Страница 120 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

1. Докажите, что площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

2. По какой формуле можно найти площадь выпуклого четырехугольника, если известны его диагонали и угол между ними?

1. Докажите, что площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

Решение

Пусть дан ромб $ABCD$ с диагоналями $AC$ и $BD$, которые пересекаются в точке $O$. Обозначим длины диагоналей как $d_1 = AC$ и $d_2 = BD$.

Известно, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Следовательно, $AO = OC = \frac{d_1}{2}$ и $BO = OD = \frac{d_2}{2}$, а угол $\angle AOB = 90^\circ$.

Площадь ромба $ABCD$ может быть представлена как сумма площадей двух треугольников: $\triangle ABD$ и $\triangle BCD$. Диагональ $BD$ является общим основанием для этих двух треугольников.

Высота треугольника $\triangle ABD$, опущенная на основание $BD$, это отрезок $AO$.

Тогда площадь $\triangle ABD$ равна: $S_{\triangle ABD} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot AO = \frac{1}{2} \cdot d_2 \cdot \frac{d_1}{2} = \frac{d_1 d_2}{4}$.

Аналогично, высота треугольника $\triangle BCD$, опущенная на основание $BD$, это отрезок $OC$.

Тогда площадь $\triangle BCD$ равна: $S_{\triangle BCD} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot OC = \frac{1}{2} \cdot d_2 \cdot \frac{d_1}{2} = \frac{d_1 d_2}{4}$.

Общая площадь ромба $S_{ABCD}$ равна сумме площадей этих двух треугольников:

$S_{ABCD} = S_{\triangle ABD} + S_{\triangle BCD} = \frac{d_1 d_2}{4} + \frac{d_1 d_2}{4} = \frac{2 d_1 d_2}{4} = \frac{d_1 d_2}{2}$.

Таким образом, доказано, что площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

Ответ: Доказано.

2. По какой формуле можно найти площадь выпуклого четырехугольника, если известны его диагонали и угол между ними?

Решение

Площадь $S$ выпуклого четырехугольника, если известны длины его диагоналей $d_1$ и $d_2$, а также угол $\alpha$ между ними, можно найти по следующей формуле:

$S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin(\alpha)$

где $d_1$ и $d_2$ — длины диагоналей четырехугольника, а $\alpha$ — величина любого из двух смежных углов между этими диагоналями. (Примечание: синусы смежных углов равны, то есть $\sin(\alpha) = \sin(180^\circ - \alpha)$).

Ответ: $S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin(\alpha)$.

240. a) Найдите площадь трапеции, если ее диагонали перпендикулярны и равны 3,2 дм и 14 дм.

б) В выпуклом четырехугольнике диагонали перпендикулярны и равны 6 см и 9 см. Найдите его площадь.

a)

Дано:

диагонали трапеции: $d_1 = 3,2 \text{ дм}$, $d_2 = 14 \text{ дм}$

диагонали перпендикулярны ($d_1 \perp d_2$)

Перевод в СИ:

$d_1 = 3,2 \text{ дм} = 0,32 \text{ м}$

$d_2 = 14 \text{ дм} = 1,4 \text{ м}$

Найти:

площадь трапеции $S$

Решение:

Площадь любого выпуклого четырехугольника, у которого диагонали перпендикулярны, можно найти по формуле $S = \frac{1}{2} d_1 d_2$, где $d_1$ и $d_2$ — длины диагоналей.

Для данной трапеции, поскольку ее диагонали перпендикулярны, применяем эту формулу:

$S = \frac{1}{2} \cdot 3,2 \text{ дм} \cdot 14 \text{ дм}$

$S = \frac{1}{2} \cdot 44,8 \text{ дм}^2$

$S = 22,4 \text{ дм}^2$

Ответ: $22,4 \text{ дм}^2$

б)

Дано:

диагонали выпуклого четырехугольника: $d_1 = 6 \text{ см}$, $d_2 = 9 \text{ см}$

диагонали перпендикулярны ($d_1 \perp d_2$)

Перевод в СИ:

$d_1 = 6 \text{ см} = 0,06 \text{ м}$

$d_2 = 9 \text{ см} = 0,09 \text{ м}$

Найти:

