Страница 142 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

Выведите уравнение окружности.

Дано:

Окружность определяется как геометрическое место всех точек на плоскости, равноудаленных от одной заданной фиксированной точки, называемой центром окружности. Это постоянное расстояние от центра до любой точки окружности называется радиусом.

Пусть центр окружности обозначен точкой $C$ с координатами $(a, b)$.

Пусть радиус окружности равен $R$.

Пусть $P$ — произвольная точка, лежащая на окружности, с координатами $(x, y)$.

Найти:

Уравнение окружности.

Решение:

Для вывода уравнения окружности мы используем формулу расстояния между двумя точками в декартовой системе координат. По определению окружности, расстояние от любой точки $P(x, y)$ на окружности до центра $C(a, b)$ всегда равно радиусу $R$.

Формула расстояния $d$ между двумя точками $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$ на плоскости определяется как:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Применяя эту формулу к центру $C(a, b)$ (считая его $(x_1, y_1)$) и произвольной точке $P(x, y)$ на окружности (считая ее $(x_2, y_2)$), где расстояние $d$ равно радиусу $R$, получаем:

$R = \sqrt{(x - a)^2 + (y - b)^2}$

Чтобы устранить квадратный корень и получить более удобную форму уравнения, возведем обе части этого уравнения в квадрат:

$R^2 = \left(\sqrt{(x - a)^2 + (y - b)^2}\right)^2$

Это приводит к каноническому уравнению окружности:

$(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$

Это уравнение представляет собой общее уравнение окружности с центром в точке $(a, b)$ и радиусом $R$.

Частный случай: Если центр окружности находится в начале координат, то есть $C(0, 0)$, то значения $a$ и $b$ равны нулю. В этом случае уравнение окружности упрощается до:

$(x - 0)^2 + (y - 0)^2 = R^2$

$x^2 + y^2 = R^2$

Ответ:

Уравнение окружности с центром в точке $(a, b)$ и радиусом $R$ имеет вид: $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$.

Если центр окружности находится в начале координат $(0, 0)$, уравнение окружности имеет вид: $x^2 + y^2 = R^2$.

297. Найдите координаты центра окружности и ее радиус, если известно уравнение окружности:

a) $(x+2)^2+y^2=9$

б) $x^2+(y-4)^2=8$

в) $(x-5)^2+(y+7)^2=16$

Дано

Уравнения окружностей:

а) $(x + 2)^2 + y^2 = 9$

б) $x^2 + (y - 4)^2 = 8$

в) $(x - 5)^2 + (y + 7)^2 = 16$

(Перевод данных в систему СИ не требуется, так как задача оперирует безразмерными координатами и радиусами в абстрактной декартовой системе)

Найти:

Координаты центра окружности $(h, k)$ и ее радиус $r$ для каждой из данных окружностей.

Решение

Общий вид уравнения окружности с центром в точке $(h, k)$ и радиусом $r$ имеет вид: $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$.

а)

Дано уравнение окружности: $(x + 2)^2 + y^2 = 9$.

Перепишем его в стандартном виде, чтобы явно выделить $h$, $k$ и $r^2$: $(x - (-2))^2 + (y - 0)^2 = 3^2$.

Сравнивая это уравнение с общим видом $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$, получаем:

Координаты центра: $h = -2$, $k = 0$, то есть $(-2, 0)$.

Радиус: $r^2 = 9$, следовательно $r = \sqrt{9} = 3$ (радиус всегда положителен).

Ответ: Координаты центра $(-2, 0)$, радиус $3$.

б)

Дано уравнение окружности: $x^2 + (y - 4)^2 = 8$.

Перепишем его в стандартном виде: $(x - 0)^2 + (y - 4)^2 = (\sqrt{8})^2$.

Сравнивая это уравнение с общим видом $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$, получаем:

Координаты центра: $h = 0$, $k = 4$, то есть $(0, 4)$.

Радиус: $r^2 = 8$, следовательно $r = \sqrt{8}$. Упростим $\sqrt{8}$: $\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$.

Ответ: Координаты центра $(0, 4)$, радиус $2\sqrt{2}$.

