Страница 116 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

224. a) Найдите площадь равнобедренного треугольника $ABC$ с основанием $AC$, если:
1) $AB = 10$ м, высота $BH$ равна $8$ м;
2) $BC = 15$ см, $AC = 18$ см.

б) Найдите площадь равностороннего треугольника:
1) сторона которого равна $a$;
2) высота которого равна $h$;
3) если радиус окружности, описанной около него, равен $R$;
4) если радиус окружности, вписанной в него, равен $r$.

а) Найдите площадь равнобедренного треугольника ABC с основанием AC, если:

1) AB = 10 м, высота BH равна 8 м;

Дано:

Равнобедренный треугольник $ABC$.

Основание $AC$.

Боковая сторона $AB = 10 \text{ м}$.

Высота $BH = 8 \text{ м}$ (к основанию $AC$).

Перевод в СИ: Все величины уже в СИ.

$AB = 10 \text{ м}$

$BH = 8 \text{ м}$

Найти:

Площадь треугольника $S_{ABC}$.

Решение:

В равнобедренном треугольнике $ABC$ высота $BH$, проведенная к основанию $AC$, также является медианой. Следовательно, $AH = HC = AC/2$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BHC$. По теореме Пифагора:

$BC^2 = BH^2 + HC^2$

Так как $BC = AB = 10 \text{ м}$ (боковые стороны равнобедренного треугольника), то

$10^2 = 8^2 + HC^2$

$100 = 64 + HC^2$

$HC^2 = 100 - 64$

$HC^2 = 36$

$HC = \sqrt{36} = 6 \text{ м}$

Тогда основание $AC = 2 \cdot HC = 2 \cdot 6 = 12 \text{ м}$.

Площадь треугольника $S$ вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$.

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH$

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 12 \text{ м} \cdot 8 \text{ м}$

$S_{ABC} = 6 \cdot 8 = 48 \text{ м}^2$

Ответ:

$S_{ABC} = 48 \text{ м}^2$

2) BC = 15 см, AC = 18 см.

Дано:

Равнобедренный треугольник $ABC$.

Основание $AC = 18 \text{ см}$.

Боковая сторона $BC = 15 \text{ см}$.

Перевод в СИ:

$AC = 18 \text{ см} = 0.18 \text{ м}$

$BC = 15 \text{ см} = 0.15 \text{ м}$

Найти:

Площадь треугольника $S_{ABC}$.

Решение:

Для нахождения площади используем формулу $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$. Нам нужно найти высоту $BH$, проведенную к основанию $AC$.

В равнобедренном треугольнике $ABC$ высота $BH$, проведенная к основанию $AC$, является также медианой. Следовательно, $AH = HC = AC/2$.

$HC = \frac{18 \text{ см}}{2} = 9 \text{ см}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BHC$. По теореме Пифагора:

$BC^2 = BH^2 + HC^2$

$15^2 = BH^2 + 9^2$

$225 = BH^2 + 81$

$BH^2 = 225 - 81$

$BH^2 = 144$

$BH = \sqrt{144} = 12 \text{ см}$.

Теперь вычисляем площадь:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH$

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 18 \text{ см} \cdot 12 \text{ см}$

$S_{ABC} = 9 \cdot 12 = 108 \text{ см}^2$

Ответ:

$S_{ABC} = 108 \text{ см}^2$

б) Найдите площадь равностороннего треугольника:

1) сторона которого равна a;

Дано:

Равносторонний треугольник со стороной $a$.

Перевод в СИ: Не требуется, $a$ - это переменная.

Найти:

Площадь треугольника $S$.

Решение:

Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле:

$S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$

Ответ:

$S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$

2) высота которого равна h;

Дано:

Равносторонний треугольник с высотой $h$.

Перевод в СИ: Не требуется, $h$ - это переменная.

Найти:

Площадь треугольника $S$.

Решение:

В равностороннем треугольнике высота $h$ выражается через сторону $a$ как $h = \frac{a \sqrt{3}}{2}$.

Из этого соотношения выразим сторону $a$ через высоту $h$:

$a = \frac{2h}{\sqrt{3}}$

Теперь подставим это выражение для $a$ в формулу площади равностороннего треугольника $S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$:

$S = \frac{\left(\frac{2h}{\sqrt{3}}\right)^2 \sqrt{3}}{4}$

$S = \frac{\frac{4h^2}{3} \sqrt{3}}{4}$

$S = \frac{4h^2 \sqrt{3}}{12}$

$S = \frac{h^2 \sqrt{3}}{3}$

Ответ:

$S = \frac{h^2 \sqrt{3}}{3}$

3) если радиус окружности, описанной около него, равен R;

Дано:

Равносторонний треугольник с радиусом описанной окружности $R$.