площадь четырехугольника $S$

Решение:

Площадь выпуклого четырехугольника с перпендикулярными диагоналями равна половине произведения длин его диагоналей:

$S = \frac{1}{2} d_1 d_2$

Подставим известные значения:

$S = \frac{1}{2} \cdot 6 \text{ см} \cdot 9 \text{ см}$

$S = \frac{1}{2} \cdot 54 \text{ см}^2$

$S = 27 \text{ см}^2$

Ответ: $27 \text{ см}^2$

241. Диагональ равнобедренной трапеции равна $4\sqrt{3}$ дм, а угол между диагоналями $60^\circ$. Найдите площадь этой трапеции.

Дано:

Трапеция является равнобедренной.

Длина диагонали $d = 4\sqrt{3}$ дм.

Угол между диагоналями $\alpha = 60^\circ$.

Найти:

Площадь трапеции $S$.

Решение:

Для равнобедренной трапеции диагонали равны по длине, то есть $d_1 = d_2 = d$.

Площадь любой трапеции (или любого выпуклого четырехугольника) может быть найдена по формуле:

$S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin \alpha$

В случае равнобедренной трапеции, где $d_1 = d_2 = d$, формула упрощается до:

$S = \frac{1}{2} d^2 \sin \alpha$

Подставим известные значения в формулу:

$d = 4\sqrt{3}$ дм

$\alpha = 60^\circ$

Значение синуса угла $60^\circ$ равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$:

$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Выполним вычисления:

$S = \frac{1}{2} (4\sqrt{3})^2 \cdot \sin 60^\circ$

$S = \frac{1}{2} (16 \cdot 3) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$S = \frac{1}{2} (48) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$S = 24 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$S = 12\sqrt{3}$

Таким образом, площадь трапеции равна $12\sqrt{3}$ квадратных дециметров.

Ответ:

Площадь трапеции равна $12\sqrt{3}$ дм$^2$.

242. Площадь ромба равна $216 \text{ см}^2$, а длины его диагоналей относятся как 3 : 4. Найдите сторону ромба.

Дано

Площадь ромба $S = 216 \text{ см}^2$.

Отношение длин диагоналей $d_1 : d_2 = 3 : 4$.

Перевод в СИ

$S = 216 \text{ см}^2 = 216 \cdot (10^{-2} \text{ м})^2 = 0.0216 \text{ м}^2$.

(Однако, для удобства вычислений в ходе решения будем использовать сантиметры, так как все промежуточные и конечные значения будут удобны в этой системе единиц).

Найти:

Сторону ромба $a$.

Решение

Пусть длины диагоналей ромба будут $d_1$ и $d_2$.

Известно, что отношение длин диагоналей равно $3:4$. Это означает, что мы можем представить их как $d_1 = 3x$ и $d_2 = 4x$ для некоторого положительного коэффициента $x$.

Площадь ромба вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} d_1 d_2$.

Подставим данные значения и выражения для диагоналей в формулу площади:

$216 = \frac{1}{2} (3x)(4x)$

$216 = \frac{1}{2} (12x^2)$

$216 = 6x^2$

Разделим обе части уравнения на 6, чтобы найти $x^2$:

$x^2 = \frac{216}{6}$

$x^2 = 36$

Извлекаем квадратный корень, чтобы найти $x$. Поскольку $x$ представляет собой часть длины, оно должно быть положительным:

$x = \sqrt{36}$

$x = 6$

Теперь, когда мы знаем значение $x$, можем найти длины диагоналей:

$d_1 = 3x = 3 \cdot 6 = 18 \text{ см}$

$d_2 = 4x = 4 \cdot 6 = 24 \text{ см}$

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся точкой пересечения пополам. Это образует четыре прямоугольных треугольника. Сторона ромба $a$ является гипотенузой каждого такого треугольника, а его катетами являются половины диагоналей.

Длины половин диагоналей:

$\frac{d_1}{2} = \frac{18}{2} = 9 \text{ см}$

$\frac{d_2}{2} = \frac{24}{2} = 12 \text{ см}$

Применим теорему Пифагора для нахождения стороны ромба $a$:

$a^2 = \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2$

$a^2 = (9)^2 + (12)^2$

$a^2 = 81 + 144$

$a^2 = 225$

Извлекаем квадратный корень, чтобы найти $a$:

$a = \sqrt{225}$

$a = 15 \text{ см}$

Ответ:

Сторона ромба равна $15 \text{ см}$.

