Страница 124 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

255. a) Длины параллельных сторон трапеции равны 25 дм и 4 дм, а длины непараллельных сторон – 20 дм и 13 дм. Найдите площадь трапеции.

б) Найдите площадь трапеции, если ее основания равны 5 см и 19 см, а боковые стороны 13 см и 15 см.

a) Длины параллельных сторон трапеции равны 25 дм и 4 дм, а длины непараллельных сторон – 20 дм и 13 дм. Найдите площадь трапеции.

Дано:

основания трапеции: $a = 25$ дм, $b = 4$ дм
боковые стороны: $c = 20$ дм, $d = 13$ дм

Перевод в систему СИ:

$a = 25$ дм $= 2.5$ м
$b = 4$ дм $= 0.4$ м
$c = 20$ дм $= 2.0$ м
$d = 13$ дм $= 1.3$ м

Найти:

площадь трапеции $S$

Решение:

Площадь трапеции определяется по формуле $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ - длины оснований, а $h$ - высота трапеции. Для нахождения высоты $h$, опустим две высоты из вершин меньшего основания на большее основание. Эти высоты делят большее основание на три отрезка. Пусть $x$ и $y$ - длины отрезков большего основания, примыкающих к боковым сторонам. Тогда $x + y = a - b$.

$a - b = 25 \text{ дм} - 4 \text{ дм} = 21 \text{ дм}$.
Пусть $x$ - проекция боковой стороны $c$ на большее основание, $y$ - проекция боковой стороны $d$.
Тогда $x + y = 21$. Выразим $y = 21 - x$.

Используем теорему Пифагора для двух прямоугольных треугольников, образованных высотами и боковыми сторонами:
$h^2 + x^2 = c^2 \Rightarrow h^2 = c^2 - x^2$
$h^2 + y^2 = d^2 \Rightarrow h^2 = d^2 - y^2$

Подставим известные значения:
$h^2 = 20^2 - x^2 = 400 - x^2$
$h^2 = 13^2 - (21-x)^2 = 169 - (441 - 42x + x^2) = 169 - 441 + 42x - x^2 = 42x - x^2 - 272$

Приравняем выражения для $h^2$:
$400 - x^2 = 42x - x^2 - 272$
$400 = 42x - 272$
$42x = 400 + 272$
$42x = 672$
$x = \frac{672}{42}$
$x = 16$ дм

Теперь найдем высоту $h$:
$h^2 = 400 - x^2 = 400 - 16^2 = 400 - 256 = 144$
$h = \sqrt{144} = 12$ дм

Рассчитаем площадь трапеции:
$S = \frac{a+b}{2} \cdot h = \frac{25 + 4}{2} \cdot 12 = \frac{29}{2} \cdot 12 = 29 \cdot 6 = 174$ дм$^2$

Ответ: 174 дм$^2$

б) Найдите площадь трапеции, если ее основания равны 5 см и 19 см, а боковые стороны 13 см и 15 см.

Дано:

основания трапеции: $a = 19$ см, $b = 5$ см
боковые стороны: $c = 13$ см, $d = 15$ см

Перевод в систему СИ:

$a = 19$ см $= 0.19$ м
$b = 5$ см $= 0.05$ м
$c = 13$ см $= 0.13$ м
$d = 15$ см $= 0.15$ м

Найти:

площадь трапеции $S$

Решение:

Используем тот же подход. Разность длин оснований:
$a - b = 19 \text{ см} - 5 \text{ см} = 14 \text{ см}$.
Пусть $x$ - проекция боковой стороны $c$ на большее основание, $y$ - проекция боковой стороны $d$.
Тогда $x + y = 14$. Выразим $y = 14 - x$.

По теореме Пифагора:
$h^2 = c^2 - x^2$
$h^2 = d^2 - y^2$

Подставим известные значения:
$h^2 = 13^2 - x^2 = 169 - x^2$
$h^2 = 15^2 - (14-x)^2 = 225 - (196 - 28x + x^2) = 225 - 196 + 28x - x^2 = 29 + 28x - x^2$

Приравняем выражения для $h^2$:
$169 - x^2 = 29 + 28x - x^2$
$169 = 29 + 28x$
$28x = 169 - 29$
$28x = 140$
$x = \frac{140}{28}$
$x = 5$ см

Теперь найдем высоту $h$:
$h^2 = 169 - x^2 = 169 - 5^2 = 169 - 25 = 144$
$h = \sqrt{144} = 12$ см

Рассчитаем площадь трапеции:
$S = \frac{a+b}{2} \cdot h = \frac{19 + 5}{2} \cdot 12 = \frac{24}{2} \cdot 12 = 12 \cdot 12 = 144$ см$^2$

Ответ: 144 см$^2$

256. а) Найдите площадь равнобедренной трапеции, если ее диагональ перпендикулярна к боковой стороне, а основания равны 20 см и 12 см.

