Страница 117 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

230. a) Дан треугольник $\triangle ABC$. Постройте прямую $BM$, делящую его на два треугольника, площади которых относятся как $2 : 3$.

б) Дан треугольник $\triangle ABC$, площадь которого равна $72 \text{ см}^2$. На его медиане $BM$ отмечена точка $D$ так, что $BD : DM = 1 : 2$. Докажите, что треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$ равновелики и найдите их площадь.

в) Дан $\triangle ABC$, площадь которого равна $24 \text{ дм}^2$. Найдите площадь $\triangle MNK$, если $MN$ – средняя линия $\triangle ABC$, $MN \parallel AC$, $K \in AC$ и $AK : KC = 3 : 2$.

а)

Для построения прямой $BM$, делящей треугольник $ABC$ на два треугольника $ABM$ и $CBM$, площади которых относятся как $2:3$, необходимо, чтобы точка $M$ на стороне $AC$ делила эту сторону в том же соотношении.

Это связано с тем, что площади треугольников, имеющих общую высоту (в данном случае, высота из вершины $B$ на сторону $AC$), относятся как длины их оснований. Таким образом, $\frac{S_{ABM}}{S_{CBM}} = \frac{AM}{MC}$.

Нам дано $\frac{S_{ABM}}{S_{CBM}} = \frac{2}{3}$, следовательно, $\frac{AM}{MC} = \frac{2}{3}$.

Построение:

1. Начертите произвольный треугольник $ABC$.
2. На стороне $AC$ необходимо отметить точку $M$ так, чтобы $AM : MC = 2 : 3$. Это можно сделать с помощью циркуля и линейки, разделив отрезок $AC$ на $2+3=5$ равных частей.
3. Для этого проведите луч из точки $A$, не совпадающий с $AC$.
4. Отложите на этом луче 5 равных отрезков, например $AA_1, A_1A_2, \dots, A_4A_5$.
5. Соедините точку $A_5$ с точкой $C$.
6. Проведите прямую через точку $A_2$ параллельно $A_5C$. Точка пересечения этой прямой со стороной $AC$ будет искомой точкой $M$.
7. Проведите прямую $BM$. Эта прямая делит треугольник $ABC$ на два треугольника, площади которых относятся как $2:3$.

Ответ: Прямая $BM$ должна делить сторону $AC$ в отношении $AM : MC = 2 : 3$.

б)

Дано:

$\triangle ABC$

$S_{ABC} = 72 \text{ см}^2$

$BM$ - медиана

$D \in BM$

$BD : DM = 1 : 2$

Перевод в СИ:

$S_{ABC} = 72 \text{ см}^2 = 72 \cdot (10^{-2} \text{ м})^2 = 72 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2$

Найти:

Доказать, что $S_{ABD} = S_{CBD}$

Найти $S_{ABD}$ и $S_{CBD}$

Решение:

1. Поскольку $BM$ является медианой треугольника $ABC$, она делит его на два треугольника с равными площадями. Точка $M$ является серединой стороны $AC$.

Таким образом, $S_{ABM} = S_{CBM} = \frac{1}{2} S_{ABC}$.

$S_{ABM} = S_{CBM} = \frac{1}{2} \cdot 72 \text{ см}^2 = 36 \text{ см}^2$.

2. Рассмотрим треугольник $ABM$. Отрезок $AD$ делит его на два треугольника $ABD$ и $ADM$. Эти два треугольника имеют общую высоту, опущенную из вершины $A$ на прямую $BM$. Следовательно, их площади относятся как длины их оснований $BD$ и $DM$.

Дано, что $BD : DM = 1 : 2$. Это означает, что $BD = \frac{1}{3} BM$ и $DM = \frac{2}{3} BM$.

Тогда $S_{ABD} = \frac{BD}{BM} S_{ABM} = \frac{1}{1+2} S_{ABM} = \frac{1}{3} S_{ABM}$.

$S_{ABD} = \frac{1}{3} \cdot 36 \text{ см}^2 = 12 \text{ см}^2$.

