Страница 138 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

1. Что называется уравнением линии на плоскости?

2. Выведите уравнение прямой.

1. Что называется уравнением линии на плоскости?

Уравнением линии (или кривой) на плоскости называется уравнение с двумя переменными $x$ и $y$, которому удовлетворяют координаты $x$ и $y$ каждой точки, лежащей на этой линии, и не удовлетворяют координаты ни одной точки, не лежащей на этой линии. Иными словами, это алгебраическая связь между координатами $x$ и $y$ всех точек, составляющих данную линию.

Ответ:

2. Выведите уравнение прямой.

Решение

Выведем уравнение прямой, используя подход с заданной точкой и угловым коэффициентом. Пусть на плоскости задана прямоугольная декартова система координат $Oxy$.

Рассмотрим прямую $L$, которая проходит через фиксированную точку $M_0(x_0, y_0)$ и имеет заданный угловой коэффициент $k$. Угловой коэффициент $k$ равен тангенсу угла $\alpha$, который прямая образует с положительным направлением оси $Ox$, т.е. $k = \tan\alpha$.

Возьмем произвольную точку $M(x, y)$, лежащую на прямой $L$. Если прямая не является вертикальной (т.е. $x \ne x_0$, и $k$ является конечным числом), то угловой коэффициент $k$ для любых двух точек $M_0(x_0, y_0)$ и $M(x, y)$ на этой прямой может быть выражен как отношение изменения координаты $y$ к изменению координаты $x$:

$\qquad k = \frac{y - y_0}{x - x_0}$

Умножим обе части этого уравнения на $(x - x_0)$ (при условии $x \ne x_0$):

$\qquad y - y_0 = k(x - x_0)$

Это уравнение называется уравнением прямой, проходящей через заданную точку с заданным угловым коэффициентом (или точечно-угловым уравнением прямой).

Если раскрыть скобки и перегруппировать члены, получим:

$\qquad y = kx - kx_0 + y_0$

Обозначим $b = y_0 - kx_0$. Тогда уравнение принимает вид:

$\qquad y = kx + b$

Это уравнение называется уравнением прямой с угловым коэффициентом или уравнением прямой в форме с отрезком, отсекаемым на оси $Oy$. Здесь $b$ - это ордината точки пересечения прямой с осью $Oy$.

Также возможно вывести общее уравнение прямой. Перенесем все члены уравнения $y - y_0 = k(x - x_0)$ в одну сторону:

$\qquad kx - y - kx_0 + y_0 = 0$

Обозначим $A = k$, $B = -1$, $C = y_0 - kx_0$. Тогда уравнение принимает вид:

$\qquad Ax + By + C = 0$

Это общее уравнение прямой, где $A$, $B$, $C$ — некоторые постоянные, причем $A$ и $B$ не равны нулю одновременно.

Отдельный случай: Если прямая вертикальна (параллельна оси $Oy$), ее угловой коэффициент $k$ не определен, так как $x - x_0 = 0$. В этом случае все точки на прямой имеют одинаковую абсциссу, равную $x_0$. Уравнение такой прямой имеет вид $x = x_0$. В общем уравнении $Ax + By + C = 0$, это соответствует случаю $B = 0$ и $A \ne 0$.

Ответ:

286. a) Укажите три точки с целочисленными координатами, принадлежащие прямой $3x + 2y - 5 = 0$.

б) Запишите уравнение линии, симметричной параболе $y = (x - 2)^2$ относительно: 1) оси $Ox$; 2) оси $Oy$.

a) Укажите три точки с целочисленными координатами, принадлежащие прямой $3x + 2y - 5 = 0$.

Дано:

Уравнение прямой: $3x + 2y - 5 = 0$.

Найти:

Три точки с целочисленными координатами $(x, y)$, принадлежащие данной прямой.

Решение:

Выразим $y$ из уравнения прямой: $2y = 5 - 3x$, откуда $y = \frac{5 - 3x}{2}$.

Чтобы значение $y$ было целым числом, выражение $5 - 3x$ должно быть четным. Это возможно, если $x$ является нечетным числом.

Подберем три нечетных значения для $x$ и найдем соответствующие целочисленные значения $y$:

1. Если $x = 1$: $y = \frac{5 - 3 \cdot 1}{2} = \frac{2}{2} = 1$. Получаем точку $(1, 1)$.

2. Если $x = 3$: $y = \frac{5 - 3 \cdot 3}{2} = \frac{5 - 9}{2} = \frac{-4}{2} = -2$. Получаем точку $(3, -2)$.

3. Если $x = -1$: $y = \frac{5 - 3 \cdot (-1)}{2} = \frac{5 + 3}{2} = \frac{8}{2} = 4$. Получаем точку $(-1, 4)$.

Ответ: Например, $(1, 1)$, $(3, -2)$, $(-1, 4)$.

б) Запишите уравнение линии, симметричной параболе $y = (x - 2)^2$ относительно:

Дано:

Уравнение параболы: $y = (x - 2)^2$.

Найти:

Уравнения линий, симметричных данной параболе относительно оси $Ox$ и оси $Oy$.

Решение:

1) оси $Ox$

Для нахождения уравнения линии, симметричной данной относительно оси $Ox$ (оси абсцисс), необходимо заменить $y$ на $-y$ в исходном уравнении параболы.

Исходное уравнение: $y = (x - 2)^2$.

Заменяем $y$ на $-y$: $-y = (x - 2)^2$.

Умножим обе части уравнения на $-1$ для выражения $y$:

$y = -(x - 2)^2$.

Ответ: $y = -(x - 2)^2$.

2) оси $Oy$

Для нахождения уравнения линии, симметричной данной относительно оси $Oy$ (оси ординат), необходимо заменить $x$ на $-x$ в исходном уравнении параболы.

