Страница 94 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

1. Какое равенство называют основным тригонометрическим тождеством? Докажите это тождество.

2. Докажите, что для любого острого угла $\alpha$ верно равенство $1 + \text{ctg}^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$.

1. Какое равенство называют основным тригонометрическим тождеством? Докажите это тождество.

Дано: Острый угол $\alpha$.

Найти: Определить основное тригонометрическое тождество и доказать его.

Решение:

Основным тригонометрическим тождеством называют равенство, связывающее синус и косинус одного и того же угла:

$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$

Доказательство:

Рассмотрим прямоугольный треугольник с острым углом $\alpha$. Пусть катет, лежащий напротив угла $\alpha$, имеет длину $a$, прилежащий катет — длину $b$, а гипотенуза — длину $c$.

По определению синуса и косинуса острого угла в прямоугольном треугольнике:

$\sin \alpha = \frac{a}{c}$

$\cos \alpha = \frac{b}{c}$

Возведем обе части этих равенств в квадрат:

$\sin^2 \alpha = \left(\frac{a}{c}\right)^2 = \frac{a^2}{c^2}$

$\cos^2 \alpha = \left(\frac{b}{c}\right)^2 = \frac{b^2}{c^2}$

Сложим полученные выражения:

$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = \frac{a^2}{c^2} + \frac{b^2}{c^2} = \frac{a^2 + b^2}{c^2}$

Согласно теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы: $a^2 + b^2 = c^2$.

Подставим это соотношение в числитель дроби:

$\frac{a^2 + b^2}{c^2} = \frac{c^2}{c^2} = 1$

Таким образом, получаем:

$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$

Тождество доказано.

Ответ: Основным тригонометрическим тождеством является равенство $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.

2. Докажите, что для любого острого угла $\alpha$ верно равенство $1 + \text{ctg}^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$.

Дано: Острый угол $\alpha$.

Найти: Доказать равенство $1 + \text{ctg}^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$.

Решение:

Для доказательства данного равенства, начнем с левой части и преобразуем ее, используя определение котангенса и основное тригонометрическое тождество.

Котангенс угла $\alpha$ определяется как отношение косинуса угла $\alpha$ к синусу угла $\alpha$:

$\text{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$

Тогда квадрат котангенса будет:

$\text{ctg}^2 \alpha = \left(\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\right)^2 = \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}$

Подставим это выражение в левую часть доказываемого равенства ($1 + \text{ctg}^2 \alpha$):

$1 + \text{ctg}^2 \alpha = 1 + \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}$

Чтобы сложить эти слагаемые, приведем 1 к общему знаменателю $\sin^2 \alpha$:

$1 + \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} + \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}$

Теперь объединим дроби с общим знаменателем:

$\frac{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}$

Известно, что основное тригонометрическое тождество гласит: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.

Подставим 1 вместо числителя:

$\frac{1}{\sin^2 \alpha}$

Таким образом, мы преобразовали левую часть равенства к правой части:

$1 + \text{ctg}^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$

Равенство доказано.

Ответ: Равенство $1 + \text{ctg}^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$ доказано.

183. Найдите:
a) синус и тангенс острого угла, косинус которого равен $\frac{12}{13}$;
б) косинус и тангенс острого угла, синус которого равен 0,6.

Дано:
а) $\cos \alpha = \frac{12}{13}$
б) $\sin \alpha = 0.6$

Найти:
а) $\sin \alpha$, $\tan \alpha$
б) $\cos \alpha$, $\tan \alpha$

Решение:

