Страница 134 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

277. Точка B лежит на биссектрисе угла III координатной четверти и удалена от начала координат на расстояние, равное $4\sqrt{2}$. Найдите координаты этой точки.

Дано:

Точка B лежит на биссектрисе угла III координатной четверти.

Расстояние от начала координат $O(0,0)$ до точки B: $d = 4\sqrt{2}$.

Перевод в СИ:

Не требуется, так как это задача по координатной геометрии.

Найти:

Координаты точки B.

Решение:

1. Если точка B лежит на биссектрисе угла III координатной четверти, это означает, что её координаты равны по абсолютному значению и обе отрицательны. То есть, если координаты точки B обозначить как $(x_B, y_B)$, то $x_B = y_B = k$, где $k < 0$.

2. Расстояние $d$ от начала координат $O(0,0)$ до точки $B(x_B, y_B)$ вычисляется по формуле:$d = \sqrt{(x_B - 0)^2 + (y_B - 0)^2}$$d = \sqrt{x_B^2 + y_B^2}$

3. Подставим известные значения в формулу: $d = 4\sqrt{2}$ и $x_B = y_B = k$.$4\sqrt{2} = \sqrt{k^2 + k^2}$$4\sqrt{2} = \sqrt{2k^2}$

4. Упростим выражение:$4\sqrt{2} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{k^2}$$4\sqrt{2} = \sqrt{2} \cdot |k|$

5. Разделим обе части уравнения на $\sqrt{2}$:$4 = |k|$

6. Так как точка B находится в III координатной четверти, обе её координаты должны быть отрицательными. Следовательно, $k < 0$. Из условия $|k|=4$ и $k<0$, получаем $k=-4$.

7. Таким образом, координаты точки B: $B(k, k) = B(-4, -4)$.

Ответ:

$B(-4, -4)$

278. a) Найдите координаты середины отрезка $AB$, если $A(4; -3)$, $B(-2; 1)$.

б) В некоторой системе координат оказались стертыми координатные оси и остались отмеченными лишь точки $A(5; 2)$ и $B(-5; 2)$. Восстановите эту систему координат.

a) Найдите координаты середины отрезка AB, если A(4; -3), B(-2; 1).

Дано: точки $A(4; -3)$ и $B(-2; 1)$.

Найти: координаты середины отрезка $AB$.

Решение

Для нахождения координат середины отрезка $AB$, обозначим ее как $M(x_M; y_M)$, используются следующие формулы:

$x_M = \frac{x_A + x_B}{2}$

$y_M = \frac{y_A + y_B}{2}$

Подставим значения координат точек $A(4; -3)$ и $B(-2; 1)$ в эти формулы:

$x_M = \frac{4 + (-2)}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$y_M = \frac{-3 + 1}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Ответ: Координаты середины отрезка $AB$ равны $(1; -1)$.

б) В некоторой системе координат оказались стертыми координатные оси и остались отмеченными лишь точки A(5; 2) и B(-5; 2). Восстановите эту систему координат.

Дано: точки $A(5; 2)$ и $B(-5; 2)$.

Найти: восстановить систему координат.

Решение

1. Заметим, что y-координаты обеих данных точек $A(5; 2)$ и $B(-5; 2)$ одинаковы ($y_A = y_B = 2$). Это означает, что отрезок $AB$ является горизонтальным и лежит на прямой, параллельной оси x, проходящей через $y=2$.

2. Поскольку ось абсцисс (x-ось) - это прямая, где $y=0$, она должна быть параллельна отрезку $AB$ и проходить на 2 единицы ниже прямой $y=2$. Таким образом, положение x-оси восстановлено: это прямая $y=0$.

3. Найдем координаты середины отрезка $AB$. Обозначим ее как $M(x_M; y_M)$.

$x_M = \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{5 + (-5)}{2} = \frac{0}{2} = 0$

$y_M = \frac{y_A + y_B}{2} = \frac{2 + 2}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Таким образом, середина отрезка $AB$ имеет координаты $M(0; 2)$.