243. Периметр прямоугольника равен 68 см, разность его сторон равна 14 см. Середины сторон прямоугольника являются вершинами четырехугольника. Укажите вид этого четырехугольника и найдите его площадь.

Дано

Прямоугольник ABCD:

• Периметр $P_{ABCD} = 68 \text{ см}$
• Разность сторон $a - b = 14 \text{ см}$

Середины сторон прямоугольника являются вершинами четырехугольника PQRS.

Перевод в СИ:

$P_{ABCD} = 68 \text{ см} = 0.68 \text{ м}$

$a - b = 14 \text{ см} = 0.14 \text{ м}$

Найти:

Вид четырехугольника PQRS

Площадь четырехугольника PQRS, $S_{PQRS}$

Решение

1. Нахождение сторон прямоугольника:

Пусть стороны прямоугольника $a$ и $b$.

Периметр прямоугольника задается формулой: $P = 2(a+b)$.

Согласно условию, $P = 68 \text{ см}$. Подставляем значение периметра в формулу:

$2(a+b) = 68$

Делим обе части уравнения на 2:

$a+b = 34 \text{ см}$

Также из условия известно, что разность сторон равна 14 см:

$a-b = 14 \text{ см}$

Получаем систему из двух линейных уравнений с двумя переменными:

$a+b = 34$

$a-b = 14$

Сложим оба уравнения, чтобы исключить $b$:

$(a+b) + (a-b) = 34 + 14$

$2a = 48$

Разделим обе части на 2:

$a = 24 \text{ см}$

Теперь подставим значение $a$ в первое уравнение $a+b=34$:

$24+b = 34$

$b = 34 - 24$

$b = 10 \text{ см}$

Таким образом, стороны прямоугольника равны $24 \text{ см}$ и $10 \text{ см}$.

Укажите вид этого четырехугольника

Пусть ABCD - данный прямоугольник, а P, Q, R, S - середины его сторон AB, BC, CD, DA соответственно. Четырехугольник PQRS образован соединением этих середин.

Рассмотрим треугольник ABC. P - середина AB, Q - середина BC. Следовательно, PQ является средней линией треугольника ABC. По свойству средней линии, PQ параллельна диагонали AC и $PQ = \frac{1}{2} AC$.

Аналогично, в треугольнике ADC, R - середина CD, S - середина DA. Следовательно, RS является средней линией треугольника ADC. По свойству средней линии, RS параллельна диагонали AC и $RS = \frac{1}{2} AC$.

Из этого следует, что $PQ \parallel RS$ и $PQ = RS$. Это означает, что PQRS является параллелограммом.

Теперь рассмотрим треугольник BAD. P - середина AB, S - середина AD. Следовательно, PS является средней линией треугольника BAD. По свойству средней линии, PS параллельна диагонали BD и $PS = \frac{1}{2} BD$.

В прямоугольнике диагонали равны, то есть $AC = BD$.

Поскольку $PQ = \frac{1}{2} AC$ и $PS = \frac{1}{2} BD$, а $AC = BD$, то $PQ = PS$.

Параллелограмм, у которого соседние стороны равны, является ромбом.

Ответ: ромб.

найдите его площадь

Площадь ромба PQRS можно вычислить как половину произведения его диагоналей.

Диагоналями ромба PQRS являются отрезки PR и QS.

Диагональ PR соединяет середины сторон AB и CD. Этот отрезок параллелен сторонам AD и BC прямоугольника и равен их длине. Таким образом, $PR = b = 10 \text{ см}$.

Диагональ QS соединяет середины сторон BC и DA. Этот отрезок параллелен сторонам AB и CD прямоугольника и равен их длине. Таким образом, $QS = a = 24 \text{ см}$.

Формула площади ромба: $S = \frac{1}{2} d_1 d_2$, где $d_1$ и $d_2$ - длины диагоналей.

