Страница 102 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

200. В прямоугольном $ \triangle OMN $ $ \angle O = 90^\circ $, $ NK $ – биссектриса острого угла. Найдите ее проекцию на катет $ MO $, если $ ON = 4 $ см, $ MN = 5 $ см.

Дано:

Прямоугольный треугольник $\triangle OMN$.
$\angle O = 90^\circ$.
$NK$ - биссектриса острого угла $\angle N$.
$ON = 4$ см.
$MN = 5$ см.

Перевод в СИ:
$ON = 4 \text{ см} = 0.04 \text{ м}$.
$MN = 5 \text{ см} = 0.05 \text{ м}$.

Найти:

Проекцию биссектрисы $NK$ на катет $MO$, то есть отрезок $OK$.

Решение:

1. Найдем длину катета $MO$ в прямоугольном треугольнике $\triangle OMN$, используя теорему Пифагора.
$MN^2 = MO^2 + ON^2$
$MO^2 = MN^2 - ON^2$
$MO^2 = (5 \text{ см})^2 - (4 \text{ см})^2$
$MO^2 = 25 \text{ см}^2 - 16 \text{ см}^2$
$MO^2 = 9 \text{ см}^2$
$MO = \sqrt{9 \text{ см}^2} = 3 \text{ см}$.

2. Так как $NK$ является биссектрисой угла $N$, то по свойству биссектрисы угла треугольника (теорема о биссектрисе угла) она делит противолежащую сторону $MO$ на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.
То есть, $\frac{MK}{KO} = \frac{MN}{NO}$.

3. Пусть искомая проекция $OK = x$. Тогда $MK = MO - OK = 3 - x$.
Подставим известные значения в пропорцию:
$\frac{3 - x}{x} = \frac{5 \text{ см}}{4 \text{ см}}$
$\frac{3 - x}{x} = \frac{5}{4}$
Умножим крест-на-крест:
$4(3 - x) = 5x$
$12 - 4x = 5x$
$12 = 5x + 4x$
$12 = 9x$
$x = \frac{12}{9}$
$x = \frac{4}{3}$ см.

Ответ:

Проекция биссектрисы $NK$ на катет $MO$ равна $\frac{4}{3}$ см.

201. Периметр треугольника $PNK$ равен $8,4$ дм, его биссектриса $PM$ делит сторону $NK$ на части $NM = 2,7$ дм, $MK = 0,9$ дм. Найдите стороны $PN$ и $PK$.

Дано:

Треугольник $PNK$.

Периметр треугольника $P_{PNK} = 8.4$ дм.

$PM$ - биссектриса угла $P$.

Биссектриса $PM$ делит сторону $NK$ на отрезки $NM = 2.7$ дм и $MK = 0.9$ дм.

Перевод в СИ:

Периметр $P_{PNK} = 8.4 \text{ дм} = 8.4 \times 0.1 \text{ м} = 0.84 \text{ м}$.

Отрезок $NM = 2.7 \text{ дм} = 2.7 \times 0.1 \text{ м} = 0.27 \text{ м}$.

Отрезок $MK = 0.9 \text{ дм} = 0.9 \times 0.1 \text{ м} = 0.09 \text{ м}$.

Найти:

Сторона $PN$.

Сторона $PK$.

Решение:

1. Найдем длину стороны $NK$. Сторона $NK$ состоит из суммы отрезков $NM$ и $MK$:

$NK = NM + MK$

$NK = 0.27 \text{ м} + 0.09 \text{ м} = 0.36 \text{ м}$

2. Запишем формулу периметра треугольника $PNK$. Периметр треугольника равен сумме длин всех его сторон:

$P_{PNK} = PN + PK + NK$

Подставим известные значения периметра и стороны $NK$:

$0.84 \text{ м} = PN + PK + 0.36 \text{ м}$

3. Выразим сумму сторон $PN$ и $PK$ из уравнения периметра:

$PN + PK = 0.84 \text{ м} - 0.36 \text{ м}$

$PN + PK = 0.48 \text{ м}$

4. Применим теорему о биссектрисе угла треугольника. Согласно этой теореме, биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Для биссектрисы $PM$ треугольника $PNK$ это означает:

$\frac{PN}{PK} = \frac{NM}{MK}$

Подставим известные значения отрезков $NM$ и $MK$:

$\frac{PN}{PK} = \frac{0.27 \text{ м}}{0.09 \text{ м}}$

$\frac{PN}{PK} = 3$

5. Из полученного отношения выразим длину стороны $PN$ через длину стороны $PK$:

$PN = 3 \times PK$

6. Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными ($PN$ и $PK$):