а) синус и тангенс острого угла, косинус которого равен $\frac{12}{13}$:
для нахождения синуса острого угла, зная его косинус, используем основное тригонометрическое тождество:
$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$
поскольку угол $\alpha$ острый ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$), то значение синуса должно быть положительным ($\sin \alpha > 0$).
выразим $\sin^2 \alpha$:
$\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha$
подставим известное значение косинуса:
$\sin^2 \alpha = 1 - \left(\frac{12}{13}\right)^2$
$\sin^2 \alpha = 1 - \frac{144}{169}$
приведем к общему знаменателю:
$\sin^2 \alpha = \frac{169}{169} - \frac{144}{169}$
$\sin^2 \alpha = \frac{169 - 144}{169}$
$\sin^2 \alpha = \frac{25}{169}$
теперь найдем $\sin \alpha$, извлекая квадратный корень (и учитывая, что $\sin \alpha > 0$):
$\sin \alpha = \sqrt{\frac{25}{169}}$
$\sin \alpha = \frac{5}{13}$
для нахождения тангенса острого угла используем определение тангенса:
$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$
подставим найденные значения синуса и косинуса:
$\tan \alpha = \frac{5/13}{12/13}$
сократим знаменатели:
$\tan \alpha = \frac{5}{12}$

Ответ: $\sin \alpha = \frac{5}{13}$, $\tan \alpha = \frac{5}{12}$

б) косинус и тангенс острого угла, синус которого равен 0,6:
сначала переведем десятичную дробь $0.6$ в обыкновенную: $0.6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.
для нахождения косинуса острого угла, зная его синус, используем основное тригонометрическое тождество:
$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$
поскольку угол $\alpha$ острый ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$), то значение косинуса должно быть положительным ($\cos \alpha > 0$).
выразим $\cos^2 \alpha$:
$\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha$
подставим известное значение синуса:
$\cos^2 \alpha = 1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2$
$\cos^2 \alpha = 1 - \frac{9}{25}$
приведем к общему знаменателю:
$\cos^2 \alpha = \frac{25}{25} - \frac{9}{25}$
$\cos^2 \alpha = \frac{25 - 9}{25}$
$\cos^2 \alpha = \frac{16}{25}$
теперь найдем $\cos \alpha$, извлекая квадратный корень (и учитывая, что $\cos \alpha > 0$):
$\cos \alpha = \sqrt{\frac{16}{25}}$
$\cos \alpha = \frac{4}{5}$
для нахождения тангенса острого угла используем определение тангенса:
$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$
подставим найденные значения синуса и косинуса:
$\tan \alpha = \frac{3/5}{4/5}$
сократим знаменатели:
$\tan \alpha = \frac{3}{4}$

Ответ: $\cos \alpha = \frac{4}{5}$, $\tan \alpha = \frac{3}{4}$

184. Существует ли угол:

а) синус которого равен 0,9, а косинус – 0,3;

б) синус которого равен 0,8, а косинус – 0,6?

а) синус которого равен 0,9, а косинус – 0,3

Дано:

$\sin\alpha = 0.9$

$\cos\alpha = 0.3$

Найти:

Существует ли угол $\alpha$ с данными значениями синуса и косинуса?

Решение

Для того чтобы угол $\alpha$ существовал, его синус и косинус должны удовлетворять основному тригонометрическому тождеству: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.

Подставим заданные значения в тождество:

$(0.9)^2 + (0.3)^2 = 0.81 + 0.09 = 0.90$

Так как $0.90 \neq 1$, то данные значения синуса и косинуса не могут принадлежать одному и тому же углу.

Ответ: Не существует.

б) синус которого равен 0,8, а косинус – 0,6

Дано:

$\sin\alpha = 0.8$

$\cos\alpha = -0.6$

Найти:

Существует ли угол $\alpha$ с данными значениями синуса и косинуса?

Решение

Для того чтобы угол $\alpha$ существовал, его синус и косинус должны удовлетворять основному тригонометрическому тождеству: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.

Подставим заданные значения в тождество:

$(0.8)^2 + (-0.6)^2 = 0.64 + 0.36 = 1.00$

Так как $1.00 = 1$, то данные значения синуса и косинуса соответствуют некоторому углу.

Ответ: Существует.

185. a) Верно ли для любого острого угла $\alpha$ равенство:

1) $\text{tg}^2\alpha - \text{sin}^2\alpha = \text{tg}^2\alpha \cdot \text{sin}^2\alpha$; 2) $\text{ctg}^2\alpha - \text{cos}^2\alpha = \text{ctg}^2\alpha \cdot \text{cos}^2\alpha$?

