Страница 99 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

196. Полуокружность разделена на две дуги, градусные меры которых относятся как 2 : 4. Точка деления соединена хордами с концами диаметра. Найдите этот диаметр, если разность длин хорд равна 10 см.

Дано:

Полуокружность разделена на две дуги.

Отношение градусных мер дуг $m_1 : m_2 = 2 : 4$.

Точка деления соединена хордами с концами диаметра.

Разность длин хорд $\Delta L = 10$ см.

Найти:

Диаметр полуокружности $D$.

Решение:

Полная градусная мера полуокружности составляет $180^\circ$.

Пусть градусные меры двух дуг будут $2x$ и $4x$. Сумма этих дуг равна градусной мере полуокружности:

$2x + 4x = 180^\circ$

$6x = 180^\circ$

$x = \frac{180^\circ}{6}$

$x = 30^\circ$

Таким образом, градусные меры дуг составляют:

Первая дуга: $m_1 = 2x = 2 \times 30^\circ = 60^\circ$.

Вторая дуга: $m_2 = 4x = 4 \times 30^\circ = 120^\circ$.

Пусть концы диаметра будут точки $A$ и $B$, а точка деления на полуокружности - точка $C$. Хорды, соединяющие точку $C$ с концами диаметра, это $AC$ и $BC$.

Треугольник, образованный этими хордами и диаметром ($ \triangle ABC $), является прямоугольным, так как он вписан в полуокружность, и его гипотенуза является диаметром. Прямой угол находится при вершине $C$ ($ \angle ACB = 90^\circ $).

Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

Угол $ \angle ABC $ опирается на дугу $AC$, мера которой $60^\circ$. Следовательно:

$ \angle ABC = \frac{1}{2} m_1 = \frac{1}{2} \times 60^\circ = 30^\circ $

Угол $ \angle BAC $ опирается на дугу $BC$, мера которой $120^\circ$. Следовательно:

$ \angle BAC = \frac{1}{2} m_2 = \frac{1}{2} \times 120^\circ = 60^\circ $

Теперь выразим длины хорд $AC$ и $BC$ через диаметр $D$ (который равен длине $AB$) в прямоугольном треугольнике $ABC$:

$AC = AB \sin(\angle ABC) = D \sin(30^\circ)$

$AC = D \times \frac{1}{2} = \frac{D}{2}$

$BC = AB \sin(\angle BAC) = D \sin(60^\circ)$

$BC = D \times \frac{\sqrt{3}}{2}$

По условию, разность длин хорд равна 10 см. Поскольку $ \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866 $ и $ \frac{1}{2} = 0.5 $, то $BC > AC$.

$BC - AC = 10$

$D \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{D}{2} = 10$

Вынесем $D$ за скобки:

$D \left(\frac{\sqrt{3} - 1}{2}\right) = 10$

Выразим диаметр $D$:

$D = \frac{10 \times 2}{\sqrt{3} - 1}$

$D = \frac{20}{\sqrt{3} - 1}$

Для того чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $ (\sqrt{3} + 1) $:

$D = \frac{20}{\sqrt{3} - 1} \times \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} + 1}$

$D = \frac{20(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3})^2 - 1^2}$

$D = \frac{20(\sqrt{3} + 1)}{3 - 1}$

$D = \frac{20(\sqrt{3} + 1)}{2}$

$D = 10(\sqrt{3} + 1)$

Ответ:

Диаметр полуокружности равен $10(\sqrt{3} + 1)$ см.

197. a) Из вершины прямого угла прямоугольного треугольника проведены его высота и медиана, равные соответственно 12 см и 15 см. Найдите стороны и синусы острых углов этого треугольника.

б) В прямоугольном треугольнике $ACB$ $\angle C = 90^\circ$, катет $AC = 4$ дм, $\angle BAC = 70^\circ$, $D \in BC$, причем $\angle DAC = 50^\circ$. Найдите с точностью до 1 см расстояние $BD$.

в) Представьте, что в условии задачи б) $D$ – это вершина холма, а $DB$ – маяк. Как найти высоту маяка, если расстояние $AC$ и углы $CAD$ и $CAB$ можно измерить? Найдите $DB$ с точностью до 1 м, если $AC = 100$ м, $\angle CAD = 40^\circ$, $\angle CAB = 80^\circ$.

