Страница 118 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

236. Найдите площадь равнобедренного треугольника, если основание его равно 12 см, а длина высоты, проведенной к основанию, равна длине отрезка, соединяющего середины основания и боковой стороны.

Дано:

Равнобедренный треугольник ABC.

Основание $AC = a = 12 \text{ см}$.

Высота к основанию $BM = h_a$ (M - середина AC).

K - середина боковой стороны $AB$.

$h_a = MK$ (длина отрезка, соединяющего середины основания и боковой стороны).

Перевод в СИ:

$a = 12 \text{ см} = 0.12 \text{ м}$.

Найти:

Площадь треугольника $S$.

Решение:

Пусть в равнобедренном треугольнике ABC основание AC равно $a$, а боковые стороны AB и BC равны $b$.

Высота, проведенная к основанию, BM делит основание пополам, поэтому $AM = MC = a/2$.

По условию задачи, $a = 12 \text{ см}$, значит $MC = 12/2 = 6 \text{ см}$.

Высота к основанию $h_a = BM$.

Отрезок, соединяющий середины основания AC (точка M) и боковой стороны AB (точка K), является средней линией треугольника ABC.

Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух сторон, параллельна третьей стороне и равна её половине.

Таким образом, отрезок MK является средней линией, соединяющей середины AC и AB, и он равен половине стороны BC: $MK = BC/2$.

Поскольку $BC = b$, то $MK = b/2$.

По условию задачи, высота $h_a$ равна длине отрезка MK:

$h_a = MK \Rightarrow h_a = b/2$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник BMC, образованный высотой BM.

В этом треугольнике катеты $BM = h_a$ и $MC = 6 \text{ см}$, а гипотенуза $BC = b$.

По теореме Пифагора:

$BM^2 + MC^2 = BC^2$

Подставим известные значения и выражения:

$(b/2)^2 + 6^2 = b^2$

$b^2/4 + 36 = b^2$

Вычтем $b^2/4$ из обеих частей уравнения:

$36 = b^2 - b^2/4$

$36 = \frac{4b^2 - b^2}{4}$

$36 = 3b^2/4$

Умножим обе части на 4 и разделим на 3:

$b^2 = \frac{36 \cdot 4}{3}$

$b^2 = 12 \cdot 4$

$b^2 = 48$

Найдем $b$:

$b = \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3} \text{ см}$.

Теперь найдем высоту $h_a$:

$h_a = b/2 = (4\sqrt{3})/2 = 2\sqrt{3} \text{ см}$.

Площадь треугольника S вычисляется по формуле: $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$.

$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a$

$S = \frac{1}{2} \cdot 12 \text{ см} \cdot 2\sqrt{3} \text{ см}$

$S = 6 \cdot 2\sqrt{3}$

$S = 12\sqrt{3} \text{ см}^2$.

Ответ:

$12\sqrt{3} \text{ см}^2$.

237. Найдите площадь параллелограмма, периметр которого равен $P$, а точка пересечения диагоналей находится на расстоянии $d$ от каждой его стороны.

Дано:

Периметр параллелограмма $P$.

Расстояние от точки пересечения диагоналей до каждой стороны $d$.

Перевод в СИ:

Величины $P$ и $d$ являются буквенными параметрами, поэтому перевод в систему СИ не требуется. Предполагается, что $P$ измеряется в единицах длины (например, в метрах), а $d$ — в единицах длины (например, в метрах).

Найти:

Площадь параллелограмма $S$.

Решение:

Пусть стороны параллелограмма равны $a$ и $b$.

Периметр параллелограмма задается формулой: $$P = 2(a+b)$$

Точка пересечения диагоналей параллелограмма является его центром симметрии. Это означает, что эта точка находится на равном расстоянии от каждой пары противоположных сторон.

Расстояние от точки пересечения диагоналей до каждой из сторон параллелограмма равно $d$. Это означает, что высоты параллелограмма, проведенные к каждой из сторон, равны удвоенному этому расстоянию.

Пусть $h_a$ — высота, проведенная к стороне $a$, и $h_b$ — высота, проведенная к стороне $b$.

Согласно условию задачи, расстояние от центра до стороны $a$ равно $d$, следовательно, высота $h_a = 2d$.

Аналогично, расстояние от центра до стороны $b$ равно $d$, следовательно, высота $h_b = 2d$.