б) Вырежьте из бумаги равнобедренную трапецию и разрежьте ее на две части, из которых можно составить прямоугольник.

а) Найдите площадь равнобедренной трапеции, если ее диагональ перпендикулярна к боковой стороне, а основания равны 20 см и 12 см.

Дано:

Равнобедренная трапеция ABCD.

Основания: $AD = a = 20 \text{ см}$, $BC = b = 12 \text{ см}$.

Диагональ перпендикулярна боковой стороне (например, $AC \perp CD$).

Перевод в СИ:

$a = 20 \text{ см} = 0.2 \text{ м}$

$b = 12 \text{ см} = 0.12 \text{ м}$

Найти:

Площадь трапеции $S$.

Решение:

Пусть дана равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD и BC, где AD - большее основание, BC - меньшее. Пусть AB и CD - боковые стороны. Поскольку трапеция равнобедренная, $AB = CD$.

Проведем высоты BH и CK из вершин B и C к основанию AD. Пусть H и K - точки на AD.

В равнобедренной трапеции отрезки, отсекаемые высотами на большем основании, равны:

$AK = DH = \frac{AD - BC}{2}$

$DH = \frac{20 \text{ см} - 12 \text{ см}}{2} = \frac{8 \text{ см}}{2} = 4 \text{ см}$

Так как $AC \perp CD$, треугольник ACD является прямоугольным с прямым углом при вершине C и гипотенузой AD.

В прямоугольном треугольнике ACD, высота CK, опущенная на гипотенузу AD, является одной из сторон, участвующих в нахождении площади. Мы ищем высоту $h = CK$.

В прямоугольном треугольнике CKD (с прямым углом при K) по теореме Пифагора:

$CD^2 = CK^2 + KD^2$

$CD^2 = h^2 + 4^2$

$CD^2 = h^2 + 16$

В прямоугольном треугольнике ACK (с прямым углом при K) по теореме Пифагора:

$AC^2 = AK^2 + CK^2$

Здесь $AK = AD - KD = 20 \text{ см} - 4 \text{ см} = 16 \text{ см}$.

$AC^2 = 16^2 + h^2$

$AC^2 = 256 + h^2$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ACD. По теореме Пифагора:

$AD^2 = AC^2 + CD^2$

Подставим выражения для $AC^2$ и $CD^2$:

$20^2 = (256 + h^2) + (h^2 + 16)$

$400 = 256 + h^2 + h^2 + 16$

$400 = 272 + 2h^2$

$2h^2 = 400 - 272$

$2h^2 = 128$

$h^2 = 64$

$h = 8 \text{ см}$

Теперь найдем площадь трапеции по формуле:

$S = \frac{a+b}{2} \cdot h$

$S = \frac{20 \text{ см} + 12 \text{ см}}{2} \cdot 8 \text{ см}$

$S = \frac{32 \text{ см}}{2} \cdot 8 \text{ см}$

$S = 16 \text{ см} \cdot 8 \text{ см}$

$S = 128 \text{ см}^2$

Ответ: $128 \text{ см}^2$

б) Вырежьте из бумаги равнобедренную трапецию и разрежьте ее на две части, из которых можно составить прямоугольник.

Для выполнения этого задания следуйте пошаговой инструкции:

