Страница 110 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

212. a) Докажите, что равные четырехугольники – равновеликие. Сформулируйте обратное утверждение и установите, справедливо ли оно.

б) Верно ли, что равносоставленные многоугольники – равновеликие?

в) Вырежьте из бумаги два равных прямоугольных треугольника с катетами 3 см и 4 см. Составьте из них: 1) прямоугольник; 2) параллелограмм; 3) равнобедренный треугольник. Чему равны площади этих фигур?

г) Начертите в тетради квадрат и примите его площадь за единицу. Постройте: 1) квадрат и прямоугольный треугольник, площади которых равны 4 кв. ед.; 2) прямоугольник и равнобедренный треугольник, площади которых равны 3 кв. ед.

a) Докажите, что равные четырехугольники – равновеликие. Сформулируйте обратное утверждение и установите, справедливо ли оно.

Доказательство:

Два четырехугольника считаются равными (конгруэнтными), если они могут быть совмещены друг с другом путем наложения так, что все их соответствующие вершины и стороны совпадут. По определению, площадь фигуры — это мера части плоскости, которую занимает эта фигура. Если два четырехугольника равны, то они занимают одну и ту же область на плоскости. Следовательно, их площади должны быть идентичными, что означает, что они являются равновеликими.

Обратное утверждение:

Если два четырехугольника равновеликие, то они равные.

Справедливость обратного утверждения:

Обратное утверждение не является справедливым (ложно). В качестве контрпримера можно рассмотреть квадрат со стороной $2 \text{ см}$ и прямоугольник со сторонами $1 \text{ см}$ и $4 \text{ см}$. Площадь квадрата равна $2 \text{ см} \cdot 2 \text{ см} = 4 \text{ см}^2$. Площадь прямоугольника равна $1 \text{ см} \cdot 4 \text{ см} = 4 \text{ см}^2$. Таким образом, эти два четырехугольника равновеликие, поскольку их площади равны. Однако они не являются равными (конгруэнтными), так как их нельзя совместить путем наложения.

Ответ: Доказано. Обратное утверждение ложно.

б) Верно ли, что равносоставленные многоугольники – равновеликие?

Решение:

Равносоставленные многоугольники — это многоугольники, которые могут быть разрезаны на конечное число одинаковых по форме и размеру частей (многоугольников), из которых затем можно составить другой многоугольник. Площадь многоугольника обладает свойством аддитивности, то есть площадь целого многоугольника равна сумме площадей его составных частей. Кроме того, площадь фигуры не изменяется при ее перемещении (поворотах, сдвигах) или декомпозиции. Если один многоугольник составлен из тех же частей, что и другой, то их общие площади должны быть равны сумме площадей этих частей. Следовательно, равносоставленные многоугольники всегда являются равновеликими.

Ответ: Верно.

в) Вырежьте из бумаги два равных прямоугольных треугольника с катетами 3 см и 4 см. Составьте из них: 1) прямоугольник; 2) параллелограмм; 3) равнобедренный треугольник. Чему равны площади этих фигур?

Дано:

Два равных прямоугольных треугольника с катетами $a = 3 \text{ см}$ и $b = 4 \text{ см}$.

Перевод в СИ:

$a = 3 \text{ см} = 0.03 \text{ м}$

$b = 4 \text{ см} = 0.04 \text{ м}$

Найти:

Площади составленных фигур.

Решение:

Сначала вычислим площадь одного прямоугольного треугольника. Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2}ab$, где $a$ и $b$ — длины катетов.

$S_{треугольника} = \frac{1}{2} \cdot 3 \text{ см} \cdot 4 \text{ см} = \frac{1}{2} \cdot 12 \text{ см}^2 = 6 \text{ см}^2$.

Поскольку все фигуры (прямоугольник, параллелограмм, равнобедренный треугольник) составляются из двух таких треугольников, их общая площадь будет равна сумме площадей этих двух треугольников:

$S_{общая} = 2 \cdot S_{треугольника} = 2 \cdot 6 \text{ см}^2 = 12 \text{ см}^2$.

Согласно принципу, изложенному в пункте б), равносоставленные многоугольники являются равновеликими. Так как все перечисленные фигуры составлены из одних и тех же двух треугольников, их площади будут равны общей площади этих двух треугольников.

1) Прямоугольник: Может быть составлен путем соединения двух треугольников по их гипотенузам (гипотенуза равна $\sqrt{3^2+4^2}=5 \text{ см}$). В этом случае получается прямоугольник со сторонами $3 \text{ см}$ и $4 \text{ см}$. Его площадь $S_{прямоугольника} = 3 \text{ см} \cdot 4 \text{ см} = 12 \text{ см}^2$.