4. Поскольку x-координата середины отрезка $M$ равна $0$, это означает, что ось ординат (y-ось), где $x=0$, проходит через эту точку $M(0; 2)$. Таким образом, положение y-оси восстановлено: это прямая $x=0$.

5. Точка пересечения восстановленных осей ($x=0$ и $y=0$) является началом координат $(0; 0)$.

6. Единичный отрезок для каждой оси определяется расстояниями от восстановленных осей до данных точек. Например, для точки $A(5; 2)$, расстояние по оси x от начала координат до точки $A$ равно 5 единиц, а по оси y - 2 единицы. Это устанавливает масштаб для осей.

Ответ: Система координат восстанавливается следующим образом: x-ось является прямой $y=0$, y-ось является прямой $x=0$. Начало координат находится в их пересечении, точке $(0;0)$. Единичный отрезок на осях определяется исходя из координат данных точек.

279. Дан отрезок $AB$ и его середина $C$. Найдите координаты:

a) точки $B$, если $A(1.5; 7)$, $C(2; 3.5)$;

б) точки $A$, если $B(-1\frac{2}{3}; 4.5)$, $C(-3; -2\frac{1}{3})$.

Для отрезка $AB$ и его середины $C$ координаты связаны формулами:

$x_C = \frac{x_A + x_B}{2}$

$y_C = \frac{y_A + y_B}{2}$

Из этих формул можно выразить координаты одного из концов отрезка, если известны координаты другого конца и середины:

$x_A = 2x_C - x_B$

$y_A = 2y_C - y_B$

$x_B = 2x_C - x_A$

$y_B = 2y_C - y_A$

a) точки B, если A(1,5; 7), C(2; 3,5);

Дано:

Координаты точки $A: A(1.5; 7)$

Координаты середины отрезка $AB$: $C(2; 3.5)$

Перевод в СИ:

Координаты являются безразмерными величинами в данном контексте, поэтому перевод в систему СИ не требуется.

$x_A = 1.5$

$y_A = 7$

$x_C = 2$

$y_C = 3.5$

Найти:

Координаты точки $B(x_B; y_B)$.

Решение:

Используем формулы для нахождения координат точки $B$:

$x_B = 2x_C - x_A$

$y_B = 2y_C - y_A$

Подставляем известные значения:

$x_B = 2 \cdot 2 - 1.5 = 4 - 1.5 = 2.5$

$y_B = 2 \cdot 3.5 - 7 = 7 - 7 = 0$

Ответ: Координаты точки $B(2.5; 0)$.

b) точки A, если B(-1 2/3; 4,5), C(-3; -2 1/3).

Дано:

Координаты точки $B: B(-1 \frac{2}{3}; 4.5)$

Координаты середины отрезка $AB$: $C(-3; -2 \frac{1}{3})$

Перевод в СИ:

Координаты являются безразмерными величинами в данном контексте, поэтому перевод в систему СИ не требуется.

$x_B = -1 \frac{2}{3} = -\frac{3 \cdot 1 + 2}{3} = -\frac{5}{3}$

$y_B = 4.5 = \frac{45}{10} = \frac{9}{2}$

$x_C = -3$

$y_C = -2 \frac{1}{3} = -\frac{3 \cdot 2 + 1}{3} = -\frac{7}{3}$

Найти:

Координаты точки $A(x_A; y_A)$.

Решение:

Используем формулы для нахождения координат точки $A$:

$x_A = 2x_C - x_B$

$y_A = 2y_C - y_B$

Подставляем известные значения:

$x_A = 2 \cdot (-3) - (-\frac{5}{3}) = -6 + \frac{5}{3} = -\frac{18}{3} + \frac{5}{3} = -\frac{13}{3}$

$y_A = 2 \cdot (-\frac{7}{3}) - \frac{9}{2} = -\frac{14}{3} - \frac{9}{2}$

Приводим дроби к общему знаменателю (6):

$y_A = -\frac{14 \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{9 \cdot 3}{2 \cdot 3} = -\frac{28}{6} - \frac{27}{6} = -\frac{28 + 27}{6} = -\frac{55}{6}$

Ответ: Координаты точки $A(-\frac{13}{3}; -\frac{55}{6})$.