3. Аналогично, рассмотрим треугольник $CBM$. Отрезок $CD$ делит его на два треугольника $CBD$ и $CDM$. Эти два треугольника имеют общую высоту, опущенную из вершины $C$ на прямую $BM$. Следовательно, их площади относятся как длины их оснований $BD$ и $DM$.

Поскольку $BD : DM = 1 : 2$, то $S_{CBD} = \frac{BD}{BM} S_{CBM} = \frac{1}{1+2} S_{CBM} = \frac{1}{3} S_{CBM}$.

$S_{CBD} = \frac{1}{3} \cdot 36 \text{ см}^2 = 12 \text{ см}^2$.

4. Из пунктов 2 и 3 следует, что $S_{ABD} = 12 \text{ см}^2$ и $S_{CBD} = 12 \text{ см}^2$. Таким образом, $S_{ABD} = S_{CBD}$, что доказывает, что треугольники $ABD$ и $CBD$ равновелики.

Ответ: Треугольники $ABD$ и $CBD$ равновелики, их площади равны $12 \text{ см}^2$.

в)

Дано:

$\triangle ABC$

$S_{ABC} = 24 \text{ дм}^2$

$MN$ - средняя линия $\triangle ABC$ ($M$ - середина $AB$, $N$ - середина $BC$)

$MN \parallel AC$

$K \in AC$

$AK : KC = 3 : 2$

Перевод в СИ:

$S_{ABC} = 24 \text{ дм}^2 = 24 \cdot (10^{-1} \text{ м})^2 = 24 \cdot 10^{-2} \text{ м}^2$

Найти:

$S_{MNK}$

Решение:

1. По свойству средней линии треугольника, $MN$ параллельна стороне $AC$ и равна половине её длины: $MN = \frac{1}{2} AC$.

2. Треугольник $BMN$ подобен треугольнику $BAC$ с коэффициентом подобия $k = \frac{MN}{AC} = \frac{1}{2}$.

3. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

$\frac{S_{BMN}}{S_{BAC}} = k^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$.

4. Площадь треугольника $BMN$ равна:

$S_{BMN} = \frac{1}{4} S_{ABC} = \frac{1}{4} \cdot 24 \text{ дм}^2 = 6 \text{ дм}^2$.

5. Теперь рассмотрим треугольник $MNK$. Его основанием является отрезок $MN$. Вершина $K$ лежит на прямой $AC$. Поскольку $MN \parallel AC$, высота треугольника $MNK$, опущенная из вершины $K$ на основание $MN$, равна расстоянию между параллельными прямыми $MN$ и $AC$.

6. Пусть $h_{ABC}$ - высота треугольника $ABC$, опущенная из вершины $B$ на сторону $AC$. Тогда $S_{ABC} = \frac{1}{2} AC \cdot h_{ABC}$.

7. Поскольку $MN$ - средняя линия, то треугольник $BMN$ имеет высоту, опущенную из $B$ на $MN$, равную $\frac{1}{2} h_{ABC}$. Следовательно, расстояние между $MN$ и $AC$ (которое является высотой треугольника $MNK$ относительно основания $MN$) равно $h_{MNK} = h_{ABC} - \frac{1}{2} h_{ABC} = \frac{1}{2} h_{ABC}$.

8. Площадь треугольника $MNK$ вычисляется по формуле:

$S_{MNK} = \frac{1}{2} \cdot MN \cdot h_{MNK}$.

Подставим значения $MN = \frac{1}{2} AC$ и $h_{MNK} = \frac{1}{2} h_{ABC}$:

$S_{MNK} = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{2} AC\right) \cdot \left(\frac{1}{2} h_{ABC}\right) = \frac{1}{8} AC \cdot h_{ABC}$.

9. Из пункта 6 знаем, что $AC \cdot h_{ABC} = 2 S_{ABC}$. Подставим это выражение:

$S_{MNK} = \frac{1}{8} \cdot (2 S_{ABC}) = \frac{1}{4} S_{ABC}$.

10. Теперь подставим известное значение $S_{ABC}$:

$S_{MNK} = \frac{1}{4} \cdot 24 \text{ дм}^2 = 6 \text{ дм}^2$.