Дано:
Прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$.
Высота $CH = h = 12$ см.
Медиана $CM = m = 15$ см (медиана к гипотенузе $AB$).
Перевод в СИ:
$h = 12$ см $= 0.12$ м
$m = 15$ см $= 0.15$ м
Найти:
Стороны треугольника $AC, BC, AB$.
Синусы острых углов $\sin(\angle A), \sin(\angle B)$.
Решение:
В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Следовательно, гипотенуза $AB = 2 \cdot CM = 2 \cdot 15$ см $= 30$ см.
Площадь прямоугольного треугольника может быть выражена как полупроизведение катетов или полупроизведение гипотенузы на высоту, проведенную к ней. Пусть катеты будут $a = BC$ и $b = AC$.
$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH$
$AC \cdot BC = AB \cdot CH$
$ab = 30 \text{ см} \cdot 12 \text{ см} = 360 \text{ см}^2$.
По теореме Пифагора:
$AC^2 + BC^2 = AB^2$
$b^2 + a^2 = (30 \text{ см})^2 = 900 \text{ см}^2$.
Получим систему уравнений для катетов $a$ и $b$:
1) $ab = 360$
2) $a^2 + b^2 = 900$
Используем тождества $(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$ и $(a-b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab$.
$(a+b)^2 = 900 + 2 \cdot 360 = 900 + 720 = 1620$
$a+b = \sqrt{1620} = \sqrt{324 \cdot 5} = 18\sqrt{5}$ см.
$(a-b)^2 = 900 - 2 \cdot 360 = 900 - 720 = 180$
$a-b = \sqrt{180} = \sqrt{36 \cdot 5} = 6\sqrt{5}$ см.
Решая систему линейных уравнений:
$a+b = 18\sqrt{5}$
$a-b = 6\sqrt{5}$
Сложим уравнения: $2a = 24\sqrt{5} \Rightarrow a = 12\sqrt{5}$ см ($BC$).
Вычтем второе из первого: $2b = 12\sqrt{5} \Rightarrow b = 6\sqrt{5}$ см ($AC$).
Таким образом, стороны треугольника: $AB = 30$ см, $AC = 6\sqrt{5}$ см, $BC = 12\sqrt{5}$ см.
Синусы острых углов: в прямоугольном треугольнике синус острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.
$\sin(\angle A) = \frac{BC}{AB} = \frac{12\sqrt{5}}{30} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$.
$\sin(\angle B) = \frac{AC}{AB} = \frac{6\sqrt{5}}{30} = \frac{\sqrt{5}}{5}$.
Ответ: Стороны треугольника: $30$ см, $6\sqrt{5}$ см, $12\sqrt{5}$ см. Синусы острых углов: $\frac{2\sqrt{5}}{5}$ и $\frac{\sqrt{5}}{5}$.

Дано:
Прямоугольный треугольник $ACB$.
$\angle C = 90^\circ$.
Катет $AC = 4$ дм.
$\angle BAC = 70^\circ$.
Точка $D \in BC$.
$\angle DAC = 50^\circ$.
Перевод в СИ:
$AC = 4$ дм $= 0.4$ м $= 40$ см.
Найти:
Расстояние $BD$ (с точностью до 1 см).
Решение:
Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACB$. Катет $BC$ можно найти по формуле тангенса:
$BC = AC \cdot \tan(\angle BAC)$.
$BC = 4 \text{ дм} \cdot \tan(70^\circ)$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $ADC$. Катет $DC$ можно найти аналогично:
$DC = AC \cdot \tan(\angle DAC)$.
$DC = 4 \text{ дм} \cdot \tan(50^\circ)$.
Расстояние $BD$ равно разности длин отрезков $BC$ и $DC$ (так как $D$ лежит между $B$ и $C$):
$BD = BC - DC = AC \cdot \tan(70^\circ) - AC \cdot \tan(50^\circ) = AC \cdot (\tan(70^\circ) - \tan(50^\circ))$.
Подставим значения и произведем вычисления:
$\tan(70^\circ) \approx 2.7475$
$\tan(50^\circ) \approx 1.1918$
$BD \approx 4 \text{ дм} \cdot (2.7475 - 1.1918) = 4 \text{ дм} \cdot 1.5557 = 6.2228$ дм.
Переведем в сантиметры и округлим до 1 см:
$BD \approx 6.2228 \cdot 10 \text{ см} = 62.228 \text{ см} \approx 62$ см.
Ответ: $BD \approx 62$ см.