б) Докажите, что для любых острых углов $\alpha$ и $\beta$ прямоугольного треугольника верно равенство:

1) $\text{sin} \alpha \cdot \text{sin} \beta = \text{cos} \alpha \cdot \text{cos} \beta$; 2) $\text{sin} \alpha \cdot \text{cos} \beta + \text{cos} \alpha \cdot \text{sin} \beta = 1$.

а) 1)

Дано:

Острый угол $\alpha$.

Найти:

Верно ли равенство $\text{tg}^2 \alpha - \text{sin}^2 \alpha = \text{tg}^2 \alpha \cdot \text{sin}^2 \alpha$.

Решение:

Преобразуем левую часть равенства, используя тождество $\text{tg} \alpha = \frac{\text{sin} \alpha}{\text{cos} \alpha}$:

$ \text{tg}^2 \alpha - \text{sin}^2 \alpha = \frac{\text{sin}^2 \alpha}{\text{cos}^2 \alpha} - \text{sin}^2 \alpha $

Вынесем $\text{sin}^2 \alpha$ за скобки:

$ = \text{sin}^2 \alpha \left( \frac{1}{\text{cos}^2 \alpha} - 1 \right) $

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:

$ = \text{sin}^2 \alpha \left( \frac{1 - \text{cos}^2 \alpha}{\text{cos}^2 \alpha} \right) $

Используем основное тригонометрическое тождество $ \text{sin}^2 \alpha + \text{cos}^2 \alpha = 1 $, из которого следует $ 1 - \text{cos}^2 \alpha = \text{sin}^2 \alpha $:

$ = \text{sin}^2 \alpha \left( \frac{\text{sin}^2 \alpha}{\text{cos}^2 \alpha} \right) $

Поскольку $ \frac{\text{sin}^2 \alpha}{\text{cos}^2 \alpha} = \text{tg}^2 \alpha $:

$ = \text{sin}^2 \alpha \cdot \text{tg}^2 \alpha $

Полученное выражение равно правой части исходного равенства. Следовательно, равенство верно.

Ответ: Верно.

а) 2)

Дано:

Острый угол $\alpha$.

Найти:

Верно ли равенство $\text{ctg}^2 \alpha - \text{cos}^2 \alpha = \text{ctg}^2 \alpha \cdot \text{cos}^2 \alpha$.

Решение:

Преобразуем левую часть равенства, используя тождество $\text{ctg} \alpha = \frac{\text{cos} \alpha}{\text{sin} \alpha}$:

$ \text{ctg}^2 \alpha - \text{cos}^2 \alpha = \frac{\text{cos}^2 \alpha}{\text{sin}^2 \alpha} - \text{cos}^2 \alpha $

Вынесем $\text{cos}^2 \alpha$ за скобки:

$ = \text{cos}^2 \alpha \left( \frac{1}{\text{sin}^2 \alpha} - 1 \right) $

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:

$ = \text{cos}^2 \alpha \left( \frac{1 - \text{sin}^2 \alpha}{\text{sin}^2 \alpha} \right) $

Используем основное тригонометрическое тождество $ \text{sin}^2 \alpha + \text{cos}^2 \alpha = 1 $, из которого следует $ 1 - \text{sin}^2 \alpha = \text{cos}^2 \alpha $:

$ = \text{cos}^2 \alpha \left( \frac{\text{cos}^2 \alpha}{\text{sin}^2 \alpha} \right) $

Поскольку $ \frac{\text{cos}^2 \alpha}{\text{sin}^2 \alpha} = \text{ctg}^2 \alpha $:

$ = \text{cos}^2 \alpha \cdot \text{ctg}^2 \alpha $

Полученное выражение равно правой части исходного равенства. Следовательно, равенство верно.

Ответ: Верно.

б) 1)

Дано:

Прямоугольный треугольник с острыми углами $\alpha$ и $\beta$.

Найти:

Доказать, что $\text{sin} \alpha \cdot \text{sin} \beta = \text{cos} \alpha \cdot \text{cos} \beta$.

Решение:

В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна $90^\circ$, то есть $ \alpha + \beta = 90^\circ $. Из этого следует, что $ \beta = 90^\circ - \alpha $.