Обратите внимание, что отношение $AK : KC = 3 : 2$ не влияет на площадь треугольника $MNK$, так как его вершина $K$ находится на линии, параллельной основанию $MN$, и расстояние между этими линиями постоянно.

Ответ: $S_{MNK} = 6 \text{ дм}^2$.

231. a) Периметр равнобедренного треугольника равен 50 м. Боковая сторона треугольника на 1 м больше основания. Найдите площадь треугольника.

б) Найдите отношение площади данного треугольника к площади треугольника, образованного его средними линиями.

а) Найдите площадь треугольника.

Дано:

• Равнобедренный треугольник
• Периметр $P = 50$ м
• Боковая сторона $b$ на 1 м больше основания $a$

Найти:

• Площадь треугольника $S$

Решение:

Пусть основание равнобедренного треугольника равно $a$ (м), а боковые стороны равны $b$ (м). Так как треугольник равнобедренный, у него две равные боковые стороны.

По условию, боковая сторона на 1 м больше основания, то есть:

$b = a + 1$

Периметр треугольника равен сумме длин всех его сторон:

$P = a + 2b$

Подставим известное значение периметра и выражение для $b$ в уравнение периметра:

$50 = a + 2(a + 1)$

Раскроем скобки и упростим уравнение:

$50 = a + 2a + 2$

$50 = 3a + 2$

Вычтем 2 из обеих частей уравнения:

$50 - 2 = 3a$

$48 = 3a$

Разделим обе части на 3, чтобы найти $a$:

$a = \frac{48}{3}$

$a = 16$ м

Теперь найдем длину боковой стороны $b$:

$b = a + 1 = 16 + 1 = 17$ м

Итак, стороны треугольника равны 16 м, 17 м, 17 м.

Для нахождения площади треугольника воспользуемся формулой $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$. Нам нужно найти высоту $h$, проведенную к основанию $a$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, делит основание пополам и образует два равных прямоугольных треугольника.

Рассмотрим один из таких прямоугольных треугольников. Его катеты - это высота $h$ и половина основания $\frac{a}{2}$, а гипотенуза - это боковая сторона $b$.

Половина основания: $\frac{a}{2} = \frac{16}{2} = 8$ м.

Применим теорему Пифагора: $h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = b^2$

$h^2 + 8^2 = 17^2$

$h^2 + 64 = 289$

Вычтем 64 из обеих частей:

$h^2 = 289 - 64$

$h^2 = 225$

Извлечем квадратный корень, чтобы найти $h$:

$h = \sqrt{225}$

$h = 15$ м

Теперь вычислим площадь треугольника:

$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 15$

$S = 8 \cdot 15$

$S = 120$ м$^2$

Ответ: 120 м$^2$.

б) Найдите отношение площади данного треугольника к площади треугольника, образованного его средними линиями.

Дано:

• Данный треугольник с площадью $S_1$
• Треугольник, образованный его средними линиями, с площадью $S_2$

Найти:

• Отношение $\frac{S_1}{S_2}$

Решение:

Средние линии треугольника соединяют середины его сторон. Известно, что треугольник, образованный средними линиями, подобен исходному треугольнику.

Каждая средняя линия треугольника параллельна соответствующей стороне и равна ее половине. Следовательно, стороны треугольника, образованного средними линиями, в два раза меньше соответствующих сторон исходного треугольника.

Если два треугольника подобны, то отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия ($k$). Коэффициент подобия $k$ между медианным треугольником и исходным треугольником равен $\frac{1}{2}$ (стороны медианного треугольника в 2 раза меньше).

Следовательно, отношение площадей будет:

$\frac{S_2}{S_1} = \left(\frac{1}{2}\right)^2$

$\frac{S_2}{S_1} = \frac{1}{4}$

Мы ищем отношение площади данного треугольника к площади треугольника, образованного его средними линиями, то есть $\frac{S_1}{S_2}$.

Из полученного равенства $\frac{S_2}{S_1} = \frac{1}{4}$ следует, что $S_1 = 4S_2$.

Таким образом, отношение $\frac{S_1}{S_2} = \frac{4S_2}{S_2} = 4$.