1) $PN + PK = 0.48$

2) $PN = 3 \times PK$

Подставим выражение для $PN$ из второго уравнения в первое:

$(3 \times PK) + PK = 0.48$

$4 \times PK = 0.48$

7. Найдем длину стороны $PK$:

$PK = \frac{0.48}{4}$

$PK = 0.12 \text{ м}$

8. Найдем длину стороны $PN$, используя соотношение $PN = 3 \times PK$:

$PN = 3 \times 0.12 \text{ м}$

$PN = 0.36 \text{ м}$

Ответ:

Сторона $PN = 0.36 \text{ м}$

Сторона $PK = 0.12 \text{ м}$

202. В треугольник $ABC$ вписан ромб $AMNK$ так, что угол $A$ у них общий, а точки $M, N$ и $K$ лежат на сторонах треугольника $AB$, $BC$ и $AC$ соответственно. Найдите $BN$ и $NC$, если $AB = 10$ см, $BC = 9$ см, $AC = 8$ см.

Дано:

Треугольник $ABC$.

Ромб $AMNK$ вписан в $ABC$.

Угол $A$ является общим для треугольника $ABC$ и ромба $AMNK$.

Точки $M$, $N$, $K$ лежат на сторонах $AB$, $BC$, $AC$ соответственно.

$AB = 10$ см

$BC = 9$ см

$AC = 8$ см

Перевод в СИ:

$AB = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$

$BC = 9 \text{ см} = 0.09 \text{ м}$

$AC = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$

Найти:

$BN$

$NC$

Решение:

Пусть сторона ромба $AMNK$ равна $x$. Так как $M$ лежит на $AB$, $K$ на $AC$, то $AM = AK = x$.

Поскольку $AMNK$ — ромб, его противоположные стороны параллельны. Следовательно, $MN \parallel AK$. Так как $AK$ лежит на $AC$, то $MN \parallel AC$.

Из параллельности $MN \parallel AC$ следует, что треугольник $BMN$ подобен треугольнику $BAC$ по двум углам (угол $B$ общий, $\angle BMN = \angle BAC$ как соответственные углы при параллельных прямых $MN$ и $AC$ и секущей $AB$).

Из подобия треугольников $BMN$ и $BAC$ следует соотношение сторон:

$\frac{BM}{BA} = \frac{BN}{BC} = \frac{MN}{AC}$

Мы знаем, что $AM = x$, $AB = 10$, поэтому $BM = AB - AM = 10 - x$.

Также мы знаем, что $MN = x$ (сторона ромба).

Подставим эти значения в соотношение:

$\frac{10 - x}{10} = \frac{x}{8}$

Решим это уравнение для $x$:

$8(10 - x) = 10x$

$80 - 8x = 10x$

$80 = 18x$

$x = \frac{80}{18} = \frac{40}{9}$ см

Теперь, когда мы знаем $x$, мы можем найти $BN$ из соотношения подобия $\frac{BN}{BC} = \frac{MN}{AC}$:

$\frac{BN}{9} = \frac{x}{8}$

$\frac{BN}{9} = \frac{40/9}{8}$

$BN = 9 \cdot \frac{40}{9 \cdot 8}$

$BN = \frac{40}{8}$

$BN = 5$ см

Для нахождения $NC$ воспользуемся тем, что $N$ лежит на $BC$, то есть $BC = BN + NC$:

$NC = BC - BN$

$NC = 9 - 5$

$NC = 4$ см

Ответ: $BN = 5$ см, $NC = 4$ см

203. Постройте острый угол:

а) синус которого равен 0,4;

б) косинус которого равен $5/8$;

в) тангенс которого равен 1,5;

г) котангенс которого равен 0,75.

а) синус которого равен 0,4

Дано: Острый угол $\alpha$, $\sin(\alpha) = 0.4$.

Перевод данных в систему СИ: Данные представлены в виде безразмерной величины (отношения сторон), поэтому перевод в систему СИ не требуется.

Найти: Построить угол $\alpha$.