2) Параллелограмм: Может быть составлен путем соединения двух треугольников по одному из катетов, например, по катету $4 \text{ см}$, при этом один треугольник перевернут. Получится параллелограмм с основанием $4 \text{ см}$ и высотой $3 \text{ см}$. Его площадь $S_{параллелограмма} = 4 \text{ см} \cdot 3 \text{ см} = 12 \text{ см}^2$.

3) Равнобедренный треугольник: Может быть составлен путем соединения двух треугольников по одному из катетов, например, по катету $3 \text{ см}$. В этом случае основание равнобедренного треугольника составит $4 \text{ см} + 4 \text{ см} = 8 \text{ см}$, а высота будет $3 \text{ см}$. Его площадь $S_{равнобедренного\_треугольника} = \frac{1}{2} \cdot 8 \text{ см} \cdot 3 \text{ см} = 12 \text{ см}^2$. (Аналогично, если соединить по катету $4 \text{ см}$, основание будет $3 \text{ см} + 3 \text{ см} = 6 \text{ см}$, высота $4 \text{ см}$, площадь $\frac{1}{2} \cdot 6 \text{ см} \cdot 4 \text{ см} = 12 \text{ см}^2$).

Таким образом, площади всех составленных фигур равны.

Ответ: Площади всех этих фигур равны $12 \text{ см}^2$.

г) Начертите в тетради квадрат и примите его площадь за единицу. Постройте: 1) квадрат и прямоугольный треугольник, площади которых равны 4 кв. ед.; 2) прямоугольник и равнобедренный треугольник, площади которых равны 3 кв. ед.

Дано:

Площадь единичного квадрата $S_{ед.} = 1 \text{ кв. ед.}$

Найти:

Параметры фигур для построения.

Решение:

Если площадь единичного квадрата равна $1 \text{ кв. ед.}$, то его сторона $s$ равна $\sqrt{1 \text{ кв. ед.}} = 1 \text{ ед.}$. В тетради удобно принять $1 \text{ ед.}$ равной, например, одной клетке (или $1 \text{ см}$).

1) Квадрат и прямоугольный треугольник, площади которых равны 4 кв. ед.

Для квадрата с площадью $4 \text{ кв. ед.}$: Пусть сторона квадрата $a$. Тогда площадь $S_{квадрата} = a^2 = 4 \text{ кв. ед.}$, откуда $a = \sqrt{4} = 2 \text{ ед.}$.

Построение: Необходимо начертить квадрат со стороной, равной $2 \text{ ед.}$, то есть вдвое большей стороны единичного квадрата (например, $2 \text{ см}$ или $2$ клетки тетради).

Для прямоугольного треугольника с площадью $4 \text{ кв. ед.}$: Пусть катеты треугольника $x$ и $y$. Площадь прямоугольного треугольника равна $S_{треугольника} = \frac{1}{2}xy$. Тогда $\frac{1}{2}xy = 4 \text{ кв. ед.}$, откуда $xy = 8 \text{ кв. ед.}$.

Можно выбрать катеты, например, $x=2 \text{ ед.}$ и $y=4 \text{ ед.}$. ($2 \cdot 4 = 8$).

Построение: Необходимо начертить прямоугольный треугольник с катетами $2 \text{ ед.}$ и $4 \text{ ед.}$.

2) Прямоугольник и равнобедренный треугольник, площади которых равны 3 кв. ед.

Для прямоугольника с площадью $3 \text{ кв. ед.}$: Пусть стороны прямоугольника $l$ и $w$. Тогда площадь $S_{прямоугольника} = lw = 3 \text{ кв. ед.}$.

Можно выбрать стороны, например, $l=1 \text{ ед.}$ и $w=3 \text{ ед.}$. ($1 \cdot 3 = 3$).

Построение: Необходимо начертить прямоугольник со сторонами $1 \text{ ед.}$ и $3 \text{ ед.}$.

Для равнобедренного треугольника с площадью $3 \text{ кв. ед.}$: Пусть основание треугольника $b$ и высота $h$. Площадь равнобедренного треугольника равна $S_{треугольника} = \frac{1}{2}bh$. Тогда $\frac{1}{2}bh = 3 \text{ кв. ед.}$, откуда $bh = 6 \text{ кв. ед.}$.

Можно выбрать, например, основание $b=2 \text{ ед.}$ и высоту $h=3 \text{ ед.}$. ($2 \cdot 3 = 6$).

