квадрат является правильным многоугольником.

• Периметр квадрата равен $P = 4a$, где $a$ — сторона квадрата.

• Площадь квадрата равна $S = a^2$, где $a$ — сторона квадрата. Также площадь может быть вычислена как $S = \frac{1}{2}d^2$, где $d$ — диагональ квадрата.

• Около квадрата можно описать окружность, и в квадрат можно вписать окружность. Центры этих окружностей совпадают с точкой пересечения диагоналей квадрата.

Ответ:

Признаки

Параллелограмм является квадратом, если:

• Все его углы прямые и две смежные стороны равны (то есть является прямоугольником с равными смежными сторонами).

• Все его стороны равны и один из углов прямой (то есть является ромбом с прямым углом).

• Его диагонали равны и взаимно перпендикулярны.

• Его диагонали равны и являются биссектрисами углов.

• Он является прямоугольником, у которого диагонали взаимно перпендикулярны.

• Он является ромбом, у которого диагонали равны.

Ответ:

338. Найдите отношение периметра квадрата к сумме его диагоналей.

Дано:

Квадрат со стороной $a$.

Найти:

Отношение периметра квадрата к сумме его диагоналей.

Решение:

Пусть сторона квадрата равна $a$.

Периметр квадрата $P$ находится по формуле: $P = 4a$.

Диагональ квадрата $d$ можно найти, используя теорему Пифагора. Диагональ делит квадрат на два прямоугольных треугольника, катетами которых являются стороны квадрата $a$.

По теореме Пифагора:

$d^2 = a^2 + a^2$

$d^2 = 2a^2$

$d = \sqrt{2a^2}$

$d = a\sqrt{2}$

Квадрат имеет две равные диагонали. Сумма диагоналей $S_d$ равна:

$S_d = d + d = 2d = 2a\sqrt{2}$

Искомое отношение $R$ периметра квадрата к сумме его диагоналей равно:

$R = \frac{P}{S_d}$

Подставим выражения для $P$ и $S_d$:

$R = \frac{4a}{2a\sqrt{2}}$

Сократим $a$ и числа:

$R = \frac{4}{2\sqrt{2}}$

$R = \frac{2}{\sqrt{2}}$

Для устранения иррациональности в знаменателе умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:

$R = \frac{2 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}$

$R = \frac{2\sqrt{2}}{2}$

$R = \sqrt{2}$

Ответ: $\sqrt{2}$

339. Сформулируйте определение трапеции и свойства равнобедренной трапеции.

Трапеция – это четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны. Параллельные стороны называются основаниями трапеции, а непараллельные – боковыми сторонами.

Ответ:

Равнобедренная трапеция (или равнобокая трапеция) – это трапеция, у которой боковые стороны равны. Её свойства:

1. Углы при каждом основании равны. То есть, углы при одном основании равны между собой, и углы при другом основании также равны между собой. Например, если трапеция ABCD с основаниями AD и BC, то $\angle A = \angle D$ и $\angle B = \angle C$.

2. Диагонали равнобедренной трапеции равны. То есть, $AC = BD$.

3. Около равнобедренной трапеции всегда можно описать окружность.

4. Высота, опущенная из вершины на большее основание, делит его на два отрезка: один равен полусумме оснований, а другой – полуразности оснований. Если основания $a$ и $b$ ($a > b$), то отрезки равны $\frac{a+b}{2}$ и $\frac{a-b}{2}$.

Ответ:

340. Найдите с точностью до $1\text{ дм}^2$ площадь равнобедренной трапеции, в которой:

а) большее основание равно 30 дм, боковая сторона – 10 дм, а угол при большем основании – $56^\circ$;

б) меньшее основание равно 20 дм, высота – 15 дм, а угол при большем основании – $34^\circ$.

а)

Дано:

Равнобедренная трапеция

Большее основание $a = 30$ дм

Боковая сторона $c = 10$ дм

Угол при большем основании $\alpha = 56^\circ$

Перевод в СИ:

$a = 3.0$ м

$c = 1.0$ м

$\alpha = 56^\circ$

Найти:

Площадь трапеции $S$ с точностью до $1$ дм$^2$.

Решение:

Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ - основания, $h$ - высота.

Для равнобедренной трапеции опустим высоту $h$ из вершины меньшего основания на большее основание. Получим прямоугольный треугольник, где гипотенуза - боковая сторона $c$, а один из катетов - высота $h$. Другой катет, обозначим его $x$, будет равен половине разности оснований (если мы опустим две высоты): $x = \frac{a-b}{2}$.

В прямоугольном треугольнике:

Высота $h = c \cdot \sin(\alpha)$

Отрезок $x = c \cdot \cos(\alpha)$

Вычислим $h$:

$h = 10 \cdot \sin(56^\circ) \approx 10 \cdot 0.8290 \approx 8.290$ дм

Вычислим $x$:

$x = 10 \cdot \cos(56^\circ) \approx 10 \cdot 0.5592 \approx 5.592$ дм

Меньшее основание $b$ найдем из соотношения $a = b + 2x$ (поскольку $a-b = 2x$):

$b = a - 2x = 30 - 2 \cdot 5.592 = 30 - 11.184 = 18.816$ дм

Теперь вычислим площадь трапеции:

$S = \frac{a+b}{2} \cdot h = \frac{30 + 18.816}{2} \cdot 8.290$

$S = \frac{48.816}{2} \cdot 8.290 = 24.408 \cdot 8.290 \approx 202.34232$ дм$^2$

Округляем до $1$ дм$^2$:

$S \approx 202$ дм$^2$

Ответ: 202 дм$^2$

б)

Дано:

Равнобедренная трапеция

Меньшее основание $b = 20$ дм

Высота $h = 15$ дм

Угол при большем основании $\alpha = 34^\circ$

Перевод в СИ:

$b = 2.0$ м

$h = 1.5$ м

$\alpha = 34^\circ$

Найти:

Площадь трапеции $S$ с точностью до $1$ дм$^2$.