Перевод в СИ: Не требуется, $R$ - это переменная.

Найти:

Площадь треугольника $S$.

Решение:

Для равностороннего треугольника существует связь между стороной $a$ и радиусом описанной окружности $R$:

$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$

Из этого соотношения выразим сторону $a$ через $R$:

$a = R \sqrt{3}$

Теперь подставим это выражение для $a$ в формулу площади равностороннего треугольника $S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$:

$S = \frac{(R \sqrt{3})^2 \sqrt{3}}{4}$

$S = \frac{R^2 \cdot 3 \cdot \sqrt{3}}{4}$

$S = \frac{3 \sqrt{3} R^2}{4}$

Ответ:

$S = \frac{3 \sqrt{3} R^2}{4}$

4) если радиус окружности, вписанной в него, равен r.

Дано:

Равносторонний треугольник с радиусом вписанной окружности $r$.

Перевод в СИ: Не требуется, $r$ - это переменная.

Найти:

Площадь треугольника $S$.

Решение:

Для равностороннего треугольника существует связь между стороной $a$ и радиусом вписанной окружности $r$:

$r = \frac{a}{2 \sqrt{3}}$

Из этого соотношения выразим сторону $a$ через $r$:

$a = 2r \sqrt{3}$

Теперь подставим это выражение для $a$ в формулу площади равностороннего треугольника $S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$:

$S = \frac{(2r \sqrt{3})^2 \sqrt{3}}{4}$

$S = \frac{4r^2 \cdot 3 \cdot \sqrt{3}}{4}$

$S = \frac{12r^2 \sqrt{3}}{4}$

$S = 3 \sqrt{3} r^2$

Ответ:

$S = 3 \sqrt{3} r^2$

225. Найдите площадь параллелограмма:

а) смежные стороны которого соответственно равны 5 дм и 6 дм, а острый угол равен $30^\circ$;

б) периметр которого равен 14 дм, а высоты 3 дм и 5,4 дм.

а) смежные стороны которого соответственно равны 5 дм и 6 дм, а острый угол равен 30°;

Дано:

cмежные стороны $a = 5$ дм, $b = 6$ дм;

острый угол $\alpha = 30^{\circ}$.

Перевод в СИ:

$a = 5 \text{ дм} = 0.5 \text{ м};$

$b = 6 \text{ дм} = 0.6 \text{ м};$

$\alpha = 30^{\circ}.$

Найти:

Площадь параллелограмма $S_a$.

Решение:

Площадь параллелограмма, заданного двумя смежными сторонами $a$ и $b$ и углом $\alpha$ между ними, вычисляется по формуле:

$S_a = a \cdot b \cdot \sin(\alpha)$

Подставим значения из условия задачи:

$S_a = 5 \text{ дм} \cdot 6 \text{ дм} \cdot \sin(30^{\circ})$

Известно, что $\sin(30^{\circ}) = 0.5$.

$S_a = 30 \text{ дм}^2 \cdot 0.5$

$S_a = 15 \text{ дм}^2$

Ответ: $15$ дм$^2$.

б) периметр которого равен 14 дм, а высоты 3 дм и 5,4 дм.

Дано:

Периметр $P = 14$ дм;

Высоты $h_1 = 3$ дм, $h_2 = 5.4$ дм.

Перевод в СИ:

$P = 14 \text{ дм} = 1.4 \text{ м};$

$h_1 = 3 \text{ дм} = 0.3 \text{ м};$

$h_2 = 5.4 \text{ дм} = 0.54 \text{ м}.$

Найти:

Площадь параллелограмма $S_b$.

Решение:

Пусть $a$ и $b$ - смежные стороны параллелограмма.

Периметр параллелограмма равен $P = 2(a+b)$.

Известно, что $P = 14$ дм. Значит,

$2(a+b) = 14$

$a+b = 7$ дм

Отсюда $b = 7 - a$.

Площадь параллелограмма также может быть выражена через сторону и соответствующую высоту: $S = a \cdot h_a = b \cdot h_b$.

Известно, что большей высоте соответствует меньшая сторона, а меньшей высоте - большая сторона. Следовательно, если $h_1 = 3$ дм (меньшая высота) и $h_2 = 5.4$ дм (большая высота), то $h_1$ соответствует большей стороне $a$, а $h_2$ соответствует меньшей стороне $b$.