Построение: Необходимо начертить равнобедренный треугольник с основанием $2 \text{ ед.}$ и высотой $3 \text{ ед.}$. Для этого начертите отрезок длиной $2 \text{ ед.}$ (основание), найдите его середину. Из середины проведите перпендикулярный отрезок длиной $3 \text{ ед.}$ (высота). Соедините концы основания с верхней точкой этого перпендикуляра.

Ответ: Параметры для построения указаны в решении.

213. a) Разрежьте равносторонний треугольник на три части и сложите из них прямоугольник.

б) Вырежьте из бумаги параллелограмм, разрежьте его на две части, из которых можно составить треугольник.

а) Разрежьте равносторонний треугольник на три части и сложите из них прямоугольник.

Дано:

Равносторонний треугольник.

Найти:

Разрезать треугольник на три части и сложить из них прямоугольник.

Решение:

Пусть дан равносторонний треугольник $ABC$ со стороной $a$. Высота этого треугольника равна $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Площадь треугольника $S = \frac{1}{2} a h = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$. Целевой прямоугольник должен иметь такую же площадь. Один из возможных прямоугольников имеет стороны $a/2$ и $a\sqrt{3}/2 = h$.

1. Начертите равносторонний треугольник $ABC$.
2. Проведите высоту $AD$ из вершины $A$ к середине $D$ стороны $BC$. Это разделит треугольник на два равных прямоугольных треугольника: $\triangle ABD$ и $\triangle ACD$.
3. На высоте $AD$ найдите точку $E$ такую, что длина отрезка $AE$ равна половине стороны треугольника $AE = \frac{a}{2}$.
4. Из точки $E$ проведите отрезок $EF$ параллельно стороне $AB$ до пересечения со стороной $BD$ (частью $BC$) в точке $F$. Это разрез, который отсекает верхний треугольник.
5. Теперь у вас есть три части:
   • Часть 1: Треугольник $AFE$ (прямоугольный треугольник).
   • Часть 2: Трапеция $EFBD$.
   • Часть 3: Треугольник $ADC$ (прямоугольный треугольник).
6. Чтобы сложить прямоугольник:
   • Положите треугольник $\triangle ADC$ как основу.
   • Переместите трапецию $EFBD$ так, чтобы ее сторона $EF$ совместилась со стороной $AD$ треугольника $\triangle ADC$. Поскольку $EF \parallel AB$, а $AD \perp BC$, это выравнивание создаст прямой угол.
   • Переместите треугольник $\triangle AFE$ и разместите его так, чтобы его сторона $AF$ совместилась с $CD$ (или $BD$) и $AE$ совместилась с соответствующей частью.

Ответ: Разрез производится по одной из высот треугольника, а затем одна из полученных половин разрезается дополнительным образом, чтобы из трех частей можно было составить прямоугольник. Точное расположение точек для второго разреза подбирается так, чтобы стороны частей могли совпасть, образуя прямые углы прямоугольника.

б) Вырежьте из бумаги параллелограмм, разрежьте его на две части, из которых можно составить треугольник.

Дано:

Параллелограмм.

Найти:

Разрезать параллелограмм на две части и составить из них треугольник.

Решение:

Этот способ преобразования известен как равновеликое преобразование фигур.

1. Начертите параллелограмм $ABCD$.
2. Из одной из вершин, например $D$, проведите высоту к противоположной стороне $AB$. Пусть основание высоты будет точка $E$. (Если точка $E$ выходит за пределы отрезка $AB$, то сторону $AB$ нужно мысленно продлить). Высота $DE$ перпендикулярна $AB$.
3. Разрежьте параллелограмм по линии этой высоты $DE$. У вас получится две части:
   • Часть 1: Прямоугольный треугольник $\triangle ADE$.
   • Часть 2: Трапеция $DBCE$.
4. Чтобы составить из этих двух частей треугольник:
   • Возьмите прямоугольный треугольник $\triangle ADE$.
   • Переместите его (путем параллельного переноса и поворота) так, чтобы сторона $AD$ (гипотенуза треугольника) совместилась со стороной $BC$ трапеции $DBCE$. (Стороны $AD$ и $BC$ равны и параллельны, так как они являются противоположными сторонами параллелограмма).
   • При этом перемещении точка $D$ совместится с точкой $C$, а точка $A$ совместится с точкой $B$. Точка $E$ окажется на продолжении стороны $CD$.

В результате этих действий будет образован большой треугольник с основанием, равным сумме длин основания параллелограмма и отсеченного отрезка, и высотой, равной высоте параллелограмма.