1. Начертите на листе бумаги равнобедренную трапецию ABCD. Обозначьте AD как большее основание, а BC – меньшее основание. Стороны AB и CD – боковые стороны, они равны.
2. Проведите одну из высот трапеции, например, высоту CH из вершины C к основанию AD. Точка H будет лежать на основании AD. В результате проведения этой высоты, трапеция ABCD будет разделена на прямоугольный треугольник $\triangle CDH$ и прямоугольную трапецию ABCH.
3. Возьмите ножницы и аккуратно разрежьте трапецию по проведенной линии CH. Таким образом, вы получите две части:
   • Часть 1: Прямоугольный треугольник $\triangle CDH$.
   • Часть 2: Прямоугольная трапеция ABCH.
4. Теперь возьмите Часть 1 (треугольник $\triangle CDH$) и переместите ее. В равнобедренной трапеции высота, опущенная из вершины B к основанию AD (обозначим ее BH'), создаст прямоугольный треугольник $\triangle ABH'$. Треугольники $\triangle CDH$ и $\triangle ABH'$ конгруэнтны (равны).
5. Положите Часть 2 (прямоугольную трапецию ABCH) перед собой. Возьмите Часть 1 (треугольник $\triangle CDH$) и приложите ее к Части 2 таким образом, чтобы сторона CH треугольника $\triangle CDH$ совместилась с воображаемой линией высоты, проведенной из вершины B (т.е. с BH'), а вершина D треугольника $\triangle CDH$ совместилась с вершиной A трапеции. В результате такой перестановки, две части трапеции образуют прямоугольник. Длина этого прямоугольника будет равна полусумме оснований трапеции $\left(\frac{AD+BC}{2}\right)$, а ширина будет равна высоте трапеции (CH).

Ответ: Разрезать равнобедренную трапецию по одной из ее высот (например, CH), получить две части (прямоугольный треугольник $\triangle CDH$ и прямоугольную трапецию ABCH), затем переложить треугольник $\triangle CDH$ к другой стороне трапеции, совместив его с высотой, проведенной из противоположного угла, чтобы сформировать прямоугольник.

257. a) Докажите, что, если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то ее площадь равна квадрату высоты трапеции.

б) Найдите площадь равнобедренной трапеции, если ее диагонали перпендикулярны и основания равны 6 см и 10 см.

в) Дан четырехугольник $ABCD$, диагонали которого пересекаются в точке $O$. Докажите, что если площади треугольников $AOB$ и $COD$ равны, а его стороны $AD$ и $BC$ не равны, то этот четырехугольник является трапецией.

а) Докажите, что, если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то ее площадь равна квадрату высоты трапеции.

Решение

Пусть дана равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD = a$ и $BC = b$. Пусть $h$ - высота трапеции. Диагонали $AC$ и $BD$ перпендикулярны и пересекаются в точке $O$.

В равнобедренной трапеции диагонали равны: $AC = BD$.

Так как диагонали $AC$ и $BD$ перпендикулярны, то $\angle AOD = 90^\circ$ и $\angle BOC = 90^\circ$.

Поскольку трапеция равнобедренная, треугольники $\triangle AOD$ и $\triangle BOC$ являются равнобедренными прямоугольными треугольниками. Это следует из того, что в равнобедренной трапеции углы при основании равны ($\angle DAB = \angle CDA$), и, учитывая параллельность оснований, углы $\angle OAD = \angle ODA$ (так как $\angle CAD = \angle ADB$ для равнобедренной трапеции). Аналогично, $\angle OBC = \angle OCB$. Таким образом, $AO = OD$ и $BO = OC$.

Проведем высоту $h$ трапеции через точку пересечения диагоналей $O$. Эта высота будет отрезком $MN$, где $M$ - середина $AD$, а $N$ - середина $BC$. ($MN$ является осью симметрии трапеции и проходит через $O$).

В прямоугольном треугольнике $AOD$ (с прямым углом при $O$) медиана $OM$ (к гипотенузе $AD$) равна половине гипотенузы: $OM = \frac{1}{2} AD = \frac{a}{2}$.

Аналогично, в прямоугольном треугольнике $BOC$ (с прямым углом при $O$) медиана $ON$ (к гипотенузе $BC$) равна половине гипотенузы: $ON = \frac{1}{2} BC = \frac{b}{2}$.

Высота трапеции $h$ равна сумме этих отрезков: $h = OM + ON = \frac{a}{2} + \frac{b}{2} = \frac{a+b}{2}$.

Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{a+b}{2} h$.

Подставим выражение для $h$ в формулу площади:

$S = h \cdot h = h^2$.

Таким образом, площадь равнобедренной трапеции с перпендикулярными диагоналями равна квадрату ее высоты.

Ответ: Доказано.

б) Найдите площадь равнобедренной трапеции, если ее диагонали перпендикулярны и основания равны 6 см и 10 см.

Дано:

Равнобедренная трапеция $ABCD$.

Диагонали перпендикулярны.

Основания: $a = 10 \text{ см}$, $b = 6 \text{ см}$.

Перевод в СИ:

$a = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$

$b = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$

Найти:

$S$

Решение

Из части а) данной задачи известно, что для равнобедренной трапеции с перпендикулярными диагоналями высота $h$ равна полусумме оснований, то есть $h = \frac{a+b}{2}$.

