Страница 125 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

260. a) Найдите биссектрису прямоугольного треугольника, проведенную из вершины прямого угла, если его катеты равны 6 см и 8 см.

б) Дан прямоугольный треугольник ABC с катетами $BC = a$, $AC = b$, D – точка пересечения биссектрисы угла B и серединного перпендикуляра к отрезку AC. Найдите площадь треугольника BCD.

a) Найдите биссектрису прямоугольного треугольника, проведенную из вершины прямого угла, если его катеты равны 6 см и 8 см.

Дано:

Прямоугольный треугольник $ABC$, где $C$ — вершина прямого угла.

Катеты: $BC = a = 8 \text{ см}$, $AC = b = 6 \text{ см}$.

$CD$ — биссектриса угла $C$.

Перевод в СИ:

$a = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$

$b = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$

Найти:

Длину биссектрисы $CD$ ($L_c$).

Решение:

Для биссектрисы, проведенной из вершины прямого угла $C$ в прямоугольном треугольнике, существует формула, связывающая ее длину с длинами катетов $a$ и $b$. Угол $C$ равен $90^\circ$, поэтому половина угла $C/2 = 45^\circ$.

Общая формула для длины биссектрисы $L_c$ угла $C$ в любом треугольнике по сторонам $a$ и $b$, прилежащим к углу $C$, и самому углу $C$ выглядит так:

$L_c = \frac{2ab \cos(C/2)}{a+b}$

В нашем случае, $C = 90^\circ$, поэтому $\cos(C/2) = \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Подставим значения в формулу:

$L_c = \frac{2 \cdot 8 \text{ см} \cdot 6 \text{ см} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{8 \text{ см} + 6 \text{ см}}$

$L_c = \frac{48\sqrt{2}}{14} \text{ см}$

$L_c = \frac{24\sqrt{2}}{7} \text{ см}$

Ответ: $\frac{24\sqrt{2}}{7} \text{ см}$

б) Дан прямоугольный треугольник $ABC$ с катетами $BC = a, AC = b$, $D$ – точка пересечения биссектрисы угла $B$ и серединного перпендикуляра к отрезку $AC$. Найдите площадь треугольника $BCD$.

Дано:

Прямоугольный треугольник $ABC$, угол $C = 90^\circ$.

Катеты: $BC = a$, $AC = b$.

$BD$ — биссектриса угла $B$.

$ML$ — серединный перпендикуляр к отрезку $AC$.

$D$ — точка пересечения $BD$ и $ML$.

Найти:

Площадь треугольника $BCD$ ($S_{BCD}$).

Решение:

1.

Расположим треугольник $ABC$ в декартовой системе координат. Пусть вершина $C$ находится в начале координат $(0,0)$. Поскольку угол $C$ прямой, катеты $BC$ и $AC$ будут лежать на осях координат.

2.

Пусть катет $BC$ лежит на оси $x$, тогда координаты вершины $B$ будут $(a,0)$.

3.

Пусть катет $AC$ лежит на оси $y$, тогда координаты вершины $A$ будут $(0,b)$.

4.

Найдем уравнение серединного перпендикуляра к отрезку $AC$. Середина отрезка $AC$ с координатами $A(0,b)$ и $C(0,0)$ будет $M = (\frac{0+0}{2}, \frac{b+0}{2}) = (0, \frac{b}{2})$.

5.

Отрезок $AC$ расположен на оси $y$, то есть является вертикальным. Серединный перпендикуляр к вертикальному отрезку является горизонтальной линией, проходящей через его середину. Следовательно, уравнение серединного перпендикуляра к $AC$ будет $y = \frac{b}{2}$.

6.

Точка $D$ является точкой пересечения биссектрисы угла $B$ и серединного перпендикуляра к $AC$. Поскольку $D$ лежит на серединном перпендикуляре $y = \frac{b}{2}$, ее $y$-координата равна $y_D = \frac{b}{2}$.

7.

Теперь рассмотрим треугольник $BCD$. В этом треугольнике основание $BC$ лежит на оси $x$ (от $x=0$ до $x=a$). Длина основания $BC$ равна $a$.

8.

Высота треугольника $BCD$, проведенная из вершины $D$ к основанию $BC$ (лежащему на оси $x$), равна абсолютной величине $y$-координаты точки $D$. Поскольку $b$ является длиной катета, $b>0$, и $y_D = b/2 > 0$. Таким образом, высота $h_D = \frac{b}{2}$.

9.

Площадь треугольника $BCD$ вычисляется по формуле: $S_{BCD} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$.

$S_{BCD} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h_D$

$S_{BCD} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{b}{2}$

$S_{BCD} = \frac{ab}{4}$

Ответ: $\frac{ab}{4}$