Дано:
Прямоугольный треугольник $ACB$ с прямым углом $C$.
Расстояние $AC = 100$ м.
Угол $\angle CAB = 80^\circ$.
Угол $\angle CAD = 40^\circ$.
Перевод в СИ:
Все значения даны в системе СИ.
Найти:
Высоту маяка $DB$ (с точностью до 1 м).
Решение:
Задача аналогична пункту б). $AC$ - горизонтальное расстояние от наблюдателя до основания холма. $CD$ - высота холма. $DB$ - высота маяка. $CB$ - общая высота холма с маяком.
В прямоугольном треугольнике $ACB$ (гипотенуза $AB$, прямой угол $C$):
$BC = AC \cdot \tan(\angle CAB)$.
В прямоугольном треугольнике $ADC$ (гипотенуза $AD$, прямой угол $C$):
$CD = AC \cdot \tan(\angle CAD)$.
Высота маяка $DB$ равна разности $BC$ и $CD$:
$DB = BC - CD = AC \cdot \tan(\angle CAB) - AC \cdot \tan(\angle CAD) = AC \cdot (\tan(\angle CAB) - \tan(\angle CAD))$.
Подставим заданные значения:
$AC = 100$ м.
$\tan(80^\circ) \approx 5.6713$
$\tan(40^\circ) \approx 0.8391$
$DB = 100 \text{ м} \cdot (5.6713 - 0.8391) = 100 \text{ м} \cdot 4.8322 = 483.22$ м.
Округляем до 1 метра:
$DB \approx 483$ м.
Ответ: Высота маяка $DB \approx 483$ м.

198. Стороны прямоугольника равны 35 см и 74,9 см. Найдите с точностью до $1^\circ$ острый угол между его диагоналями.

Дано:

Сторона прямоугольника $a = 35$ см

Сторона прямоугольника $b = 74.9$ см

Перевод в систему СИ:

$a = 35 \text{ см} = 0.35 \text{ м}$

$b = 74.9 \text{ см} = 0.749 \text{ м}$

Найти:

Острый угол между диагоналями $\phi$ (с точностью до $1^\circ$).

Решение:

В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. Пусть диагонали $d_1$ и $d_2$ пересекаются в точке $O$. Тогда $d_1 = d_2 = d$, и $AO = BO = CO = DO = d/2$.

Длину диагонали $d$ можно найти по теореме Пифагора:

$d^2 = a^2 + b^2$

Рассмотрим треугольник, образованный двумя половинами диагоналей и одной из сторон прямоугольника. Пусть это будет треугольник, в котором стороной является $a$. Стороны этого треугольника равны $d/2$, $d/2$ и $a$. Угол между половинами диагоналей, лежащий напротив стороны $a$, пусть будет $\phi_a$. По теореме косинусов для этого треугольника:

$a^2 = (d/2)^2 + (d/2)^2 - 2(d/2)(d/2)\cos(\phi_a)$

$a^2 = 2(d/2)^2 - 2(d/2)^2\cos(\phi_a)$

$a^2 = 2 \left(\frac{d}{2}\right)^2 (1 - \cos(\phi_a))$

Подставим выражение для $(d/2)^2$: $(d/2)^2 = \frac{d^2}{4} = \frac{a^2+b^2}{4}$

$a^2 = 2 \frac{a^2+b^2}{4} (1 - \cos(\phi_a))$

$a^2 = \frac{a^2+b^2}{2} (1 - \cos(\phi_a))$

Выразим $\cos(\phi_a)$:

$2a^2 = (a^2+b^2) (1 - \cos(\phi_a))$

$1 - \cos(\phi_a) = \frac{2a^2}{a^2+b^2}$

$\cos(\phi_a) = 1 - \frac{2a^2}{a^2+b^2} = \frac{a^2+b^2 - 2a^2}{a^2+b^2} = \frac{b^2-a^2}{a^2+b^2}$

Теперь подставим числовые значения сторон $a$ и $b$:

$a = 35$ см, $b = 74.9$ см

$a^2 = 35^2 = 1225$

$b^2 = 74.9^2 = 5610.01$

Вычислим числитель и знаменатель для $\cos(\phi_a)$:

$b^2 - a^2 = 5610.01 - 1225 = 4385.01$

$a^2 + b^2 = 1225 + 5610.01 = 6835.01$

Таким образом,

$\cos(\phi_a) = \frac{4385.01}{6835.01} \approx 0.6415411$

Так как $b > a$, то $b^2 - a^2 > 0$, следовательно, $\cos(\phi_a) > 0$. Это означает, что угол $\phi_a$ является острым. Именно его и нужно найти.

$\phi_a = \arccos(0.6415411)$

$\phi_a \approx 50.091^\circ$

Округлим результат до $1^\circ$:

$\phi_a \approx 50^\circ$

Ответ: 50°

199. Найдите с точностью до $1^\circ$ углы трапеции, основания которой равны 12 см и 54 см, а боковые стороны – 26 см и 40 см.

Дано:

Основания трапеции: $a_1 = 12$ см, $a_2 = 54$ см.