Подставим данные значения:

$h = \frac{10 \text{ см} + 6 \text{ см}}{2} = \frac{16 \text{ см}}{2} = 8 \text{ см}$.

Также из части а) известно, что площадь такой трапеции равна квадрату ее высоты: $S = h^2$.

Вычислим площадь:

$S = (8 \text{ см})^2 = 64 \text{ см}^2$.

Ответ: $64 \text{ см}^2$.

в) Дан четырехугольник $ABCD$, диагонали которого пересекаются в точке $O$. Докажите, что если площади треугольников $AOB$ и $COD$ равны, а его стороны $AD$ и $BC$ не равны, то этот четырехугольник является трапецией.

Решение

Пусть дан четырехугольник $ABCD$, диагонали $AC$ и $BD$ которого пересекаются в точке $O$.

Дано, что $S_{\triangle AOB} = S_{\triangle COD}$.

Рассмотрим площади треугольников $ABD$ и $ACD$.

Площадь треугольника $ABD$ равна сумме площадей треугольников $AOB$ и $AOD$: $S_{\triangle ABD} = S_{\triangle AOB} + S_{\triangle AOD}$.

Площадь треугольника $ACD$ равна сумме площадей треугольников $COD$ и $AOD$: $S_{\triangle ACD} = S_{\triangle COD} + S_{\triangle AOD}$.

Так как $S_{\triangle AOB} = S_{\triangle COD}$ по условию, то, подставив $S_{\triangle AOB}$ вместо $S_{\triangle COD}$ во второе равенство, получим:

$S_{\triangle ACD} = S_{\triangle AOB} + S_{\triangle AOD}$.

Таким образом, площади треугольников $ABD$ и $ACD$ равны: $S_{\triangle ABD} = S_{\triangle ACD}$.

Эти два треугольника имеют общую сторону $AD$.

Если два треугольника имеют одинаковое основание и равные площади, то их высоты, опущенные на это основание, должны быть равны.

Пусть $h_B$ - высота, опущенная из вершины $B$ на сторону $AD$, и $h_C$ - высота, опущенная из вершины $C$ на сторону $AD$.

Тогда $S_{\triangle ABD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot h_B$ и $S_{\triangle ACD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot h_C$.

Поскольку $S_{\triangle ABD} = S_{\triangle ACD}$, то $\frac{1}{2} \cdot AD \cdot h_B = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot h_C$.

Поскольку $AD$ является стороной четырехугольника, $AD \neq 0$. Следовательно, из равенства $\frac{1}{2} \cdot AD \cdot h_B = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot h_C$ следует, что $h_B = h_C$.

Равенство высот, опущенных из $B$ и $C$ на сторону $AD$, означает, что точки $B$ и $C$ находятся на одинаковом расстоянии от прямой, содержащей отрезок $AD$. Это возможно только в том случае, если прямые $AD$ и $BC$ параллельны.

По определению, четырехугольник, у которого одна пара противоположных сторон параллельна, является трапецией. Условие $AD \neq BC$ лишь указывает, что это не параллелограмм, но параллелограмм является частным случаем трапеции. Доказательство параллельности сторон $AD$ и $BC$ является достаточным для утверждения, что четырехугольник является трапецией.

Ответ: Доказано.

258. В окружности радиуса 4 см проведены диаметр $AD$ и параллельная ему хорда $BC$, стягивающая дугу в $60^\circ$. Найдите площадь трапеции $ABCD$.

Дано:

Радиус окружности $R = 4$ см. Диаметр $AD$. Хорда $BC \parallel AD$. Дуга $BC$ стягивает центральный угол $60^\circ$.

Найти:

Площадь трапеции $ABCD$ ($S_{ABCD}$).

Решение:

1. Найдем длины оснований трапеции. Диаметр $AD$ является одним из оснований трапеции. Длина диаметра равна двум радиусам: $AD = 2R = 2 \cdot 4 \text{ см} = 8 \text{ см}$.

Хорда $BC$ является другим основанием трапеции. Так как хорда $BC$ стягивает дугу в $60^\circ$, центральный угол $\angle BOC$, опирающийся на эту дугу, равен $60^\circ$. Треугольник $BOC$ является равнобедренным, так как $OB = OC = R$ (радиусы окружности). Поскольку угол при вершине равнобедренного треугольника равен $60^\circ$, треугольник $BOC$ является равносторонним. Следовательно, длина хорды $BC$ равна радиусу: $BC = R = 4 \text{ см}$.