Площадь параллелограмма может быть выражена как произведение стороны на соответствующую высоту: $$S = a \cdot h_a$$ или $$S = b \cdot h_b$$

Подставим значения высот: $$S = a \cdot (2d)$$ и $$S = b \cdot (2d)$$

Поскольку площадь параллелограмма одна и та же, мы можем приравнять эти выражения: $$a \cdot (2d) = b \cdot (2d)$$

Так как $d$ по условию является расстоянием (а значит, $d \neq 0$), мы можем разделить обе части на $2d$: $$a = b$$

Это означает, что данный параллелограмм является ромбом, так как все его стороны равны.

Подставим $a = b$ в формулу для периметра ромба: $$P = 2(a+a)$$ $$P = 2(2a)$$ $$P = 4a$$

Выразим сторону $a$ через периметр $P$: $$a = \frac{P}{4}$$

Теперь подставим значение стороны $a$ и высоты $h_a$ (которая равна $2d$) в формулу для площади ромба: $$S = a \cdot h_a$$ $$S = \left(\frac{P}{4}\right) \cdot (2d)$$ $$S = \frac{2Pd}{4}$$ $$S = \frac{Pd}{2}$$

Ответ:

Площадь параллелограмма $S = \frac{Pd}{2}$.

238. Существуют ли два треугольника таких, что длина каждой стороны первого треугольника меньше 1 см, а длина каждой стороны второго треугольника больше 1 м, но площадь первого больше площади второго треугольника? Если существуют, то приведите пример.

Дано:

Для первого треугольника $T_1$: длины сторон $a_1, b_1, c_1 < 1 \text{ см}$.Для второго треугольника $T_2$: длины сторон $a_2, b_2, c_2 > 1 \text{ м}$.

Перевод в систему СИ:

$1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$.

Для $T_1$: $a_1, b_1, c_1 < 0.01 \text{ м}$.Для $T_2$: $a_2, b_2, c_2 > 1 \text{ м}$.

Найти:

Существуют ли такие два треугольника, что площадь первого больше площади второго треугольника ($S_1 > S_2$)? Если существуют, привести пример.

Решение:

Для ответа на вопрос необходимо показать, что это возможно, приведя конкретный пример двух таких треугольников. Для этого мы выберем первый треугольник с максимально возможной площадью, а второй треугольник — с минимально возможной площадью, при соблюдении всех заданных условий.

Выбор первого треугольника ($T_1$)

Чтобы получить максимально возможную площадь для первого треугольника, у которого все стороны строго меньше $1 \text{ см}$, выберем равносторонний треугольник, стороны которого очень близки к $1 \text{ см}$, но строго меньше. Пусть длина каждой стороны $T_1$ равна $a_1 = 0.99 \text{ см}$.$a_1 = 0.99 \text{ см} = 0.0099 \text{ м}$.Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $S = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2$.$S_1 = \frac{\sqrt{3}}{4} (0.0099 \text{ м})^2$.$S_1 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 0.00009801 \text{ м}^2$.$S_1 \approx 0.43301 \times 0.00009801 \text{ м}^2$.$S_1 \approx 0.00004248 \text{ м}^2$.

Выбор второго треугольника ($T_2$)

Чтобы получить минимально возможную площадь для второго треугольника, у которого все стороны строго больше $1 \text{ м}$, выберем его максимально "плоским", т.е. близким к вырожденному, но остающимся строго невырожденным. Это достигается, когда сумма двух сторон лишь незначительно превышает третью сторону.Пусть две стороны $T_2$ будут $a_2 = 1.000001 \text{ м}$ и $b_2 = 1.000001 \text{ м}$. Обе длины строго больше $1 \text{ м}$.Тогда третья сторона $c_2$ должна быть строго больше $1 \text{ м}$ и строго меньше суммы $a_2+b_2 = 1.000001 + 1.000001 = 2.000002 \text{ м}$.Чтобы минимизировать площадь, выберем $c_2$ очень близкой к этой сумме, например, $c_2 = 2.00000199999999999999999 \text{ м}$. Это значение строго больше $1 \text{ м}$.Проверим условия существования треугольника:$a_2 + b_2 = 1.000001 + 1.000001 = 2.000002 > c_2 = 2.00000199999999999999999$ (верно).$a_2 + c_2 = 1.000001 + 2.00000199999999999999999 > b_2 = 1.000001$ (верно).$b_2 + c_2 = 1.000001 + 2.00000199999999999999999 > a_2 = 1.000001$ (верно).Таким образом, такой треугольник существует.Вычислим его площадь по формуле Герона $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p$ — полупериметр.$p = \frac{1.000001 + 1.000001 + 2.00000199999999999999999}{2} = \frac{4.00000399999999999999999}{2} = 2.000001999999999999999995 \text{ м}$.$p - a_2 = 2.000001999999999999999995 - 1.000001 = 1.000000999999999999999995 \text{ м}$.$p - b_2 = 1.000000999999999999999995 \text{ м}$.$p - c_2 = 2.000001999999999999999995 - 2.00000199999999999999999 = 0.000000000000000000000005 \text{ м}$.$S_2 = \sqrt{2.000001999999999999999995 \times (1.000000999999999999999995)^2 \times 0.000000000000000000000005}$.$S_2 \approx \sqrt{2 \times 1^2 \times 5 \times 10^{-24}} \text{ м}^2$.$S_2 \approx \sqrt{10 \times 10^{-25}} = \sqrt{10^{-24}} = 10^{-12} \text{ м}^2$.Точное значение: $S_2 \approx 3.162 \times 10^{-12} \text{ м}^2$.