280. Дан треугольник с вершинами $A(-5; -2)$, $B(-1; 4)$, $C(5; -4)$.

Найдите длины медиан этого треугольника.

Дано:

Вершины треугольника: $A(-5; -2)$, $B(-1; 4)$, $C(5; -4)$.

Найти:

Длины медиан этого треугольника ($m_a, m_b, m_c$).

Решение:

Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Для нахождения длин медиан, нам необходимо вычислить координаты середин сторон, а затем найти расстояние между соответствующей вершиной и этой серединой.

Формула для нахождения координат середины отрезка с концами $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$: $M\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)$.

Формула для нахождения расстояния между двумя точками $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$: $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$.

1. Длина медианы $m_a$ (из вершины A к стороне BC):

Найдем координаты середины $D$ стороны $BC$:

$x_D = \frac{x_B+x_C}{2} = \frac{-1+5}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$y_D = \frac{y_B+y_C}{2} = \frac{4+(-4)}{2} = \frac{0}{2} = 0$

Таким образом, $D(2; 0)$.

Теперь найдем длину медианы $AD$ ($m_a$):

$m_a = AD = \sqrt{(x_D-x_A)^2 + (y_D-y_A)^2}$

$m_a = \sqrt{(2-(-5))^2 + (0-(-2))^2}$

$m_a = \sqrt{(2+5)^2 + (0+2)^2}$

$m_a = \sqrt{7^2 + 2^2}$

$m_a = \sqrt{49 + 4}$

$m_a = \sqrt{53}$

2. Длина медианы $m_b$ (из вершины B к стороне AC):

Найдем координаты середины $E$ стороны $AC$:

$x_E = \frac{x_A+x_C}{2} = \frac{-5+5}{2} = \frac{0}{2} = 0$

$y_E = \frac{y_A+y_C}{2} = \frac{-2+(-4)}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

Таким образом, $E(0; -3)$.

Теперь найдем длину медианы $BE$ ($m_b$):

$m_b = BE = \sqrt{(x_E-x_B)^2 + (y_E-y_B)^2}$

$m_b = \sqrt{(0-(-1))^2 + (-3-4)^2}$

$m_b = \sqrt{(0+1)^2 + (-7)^2}$

$m_b = \sqrt{1^2 + 49}$

$m_b = \sqrt{1 + 49}$

$m_b = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$

3. Длина медианы $m_c$ (из вершины C к стороне AB):

Найдем координаты середины $F$ стороны $AB$:

$x_F = \frac{x_A+x_B}{2} = \frac{-5+(-1)}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

$y_F = \frac{y_A+y_B}{2} = \frac{-2+4}{2} = \frac{2}{2} = 1$

Таким образом, $F(-3; 1)$.

Теперь найдем длину медианы $CF$ ($m_c$):

$m_c = CF = \sqrt{(x_F-x_C)^2 + (y_F-y_C)^2}$

$m_c = \sqrt{(-3-5)^2 + (1-(-4))^2}$

$m_c = \sqrt{(-8)^2 + (1+4)^2}$

$m_c = \sqrt{(-8)^2 + 5^2}$

$m_c = \sqrt{64 + 25}$

$m_c = \sqrt{89}$

Ответ:

Длины медиан треугольника: $m_a = \sqrt{53}$, $m_b = 5\sqrt{2}$, $m_c = \sqrt{89}$.

281. Докажите, что четырехугольник, координаты вершин которого равны $(-1; -2)$, $(2; -5)$, $(1; -2)$, $(-2; 1)$, является параллелограммом и найдите координаты точки пересечения его диагоналей.

Дано:

Координаты вершин четырехугольника:

$A(-1, -2)$

$B(2, -5)$

$C(1, -2)$

$D(-2, 1)$

Перевод в СИ:

Координаты являются безразмерными величинами и не требуют перевода в систему СИ.

Найти:

1. Доказать, что четырехугольник ABCD является параллелограммом.