Используем формулы приведения для дополнительных углов:

$ \text{sin} \beta = \text{sin}(90^\circ - \alpha) = \text{cos} \alpha $

$ \text{cos} \beta = \text{cos}(90^\circ - \alpha) = \text{sin} \alpha $

Подставим эти выражения в левую часть доказываемого равенства:

Левая часть: $ \text{sin} \alpha \cdot \text{sin} \beta = \text{sin} \alpha \cdot (\text{cos} \alpha) $

Правая часть доказываемого равенства:

Правая часть: $ \text{cos} \alpha \cdot \text{cos} \beta = \text{cos} \alpha \cdot (\text{sin} \alpha) $

Таким образом, левая часть $ (\text{sin} \alpha \cdot \text{cos} \alpha) $ равна правой части $ (\text{cos} \alpha \cdot \text{sin} \alpha) $. Равенство доказано.

Ответ: Равенство доказано.

б) 2)

Дано:

Прямоугольный треугольник с острыми углами $\alpha$ и $\beta$.

Найти:

Доказать, что $\text{sin} \alpha \cdot \text{cos} \beta + \text{cos} \alpha \cdot \text{sin} \beta = 1$.

Решение:

В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна $90^\circ$, то есть $ \alpha + \beta = 90^\circ $.

Левая часть доказываемого равенства представляет собой формулу синуса суммы двух углов:

$ \text{sin}(\alpha + \beta) = \text{sin} \alpha \cdot \text{cos} \beta + \text{cos} \alpha \cdot \text{sin} \beta $

Поскольку $ \alpha + \beta = 90^\circ $, подставим это значение в формулу:

$ \text{sin}(\alpha + \beta) = \text{sin}(90^\circ) $

Известно, что $ \text{sin}(90^\circ) = 1 $.

Следовательно, $ \text{sin} \alpha \cdot \text{cos} \beta + \text{cos} \alpha \cdot \text{sin} \beta = 1 $. Равенство доказано.

Ответ: Равенство доказано.

186. Докажите, что для любого острого угла $a$ верно равенство

$\text{tg } \alpha + \text{ctg } \alpha = \frac{1}{\sin \alpha \cdot \cos \alpha}$

Дано:

Требуется доказать равенство $tg \alpha + ctg \alpha = \frac{1}{\sin \alpha \cdot \cos \alpha}$ для любого острого угла $\alpha$.

Найти:

Доказать данное равенство.

Решение:

Рассмотрим левую часть данного равенства: $tg \alpha + ctg \alpha$.

Известно, что тангенс и котангенс острого угла могут быть выражены через синус и косинус следующим образом: $tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$ и $ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$.

Подставим эти выражения в левую часть равенства:

$tg \alpha + ctg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} + \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$

Для того чтобы сложить эти дроби, приведем их к общему знаменателю, который равен произведению $\sin \alpha \cdot \cos \alpha$:

$ \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} + \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{\sin \alpha \cdot \sin \alpha}{\cos \alpha \cdot \sin \alpha} + \frac{\cos \alpha \cdot \cos \alpha}{\sin \alpha \cdot \cos \alpha} $

Выполним умножение в числителях:

$ \frac{\sin^2 \alpha}{\sin \alpha \cdot \cos \alpha} + \frac{\cos^2 \alpha}{\sin \alpha \cdot \cos \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha}{\sin \alpha \cdot \cos \alpha} $

Согласно основному тригонометрическому тождеству, сумма квадратов синуса и косинуса одного и того же угла равна единице: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.

Подставим это тождество в числитель полученного выражения:

$ \frac{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha}{\sin \alpha \cdot \cos \alpha} = \frac{1}{\sin \alpha \cdot \cos \alpha} $

Мы получили правую часть исходного равенства. Таким образом, тождество $tg \alpha + ctg \alpha = \frac{1}{\sin \alpha \cdot \cos \alpha}$ доказано.

Данное равенство верно для любого острого угла $\alpha$, так как для острого угла $\alpha$ значения $\sin \alpha$ и $\cos \alpha$ всегда больше нуля, что гарантирует, что знаменатель $\sin \alpha \cdot \cos \alpha$ не равен нулю и выражения $tg \alpha$ и $ctg \alpha$ определены.