Сравнение площадей S₁ и S₂

Площадь первого треугольника: $S_1 \approx 0.00004248 \text{ м}^2$.Площадь второго треугольника: $S_2 \approx 0.000000000003162 \text{ м}^2$.

Очевидно, что $0.00004248 \text{ м}^2 > 0.000000000003162 \text{ м}^2$.Следовательно, площадь первого треугольника может быть больше площади второго треугольника.

Ответ: Да, существуют.

239.

a) Разделите параллелограмм прямой, проходящей через его вершину, на два многоугольника, площади которых относятся как $1 : 2$.

б) Постройте параллелограмм с данным острым углом, равновеликий данному треугольнику. (Задача из «Начал» Евклида.)

Пусть дан параллелограмм $ABCD$. Выберем одну из его вершин, например, вершину $A$.Для того чтобы разделить параллелограмм прямой, проходящей через вершину $A$, на два многоугольника, площади которых относятся как $1:2$, необходимо провести прямую из вершины $A$ к точке на одной из противолежащих сторон, которая делит эту сторону в определенном отношении.Рассмотрим сторону $CD$, противолежащую вершине $A$. Проведем прямую из вершины $A$ к точке $P$ на стороне $CD$.В результате образуются два многоугольника: треугольник $\triangle ADP$ и трапеция $ABCP$.Площадь параллелограмма $ABCD$ равна $S_{ABCD}$. Пусть $h$ — высота параллелограмма, опущенная на сторону $CD$. Тогда $S_{ABCD} = CD \cdot h$.Площадь треугольника $\triangle ADP$ равна $S_{\triangle ADP} = \frac{1}{2} \cdot DP \cdot h$.Площадь трапеции $ABCP$ равна $S_{ABCP} = S_{ABCD} - S_{\triangle ADP} = CD \cdot h - \frac{1}{2} \cdot DP \cdot h$.По условию задачи, отношение площадей должно быть $1:2$. Возможны два случая:

1) $S_{\triangle ADP} : S_{ABCP} = 1:2$.
Это означает, что $S_{\triangle ADP} = \frac{1}{3} S_{ABCD}$ и $S_{ABCP} = \frac{2}{3} S_{ABCD}$.
Подставим выражения для площадей:
$\frac{1}{2} \cdot DP \cdot h = \frac{1}{3} \cdot CD \cdot h$
Сокращаем $h$ (поскольку $h \ne 0$):
$\frac{1}{2} \cdot DP = \frac{1}{3} \cdot CD$
$DP = \frac{2}{3} CD$
Таким образом, точка $P$ должна делить сторону $CD$ так, чтобы отрезок $DP$ составлял две трети длины $CD$.

2) $S_{ABCP} : S_{\triangle ADP} = 1:2$.
Это означает, что $S_{ABCP} = \frac{1}{3} S_{ABCD}$ и $S_{\triangle ADP} = \frac{2}{3} S_{ABCD}$.
Из $S_{\triangle ADP} = \frac{2}{3} S_{ABCD}$ получаем $\frac{1}{2} DP \cdot h = \frac{2}{3} CD \cdot h$, что приводит к $DP = \frac{4}{3} CD$. Это невозможно, так как точка $P$ должна лежать на отрезке $CD$.