2. Найти координаты точки пересечения его диагоналей.

Решение

Доказательство, что четырехугольник является параллелограммом

Чтобы доказать, что четырехугольник является параллелограммом, достаточно показать, что его диагонали делятся точкой пересечения пополам. То есть, середина одной диагонали совпадает с серединой другой диагонали.

Пусть вершины четырехугольника имеют координаты: $A(-1, -2)$, $B(2, -5)$, $C(1, -2)$, $D(-2, 1)$.

Найдем координаты середины $M_{AC}$ диагонали $AC$. Формула для середины отрезка с концами $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$ есть $(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2})$.

Координаты середины $M_{AC}$ диагонали $AC$:

$M_{AC} = \left(\frac{-1+1}{2}, \frac{-2+(-2)}{2}\right)$

$M_{AC} = \left(\frac{0}{2}, \frac{-4}{2}\right)$

$M_{AC} = (0, -2)$

Найдем координаты середины $M_{BD}$ диагонали $BD$:

$M_{BD} = \left(\frac{2+(-2)}{2}, \frac{-5+1}{2}\right)$

$M_{BD} = \left(\frac{0}{2}, \frac{-4}{2}\right)$

$M_{BD} = (0, -2)$

Так как координаты середин обеих диагоналей совпадают ($M_{AC} = M_{BD} = (0, -2)$), это означает, что диагонали $AC$ и $BD$ делятся точкой пересечения пополам. Следовательно, четырехугольник $ABCD$ является параллелограммом.

Ответ: Четырехугольник ABCD является параллелограммом, так как его диагонали делятся пополам точкой пересечения.

Нахождение координат точки пересечения диагоналей

Точкой пересечения диагоналей параллелограмма является их общая середина.

Из предыдущего пункта мы нашли, что координаты середины диагоналей $AC$ и $BD$ равны $(0, -2)$.

Таким образом, точка пересечения диагоналей $P$ имеет координаты $(0, -2)$.

Ответ: Координаты точки пересечения диагоналей равны $(0, -2)$.

282. Докажите, что:

а) точки $A(3; -6)$, $B(-2; 4)$ и $C(1; -2)$ лежат на одной прямой;

б) точки $A(4; 1)$, $B(3; 5)$, $C(-1; 4)$, $O(0; 0)$ являются вершинами квадрата.

а) точки $A(3; -6)$, $B(-2; 4)$ и $C(1; -2)$ лежат на одной прямой

Дано:

Точки $A(3; -6)$, $B(-2; 4)$, $C(1; -2)$.

Найти:

Доказать, что точки $A, B, C$ лежат на одной прямой.

Решение:

Для того чтобы доказать, что три точки лежат на одной прямой, можно найти уравнение прямой, проходящей через две из этих точек, и затем проверить, лежит ли третья точка на этой прямой.

Найдем уравнение прямой, проходящей через точки $A(3; -6)$ и $B(-2; 4)$.

Сначала вычислим угловой коэффициент ($m$) этой прямой по формуле $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$:

$m_{AB} = \frac{4 - (-6)}{-2 - 3} = \frac{4 + 6}{-5} = \frac{10}{-5} = -2$

Теперь используем уравнение прямой в виде $y - y_1 = m(x - x_1)$ с точкой $A(3; -6)$ и угловым коэффициентом $m = -2$:

$y - (-6) = -2(x - 3)$

$y + 6 = -2x + 6$

$y = -2x$

Получили уравнение прямой, проходящей через точки $A$ и $B$. Теперь подставим координаты точки $C(1; -2)$ в это уравнение, чтобы проверить, лежит ли она на данной прямой:

$-2 = -2(1)$

$-2 = -2$

Поскольку подстановка координат точки $C$ удовлетворяет уравнению прямой, это означает, что точка $C$ лежит на той же прямой, что и точки $A$ и $B$. Следовательно, все три точки $A, B, C$ лежат на одной прямой.