Ответ:

Равенство $tg \alpha + ctg \alpha = \frac{1}{\sin \alpha \cdot \cos \alpha}$ доказано.

187. a) Периметр равнобедренного треугольника равен 64 м, а косинус угла при его основании равен 0,28. Найдите высоты треугольника.

б) Дан равнобедренный треугольник с основанием 6 см и углом $80^\circ$ при его вершине. Найдите с точностью до 0,1 см радиус окружности: 1) вписанной в этот треугольник; 2) описанной около этого треугольника.

а)

Дано:

Периметр равнобедренного треугольника $P = 64$ м

Косинус угла при основании $\cos(\alpha) = 0.28$

Найти:

Высоты треугольника ($h_a$, $h_b$, $h_c$)

Решение:

Пусть основание равнобедренного треугольника равно $a$, а боковые стороны равны $b$.

Периметр треугольника задается формулой: $P = a + 2b$.

Пусть $\alpha$ — угол при основании треугольника. В прямоугольном треугольнике, образованном высотой, проведенной к основанию ($h_a$), половиной основания ($a/2$) и боковой стороной $b$, косинус угла $\alpha$ равен отношению прилежащего катета к гипотенузе:

$\cos(\alpha) = \frac{a/2}{b} = \frac{a}{2b}$

Из этого соотношения выразим $a$: $a = 2b \cos(\alpha)$.

Подставим это выражение для $a$ в формулу периметра:

$P = 2b \cos(\alpha) + 2b = 2b(\cos(\alpha) + 1)$

Теперь подставим известные значения: $P = 64$ м и $\cos(\alpha) = 0.28$:

$64 = 2b(0.28 + 1)$

$64 = 2b(1.28)$

$64 = 2.56b$

Найдем длину боковой стороны $b$:

$b = \frac{64}{2.56} = 25$ м

Теперь найдем длину основания $a$:

$a = 2b \cos(\alpha) = 2 \cdot 25 \cdot 0.28 = 50 \cdot 0.28 = 14$ м

Проверим периметр: $P = 14 + 2 \cdot 25 = 14 + 50 = 64$ м. Вычисления сторон верны.

Найдем высоту $h_a$, проведенную к основанию $a$. В прямоугольном треугольнике, образованном высотой $h_a$, половиной основания $a/2$ и боковой стороной $b$, по теореме Пифагора:

$h_a^2 = b^2 - (a/2)^2$

$h_a^2 = 25^2 - (14/2)^2 = 25^2 - 7^2 = 625 - 49 = 576$

$h_a = \sqrt{576} = 24$ м

В равнобедренном треугольнике две высоты, проведенные к равным боковым сторонам, равны между собой ($h_b = h_c$). Площадь треугольника $S$ может быть выражена как $S = \frac{1}{2} \cdot \text{сторона} \cdot \text{высота к этой стороне}$. Таким образом:

$S = \frac{1}{2} a h_a = \frac{1}{2} b h_b$

Приравняем выражения для площади: $a h_a = b h_b$

Подставим известные значения:

$14 \cdot 24 = 25 \cdot h_b$

$336 = 25 h_b$

$h_b = \frac{336}{25} = 13.44$ м

Ответ: Высота, проведенная к основанию, равна $24$ м. Высоты, проведенные к боковым сторонам, равны $13.44$ м.

б)

Дано:

Равнобедренный треугольник

Основание $a = 6$ см

Угол при вершине $\beta = 80^\circ$

Найти:

1) Радиус вписанной окружности $r$ (с точностью до 0.1 см)

2) Радиус описанной окружности $R$ (с точностью до 0.1 см)

Решение:

Сначала найдем углы треугольника. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Пусть $\alpha$ — углы при основании.