Решение:
По определению синуса острого угла в прямоугольном треугольнике, синус угла равен отношению длины противолежащего катета к длине гипотенузы: $\sin(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}}$.
Так как $\sin(\alpha) = 0.4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$, мы можем рассмотреть прямоугольный треугольник, у которого длина противолежащего катета относится к длине гипотенузы как 2 к 5. Для удобства построения, выберем длину противолежащего катета равной 2 условным единицам, а длину гипотенузы – 5 условным единицам.
Построение угла $\alpha$:
1. Начертите луч CX. Он будет частью одной из сторон искомого прямоугольного треугольника.
2. В точке C (начале луча CX) постройте перпендикуляр CY к лучу CX. Таким образом, $\angle XCY = 90^\circ$.
3. На луче CY от точки C отложите отрезок CB длиной 2 условные единицы. Это будет противолежащий катет для искомого угла.
4. Из точки B как из центра проведите дугу радиусом 5 условных единиц (длина гипотенузы) так, чтобы она пересекла луч CX. Точку пересечения обозначьте A.
5. Соедините точки A и B. Отрезок AB является гипотенузой построенного прямоугольного треугольника ABC.
6. Угол $\angle CAB$ является искомым углом $\alpha$, так как в прямоугольном треугольнике ABC (с прямым углом при вершине C) $\sin(\angle CAB) = \frac{BC}{AB} = \frac{2}{5} = 0.4$.

Ответ: Угол построен согласно описанию.

б) косинус которого равен $\frac{5}{8}$

Дано: Острый угол $\alpha$, $\cos(\alpha) = \frac{5}{8}$.

Перевод данных в систему СИ: Данные представлены в виде безразмерной величины (отношения сторон), поэтому перевод в систему СИ не требуется.

Найти: Построить угол $\alpha$.

Решение:
По определению косинуса острого угла в прямоугольном треугольнике, косинус угла равен отношению длины прилежащего катета к длине гипотенузы: $\cos(\alpha) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}}$.
Мы имеем $\cos(\alpha) = \frac{5}{8}$. Мы можем рассмотреть прямоугольный треугольник, у которого длина прилежащего катета относится к длине гипотенузы как 5 к 8. Для удобства построения, выберем длину прилежащего катета равной 5 условным единицам, а длину гипотенузы – 8 условным единицам.
Построение угла $\alpha$:
1. Начертите луч CX.
2. В точке C постройте перпендикуляр CY к лучу CX.
3. На луче CX от точки C отложите отрезок CA длиной 5 условных единиц. Это будет прилежащий катет для искомого угла.
4. Из точки A как из центра проведите дугу радиусом 8 условных единиц (длина гипотенузы) так, чтобы она пересекла луч CY. Точку пересечения обозначьте B.
5. Соедините точки A и B. Отрезок AB является гипотенузой построенного прямоугольного треугольника ABC.
6. Угол $\angle CAB$ является искомым углом $\alpha$, так как в прямоугольном треугольнике ABC (с прямым углом при вершине C) $\cos(\angle CAB) = \frac{AC}{AB} = \frac{5}{8}$.

Ответ: Угол построен согласно описанию.

в) тангенс которого равен 1,5

Дано: Острый угол $\alpha$, $\tan(\alpha) = 1.5$.

Перевод данных в систему СИ: Данные представлены в виде безразмерной величины (отношения сторон), поэтому перевод в систему СИ не требуется.

Найти: Построить угол $\alpha$.

Решение:
По определению тангенса острого угла в прямоугольном треугольнике, тангенс угла равен отношению длины противолежащего катета к длине прилежащего катета: $\tan(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}}$.
Мы имеем $\tan(\alpha) = 1.5 = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}$. Мы можем рассмотреть прямоугольный треугольник, у которого длина противолежащего катета относится к длине прилежащего катета как 3 к 2. Для удобства построения, выберем длину противолежащего катета равной 3 условным единицам, а длину прилежащего катета – 2 условным единицам.
Построение угла $\alpha$:
1. Начертите луч CX.
2. В точке C постройте перпендикуляр CY к лучу CX.
3. На луче CX от точки C отложите отрезок CA длиной 2 условные единицы. Это будет прилежащий катет для искомого угла.
4. На луче CY от точки C отложите отрезок CB длиной 3 условные единицы. Это будет противолежащий катет для искомого угла.
5. Соедините точки A и B.
6. Угол $\angle CAB$ является искомым углом $\alpha$, так как в прямоугольном треугольнике ABC (с прямым углом при вершине C) $\tan(\angle CAB) = \frac{BC}{AC} = \frac{3}{2} = 1.5$.

Ответ: Угол построен согласно описанию.

г) котангенс которого равен 0,75

Дано: Острый угол $\alpha$, $\cot(\alpha) = 0.75$.

Перевод данных в систему СИ: Данные представлены в виде безразмерной величины (отношения сторон), поэтому перевод в систему СИ не требуется.

Найти: Построить угол $\alpha$.