Ответ:

б) точки $A(4; 1)$, $B(3; 5)$, $C(-1; 4)$, $O(0; 0)$ являются вершинами квадрата

Дано:

Точки $A(4; 1)$, $B(3; 5)$, $C(-1; 4)$, $O(0; 0)$.

Найти:

Доказать, что точки $A, B, C, O$ являются вершинами квадрата.

Решение:

Для того чтобы четырехугольник был квадратом, необходимо, чтобы все его стороны были равны и его диагонали также были равны.

Рассмотрим четырехугольник, образованный данными точками, например, $OABC$. Вычислим длины всех его сторон и диагоналей, используя формулу расстояния между двумя точками $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.

Длины сторон:

$OA = \sqrt{(4 - 0)^2 + (1 - 0)^2} = \sqrt{4^2 + 1^2} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17}$

$AB = \sqrt{(3 - 4)^2 + (5 - 1)^2} = \sqrt{(-1)^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 16} = \sqrt{17}$

$BC = \sqrt{(-1 - 3)^2 + (4 - 5)^2} = \sqrt{(-4)^2 + (-1)^2} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17}$

$CO = \sqrt{(0 - (-1))^2 + (0 - 4)^2} = \sqrt{1^2 + (-4)^2} = \sqrt{1 + 16} = \sqrt{17}$

Все четыре стороны $OA, AB, BC, CO$ имеют одинаковую длину, равную $\sqrt{17}$. Это означает, что четырехугольник $OABC$ является ромбом.

Длины диагоналей:

Диагональ $OB$ (соединяет $O(0;0)$ и $B(3;5)$):

$OB = \sqrt{(3 - 0)^2 + (5 - 0)^2} = \sqrt{3^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34}$

Диагональ $AC$ (соединяет $A(4;1)$ и $C(-1;4)$):

$AC = \sqrt{(-1 - 4)^2 + (4 - 1)^2} = \sqrt{(-5)^2 + 3^2} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34}$

Длины диагоналей $OB$ и $AC$ равны ($\sqrt{34}$).

Так как все стороны четырехугольника $OABC$ равны и его диагонали также равны, данный четырехугольник является квадратом.

Ответ:

283. Найдите:

a) на оси $Ox$ точку, равноудаленную от точек $A(3; 7)$ и $B(-5; 9)$;

б) координаты точки, равноудаленной от осей координат и находящейся от точки $(10; 0)$ на расстоянии, равном $5\sqrt{2}$.

a) на оси Ox точку, равноудаленную от точек A(3; 7) и B(-5; 9)

Дано:
Точки $A(3; 7)$ и $B(-5; 9)$.
Искомая точка $P$ лежит на оси $Ox$.

Найти:
Координаты точки $P(x; y)$.

Решение:
Так как искомая точка $P$ лежит на оси $Ox$, ее координата $y$ равна $0$. Пусть координаты точки $P$ будут $(x; 0)$.
Расстояние между двумя точками с координатами $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$ вычисляется по формуле $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$.
По условию, точка $P$ равноудалена от точек $A$ и $B$, то есть $PA = PB$.
Из равенства расстояний следует равенство квадратов расстояний: $PA^2 = PB^2$.
Вычислим $PA^2$:
$PA^2 = (x-3)^2 + (0-7)^2 = (x-3)^2 + (-7)^2 = (x-3)^2 + 49$
Вычислим $PB^2$:
$PB^2 = (x-(-5))^2 + (0-9)^2 = (x+5)^2 + (-9)^2 = (x+5)^2 + 81$
Приравняем полученные выражения для $PA^2$ и $PB^2$:
$(x-3)^2 + 49 = (x+5)^2 + 81$
Раскроем скобки в обеих частях уравнения:
$x^2 - 6x + 9 + 49 = x^2 + 10x + 25 + 81$
$x^2 - 6x + 58 = x^2 + 10x + 106$
Вычтем $x^2$ из обеих частей уравнения:
$-6x + 58 = 10x + 106$
Перенесем слагаемые с $x$ в правую часть, а константы в левую:
$58 - 106 = 10x + 6x$
$-48 = 16x$
Найдем значение $x$:
$x = \frac{-48}{16}$
$x = -3$
Таким образом, координаты искомой точки $P$ равны $(-3; 0)$.