Тогда площадь $S_b$ может быть записана как:

$S_b = a \cdot h_1 = b \cdot h_2$

$a \cdot 3 = b \cdot 5.4$

Подставим выражение для $b$ ($b = 7 - a$) в уравнение:

$3a = (7-a) \cdot 5.4$

$3a = 37.8 - 5.4a$

Перенесем слагаемые с $a$ в одну сторону:

$3a + 5.4a = 37.8$

$8.4a = 37.8$

Найдем значение $a$:

$a = \frac{37.8}{8.4}$

$a = 4.5$ дм

Теперь найдем сторону $b$:

$b = 7 - a = 7 - 4.5 = 2.5$ дм

Вычислим площадь параллелограмма, используя одну из пар сторона-высота. Например, $S_b = a \cdot h_1$:

$S_b = 4.5 \text{ дм} \cdot 3 \text{ дм}$

$S_b = 13.5$ дм$^2$

Для проверки, используем вторую пару: $S_b = b \cdot h_2$:

$S_b = 2.5 \text{ дм} \cdot 5.4 \text{ дм}$

$S_b = 13.5$ дм$^2$

Результаты совпадают.

Ответ: $13.5$ дм$^2$.

226. Найдите площадь параллелограмма, используя данные на рисунке 111, а, б.

a)

$AB = 8$

$AD = 10$

$\angle A = 60^\circ$

б)

$NH = 8$

$\angle L = 60^\circ$

Рисунок 111

а)

Дано:

параллелограмм $abcd$.

сторона $ad = 10$ (единиц длины).

сторона $ab = 8$ (единиц длины).

угол $a = 60^\circ$.

Найти:

площадь параллелограмма $s_{abcd}$.

Решение:

площадь параллелограмма можно найти по формуле $s = a \cdot b \cdot \sin(\alpha)$, где $a$ и $b$ - длины смежных сторон, а $\alpha$ - угол между ними.

в данном случае, $a = ad = 10$, $b = ab = 8$, $\alpha = \angle a = 60^\circ$.

значение $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

$s_{abcd} = 10 \cdot 8 \cdot \sin(60^\circ)$

$s_{abcd} = 80 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$s_{abcd} = 40\sqrt{3}$

Ответ:

$40\sqrt{3}$

б)

Дано:

параллелограмм $mnkl$ (согласно расположению вершин на рисунке).

высота $nh = 8$ (единиц длины), проведенная к стороне $ml$ (которая лежит на прямой $me$).

угол $\angle l = 60^\circ$ (угол $\angle klm$).

стороны $nm$ и $nk$ равны (обозначено одинаковыми штрихами), что означает, что это ромб.

Найти:

площадь параллелограмма $s_{mnkl}$.

Решение:

рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle nhl$, где $nh$ - катет, а $nl$ - гипотенуза (сторона параллелограмма $nk$ или $kl$).

из определения синуса угла в прямоугольном треугольнике: $\sin(\angle l) = \frac{nh}{nl}$.

отсюда, $nl = \frac{nh}{\sin(\angle l)}$.

подставим известные значения: $nl = \frac{8}{\sin(60^\circ)}$.

так как $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

$nl = \frac{8}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{16}{\sqrt{3}} = \frac{16\sqrt{3}}{3}$.

поскольку $mnkl$ - ромб (так как $nm=nk$ и противоположные стороны параллелограмма равны, то все стороны равны), то длина стороны $ml$ (основание) также равна $nl$.

$ml = nl = \frac{16\sqrt{3}}{3}$.

площадь параллелограмма (ромба) можно найти по формуле $s = \text{основание} \cdot \text{высота}$.

$s_{mnkl} = ml \cdot nh = \frac{16\sqrt{3}}{3} \cdot 8$.

$s_{mnkl} = \frac{128\sqrt{3}}{3}$.

Ответ:

$\frac{128\sqrt{3}}{3}$

227. Вычислите площадь ромба, зная его периметр $P$ и острый угол $\alpha$, если:

а) $P = 20$ см, $\alpha = 30^{\circ}$;

б) $P = 48$ см, $\alpha = 60^{\circ}$.

а) P = 20 см, α = 30°

Дано:
$P = 20 \text{ см}$
$\alpha = 30^\circ$

Перевод в СИ:
$P = 20 \text{ см} = 0.2 \text{ м}$
$\alpha = 30^\circ = \frac{\pi}{6} \text{ рад}$

Найти:
$S$

Решение:

Ромб - это параллелограмм, у которого все стороны равны. Пусть $a$ - длина стороны ромба. Периметр ромба $P$ равен сумме длин всех его сторон, то есть $P = 4a$.