Исходное уравнение: $y = (x - 2)^2$.

Заменяем $x$ на $-x$: $y = (-x - 2)^2$.

Заметим, что $(-x - 2)^2 = (-(x + 2))^2 = (x + 2)^2$.

Таким образом, уравнение симметричной параболы:

$y = (x + 2)^2$.

Ответ: $y = (x + 2)^2$.

287. Докажите, что если точка $M(m; n)$ принадлежит прямой $x+y-9=0$, то и точка $N(n; m)$ принадлежит ей.

Дано:

Уравнение прямой: $x + y - 9 = 0$.

Точка $M(m; n)$ принадлежит данной прямой.

Найти:

Доказать, что точка $N(n; m)$ также принадлежит данной прямой.

Решение:

По условию задачи, точка $M(m; n)$ принадлежит прямой, заданной уравнением $x + y - 9 = 0$.

Это означает, что координаты точки $M$ удовлетворяют уравнению прямой. Подставим $m$ вместо $x$ и $n$ вместо $y$ в уравнение прямой:

$m + n - 9 = 0$

Это равенство является истинным, так как точка $M$ лежит на прямой.

Теперь рассмотрим точку $N(n; m)$. Чтобы доказать, что она принадлежит той же прямой, необходимо показать, что ее координаты также удовлетворяют уравнению прямой $x + y - 9 = 0$. Подставим $n$ вместо $x$ и $m$ вместо $y$ в уравнение прямой:

$n + m - 9 = 0$

Мы знаем, что для любых чисел $m$ и $n$ свойство коммутативности сложения выполняется, то есть $m + n = n + m$.

Следовательно, выражение $n + m - 9$ абсолютно эквивалентно выражению $m + n - 9$.

Поскольку мы уже установили, что $m + n - 9 = 0$ является истинным утверждением (так как точка $M$ принадлежит прямой), то и $n + m - 9 = 0$ также является истинным утверждением.

Это означает, что координаты точки $N(n; m)$ удовлетворяют уравнению прямой $x + y - 9 = 0$.

Ответ:

Доказано, что если точка $M(m; n)$ принадлежит прямой $x + y - 9 = 0$, то и точка $N(n; m)$ принадлежит ей.

288. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку $A(1; -2)$, если она:

а) параллельна оси абсцисс;

б) перпендикулярна оси абсцисс.

Дано

Координаты точки $A$: $A(x_A; y_A)$, где $x_A = 1$ и $y_A = -2$.

Перевод в СИ: перевод не требуется, так как даны координаты.

Найти:

Уравнение прямой, проходящей через точку $A(1; -2)$, если она:

а) параллельна оси абсцисс;

б) перпендикулярна оси абсцисс.

Решение

а) параллельна оси абсцисс

Ось абсцисс – это ось $Ox$. Уравнение прямой, параллельной оси $Ox$, имеет вид $y = c$, где $c$ – постоянная величина, равная ординате всех точек на этой прямой. Так как прямая проходит через точку $A(1; -2)$, то ордината этой точки $y_A = -2$ должна быть равна $c$.

Таким образом, $c = -2$.

Уравнение прямой будет $y = -2$.

Ответ: $y = -2$

б) перпендикулярна оси абсцисс

Прямая, перпендикулярная оси абсцисс ($Ox$), является вертикальной прямой, параллельной оси ординат ($Oy$). Уравнение такой прямой имеет вид $x = k$, где $k$ – постоянная величина, равная абсциссе всех точек на этой прямой. Так как прямая проходит через точку $A(1; -2)$, то абсцисса этой точки $x_A = 1$ должна быть равна $k$.

Таким образом, $k = 1$.

Уравнение прямой будет $x = 1$.

Ответ: $x = 1$

289. Докажите, что прямые $2x - 3y - 6 = 0$ и $4x - 6y - 25 = 0$ параллельны.

Дано:

Уравнения прямых:

$L_1: 2x - 3y - 6 = 0$

$L_2: 4x - 6y - 25 = 0$

Найти:

Доказать, что прямые $L_1$ и $L_2$ параллельны.

Решение:

Две прямые, заданные в общем виде уравнениями $A_1x + B_1y + C_1 = 0$ и $A_2x + B_2y + C_2 = 0$, параллельны, если выполняется условие $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2}$. Если все три отношения равны, то прямые совпадают.

Для первой прямой $L_1: 2x - 3y - 6 = 0$ имеем коэффициенты:

$A_1 = 2$

$B_1 = -3$

$C_1 = -6$

Для второй прямой $L_2: 4x - 6y - 25 = 0$ имеем коэффициенты:

$A_2 = 4$

$B_2 = -6$

$C_2 = -25$

Вычислим отношения соответствующих коэффициентов:

Отношение коэффициентов при $x$:

$\frac{A_1}{A_2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Отношение коэффициентов при $y$:

$\frac{B_1}{B_2} = \frac{-3}{-6} = \frac{1}{2}$

Отношение свободных членов:

$\frac{C_1}{C_2} = \frac{-6}{-25} = \frac{6}{25}$

Сравнивая полученные отношения, мы видим, что:

$\frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

и

$\frac{1}{2} \neq \frac{6}{25}$ (поскольку $1 \cdot 25 = 25$ и $2 \cdot 6 = 12$, $25 \neq 12$).

Таким образом, условие параллельности прямых $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2}$ выполнено:

$\frac{2}{4} = \frac{-3}{-6} \neq \frac{-6}{-25}$

или

$\frac{1}{2} = \frac{1}{2} \neq \frac{6}{25}$

Это доказывает, что прямые $L_1$ и $L_2$ параллельны и не совпадают.

Ответ:

Прямые $2x - 3y - 6 = 0$ и $4x - 6y - 25 = 0$ параллельны.