Ответ:
$P(-3; 0)$

б) координаты точки, равноудаленной от осей координат и находящейся от точки (10; 0) на расстоянии, равном $5\sqrt{2}$

Дано:
Искомая точка $Q$ равноудалена от осей координат.
Точка $C(10; 0)$.
Расстояние от точки $Q$ до точки $C$ равно $QC = 5\sqrt{2}$.

Найти:
Координаты точки $Q(x; y)$.

Решение:
Если точка $Q(x; y)$ равноудалена от осей координат, это означает, что ее абсолютные значения координат равны, то есть $|x| = |y|$. Из этого следует, что $y = x$ или $y = -x$.
Рассмотрим каждый случай отдельно.

Случай 1: $y = x$
В этом случае точка $Q$ имеет координаты $(x; x)$.
Расстояние $QC = \sqrt{(x-10)^2 + (x-0)^2}$.
По условию, $QC = 5\sqrt{2}$. Составим уравнение:
$\sqrt{(x-10)^2 + x^2} = 5\sqrt{2}$
Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:
$(x-10)^2 + x^2 = (5\sqrt{2})^2$
$x^2 - 20x + 100 + x^2 = 25 \cdot 2$
$2x^2 - 20x + 100 = 50$
Перенесем $50$ в левую часть уравнения:
$2x^2 - 20x + 100 - 50 = 0$
$2x^2 - 20x + 50 = 0$
Разделим все члены уравнения на $2$:
$x^2 - 10x + 25 = 0$
Это квадратное уравнение является полным квадратом, который можно записать как $(x-5)^2 = 0$.
Из этого следует, что $x-5 = 0$, то есть $x = 5$.
Так как в этом случае $y = x$, то $y = 5$.
Таким образом, первая возможная точка $Q_1$ имеет координаты $(5; 5)$.

Случай 2: $y = -x$
В этом случае точка $Q$ имеет координаты $(x; -x)$.
Расстояние $QC = \sqrt{(x-10)^2 + (-x-0)^2}$.
По условию, $QC = 5\sqrt{2}$. Составим уравнение:
$\sqrt{(x-10)^2 + (-x)^2} = 5\sqrt{2}$
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(x-10)^2 + (-x)^2 = (5\sqrt{2})^2$
$x^2 - 20x + 100 + x^2 = 25 \cdot 2$
$2x^2 - 20x + 100 = 50$
Перенесем $50$ в левую часть уравнения:
$2x^2 - 20x + 100 - 50 = 0$
$2x^2 - 20x + 50 = 0$
Разделим все члены уравнения на $2$:
$x^2 - 10x + 25 = 0$
Это также является полным квадратом, который можно записать как $(x-5)^2 = 0$.
Из этого следует, что $x-5 = 0$, то есть $x = 5$.
Так как в этом случае $y = -x$, то $y = -5$.
Таким образом, вторая возможная точка $Q_2$ имеет координаты $(5; -5)$.

Ответ:
$(5; 5)$ и $(5; -5)$

284. Докажите, что треугольник с вершинами $A(-4; -1)$, $B(2; -9)$, $C(7; 1)$ – равнобедренный и найдите длину его биссектрисы, проведенной к основанию.

Дано:

Вершины треугольника: $A(-4; -1)$, $B(2; -9)$, $C(7; 1)$.

Найти:

1. Доказать, что треугольник $ABC$ равнобедренный. 2. Найти длину биссектрисы, проведенной к основанию.

Решение

Доказательство того, что треугольник равнобедренный

Для доказательства того, что треугольник $ABC$ является равнобедренным, необходимо вычислить длины всех его сторон, используя формулу расстояния между двумя точками $P_1(x_1, y_1)$ и $P_2(x_2, y_2)$: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.

Вычислим длину стороны $AB$: $AB = \sqrt{(2 - (-4))^2 + (-9 - (-1))^2} = \sqrt{(2 + 4)^2 + (-9 + 1)^2} = \sqrt{6^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$.