Также можно рассуждать следующим образом: средние линии делят исходный треугольник на четыре меньших треугольника. Все эти четыре треугольника равны по площади (конгруэнтны). Один из этих четырех треугольников и есть треугольник, образованный средними линиями. Следовательно, его площадь составляет $\frac{1}{4}$ от площади исходного треугольника.

Значит, $S_2 = \frac{1}{4}S_1$, или $S_1 = 4S_2$.

Отношение $\frac{S_1}{S_2} = 4$.

Ответ: 4.

232. a) Найдите высоту прямоугольного треугольника, проведенную из вершины его прямого угла, если гипотенуза равна 13 см, а один из катетов 5 см.

б) Найдите площадь прямоугольного треугольника, в котором высота, проведенная к гипотенузе, делит ее на отрезки, равные 4,8 см и 1,2 см.

a) Найдите высоту прямоугольного треугольника, проведенную из вершины его прямого угла, если гипотенуза равна 13 см, а один из катетов 5 см.

Дано:

гипотенуза $c = 13$ см

катет $a = 5$ см

Перевод в СИ:

$c = 13$ см $= 0.13$ м

$a = 5$ см $= 0.05$ м

Найти:

высота $h_c$

Решение:

Пусть второй катет прямоугольного треугольника равен $b$. По теореме Пифагора:

$a^2 + b^2 = c^2$

$5^2 + b^2 = 13^2$

$25 + b^2 = 169$

$b^2 = 169 - 25$

$b^2 = 144$

$b = \sqrt{144}$

$b = 12$ см

Площадь прямоугольного треугольника может быть найдена по формуле $S = \frac{1}{2}ab$ (половина произведения катетов) или по формуле $S = \frac{1}{2}ch_c$ (половина произведения гипотенузы на высоту, проведенную к ней). Приравняем эти выражения для площади:

$\frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}ch_c$

$ab = ch_c$

Отсюда выразим высоту $h_c$:

$h_c = \frac{ab}{c}$

Подставляем известные значения:

$h_c = \frac{5 \text{ см} \times 12 \text{ см}}{13 \text{ см}}$

$h_c = \frac{60}{13}$ см

Ответ:

$h_c = \frac{60}{13}$ см

б) Найдите площадь прямоугольного треугольника, в котором высота, проведенная к гипотенузе, делит ее на отрезки, равные 4,8 см и 1,2 см.

Дано:

отрезок гипотенузы $c_1 = 4.8$ см

отрезок гипотенузы $c_2 = 1.2$ см

Перевод в СИ:

$c_1 = 4.8$ см $= 0.048$ м

$c_2 = 1.2$ см $= 0.012$ м

Найти:

площадь треугольника $S$

Решение:

Высота $h_c$, проведенная к гипотенузе в прямоугольном треугольнике, является средним геометрическим отрезков, на которые она делит гипотенузу:

$h_c^2 = c_1 \times c_2$

$h_c^2 = 4.8 \text{ см} \times 1.2 \text{ см}$

$h_c^2 = 5.76 \text{ см}^2$

$h_c = \sqrt{5.76}$ см

$h_c = 2.4$ см

Длина всей гипотенузы $c$ равна сумме отрезков, на которые ее делит высота:

$c = c_1 + c_2$

$c = 4.8 \text{ см} + 1.2 \text{ см}$

$c = 6.0$ см

Площадь прямоугольного треугольника может быть найдена по формуле $S = \frac{1}{2}ch_c$:

$S = \frac{1}{2} \times 6.0 \text{ см} \times 2.4 \text{ см}$

$S = 3.0 \text{ см} \times 2.4 \text{ см}$

$S = 7.2 \text{ см}^2$

Ответ:

$S = 7.2$ см$^2$

233. а) В треугольнике $ABC$ $\angle A = 45^{\circ}$, $\angle C = 30^{\circ}$, $BC = 6$ см.

Найдите стороны $AB$ и $AC$ треугольника и его площадь.