Боковые стороны: $b_1 = 26$ см, $b_2 = 40$ см.

Перевод в СИ:

$a_1 = 12 \text{ см} = 0.12 \text{ м}$

$a_2 = 54 \text{ см} = 0.54 \text{ м}$

$b_1 = 26 \text{ см} = 0.26 \text{ м}$

$b_2 = 40 \text{ см} = 0.40 \text{ м}$

Найти:

Углы трапеции ($\angle A, \angle B, \angle C, \angle D$).

Решение:

Пусть дана трапеция ABCD с основаниями AB и DC, где AB || DC. Длина меньшего основания AB = 12 см, а большего DC = 54 см. Длины боковых сторон AD = 26 см и BC = 40 см.

Опустим высоты AM и BN из вершин A и B соответственно на основание DC. Поскольку AM и BN перпендикулярны DC и AB || DC, четырехугольник AMNB является прямоугольником. Отсюда следует, что MN = AB = 12 см, а AM = BN = h, где h – высота трапеции.

Обозначим отрезки DM = x и NC = y. Тогда сумма длин этих отрезков и MN равна длине основания DC:

$DM + MN + NC = DC$

$x + 12 + y = 54$

Отсюда получаем: $x + y = 54 - 12 = 42$ см.

Рассмотрим два прямоугольных треугольника, образованных высотами: $\triangle ADM$ и $\triangle BCN$.

В $\triangle ADM$ по теореме Пифагора имеем: $AD^2 = AM^2 + DM^2$.

$26^2 = h^2 + x^2$

Отсюда выражение для квадрата высоты: $h^2 = 26^2 - x^2 = 676 - x^2$.

В $\triangle BCN$ по теореме Пифагора имеем: $BC^2 = BN^2 + NC^2$.

$40^2 = h^2 + y^2$

Отсюда выражение для квадрата высоты: $h^2 = 40^2 - y^2 = 1600 - y^2$.

Приравняем два выражения для $h^2$:

$676 - x^2 = 1600 - y^2$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными x и y:

1) $x + y = 42$

2) $676 - x^2 = 1600 - y^2$

Из первого уравнения выразим $y = 42 - x$. Подставим это выражение во второе уравнение:

$676 - x^2 = 1600 - (42 - x)^2$

Раскроем скобки в правой части, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$676 - x^2 = 1600 - (42^2 - 2 \cdot 42 \cdot x + x^2)$

$676 - x^2 = 1600 - (1764 - 84x + x^2)$

$676 - x^2 = 1600 - 1764 + 84x - x^2$

Сократим $-x^2$ с обеих сторон уравнения:

$676 = 1600 - 1764 + 84x$

$676 = -164 + 84x$

Перенесем -164 в левую часть:

$676 + 164 = 84x$

$840 = 84x$

Найдем x:

$x = \frac{840}{84} = 10$ см.

Теперь найдем y, используя $y = 42 - x$:

$y = 42 - 10 = 32$ см.

Зная x, можем найти высоту h трапеции:

$h^2 = 26^2 - x^2 = 26^2 - 10^2 = 676 - 100 = 576$

$h = \sqrt{576} = 24$ см.

Теперь вычислим углы трапеции. Углы при большем основании DC: $\angle D$ и $\angle C$.

В прямоугольном $\triangle ADM$:

$\tan D = \frac{AM}{DM} = \frac{h}{x} = \frac{24}{10} = 2.4$

$D = \arctan(2.4) \approx 67.38^\circ$. Округляем до $1^\circ$, получаем $D \approx 67^\circ$.

В прямоугольном $\triangle BCN$:

$\tan C = \frac{BN}{NC} = \frac{h}{y} = \frac{24}{32} = \frac{3}{4} = 0.75$

$C = \arctan(0.75) \approx 36.87^\circ$. Округляем до $1^\circ$, получаем $C \approx 37^\circ$.

Углы при меньшем основании AB: $\angle A$ и $\angle B$. В трапеции сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна $180^\circ$, так как основания параллельны.

Для боковой стороны AD:

$\angle A + \angle D = 180^\circ$

$\angle A = 180^\circ - \angle D = 180^\circ - 67.38^\circ = 112.62^\circ$. Округляем до $1^\circ$, получаем $A \approx 113^\circ$.

Для боковой стороны BC:

$\angle B + \angle C = 180^\circ$

$\angle B = 180^\circ - \angle C = 180^\circ - 36.87^\circ = 143.13^\circ$. Округляем до $1^\circ$, получаем $B \approx 143^\circ$.

Ответ:

Углы трапеции равны примерно $67^\circ$, $37^\circ$, $113^\circ$ и $143^\circ$.