Вычислим длину стороны $BC$: $BC = \sqrt{(7 - 2)^2 + (1 - (-9))^2} = \sqrt{5^2 + (1 + 9)^2} = \sqrt{5^2 + 10^2} = \sqrt{25 + 100} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5}$.

Вычислим длину стороны $AC$: $AC = \sqrt{(7 - (-4))^2 + (1 - (-1))^2} = \sqrt{(7 + 4)^2 + (1 + 1)^2} = \sqrt{11^2 + 2^2} = \sqrt{121 + 4} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5}$.

Так как $BC = AC = 5\sqrt{5}$, то треугольник $ABC$ является равнобедренным. Основанием равнобедренного треугольника является сторона $AB$. Биссектриса будет проведена из вершины $C$ к основанию $AB$.

Ответ: Треугольник $ABC$ равнобедренный, так как $BC = AC$.

Нахождение длины биссектрисы, проведенной к основанию

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, также является медианой и высотой. Найдем координаты середины основания $AB$, обозначим ее как $M$. Координаты середины отрезка $P_1(x_1, y_1)$ и $P_2(x_2, y_2)$ вычисляются по формуле: $M\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$.

Для отрезка $AB$ с точками $A(-4; -1)$ и $B(2; -9)$: $M_x = \frac{-4 + 2}{2} = \frac{-2}{2} = -1$. $M_y = \frac{-1 + (-9)}{2} = \frac{-10}{2} = -5$. Таким образом, координаты точки $M$ - $(-1; -5)$.

Теперь вычислим длину биссектрисы $CM$, используя формулу расстояния между точками $C(7; 1)$ и $M(-1; -5)$: $CM = \sqrt{(-1 - 7)^2 + (-5 - 1)^2} = \sqrt{(-8)^2 + (-6)^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$.

Ответ: Длина биссектрисы, проведенной к основанию, равна $10$.

Ответ

Треугольник $ABC$ равнобедренный, так как длины его сторон $AC = BC = 5\sqrt{5}$, а длина основания $AB = 10$. Длина биссектрисы, проведенной к основанию $AB$ из вершины $C$, равна $10$.

285. Квадрат $ABCD$ лежит в I координатной четверти и имеет координаты вершин $A(1; 1)$, $B(1; 5)$, $D(5; 1)$. Точка $M$ – середина стороны $CD$, а точка $N$ лежит на $AC$ и $\frac{AN}{NC} = \frac{1}{3}$. Найдите координаты точек $M$ и $N$ и докажите, что треугольник $DMN$ равнобедренный.

Дано:
Квадрат $ABCD$
Координаты вершин: $A(1; 1)$, $B(1; 5)$, $D(5; 1)$
Точка $M$ — середина стороны $CD$
Точка $N$ лежит на $AC$ и $\frac{AN}{NC} = \frac{1}{3}$

Найти:
Координаты точек $M$ и $N$
Доказать, что треугольник $DMN$ равнобедренный

Решение:

1. Определение координат вершины C
Поскольку $ABCD$ — квадрат, то вектор $\vec{BC}$ равен вектору $\vec{AD}$.
Координаты $A(1; 1)$, $D(5; 1)$. Вектор $\vec{AD} = (x_D - x_A; y_D - y_A) = (5-1; 1-1) = (4; 0)$.
Координаты $B(1; 5)$. Пусть координаты точки $C$ будут $(x_C; y_C)$.
Вектор $\vec{BC} = (x_C - x_B; y_C - y_B) = (x_C - 1; y_C - 5)$.
Приравнивая векторы: $(x_C - 1; y_C - 5) = (4; 0)$.
Отсюда $x_C - 1 = 4 \Rightarrow x_C = 5$.
И $y_C - 5 = 0 \Rightarrow y_C = 5$.
Таким образом, координаты вершины $C(5; 5)$.