б) Найдите площадь треугольника, стороны которого равны

26 см, 10 см и 24 см.

a)

Дано:

в треугольнике $ABC$:

$\angle A = 45^\circ$

$\angle C = 30^\circ$

$BC = 6 \text{ см}$

Перевод в СИ:

$BC = 0.06 \text{ м}$

Найти:

$AB$, $AC$, $S_{ABC}$

Решение:

1. Найдем угол $B$ треугольника $ABC$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$:

$\angle B = 180^\circ - \angle A - \angle C = 180^\circ - 45^\circ - 30^\circ = 105^\circ$.

2. Используем теорему синусов для нахождения сторон $AB$ и $AC$. Теорема синусов гласит:

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

где $a, b, c$ - стороны, противолежащие углам $A, B, C$ соответственно. В нашем случае $a = BC$, $b = AC$, $c = AB$.

Найдем сторону $AB$:

$\frac{BC}{\sin A} = \frac{AB}{\sin C}$

$\frac{6}{\sin 45^\circ} = \frac{AB}{\sin 30^\circ}$

$AB = \frac{6 \cdot \sin 30^\circ}{\sin 45^\circ} = \frac{6 \cdot \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{3}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2} \text{ см}$.

Найдем сторону $AC$:

$\frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B}$

$\frac{6}{\sin 45^\circ} = \frac{AC}{\sin 105^\circ}$

Для $\sin 105^\circ$ используем формулу $\sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$:

$\sin 105^\circ = \sin(60^\circ + 45^\circ) = \sin 60^\circ \cos 45^\circ + \cos 60^\circ \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$.

$AC = \frac{6 \cdot \sin 105^\circ}{\sin 45^\circ} = \frac{6 \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{3(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{3(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{\sqrt{2}} = 3\left(\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\right) = 3(\sqrt{3} + 1) \text{ см}$.

3. Найдем площадь треугольника $ABC$ по формуле $S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$, где $a$ и $b$ - две стороны треугольника, а $\gamma$ - угол между ними. Используем стороны $BC$ и $AC$ и угол $C$ между ними:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AC \cdot \sin C$

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 3(\sqrt{3} + 1) \cdot \sin 30^\circ$

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 3(\sqrt{3} + 1) \cdot \frac{1}{2}$

$S_{ABC} = \frac{18(\sqrt{3} + 1)}{4} = \frac{9(\sqrt{3} + 1)}{2} \text{ см}^2$.

Ответ: $AB = 3\sqrt{2} \text{ см}$, $AC = 3(\sqrt{3} + 1) \text{ см}$, $S_{ABC} = \frac{9(\sqrt{3} + 1)}{2} \text{ см}^2$.

б)

Дано:

стороны треугольника $a = 26 \text{ см}$, $b = 10 \text{ см}$, $c = 24 \text{ см}$.

Перевод в СИ:

$a = 0.26 \text{ м}$

$b = 0.10 \text{ м}$

$c = 0.24 \text{ м}$

Найти:

$S$

Решение:

1. Проверим, является ли треугольник прямоугольным, используя теорему Пифагора. Пусть самая длинная сторона будет гипотенузой:

$26^2 = 676$

$10^2 + 24^2 = 100 + 576 = 676$

Так как $26^2 = 10^2 + 24^2$, треугольник является прямоугольным. Его катеты равны $10 \text{ см}$ и $24 \text{ см}$.

2. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:

$S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 24 = 5 \cdot 24 = 120 \text{ см}^2$.

Альтернативный способ (через формулу Герона):

1. Найдем полупериметр $p$ треугольника:

$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{26+10+24}{2} = \frac{60}{2} = 30 \text{ см}$.

2. Используем формулу Герона для площади треугольника:

$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

$S = \sqrt{30(30-26)(30-10)(30-24)}$

$S = \sqrt{30 \cdot 4 \cdot 20 \cdot 6}$

$S = \sqrt{(5 \cdot 6) \cdot 4 \cdot (4 \cdot 5) \cdot 6}$

$S = \sqrt{5^2 \cdot 6^2 \cdot 4^2}$

$S = 5 \cdot 6 \cdot 4 = 120 \text{ см}^2$.

Ответ: $S = 120 \text{ см}^2$.