Решение:

Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ - основания, $h$ - высота.

Для равнобедренной трапеции опустим высоту $h$ из вершины меньшего основания на большее основание. Получим прямоугольный треугольник, где один из катетов - высота $h$, а другой катет, обозначим его $x$, равен половине разности оснований: $x = \frac{a-b}{2}$.

В прямоугольном треугольнике:

$\tan(\alpha) = \frac{h}{x}$

Выразим $x$:

$x = \frac{h}{\tan(\alpha)}$

Вычислим $x$:

$x = \frac{15}{\tan(34^\circ)} \approx \frac{15}{0.6745} \approx 22.2387$ дм

Большее основание $a$ найдем из соотношения $a = b + 2x$:

$a = 20 + 2 \cdot 22.2387 = 20 + 44.4774 = 64.4774$ дм

Теперь вычислим площадь трапеции:

$S = \frac{a+b}{2} \cdot h = \frac{64.4774 + 20}{2} \cdot 15$

$S = \frac{84.4774}{2} \cdot 15 = 42.2387 \cdot 15 \approx 633.5805$ дм$^2$

Округляем до $1$ дм$^2$:

$S \approx 634$ дм$^2$

Ответ: 634 дм$^2$

341. Почему треугольник со сторонами 5 см, 12 см и 13 см – прямоугольный?

Дано:

Стороны треугольника: $a = 5\text{ см}$, $b = 12\text{ см}$, $c = 13\text{ см}$.

Перевод в СИ:

$a = 5\text{ см} = 0.05\text{ м}$
$b = 12\text{ см} = 0.12\text{ м}$
$c = 13\text{ см} = 0.13\text{ м}$

Найти:

Объяснить, почему треугольник является прямоугольным.

Решение:

Для определения, является ли треугольник прямоугольным, используется обратная теорема Пифагора. Эта теорема утверждает, что если в треугольнике квадрат длины одной стороны равен сумме квадратов длин двух других сторон, то такой треугольник является прямоугольным. При этом сторона, квадрат длины которой равен сумме квадратов длин двух других сторон, является гипотенузой, а угол, лежащий напротив этой стороны, является прямым.

В данном нам треугольнике длины сторон равны $5\text{ см}$, $12\text{ см}$ и $13\text{ см}$. Самая длинная сторона равна $13\text{ см}$. Проверим, выполняется ли для этих сторон условие обратной теоремы Пифагора:

$a^2 + b^2 = c^2$
$5^2 + 12^2 = 13^2$
$25 + 144 = 169$
$169 = 169$

Поскольку равенство $5^2 + 12^2 = 13^2$ выполняется, то согласно обратной теореме Пифагора, данный треугольник является прямоугольным.

Ответ:

Треугольник со сторонами $5\text{ см}$, $12\text{ см}$ и $13\text{ см}$ является прямоугольным, потому что длины его сторон удовлетворяют обратной теореме Пифагора ($5^2 + 12^2 = 13^2$), где квадрат самой длинной стороны равен сумме квадратов двух других сторон.

342. Найдите площадь треугольника, если его стороны равны:

a) 10 см, 10 см, 16 см;

б) 4 см, 13 см, 15 см.

a) 10 см, 10 см, 16 см

Дано:

стороны треугольника: $a = 10 \text{ см}$, $b = 10 \text{ см}$, $c = 16 \text{ см}$

Перевод в СИ:

$a = 0.1 \text{ м}$, $b = 0.1 \text{ м}$, $c = 0.16 \text{ м}$

Найти:

площадь треугольника $S_a$

Решение:

для нахождения площади треугольника по трем сторонам используем формулу герона:

$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p$ - полупериметр треугольника, $p = \frac{a+b+c}{2}$

1. найдем полупериметр $p_a$:

$p_a = \frac{10 \text{ см} + 10 \text{ см} + 16 \text{ см}}{2} = \frac{36 \text{ см}}{2} = 18 \text{ см}$

2. подставим значения в формулу герона:

$S_a = \sqrt{18 \cdot (18-10) \cdot (18-10) \cdot (18-16)}$

$S_a = \sqrt{18 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 2}$

$S_a = \sqrt{2304}$

$S_a = 48 \text{ см}^2$

Ответ: $48 \text{ см}^2$

б) 4 см, 13 см, 15 см

Дано:

стороны треугольника: $a = 4 \text{ см}$, $b = 13 \text{ см}$, $c = 15 \text{ см}$

Перевод в СИ:

$a = 0.04 \text{ м}$, $b = 0.13 \text{ м}$, $c = 0.15 \text{ м}$

Найти:

площадь треугольника $S_b$

Решение:

для нахождения площади треугольника по трем сторонам используем формулу герона:

$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p$ - полупериметр треугольника, $p = \frac{a+b+c}{2}$

1. найдем полупериметр $p_b$:

$p_b = \frac{4 \text{ см} + 13 \text{ см} + 15 \text{ см}}{2} = \frac{32 \text{ см}}{2} = 16 \text{ см}$

2. подставим значения в формулу герона:

$S_b = \sqrt{16 \cdot (16-4) \cdot (16-13) \cdot (16-15)}$

$S_b = \sqrt{16 \cdot 12 \cdot 3 \cdot 1}$

$S_b = \sqrt{576}$

$S_b = 24 \text{ см}^2$

Ответ: $24 \text{ см}^2$