Ответ: Параллелограмм разрезается по высоте, проведенной из одной вершины к противоположной стороне (или ее продолжению). Полученный прямоугольный треугольник переносится и прикладывается к другой стороне трапеции, образуя единый треугольник.

214. a) Длины сторон двух участков земли, имеющих форму квадрата, равны 10 м и 24 м. Найдите длину стороны квадратного участка земли, имеющего площадь, равную сумме площадей этих участков.

б) Стороны прямоугольника 4 см и 15 см. Найдите стороны равновеликого ему прямоугольника, если они относятся как 3 : 5.

в) Найдите сторону квадрата, равновеликого прямоугольному треугольнику с катетами 24 см и 27 см.

а)

Дано:

Сторона первого квадратного участка: $a_1 = 10 \, \text{м}$

Сторона второго квадратного участка: $a_2 = 24 \, \text{м}$

Площадь третьего квадратного участка $S_3$ равна сумме площадей первого $S_1$ и второго $S_2$: $S_3 = S_1 + S_2$

Перевод в СИ:

$a_1 = 10 \, \text{м}$ (уже в СИ)

$a_2 = 24 \, \text{м}$ (уже в СИ)

Найти:

Сторона третьего квадратного участка: $a_3$

Решение:

Сначала найдем площади первого и второго квадратных участков, используя формулу площади квадрата $S = a^2$:

$S_1 = a_1^2 = (10 \, \text{м})^2 = 100 \, \text{м}^2$

$S_2 = a_2^2 = (24 \, \text{м})^2 = 576 \, \text{м}^2$

Затем найдем площадь третьего квадратного участка, которая равна сумме площадей первых двух участков:

$S_3 = S_1 + S_2 = 100 \, \text{м}^2 + 576 \, \text{м}^2 = 676 \, \text{м}^2$

Чтобы найти длину стороны третьего квадратного участка, возьмем квадратный корень из его площади:

$a_3 = \sqrt{S_3} = \sqrt{676 \, \text{м}^2} = 26 \, \text{м}$

Ответ: 26 м

б)

Дано:

Стороны первого прямоугольника: $a_1 = 4 \, \text{см}$, $b_1 = 15 \, \text{см}$

Площадь второго прямоугольника $S_2$ равна площади первого $S_1$: $S_2 = S_1$

Отношение сторон второго прямоугольника: $a_2 : b_2 = 3 : 5$

Перевод в СИ:

$a_1 = 4 \, \text{см} = 0.04 \, \text{м}$

$b_1 = 15 \, \text{см} = 0.15 \, \text{м}$

Найти:

Стороны второго прямоугольника: $a_2, b_2$

Решение:

Найдем площадь первого прямоугольника, используя формулу $S = a \cdot b$:

$S_1 = a_1 \cdot b_1 = 0.04 \, \text{м} \cdot 0.15 \, \text{м} = 0.006 \, \text{м}^2$

Поскольку второй прямоугольник равновелик первому, его площадь $S_2$ равна $S_1$:

$S_2 = 0.006 \, \text{м}^2$

Пусть стороны второго прямоугольника равны $3x$ и $5x$ в соответствии с их отношением. Тогда его площадь выражается как:

$S_2 = (3x) \cdot (5x) = 15x^2$

Приравниваем найденные значения площади для второго прямоугольника и решаем относительно $x$:

$15x^2 = 0.006$

$x^2 = \frac{0.006}{15} = 0.0004$

$x = \sqrt{0.0004} = 0.02 \, \text{м}$

Теперь найдем длины сторон второго прямоугольника, подставив значение $x$:

$a_2 = 3x = 3 \cdot 0.02 \, \text{м} = 0.06 \, \text{м}$

$b_2 = 5x = 5 \cdot 0.02 \, \text{м} = 0.10 \, \text{м}$

Переведем результат обратно в сантиметры для удобства:

$a_2 = 0.06 \, \text{м} = 6 \, \text{см}$

$b_2 = 0.10 \, \text{м} = 10 \, \text{см}$

Ответ: 6 см и 10 см

в)

Дано:

Прямоугольный треугольник с катетами: $k_1 = 24 \, \text{см}$, $k_2 = 27 \, \text{см}$

Квадрат равновелик треугольнику, т.е. площадь квадрата $S_{\text{квадрата}}$ равна площади треугольника $S_{\text{треугольника}}$: $S_{\text{квадрата}} = S_{\text{треугольника}}$

Перевод в СИ:

$k_1 = 24 \, \text{см} = 0.24 \, \text{м}$

$k_2 = 27 \, \text{см} = 0.27 \, \text{м}$

Найти:

Сторона квадрата: $a_{\text{кв}}$

Решение:

Найдем площадь прямоугольного треугольника по формуле: $S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} \cdot \text{катет}_1 \cdot \text{катет}_2$

$S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} \cdot 0.24 \, \text{м} \cdot 0.27 \, \text{м} = \frac{1}{2} \cdot 0.0648 \, \text{м}^2 = 0.0324 \, \text{м}^2$

Так как квадрат равновелик треугольнику, его площадь $S_{\text{квадрата}}$ равна площади треугольника:

$S_{\text{квадрата}} = 0.0324 \, \text{м}^2$

Длина стороны квадрата равна квадратному корню из его площади:

$a_{\text{кв}} = \sqrt{S_{\text{квадрата}}} = \sqrt{0.0324 \, \text{м}^2} = 0.18 \, \text{м}$

Переведем результат в сантиметры:

$a_{\text{кв}} = 0.18 \, \text{м} = 18 \, \text{см}$

Ответ: 18 см

215. а) Пол в комнате, имеющей форму прямоугольника размерами $3 \text{ м} \times 1.8 \text{ м}$, нужно покрыть квадратными плитками со стороной $30 \text{ см}$. Сколько плиток потребуется?

б) Сколько нужно плиток формы прямоугольника размерами $20 \text{ см} \times 10 \text{ см}$ для облицовки прямоугольной стены длиной $3.2 \text{ м}$ и высотой $2.5 \text{ м}$?

a)

Дано
Длина комнаты $L_{комн} = 3 \text{ м}$
Ширина комнаты $W_{комн} = 1.8 \text{ м}$
Сторона квадратной плитки $a_{плитки} = 30 \text{ см}$

Переведем все величины в систему СИ:
$L_{комн} = 3 \text{ м}$
$W_{комн} = 1.8 \text{ м}$
$a_{плитки} = 30 \text{ см} = 0.3 \text{ м}$

Найти:
Количество плиток $N_a$

Решение
Для того чтобы узнать, сколько плиток потребуется, необходимо найти площадь пола комнаты и площадь одной плитки. Затем разделить площадь пола на площадь одной плитки.
1. Найдем площадь пола комнаты, которая имеет форму прямоугольника:
$S_{комн} = L_{комн} \times W_{комн}$
$S_{комн} = 3 \text{ м} \times 1.8 \text{ м} = 5.4 \text{ м}^2$
2. Найдем площадь одной квадратной плитки:
$S_{плитки} = a_{плитки}^2$
$S_{плитки} = (0.3 \text{ м})^2 = 0.09 \text{ м}^2$
3. Вычислим количество необходимых плиток:
$N_a = \frac{S_{комн}}{S_{плитки}}$
$N_a = \frac{5.4 \text{ м}^2}{0.09 \text{ м}^2} = 60$

Ответ: Потребуется 60 плиток.

б)

Дано
Длина плитки $l_{плитки} = 20 \text{ см}$
Ширина плитки $w_{плитки} = 10 \text{ см}$
Длина стены $L_{стены} = 3.2 \text{ м}$
Высота стены $H_{стены} = 2.5 \text{ м}$

Переведем все величины в систему СИ:
$l_{плитки} = 20 \text{ см} = 0.2 \text{ м}$
$w_{плитки} = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$
$L_{стены} = 3.2 \text{ м}$
$H_{стены} = 2.5 \text{ м}$

Найти:
Количество плиток $N_b$

Решение
Для того чтобы узнать, сколько плиток потребуется для облицовки стены, необходимо найти площадь стены и площадь одной плитки. Затем разделить площадь стены на площадь одной плитки.
1. Найдем площадь стены, которая имеет форму прямоугольника:
$S_{стены} = L_{стены} \times H_{стены}$
$S_{стены} = 3.2 \text{ м} \times 2.5 \text{ м} = 8 \text{ м}^2$
2. Найдем площадь одной прямоугольной плитки:
$S_{плитки} = l_{плитки} \times w_{плитки}$
$S_{плитки} = 0.2 \text{ м} \times 0.1 \text{ м} = 0.02 \text{ м}^2$
3. Вычислим количество необходимых плиток:
$N_b = \frac{S_{стены}}{S_{плитки}}$
$N_b = \frac{8 \text{ м}^2}{0.02 \text{ м}^2} = 400$

Ответ: Потребуется 400 плиток.