2. Найдем высоту трапеции. Пусть $O$ - центр окружности. Поскольку $AD$ является диаметром, он проходит через центр $O$. Хорда $BC$ параллельна диаметру $AD$. Высотой трапеции $ABCD$ будет перпендикулярное расстояние от хорды $BC$ до диаметра $AD$. Проведем перпендикуляр из центра $O$ к хорде $BC$. Пусть $M$ - точка пересечения этого перпендикуляра с $BC$. $OM$ является высотой в равностороннем треугольнике $BOC$ и одновременно расстоянием от центра до хорды $BC$. $OM$ также является высотой трапеции $h$, так как $OM \perp BC$ и $BC \parallel AD$ (а $AD$ проходит через $O$). В равностороннем треугольнике $BOC$ высота $OM$ может быть найдена по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника $OMB$, где $OB = R = 4$ см и $BM = BC/2 = R/2 = 4/2 = 2$ см. $h = OM = \sqrt{OB^2 - BM^2} = \sqrt{R^2 - \left(\frac{R}{2}\right)^2} = \sqrt{4^2 - 2^2} = \sqrt{16 - 4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \text{ см}$.

3. Вычислим площадь трапеции. Площадь трапеции $S_{ABCD}$ вычисляется по формуле: $S = \frac{(a + b)h}{2}$, где $a$ и $b$ - длины оснований, $h$ - высота. $S_{ABCD} = \frac{(AD + BC)h}{2} = \frac{(8 + 4) \cdot 2\sqrt{3}}{2} = \frac{12 \cdot 2\sqrt{3}}{2} = 12\sqrt{3} \text{ см}^2$.

Ответ: $12\sqrt{3}$ см$^2$.

259. a) Разделите трапецию на две равновеликие трапеции прямой, пересекающей ее основания. Сколько решений имеет задача?

б) Равновеликие $\triangle ABC$ и $\triangle MNK$ расположены так, что равные отрезки $AC$ и $MK$ лежат на одной прямой, а треугольники в одной полуплоскости относительно нее. Прямая, параллельная данной прямой, пересекает стороны $\triangle ABC$ в точках $D$ и $F$, а $\triangle MNK$ – в точках $E$ и $O$. Докажите, что $DF = EO$.

a) Разделите трапецию на две равновеликие трапеции прямой, пересекающей ее основания. Сколько решений имеет задача?

Для того чтобы прямая разделила трапецию на две другие трапеции, эта прямая должна быть параллельна основаниям исходной трапеции. Если прямая не параллельна основаниям, то она разделит трапецию на многоугольники, которые не являются обеими трапециями (например, на треугольник и пятиугольник, или на два четырехугольника, один из которых может быть трапецией, а другой нет, или ни один из них).

Пусть $a$ и $b$ - длины оснований трапеции, и $h$ - ее высота. Площадь трапеции $S = \frac{a+b}{2}h$.

Пусть искомая прямая, параллельная основаниям, имеет длину $x$. Она делит трапецию на две новые трапеции с высотами $h_1$ и $h_2$, где $h_1+h_2=h$.

Площадь первой трапеции $S_1 = \frac{a+x}{2}h_1$.

Площадь второй трапеции $S_2 = \frac{x+b}{2}h_2$.

По условию, $S_1 = S_2 = \frac{S}{2} = \frac{a+b}{4}h$.

Используя свойство трапеции, разрезанной параллельной линией, отношение высот $h_1$ и $h_2$ к полным высотам можно выразить через длины оснований. Более удобным является соотношение для длин оснований.

Приравнивая площади $S_1$ и $S_2$:
$\frac{a+x}{2}h_1 = \frac{x+b}{2}h_2$
$(a+x)h_1 = (x+b)h_2$

Также известно, что для отрезка $x$, параллельного основаниям $a$ и $b$ и делящего трапецию на две равновеликие трапеции, длина $x$ определяется формулой:

$x = \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$

Это значение $x$ является единственным положительным корнем данного уравнения, и оно всегда находится между $a$ и $b$.
Поскольку длина $x$ однозначно определяется длинами оснований $a$ и $b$, и существует только одна прямая, параллельная основаниям, которая проходит через трапецию и имеет такую длину, то такая прямая является единственной. Таким образом, задача имеет только одно решение.

Ответ: Задача имеет одно решение.