Итак, единственное решение — это когда $DP = \frac{2}{3} CD$.Аналогично, если прямая проводится из вершины $A$ к точке $Q$ на стороне $BC$ (противолежащей $A$ и $D$), то образуются треугольник $\triangle ABQ$ и трапеция $AQCD$.Если $S_{\triangle ABQ} : S_{AQCD} = 1:2$, то $S_{\triangle ABQ} = \frac{1}{3} S_{ABCD}$. Пусть $h'$ — высота параллелограмма, опущенная на сторону $AB$. Тогда $S_{ABCD} = AB \cdot h'$.Площадь треугольника $\triangle ABQ = \frac{1}{2} \cdot BQ \cdot h'$.$\frac{1}{2} \cdot BQ \cdot h' = \frac{1}{3} \cdot AB \cdot h'$$\frac{1}{2} \cdot BQ = \frac{1}{3} \cdot AB$$BQ = \frac{2}{3} AB$

Следовательно, для разделения параллелограмма прямой, проходящей через его вершину, на два многоугольника с отношением площадей $1:2$, необходимо провести эту прямую из выбранной вершины к точке на одной из противолежащих сторон, которая делит эту сторону в отношении $2:1$ от смежной вершины.

Ответ: Для разделения параллелограмма прямой, проходящей через одну из его вершин, например $A$, на два многоугольника, площади которых относятся как $1:2$, необходимо провести прямую из вершины $A$ к точке $P$ на противолежащей стороне (например, $CD$), так, чтобы $DP = \frac{2}{3}CD$. В результате образуются треугольник $\triangle ADP$ и трапеция $ABCP$, площади которых будут относиться как $1:2$.

Дано:

Треугольник $ABC$.

Острый угол $\alpha$.

Найти:

Построить параллелограмм, площадь которого равна площади треугольника $ABC$, и один из углов которого равен $\alpha$.

Решение:

Построение основывается на задаче 42 из Книги I «Начал» Евклида, которая гласит: «Построить на данном прямолинейном отрезке параллелограмм, равновеликий данному треугольнику и имеющий данный угол.» В нашем случае, «данный прямолинейный отрезок» может быть половиной одной из сторон треугольника.

Алгоритм построения:

1. Пусть дан треугольник $ABC$. Выберем одну из его сторон, например $BC$, и найдем ее середину. Пусть это будет точка $D$.

2. Проведем прямую $l$ через вершину $A$ (противоположную стороне $BC$) параллельно стороне $BC$.

3. В точке $D$ построим угол, равный данному острому углу $\alpha$. Для этого от луча $DC$ отложим угол $\angle CDF = \alpha$, где точка $F$ лежит на прямой $l$.

4. Через точку $C$ проведем прямую $CG$ параллельно прямой $DF$. Эта прямая $CG$ пересечет прямую $l$ в точке $G$.

5. Четырехугольник $DFGC$ является искомым параллелограммом.

Доказательство:

1. Треугольники $\triangle ADC$ и $\triangle ABD$ имеют равные площади, так как у них общее основание $BC$, разделенное точкой $D$ пополам ($BD=DC$), и общая высота, опущенная из вершины $A$ на $BC$. Следовательно, $S_{\triangle ADC} = \frac{1}{2} S_{\triangle ABC}$.

2. Параллелограмм $DFGC$ имеет основание $DC$. Высота параллелограмма $DFGC$ относительно основания $DC$ — это перпендикулярное расстояние между параллельными прямыми $BC$ и $l$ (на которой лежит $FG$). Это расстояние равно высоте $\triangle ADC$ от вершины $A$ до основания $DC$. Обозначим эту высоту $h_{DC}$.

3. Площадь параллелограмма $DFGC$ равна $S_{DFGC} = DC \cdot h_{DC}$.

4. Площадь треугольника $\triangle ADC$ равна $S_{\triangle ADC} = \frac{1}{2} DC \cdot h_{DC}$.

5. Из пунктов 3 и 4 следует, что $S_{DFGC} = 2 \cdot S_{\triangle ADC}$.

6. Из пунктов 1 и 5 следует, что $S_{DFGC} = 2 \cdot (\frac{1}{2} S_{\triangle ABC}) = S_{\triangle ABC}$. Таким образом, построенный параллелограмм $DFGC$ равновелик данному треугольнику $ABC$.

7. По построению, угол $\angle CDF = \alpha$. Поскольку $DFGC$ является параллелограммом, его противоположный угол $\angle CGF$ также равен $\alpha$, а смежные углы (например, $\angle FGC$ и $\angle DFG$) равны $180^\circ - \alpha$. Так как $\alpha$ является острым углом, параллелограмм $DFGC$ имеет угол, равный $\alpha$.