234. Найдите площадь равнобедренного треугольника:

а) боковая сторона которого равна 2,5 дм, а угол между боковыми сторонами равен $135^\circ$;

б) высота которого, проведенная к боковой стороне, делит ее на отрезки, равные 3 см и 12 см.

а) боковая сторона которого равна 2,5 дм, а угол между боковыми сторонами равен 135°;

Дано:

Боковая сторона $a = 2.5 \text{ дм}$

Угол между боковыми сторонами $\alpha = 135^\circ$

Перевод в СИ:

$a = 2.5 \text{ дм} = 0.25 \text{ м}$

Найти:

Площадь треугольника $S$

Решение:

Площадь треугольника, заданного двумя сторонами и углом между ними, вычисляется по формуле:

$S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$

Для равнобедренного треугольника боковые стороны равны, то есть $a=b$. Угол между боковыми сторонами $\alpha$ является углом между этими равными сторонами. Следовательно, формула площади принимает вид:

$S = \frac{1}{2}a^2\sin\alpha$

Подставим известные значения:

$a = 2.5 \text{ дм}$

$\alpha = 135^\circ$

Значение синуса угла $135^\circ$ можно найти как $\sin(180^\circ - 45^\circ) = \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Вычисляем площадь:

$S = \frac{1}{2} (2.5 \text{ дм})^2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$S = \frac{1}{2} \cdot 6.25 \text{ дм}^2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$S = \frac{6.25\sqrt{2}}{4} \text{ дм}^2$

Приблизительное значение, используя $\sqrt{2} \approx 1.4142$:

$S \approx \frac{6.25 \cdot 1.4142}{4} \text{ дм}^2$

$S \approx \frac{8.83875}{4} \text{ дм}^2$

$S \approx 2.2096875 \text{ дм}^2$

Ответ: $2.2097 \text{ дм}^2$

б) высота которого, проведенная к боковой стороне, делит ее на отрезки, равные 3 см и 12 см.

Дано:

Высота, проведенная к боковой стороне, делит ее на отрезки $x_1 = 3$ см и $x_2 = 12$ см.

Перевод в СИ:

$x_1 = 3 \text{ см} = 0.03 \text{ м}$

$x_2 = 12 \text{ см} = 0.12 \text{ м}$

Найти:

Площадь треугольника $S$

Решение:

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$, где $AB = AC = a$ - боковые стороны. Пусть высота $BH$ проведена из вершины $B$ к боковой стороне $AC$, а $H$ - основание этой высоты на стороне $AC$.

Условие "делит ее на отрезки, равные 3 см и 12 см" означает, что основание высоты $H$ лежит на самой боковой стороне $AC$, и сумма длин этих отрезков равна длине боковой стороны.

Длина боковой стороны $a = AH + HC = 3 \text{ см} + 12 \text{ см} = 15 \text{ см}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$. Гипотенуза этого треугольника - боковая сторона $AB = 15$ см. Катет $AH$ может быть равен 3 см или 12 см. Примем, что $AH = 3$ см. Тогда высота $BH$ является вторым катетом.

По теореме Пифагора для $\triangle ABH$:

$BH^2 + AH^2 = AB^2$

$BH^2 + (3 \text{ см})^2 = (15 \text{ см})^2$

$BH^2 + 9 = 225$

$BH^2 = 225 - 9$

$BH^2 = 216$

$BH = \sqrt{216} = \sqrt{36 \cdot 6} = 6\sqrt{6} \text{ см}$

Площадь треугольника можно найти по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$. В данном случае, основание - это боковая сторона $AC = 15$ см, а высота - $BH = 6\sqrt{6}$ см.

$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH$

$S = \frac{1}{2} \cdot 15 \text{ см} \cdot 6\sqrt{6} \text{ см}$

$S = 15 \cdot 3\sqrt{6} \text{ см}^2$

$S = 45\sqrt{6} \text{ см}^2$

Приблизительное значение, используя $\sqrt{6} \approx 2.4495$:

$S \approx 45 \cdot 2.44948974 \text{ см}^2$

$S \approx 110.227038 \text{ см}^2$

Ответ: $45\sqrt{6} \text{ см}^2$

235. a) Найдите большую высоту треугольника, если его стороны 9 см, 10 см, 17 см.