Подставляем значения диагоналей:

$S_{PQRS} = \frac{1}{2} \times PR \times QS = \frac{1}{2} \times 10 \text{ см} \times 24 \text{ см}$

$S_{PQRS} = \frac{1}{2} \times 240 \text{ см}^2$

$S_{PQRS} = 120 \text{ см}^2$

Альтернативный способ: Известно, что площадь четырехугольника, образованного соединением середин сторон выпуклого четырехугольника, равна половине площади исходного четырехугольника.

Площадь прямоугольника $S_{ABCD} = a \times b = 24 \text{ см} \times 10 \text{ см} = 240 \text{ см}^2$.

Тогда площадь четырехугольника PQRS: $S_{PQRS} = \frac{1}{2} S_{ABCD} = \frac{1}{2} \times 240 \text{ см}^2 = 120 \text{ см}^2$.

Ответ: $120 \text{ см}^2$.

244. Средняя линия и высота равнобедренной трапеции соответственно равны 15 см и 6 см. Середины ее сторон являются вершинами четырехугольника. Укажите вид этого четырехугольника и найдите его площадь.

Дано:

Средняя линия равнобедренной трапеции $m = 15 \text{ см}$

Высота равнобедренной трапеции $h = 6 \text{ см}$

Перевод в СИ:

$m = 15 \text{ см} = 0.15 \text{ м}$

$h = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$

Найти:

Вид четырехугольника, образованного серединами сторон трапеции.

Площадь этого четырехугольника $S_{четырехугольника}$.

Решение

Укажите вид этого четырехугольника

Пусть дана равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AB$ и $CD$. Обозначим середины ее сторон как $K, L, M, N$, где $K$ — середина $AB$, $L$ — середина $BC$, $M$ — середина $CD$, $N$ — середина $DA$. Четырехугольник, образованный соединением середин сторон любого четырехугольника, называется вариньоновым параллелограммом. Это свойство следует из теоремы Вариньона, которая утверждает, что такой четырехугольник всегда является параллелограммом.

В данном случае, трапеция является равнобедренной. Это означает, что ее диагонали равны по длине: $AC = BD$.

Стороны четырехугольника $KLMN$ являются средними линиями треугольников, образующих трапецию:

• Сторона $KL$ является средней линией треугольника $ABC$, поэтому $KL \parallel AC$ и $KL = \frac{1}{2} AC$.

• Сторона $LM$ является средней линией треугольника $BCD$, поэтому $LM \parallel BD$ и $LM = \frac{1}{2} BD$.

• Сторона $MN$ является средней линией треугольника $CDA$, поэтому $MN \parallel AC$ и $MN = \frac{1}{2} AC$.

• Сторона $NK$ является средней линией треугольника $DAB$, поэтому $NK \parallel BD$ и $NK = \frac{1}{2} BD$.

Поскольку трапеция равнобедренная, ее диагонали равны ($AC = BD$). Следовательно, длины всех сторон четырехугольника $KLMN$ также равны: $KL = LM = MN = NK$.

Параллелограмм, у которого все стороны равны, является ромбом.

Ответ: Ромб.

Найдите его площадь

Площадь трапеции $S_{трапеции}$ можно найти по формуле: $S_{трапеции} = m \cdot h$, где $m$ — средняя линия трапеции, а $h$ — ее высота.

Используем данные в единицах СИ:

$S_{трапеции} = 0.15 \text{ м} \cdot 0.06 \text{ м} = 0.009 \text{ м}^2$.

Переведем значение площади обратно в квадратные сантиметры, так как исходные данные были в сантиметрах:

$S_{трапеции} = 0.009 \text{ м}^2 = 0.009 \cdot (100 \text{ см})^2 = 0.009 \cdot 10000 \text{ см}^2 = 90 \text{ см}^2$.

Существует теорема, которая гласит, что площадь четырехугольника, образованного соединением середин сторон произвольного выпуклого четырехугольника, равна половине площади исходного четырехугольника.

Таким образом, площадь четырехугольника $KLMN$ (ромба) $S_{KLMN}$ будет равна половине площади трапеции $ABCD$:

$S_{KLMN} = \frac{1}{2} S_{трапеции}$

$S_{KLMN} = \frac{1}{2} \cdot 90 \text{ см}^2 = 45 \text{ см}^2$.

Ответ: $45 \text{ см}^2$.