Известен периметр $P = 20 \text{ см}$. Найдем длину стороны $a$:

$a = \frac{P}{4}$
$a = \frac{20 \text{ см}}{4}$
$a = 5 \text{ см}$

Площадь ромба $S$ можно найти по формуле $S = a^2 \sin \alpha$, где $a$ - длина стороны, а $\alpha$ - острый угол между сторонами.

Подставим значения $a = 5 \text{ см}$ и $\alpha = 30^\circ$ в формулу площади:

$S = (5 \text{ см})^2 \sin 30^\circ$
$S = 25 \text{ см}^2 \cdot \frac{1}{2}$
$S = 12.5 \text{ см}^2$

Ответ: $12.5 \text{ см}^2$

б) P = 48 см, α = 60°

Дано:
$P = 48 \text{ см}$
$\alpha = 60^\circ$

Перевод в СИ:
$P = 48 \text{ см} = 0.48 \text{ м}$
$\alpha = 60^\circ = \frac{\pi}{3} \text{ рад}$

Найти:
$S$

Решение:

Снова найдем длину стороны ромба $a$ по его периметру $P = 48 \text{ см}$:

$a = \frac{P}{4}$
$a = \frac{48 \text{ см}}{4}$
$a = 12 \text{ см}$

Теперь найдем площадь ромба, используя формулу $S = a^2 \sin \alpha$, со стороной $a = 12 \text{ см}$ и острым углом $\alpha = 60^\circ$:

$S = (12 \text{ см})^2 \sin 60^\circ$
$S = 144 \text{ см}^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$
$S = 72\sqrt{3} \text{ см}^2$

Для числового значения $\sqrt{3} \approx 1.73205$:
$S \approx 72 \cdot 1.73205 \text{ см}^2$
$S \approx 124.7076 \text{ см}^2 \approx 124.71 \text{ см}^2$ (округлено до двух знаков после запятой)

Ответ: $72\sqrt{3} \text{ см}^2$ или примерно $124.71 \text{ см}^2$

228. a) Докажите, что площадь ромба равна квадрату длины стороны, умноженному на синус его любого угла.

б) Какой вид должен иметь ромб со стороной $a$, чтобы его площадь была наибольшей. Ответ объясните.

a) Докажите, что площадь ромба равна квадрату длины стороны, умноженному на синус его любого угла.

Дано:
Ромб со стороной $a$ и углом $\alpha$.

Найти:
Доказать, что площадь ромба $S = a^2 \sin \alpha$.

Решение:
Ромб является частным случаем параллелограмма, у которого все стороны равны. Пусть сторона ромба равна $a$, а один из его углов равен $\alpha$.
Площадь параллелограмма можно вычислить по формуле $S = \text{сторона}_1 \cdot \text{сторона}_2 \cdot \sin(\text{угол между ними})$.
Для ромба обе стороны, образующие угол $\alpha$, равны $a$.
Следовательно, площадь ромба $S$ будет равна:
$S = a \cdot a \cdot \sin \alpha$
$S = a^2 \sin \alpha$
Эта формула справедлива для любого угла ромба, так как синусы смежных углов равны ($\sin \alpha = \sin(180^\circ - \alpha)$), а противоположные углы ромба равны.

Ответ: Доказано, что площадь ромба $S = a^2 \sin \alpha$.

б) Какой вид должен иметь ромб со стороной $a$, чтобы его площадь была наибольшей. Ответ объясните.

Дано:
Ромб со стороной $a$.

Найти:
Вид ромба, при котором его площадь $S$ максимальна.

Решение:
Из пункта а) известно, что площадь ромба $S$ со стороной $a$ и углом $\alpha$ между сторонами выражается формулой:
$S = a^2 \sin \alpha$
Поскольку длина стороны $a$ является фиксированной величиной, для того чтобы площадь $S$ была наибольшей, необходимо, чтобы значение $\sin \alpha$ было максимальным.
Максимальное значение функции синуса равно $1$.
Это значение достигается, когда угол $\alpha$ равен $90^\circ$ (или $\frac{\pi}{2}$ радиан).
Если один из углов ромба равен $90^\circ$, то, поскольку сумма смежных углов ромба равна $180^\circ$, все его углы должны быть равны $90^\circ$.
Ромб, у которого все углы прямые, является квадратом.

Ответ: Ромб должен быть квадратом, так как при угле $90^\circ$ синус угла достигает своего максимального значения, равного 1, что обеспечивает наибольшую возможную площадь при заданной длине стороны $a$.