б) Существует ли треугольник, высоты которого равны 2 см, 3 см и 4 см?

a)

Дано
Стороны треугольника: $a = 9 \text{ см}$, $b = 10 \text{ см}$, $c = 17 \text{ см}$.

Перевод в СИ
$a = 9 \text{ см} = 0.09 \text{ м}$
$b = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$
$c = 17 \text{ см} = 0.17 \text{ м}$

Найти
Большую высоту треугольника $h_{max}$.

Решение
Для нахождения большей высоты треугольника, необходимо сначала вычислить его площадь. Наибольшая высота проведена к наименьшей стороне. Стороны треугольника $a = 9 \text{ см}$, $b = 10 \text{ см}$, $c = 17 \text{ см}$. Наименьшая сторона — $a = 9 \text{ см}$.
Воспользуемся формулой Герона для нахождения площади $S$. Сначала найдем полупериметр $s$:
$s = \frac{a + b + c}{2}$
$s = \frac{9 \text{ см} + 10 \text{ см} + 17 \text{ см}}{2} = \frac{36 \text{ см}}{2} = 18 \text{ см}$
Теперь вычислим площадь $S$ по формуле Герона:
$S = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$
$S = \sqrt{18(18 - 9)(18 - 10)(18 - 17)}$
$S = \sqrt{18 \times 9 \times 8 \times 1}$
$S = \sqrt{1296}$
$S = 36 \text{ см}^2$
Площадь треугольника также может быть выражена как $S = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота}$. Чтобы найти большую высоту, мы должны использовать наименьшую сторону в качестве основания. В нашем случае это сторона $a = 9 \text{ см}$.
$S = \frac{1}{2} a h_a$
Отсюда высота $h_a = \frac{2S}{a}$
$h_a = \frac{2 \times 36 \text{ см}^2}{9 \text{ см}} = \frac{72 \text{ см}^2}{9 \text{ см}} = 8 \text{ см}$
Таким образом, большая высота треугольника равна $8 \text{ см}$.

Ответ: $8 \text{ см}$

б)

Решение
Пусть высоты треугольника $h_a = 2 \text{ см}$, $h_b = 3 \text{ см}$, $h_c = 4 \text{ см}$.
Из формулы площади треугольника $S = \frac{1}{2} a h_a = \frac{1}{2} b h_b = \frac{1}{2} c h_c$ можем выразить стороны треугольника через его площадь $S$ и соответствующие высоты:
$a = \frac{2S}{h_a} = \frac{2S}{2} = S$
$b = \frac{2S}{h_b} = \frac{2S}{3}$
$c = \frac{2S}{h_c} = \frac{2S}{4} = \frac{S}{2}$
Для того чтобы треугольник существовал, его стороны должны удовлетворять неравенству треугольника: сумма длин любых двух сторон должна быть строго больше длины третьей стороны.
Проверим неравенства:
1. $a + b > c$:
$S + \frac{2S}{3} > \frac{S}{2}$
Разделим все члены неравенства на $S$ (поскольку площадь $S$ всегда положительна):
$1 + \frac{2}{3} > \frac{1}{2}$
$\frac{3}{3} + \frac{2}{3} > \frac{1}{2}$
$\frac{5}{3} > \frac{1}{2}$ (это истинно, так как $1.66... > 0.5$)
2. $a + c > b$:
$S + \frac{S}{2} > \frac{2S}{3}$
$1 + \frac{1}{2} > \frac{2}{3}$
$\frac{2}{2} + \frac{1}{2} > \frac{2}{3}$
$\frac{3}{2} > \frac{2}{3}$ (это истинно, так как $1.5 > 0.66...$)
3. $b + c > a$:
$\frac{2S}{3} + \frac{S}{2} > S$
$\frac{2}{3} + \frac{1}{2} > 1$
Приведем к общему знаменателю (6):
$\frac{4}{6} + \frac{3}{6} > 1$
$\frac{7}{6} > 1$ (это истинно, так как $1.166... > 1$)
Все три неравенства треугольника выполняются. Следовательно, такой треугольник существует.

Ответ: Да, такой треугольник существует.