б) Равновеликие $\Delta ABC$ и $\Delta MNK$ расположены так, что равные отрезки $AC$ и $MK$ лежат на одной прямой, а треугольники в одной полуплоскости относительно нее. Прямая, параллельная данной прямой, пересекает стороны $\Delta ABC$ в точках $D$ и $F$, а $\Delta MNK$ – в точках $E$ и $O$. Докажите, что $DF = EO$.

Дано:

Треугольники $\Delta ABC$ и $\Delta MNK$ равновеликие, то есть $S_{\Delta ABC} = S_{\Delta MNK}$.

Отрезки $AC$ и $MK$ равны: $AC = MK$.

Отрезки $AC$ и $MK$ лежат на одной прямой.

Треугольники расположены в одной полуплоскости относительно этой прямой.

Прямая $l$ параллельна прямой, на которой лежат $AC$ и $MK$.

Прямая $l$ пересекает стороны $\Delta ABC$ в точках $D$ и $F$ (причем $D$ на $AB$, $F$ на $BC$).

Прямая $l$ пересекает стороны $\Delta MNK$ в точках $E$ и $O$ (причем $E$ на $MN$, $O$ на $NK$).

Найти:

Доказать, что $DF = EO$.

Решение:

Пусть прямая, на которой лежат отрезки $AC$ и $MK$, является общей базовой линией. Так как треугольники $\Delta ABC$ и $\Delta MNK$ равновеликие ($S_{\Delta ABC} = S_{\Delta MNK}$) и имеют равные основания ($AC = MK$), то их высоты, проведенные к этим основаниям, также должны быть равны. Обозначим эту общую высоту через $h$. Таким образом, расстояние от вершины $B$ до прямой $AC$ равно $h$, и расстояние от вершины $N$ до прямой $MK$ также равно $h$. Поскольку оба треугольника расположены в одной полуплоскости относительно этой прямой, вершины $B$ и $N$ находятся на одинаковом расстоянии $h$ от общей базовой линии и по одну сторону от нее.

Прямая $l$ параллельна общей базовой линии $ACMK$. Она пересекает стороны $\Delta ABC$ в точках $D$ и $F$. Поскольку $DF$ параллелен $AC$ (как часть прямой $l$, которая параллельна $ACMK$), то $\Delta BDF$ подобен $\Delta BAC$.

Пусть $h_1$ - высота $\Delta BDF$, проведенная из вершины $B$ к стороне $DF$. Это расстояние от вершины $B$ до прямой $l$.

Из подобия треугольников $\Delta BDF \sim \Delta BAC$ следует отношение соответствующих сторон:

$\frac{DF}{AC} = \frac{h_1}{h}$

Отсюда, $DF = AC \cdot \frac{h_1}{h}$.

Аналогично, прямая $l$ пересекает стороны $\Delta MNK$ в точках $E$ и $O$. Поскольку $EO$ параллелен $MK$, то $\Delta NEO$ подобен $\Delta NMK$.

Пусть $h_2$ - высота $\Delta NEO$, проведенная из вершины $N$ к стороне $EO$. Это расстояние от вершины $N$ до прямой $l$.

Из подобия треугольников $\Delta NEO \sim \Delta NMK$ следует отношение соответствующих сторон:

$\frac{EO}{MK} = \frac{h_2}{h}$

Отсюда, $EO = MK \cdot \frac{h_2}{h}$.

Так как вершины $B$ и $N$ находятся на одинаковой высоте $h$ от общей базовой линии $ACMK$, и прямая $l$ параллельна этой базовой линии, то расстояние от прямой $l$ до вершины $B$ ($h_1$) равно расстоянию от прямой $l$ до вершины $N$ ($h_2$). Это потому, что если прямая $ACMK$ это $y=0$, а вершины $B$ и $N$ имеют $y$-координату $h$, и прямая $l$ имеет $y$-координату $y_l$ (где $0 < y_l < h$), то $h_1 = h - y_l$ и $h_2 = h - y_l$. Следовательно, $h_1 = h_2$.

Теперь, используя равенства $AC = MK$ (дано) и $h_1 = h_2$ (доказано), подставим их в выражения для $DF$ и $EO$:

$DF = AC \cdot \frac{h_1}{h}$

$EO = MK \cdot \frac{h_2}{h}$

Поскольку $AC = MK$ и $h_1 = h_2$, то $\frac{h_1}{h} = \frac{h_2}{h}$. Таким образом, $AC \cdot \frac{h_1}{h} = MK \cdot \frac{h_2}{h}$, что означает $DF = EO$.

Ответ: Доказано.