Ответ: Для построения параллелограмма с заданным острым углом, равновеликого данному треугольнику $ABC$:
1. Найдите середину $D$ одной из сторон треугольника (например, $BC$).
2. Проведите прямую $l$ через вершину $A$ (противоположную стороне $BC$) параллельно $BC$.
3. В точке $D$ постройте угол, равный заданному острому углу $\alpha$, так, чтобы одна из сторон угла лежала на $BC$ (например, $DC$), а другая сторона пересекала прямую $l$ в точке $F$.
4. Из точки $C$ проведите прямую $CG$ параллельно $DF$ до пересечения с прямой $l$ в точке $G$.
5. Четырехугольник $DFGC$ является искомым параллелограммом, так как его площадь равна площади треугольника $ABC$, и один из его углов равен $\alpha$.

Постройте ромб, проведите его высоту и диагонали. Измерьте сторону, высоту и диагонали. Сравните произведение длины стороны на высоту ($a \cdot h$) с половиной произведения длин диагоналей ($\frac{1}{2} d_1 d_2$).

Постройте ромб, проведите его высоту и диагонали

Для решения задачи сначала выполним построения. Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны.
1. Начертим две взаимно перпендикулярные прямые, пересекающиеся в точке O.
2. На одной прямой от точки O отложим равные отрезки $OA$ и $OC$. Отрезок $AC$ будет первой диагональю.
3. На второй прямой от точки O отложим другие равные между собой отрезки $OB$ и $OD$. Отрезок $BD$ станет второй диагональю.
4. Последовательно соединим точки A, B, C и D. Фигура ABCD является искомым ромбом.
5. Для построения высоты из вершины D опустим перпендикуляр DH на сторону AB. Отрезок DH — это высота ромба.
Таким образом, мы построили ромб ABCD, провели его диагонали $AC$ ($d_1$) и $BD$ ($d_2$), и высоту $DH$ ($h$).

Ответ: Построение ромба, его диагоналей и высоты выполнено согласно заданию.

Измерьте сторону, высоту и диагонали

Теперь необходимо измерить полученные отрезки. Так как выполнить физическое измерение невозможно, мы зададим для нашего ромба конкретные, математически согласованные размеры, как если бы мы их измерили линейкой.
Пусть длины диагоналей, которые мы задали при построении, равны:
- Длина диагонали $d_1 = AC = 16$ см.
- Длина диагонали $d_2 = BD = 12$ см.
Теперь мы можем точно вычислить длину стороны и высоты для этого ромба.
- Сторона ($a$): Диагонали ромба в точке пересечения O делятся пополам и перпендикулярны друг другу. Рассмотрим прямоугольный треугольник AOB. Его катеты равны $AO = d_1/2 = 8$ см и $BO = d_2/2 = 6$ см. Сторона ромба $a = AB$ является гипотенузой этого треугольника. По теореме Пифагора:
$a = \sqrt{AO^2 + BO^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$ см.
- Высота ($h$): Площадь ромба $S$ можно найти как половину произведения диагоналей: $S = \frac{1}{2}d_1 d_2$. Также площадь равна произведению стороны на высоту: $S = a \cdot h$. Приравняв эти выражения, найдем $h$:
$h = \frac{\frac{1}{2}d_1 d_2}{a} = \frac{\frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 12}{10} = \frac{96}{10} = 9.6$ см.

Ответ: Измеренные (и вычисленные для точности) длины составляют: сторона $a = 10$ см, высота $h = 9.6$ см, диагональ $d_1 = 16$ см, диагональ $d_2 = 12$ см.

Сравните произведение длины стороны на высоту с половиной произведения длин диагоналей

Используя полученные в предыдущем пункте значения, выполним требуемое сравнение.

1. Вычислим произведение длины стороны на высоту:
$a \cdot h = 10 \text{ см} \cdot 9.6 \text{ см} = 96 \text{ см}^2$.

2. Вычислим половину произведения длин диагоналей:
$\frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2 = \frac{1}{2} \cdot 16 \text{ см} \cdot 12 \text{ см} = \frac{1}{2} \cdot 192 \text{ см}^2 = 96 \text{ см}^2$.

Сравнивая результаты, мы видим, что они равны: $a \cdot h = \frac{1}{2} d_1 \cdot d_2$, так как $96 = 96$.

Общий вывод: Этот результат не является случайностью и верен для любого ромба. Обе вычисленные величины представляют собой разные формулы для вычисления одной и той же характеристики — площади ромба.
- Площадь ромба (как и любого параллелограмма) равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне: $S = a \cdot h$.
- Площадь ромба также можно найти как половину произведения его диагоналей: $S = \frac{1}{2} d_1 \cdot d_2$.
Поскольку обе формулы служат для вычисления площади одной и той же фигуры, их результаты всегда будут равны.

Ответ: Произведение длины стороны на высоту равно половине произведения длин диагоналей.