229.

a) Докажите, что медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника.

б) Отрезки $AM$ и $BK$ – медианы $\triangle ABC$. Докажите, что площади треугольников $AMB$ и $ABK$ равны.

в) Сравните площадь равностороннего треугольника, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, с суммой площадей двух равносторонних треугольников, построенных на его катетах.

a) Докажите, что медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника.

Дано: Треугольник $ABC$. $AD$ — медиана, то есть точка $D$ — середина стороны $BC$.

Найти: Доказать, что $S_{\triangle ABD} = S_{\triangle ACD}$.

Решение

Пусть $h_A$ — высота треугольника $ABC$, опущенная из вершины $A$ на сторону $BC$. Эта высота является также высотой для треугольников $ABD$ и $ACD$, проведенной к сторонам $BD$ и $DC$ соответственно.

Формула площади треугольника: $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$.

Площадь треугольника $ABD$: $S_{\triangle ABD} = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot h_A$.

Площадь треугольника $ACD$: $S_{\triangle ACD} = \frac{1}{2} \cdot DC \cdot h_A$.

По определению медианы, точка $D$ является серединой отрезка $BC$, следовательно, $BD = DC$.

Подставим $BD = DC$ в формулы площадей:

$S_{\triangle ABD} = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot h_A$

$S_{\triangle ACD} = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot h_A$ (так как $DC = BD$)

Отсюда следует, что $S_{\triangle ABD} = S_{\triangle ACD}$.

Ответ: Доказано. Медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника.

б) Отрезки $AM$ и $BK$ – медианы $\triangle ABC$. Докажите, что площади треугольников $AMB$ и $ABK$ равны.

Дано: Треугольник $ABC$. $AM$ — медиана к стороне $BC$. $BK$ — медиана к стороне $AC$.

Найти: Доказать, что $S_{\triangle AMB} = S_{\triangle ABK}$.

Решение

По доказанному в пункте a), медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника.

1. Рассмотрим медиану $AM$. Она делит треугольник $ABC$ на два треугольника $ABM$ и $ACM$, площади которых равны:

$S_{\triangle ABM} = S_{\triangle ACM} = \frac{1}{2} S_{\triangle ABC}$.

2. Рассмотрим медиану $BK$. Она делит треугольник $ABC$ на два треугольника $ABK$ и $CBK$, площади которых равны:

$S_{\triangle ABK} = S_{\triangle CBK} = \frac{1}{2} S_{\triangle ABC}$.

Из этих двух равенств следует, что:

$S_{\triangle AMB} = \frac{1}{2} S_{\triangle ABC}$

$S_{\triangle ABK} = \frac{1}{2} S_{\triangle ABC}$

Следовательно, $S_{\triangle AMB} = S_{\triangle ABK}$.

Ответ: Доказано. Площади треугольников $AMB$ и $ABK$ равны.

в) Сравните площадь равностороннего треугольника, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, с суммой площадей двух равносторонних треугольников, построенных на его катетах.

Дано: Прямоугольный треугольник с катетами $a$, $b$ и гипотенузой $c$.

На сторонах $a$, $b$, $c$ построены равносторонние треугольники.

Найти: Сравнить площадь равностороннего треугольника на гипотенузе ($S_c$) с суммой площадей равносторонних треугольников на катетах ($S_a + S_b$).

Решение

Для прямоугольного треугольника справедлива теорема Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$.

Формула площади равностороннего треугольника со стороной $x$: $S = \frac{\sqrt{3}}{4} x^2$.

1. Площадь равностороннего треугольника, построенного на катете $a$:

$S_a = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$.

2. Площадь равностороннего треугольника, построенного на катете $b$:

$S_b = \frac{\sqrt{3}}{4} b^2$.

3. Площадь равностороннего треугольника, построенного на гипотенузе $c$:

$S_c = \frac{\sqrt{3}}{4} c^2$.

Рассмотрим сумму площадей равносторонних треугольников, построенных на катетах:

$S_a + S_b = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 + \frac{\sqrt{3}}{4} b^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} (a^2 + b^2)$.

Согласно теореме Пифагора, $a^2 + b^2 = c^2$. Подставим это в выражение для суммы площадей:

$S_a + S_b = \frac{\sqrt{3}}{4} c^2$.

Сравнивая это с площадью $S_c$, мы видим, что:

$S_c = S_a + S_b$.

Ответ: Площадь равностороннего треугольника, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей двух равносторонних треугольников, построенных на его катетах.