в)

Дано уравнение окружности: $(x - 5)^2 + (y + 7)^2 = 16$.

Перепишем его в стандартном виде: $(x - 5)^2 + (y - (-7))^2 = 4^2$.

Сравнивая это уравнение с общим видом $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$, получаем:

Координаты центра: $h = 5$, $k = -7$, то есть $(5, -7)$.

Радиус: $r^2 = 16$, следовательно $r = \sqrt{16} = 4$.

Ответ: Координаты центра $(5, -7)$, радиус $4$.

298. Составьте уравнение окружности с центром в точке C и радиусом R, если:

а) $C(4; 8)$, $R = 2$;

б) $C(-1; 2)$, $R = 4$;

в) $C(3; -5)$, $R = 3$.

а)

Дано

центр окружности: $C(4; 8)$

радиус окружности: $R = 2$

Найти:

уравнение окружности

Решение

Общее уравнение окружности с центром в точке $(x_0, y_0)$ и радиусом $R$ имеет вид: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$.

В данном случае $x_0 = 4$, $y_0 = 8$, $R = 2$.

Подставим эти значения в общее уравнение:

$(x - 4)^2 + (y - 8)^2 = 2^2$

$(x - 4)^2 + (y - 8)^2 = 4$

Ответ: $(x - 4)^2 + (y - 8)^2 = 4$

б)

Дано

центр окружности: $C(-1; 2)$

радиус окружности: $R = 4$

Найти:

уравнение окружности

Решение

Общее уравнение окружности с центром в точке $(x_0, y_0)$ и радиусом $R$ имеет вид: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$.

В данном случае $x_0 = -1$, $y_0 = 2$, $R = 4$.

Подставим эти значения в общее уравнение:

$(x - (-1))^2 + (y - 2)^2 = 4^2$

$(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 16$

Ответ: $(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 16$

в)

Дано

центр окружности: $C(3; -5)$

радиус окружности: $R = 3$

Найти:

уравнение окружности

Решение

Общее уравнение окружности с центром в точке $(x_0, y_0)$ и радиусом $R$ имеет вид: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$.

В данном случае $x_0 = 3$, $y_0 = -5$, $R = 3$.

Подставим эти значения в общее уравнение:

$(x - 3)^2 + (y - (-5))^2 = 3^2$

$(x - 3)^2 + (y + 5)^2 = 9$

Ответ: $(x - 3)^2 + (y + 5)^2 = 9$

299. Составьте уравнение окружности с центром в начале координат, которой принадлежит точка:

а) $(0; 10);$

б) $(\frac{11}{13}; \frac{10}{13});$

в) $(-1,5; 3,6).$

Дано:

Центр окружности находится в начале координат, то есть в точке $(0,0)$.

Найти:

Уравнение окружности, которой принадлежит заданная точка.

Решение:

Общее уравнение окружности с центром в точке $(x_0, y_0)$ и радиусом $R$ имеет вид: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$.

По условию, центр окружности находится в начале координат, что означает $x_0 = 0$ и $y_0 = 0$. Следовательно, уравнение окружности упрощается до: $x^2 + y^2 = R^2$.

Радиус $R$ - это расстояние от центра окружности до любой точки, лежащей на окружности. Если заданная точка $(x_p, y_p)$ принадлежит окружности, то квадрат радиуса $R^2$ может быть найден по формуле расстояния от начала координат до этой точки: $R^2 = x_p^2 + y_p^2$.

а) (0; 10)

Для заданной точки $P(0; 10)$ вычислим квадрат радиуса $R^2$:

$R^2 = (0)^2 + (10)^2 = 0 + 100 = 100$.

Таким образом, уравнение окружности будет: $x^2 + y^2 = 100$.

Ответ: $x^2 + y^2 = 100$

б) ($1 \frac{11}{13}; \frac{10}{13}$)

Для заданной точки $P(1 \frac{11}{13}; \frac{10}{13})$ сначала переведем смешанную дробь в неправильную:

$1 \frac{11}{13} = \frac{1 \cdot 13 + 11}{13} = \frac{13 + 11}{13} = \frac{24}{13}$.