2. Определение координат точки M
Точка $M$ — середина стороны $CD$.
Координаты $C(5; 5)$ и $D(5; 1)$.
Используем формулу для координат середины отрезка: $M_x = \frac{x_C + x_D}{2}$, $M_y = \frac{y_C + y_D}{2}$.
$M_x = \frac{5 + 5}{2} = \frac{10}{2} = 5$.
$M_y = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} = 3$.
Таким образом, координаты точки $M(5; 3)$.

3. Определение координат точки N
Точка $N$ лежит на $AC$ и делит его в отношении $\frac{AN}{NC} = \frac{1}{3}$.
Координаты $A(1; 1)$ и $C(5; 5)$.
Используем формулу для координат точки, делящей отрезок в заданном отношении: $N_x = \frac{k_2 x_A + k_1 x_C}{k_1 + k_2}$, $N_y = \frac{k_2 y_A + k_1 y_C}{k_1 + k_2}$, где $k_1=1$ и $k_2=3$.
$N_x = \frac{3 \cdot 1 + 1 \cdot 5}{1 + 3} = \frac{3 + 5}{4} = \frac{8}{4} = 2$.
$N_y = \frac{3 \cdot 1 + 1 \cdot 5}{1 + 3} = \frac{3 + 5}{4} = \frac{8}{4} = 2$.
Таким образом, координаты точки $N(2; 2)$.

4. Доказательство, что треугольник DMN равнобедренный
Для доказательства необходимо вычислить длины сторон треугольника $DMN$ с вершинами $D(5; 1)$, $M(5; 3)$, $N(2; 2)$.
Используем формулу расстояния между двумя точками $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$.
Длина стороны $DM$:
$DM = \sqrt{(x_M - x_D)^2 + (y_M - y_D)^2} = \sqrt{(5-5)^2 + (3-1)^2} = \sqrt{0^2 + 2^2} = \sqrt{0 + 4} = \sqrt{4} = 2$.
Длина стороны $MN$:
$MN = \sqrt{(x_N - x_M)^2 + (y_N - y_M)^2} = \sqrt{(2-5)^2 + (2-3)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$.
Длина стороны $DN$:
$DN = \sqrt{(x_N - x_D)^2 + (y_N - y_D)^2} = \sqrt{(2-5)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{(-3)^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$.
Поскольку $MN = DN = \sqrt{10}$, треугольник $DMN$ является равнобедренным.

Ответ: Координаты точки $M(5; 3)$, координаты точки $N(2; 2)$. Треугольник $DMN$ является равнобедренным, так как длины его сторон $MN$ и $DN$ равны $\sqrt{10}$.

Отметьте в координатной плоскости $xOy$ точку $A(4; 5)$. Проведите прямую $OA$ и найдите тангенс угла ее наклона к оси $Ox$.

Задача состоит в том, чтобы найти тангенс угла наклона прямой, проходящей через начало координат $O(0;0)$ и точку $A(4;5)$, к положительному направлению оси $Ox$.

Угол наклона прямой к оси $Ox$ — это угол $\alpha$, который прямая образует с положительным направлением оси $Ox$. Тангенс этого угла, $\tan(\alpha)$, равен угловому коэффициенту прямой.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный точкой $A(4; 5)$, началом координат $O(0; 0)$ и проекцией точки $A$ на ось $Ox$. Назовем эту проекцию точкой $B$. Координаты точки $B$ будут $(4; 0)$.

В полученном прямоугольном треугольнике $OBA$:

• Катет $OB$ лежит на оси $Ox$. Его длина равна абсциссе точки $A$: $OB = 4$. Этот катет является прилежащим к углу наклона $\alpha$.
• Катет $AB$ перпендикулярен оси $Ox$. Его длина равна ординате точки $A$: $AB = 5$. Этот катет является противолежащим углу наклона $\alpha$.

По определению тангенса в прямоугольном треугольнике, тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему:
$\tan(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{AB}{OB}$

Подставим длины катетов в формулу:
$\tan(\alpha) = \frac{5}{4}$

Для получения конечного ответа преобразуем обыкновенную дробь в десятичную:
$\frac{5}{4} = 1.25$

Ответ: $1.25$