Решение:
По определению котангенса острого угла в прямоугольном треугольнике, котангенс угла равен отношению длины прилежащего катета к длине противолежащего катета: $\cot(\alpha) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{противолежащий катет}}$.
Мы имеем $\cot(\alpha) = 0.75 = \frac{75}{100} = \frac{3}{4}$. Мы можем рассмотреть прямоугольный треугольник, у которого длина прилежащего катета относится к длине противолежащего катета как 3 к 4. Для удобства построения, выберем длину прилежащего катета равной 3 условным единицам, а длину противолежащего катета – 4 условным единицам.
Построение угла $\alpha$:
1. Начертите луч CX.
2. В точке C постройте перпендикуляр CY к лучу CX.
3. На луче CX от точки C отложите отрезок CA длиной 3 условные единицы. Это будет прилежащий катет для искомого угла.
4. На луче CY от точки C отложите отрезок CB длиной 4 условные единицы. Это будет противолежащий катет для искомого угла.
5. Соедините точки A и B.
6. Угол $\angle CAB$ является искомым углом $\alpha$, так как в прямоугольном треугольнике ABC (с прямым углом при вершине C) $\cot(\angle CAB) = \frac{AC}{BC} = \frac{3}{4} = 0.75$.

Ответ: Угол построен согласно описанию.

204. а) В разрезе ров имеет форму равнобедренной трапеции с основаниями 4 м и 9 м и высотой 5 м (рисунок 98). Под каким углом наклонены его боковые стороны ко дну рва? Укажите ответ с точностью до $1^\circ$.

б) Железнодорожная насыпь имеет вверху ширину 6 м, а внизу – 12 м. Найдите с точностью до 0,01 м высоту насыпи, если с обеих сторон она наклонена к основанию под углом $35^\circ$.

Рисунок 98

a)

Дано:

Трапеция равнобедренная (ров)

Нижнее основание (дно рва): $b_1 = 4 \text{ м}$

Верхнее основание: $b_2 = 9 \text{ м}$

Высота: $h = 5 \text{ м}$

Найти:

Угол наклона боковых сторон к дну рва $\alpha$

Решение

В равнобедренной трапеции опустим перпендикуляры из вершин верхнего основания на нижнее основание. Это разобьет трапецию на прямоугольник посередине и два равных прямоугольных треугольника по бокам. Длина горизонтального катета каждого прямоугольного треугольника $x$ равна половине разности длин оснований:

$x = \frac{b_2 - b_1}{2}$

$x = \frac{9 \text{ м} - 4 \text{ м}}{2} = \frac{5 \text{ м}}{2} = 2.5 \text{ м}$

Высота трапеции $h$ является вертикальным катетом этих прямоугольных треугольников.

Искомый угол $\alpha$ является углом между боковой стороной и нижним основанием. В прямоугольном треугольнике тангенс этого угла равен отношению противолежащего катета (высоты $h$) к прилежащему катету ($x$):

$\tan(\alpha) = \frac{h}{x}$

$\tan(\alpha) = \frac{5 \text{ м}}{2.5 \text{ м}} = 2$

Для нахождения угла $\alpha$ используем арктангенс:

$\alpha = \arctan(2)$

$\alpha \approx 63.43^\circ$

Округляем до 1 градуса:

$\alpha \approx 63^\circ$

Ответ: $63^\circ$

b)

Дано:

Трапеция равнобедренная (железнодорожная насыпь)

Ширина поверху (верхнее основание): $b_1 = 6 \text{ м}$

Ширина внизу (нижнее основание): $b_2 = 12 \text{ м}$

Угол наклона боковых сторон к основанию: $\alpha = 35^\circ$

Найти:

Высота насыпи $h$

Решение

Аналогично предыдущей задаче, для равнобедренной трапеции, опустим перпендикуляры из вершин верхнего основания на нижнее. Это образует два равных прямоугольных треугольника по бокам. Длина горизонтального катета каждого прямоугольного треугольника $x$ равна половине разности длин оснований:

$x = \frac{b_2 - b_1}{2}$

$x = \frac{12 \text{ м} - 6 \text{ м}}{2} = \frac{6 \text{ м}}{2} = 3 \text{ м}$

В прямоугольном треугольнике тангенс заданного угла $\alpha$ равен отношению противолежащего катета (высоты $h$) к прилежащему катету ($x$):

$\tan(\alpha) = \frac{h}{x}$

Отсюда выразим высоту $h$:

$h = x \cdot \tan(\alpha)$

$h = 3 \text{ м} \cdot \tan(35^\circ)$

Вычисляем значение $\tan(35^\circ) \approx 0.7002075$:

$h = 3 \text{ м} \cdot 0.7002075 \approx 2.1006225 \text{ м}$

Округляем до 0.01 метра:

$h \approx 2.10 \text{ м}$

Ответ: $2.10 \text{ м}$