Теперь вычислим квадрат радиуса $R^2$:

$R^2 = \left(\frac{24}{13}\right)^2 + \left(\frac{10}{13}\right)^2$

$R^2 = \frac{24^2}{13^2} + \frac{10^2}{13^2} = \frac{576}{169} + \frac{100}{169} = \frac{576 + 100}{169} = \frac{676}{169}$.

Так как $676 = 4 \cdot 169$, то $R^2 = 4$.

Таким образом, уравнение окружности будет: $x^2 + y^2 = 4$.

Ответ: $x^2 + y^2 = 4$

в) (-1.5; 3.6)

Для заданной точки $P(-1.5; 3.6)$ вычислим квадрат радиуса $R^2$:

$R^2 = (-1.5)^2 + (3.6)^2$.

$R^2 = 2.25 + 12.96 = 15.21$.

Таким образом, уравнение окружности будет: $x^2 + y^2 = 15.21$.

Ответ: $x^2 + y^2 = 15.21$

300. Какие из следующих уравнений являются уравнением окружности:

а) $x^2 + y^2 = -9$;

б) $x^2 + y^2 = 25$;

в) $(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 7$;

г) $(x - 2)^2 + y = 16$;

д) $x^2 + y^2 - 2(x + y) = 2?$

а)

Дано: $x^2 + y^2 = -9$

Найти: Является ли данное уравнение уравнением окружности?

Решение: Общий вид уравнения окружности: $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$, где $(a, b)$ – координаты центра окружности, а $R$ – ее радиус. Для того чтобы уравнение описывало окружность, квадрат радиуса $R^2$ должен быть строго положительным числом, $R^2 > 0$. В данном уравнении правая часть равна $-9$, что соответствует $R^2 = -9$. Так как квадрат радиуса не может быть отрицательным числом, это уравнение не является уравнением окружности.

Ответ: Нет, не является.

б)

Дано: $x^2 + y^2 = 25$

Найти: Является ли данное уравнение уравнением окружности?

Решение: Данное уравнение может быть переписано как $(x - 0)^2 + (y - 0)^2 = 5^2$. Оно соответствует общему виду уравнения окружности $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$, где $a = 0$, $b = 0$, и $R^2 = 25$. Поскольку $R^2 = 25 > 0$, это уравнение является уравнением окружности с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R = \sqrt{25} = 5$.

Ответ: Да, является.

в)

Дано: $(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 7$

Найти: Является ли данное уравнение уравнением окружности?

Решение: Данное уравнение имеет вид $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$, где $a = 3$, $b = -2$ (так как $(y + 2)^2 = (y - (-2))^2$), и $R^2 = 7$. Поскольку $R^2 = 7 > 0$, это уравнение является уравнением окружности с центром в точке $(3, -2)$ и радиусом $R = \sqrt{7}$.

Ответ: Да, является.

г)

Дано: $(x - 2)^2 + y = 16$

Найти: Является ли данное уравнение уравнением окружности?

Решение: Общий вид уравнения окружности требует, чтобы переменные $x$ и $y$ были возведены во вторую степень: $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$. В данном уравнении переменная $y$ находится в первой степени, а не во второй. Это уравнение описывает параболу, а не окружность.

Ответ: Нет, не является.

д)

Дано: $x^2 + y^2 - 2(x + y) = 2$

Найти: Является ли данное уравнение уравнением окружности?

Решение: Преобразуем данное уравнение, раскрыв скобки и сгруппировав члены с $x$ и $y$ для выделения полных квадратов:$x^2 + y^2 - 2x - 2y = 2$$(x^2 - 2x) + (y^2 - 2y) = 2$Дополним до полных квадратов, добавив 1 к членам с $x$ и 1 к членам с $y$. Чтобы уравнение оставалось верным, мы должны добавить эти же значения к правой части:$(x^2 - 2x + 1) + (y^2 - 2y + 1) = 2 + 1 + 1$$(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 4$Это уравнение имеет вид $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$, где $a = 1$, $b = 1$, и $R^2 = 4$. Поскольку $R^2 = 4 > 0$, это уравнение является уравнением окружности с центром в точке $(1, 1)$ и радиусом $R = \sqrt{4} = 2$.

Ответ: Да, является.