$2\alpha + \beta = 180^\circ$

$2\alpha + 80^\circ = 180^\circ$

$2\alpha = 100^\circ$

$\alpha = 50^\circ$

Найдем длину боковой стороны $b$ используя теорему синусов:

$\frac{a}{\sin(\beta)} = \frac{b}{\sin(\alpha)}$

$b = \frac{a \sin(\alpha)}{\sin(\beta)} = \frac{6 \sin(50^\circ)}{\sin(80^\circ)}$

Используем приближенные значения синусов:

$\sin(50^\circ) \approx 0.766044$

$\sin(80^\circ) \approx 0.984808$

$b \approx \frac{6 \cdot 0.766044}{0.984808} \approx \frac{4.596264}{0.984808} \approx 4.6679$ см

1) Радиус вписанной окружности:

Для равнобедренного треугольника с основанием $a$ и углами при основании $\alpha$, радиус вписанной окружности $r$ можно найти по формуле:

$r = \frac{a}{2} \tan(\alpha/2)$

Подставим значения:

$r = \frac{6}{2} \tan(50^\circ/2) = 3 \tan(25^\circ)$

$\tan(25^\circ) \approx 0.466308

$r \approx 3 \cdot 0.466308 = 1.398924$ см

С точностью до 0.1 см, $r \approx 1.4$ см.

2) Радиус описанной окружности:

Радиус описанной окружности $R$ можно найти по теореме синусов:

$\frac{a}{\sin(\beta)} = 2R$

$R = \frac{a}{2 \sin(\beta)}$

Подставим значения:

$R = \frac{6}{2 \sin(80^\circ)} = \frac{3}{\sin(80^\circ)}$

$R \approx \frac{3}{0.984808} \approx 3.046338$ см

С точностью до 0.1 см, $R \approx 3.0$ см.

Ответ: 1) Радиус вписанной окружности $r \approx 1.4$ см; 2) Радиус описанной окружности $R \approx 3.0$ см.

188. Известно, что $ \sin \alpha + \cos \alpha = 1,3 $, где $ \alpha $ – острый угол. Найдите $ \sin \alpha \cdot \cos \alpha $.

Дано:

$\sin \alpha + \cos \alpha = 1.3$

$\alpha$ - острый угол

В данном случае перевод данных в систему СИ не требуется, так как величины безразмерные.

Найти:

$\sin \alpha \cdot \cos \alpha$

Решение:

Для решения задачи воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.

Возведем в квадрат обе части данного уравнения $\sin \alpha + \cos \alpha = 1.3$:

$(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = (1.3)^2$

Раскроем левую часть уравнения, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$\sin^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha = 1.69$

Перегруппируем слагаемые в левой части уравнения:

$(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) + 2 \sin \alpha \cos \alpha = 1.69$

Используя основное тригонометрическое тождество ($\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$), подставим $1$ вместо суммы квадратов:

$1 + 2 \sin \alpha \cos \alpha = 1.69$

Теперь выразим искомую величину $2 \sin \alpha \cos \alpha$:

$2 \sin \alpha \cos \alpha = 1.69 - 1$

$2 \sin \alpha \cos \alpha = 0.69$

Разделим обе части на $2$, чтобы найти $\sin \alpha \cos \alpha$:

$\sin \alpha \cos \alpha = \frac{0.69}{2}$

$\sin \alpha \cos \alpha = 0.345$

Условие, что $\alpha$ - острый угол (т.е. $0^\circ < \alpha < 90^\circ$), гарантирует, что $\sin \alpha > 0$ и $\cos \alpha > 0$, следовательно, их произведение также положительно, что соответствует полученному результату.

Ответ: $0.345$

189. Найдите произведение длин катетов прямоугольного треугольника, если даны его гипотенуза c и сумма d синусов острых углов.

Дано:

Прямоугольный треугольник.

Гипотенуза: $c$

Сумма синусов острых углов: $d$

Перевод в СИ: Все величины уже в общих обозначениях и не требуют перевода в конкретные единицы СИ, так как ответ будет выражен через эти же обозначения.

Найти:

Произведение длин катетов.

Решение:

Пусть длины катетов прямоугольного треугольника будут $a$ и $b$, а острые углы, противолежащие этим катетам, будут $\alpha$ и $\beta$ соответственно. Гипотенуза равна $c$.

По определению синуса в прямоугольном треугольнике:

$\sin \alpha = \frac{a}{c}$

$\sin \beta = \frac{b}{c}$

По условию задачи, сумма синусов острых углов равна $d$:

$\sin \alpha + \sin \beta = d$

Подставим выражения для синусов:

$\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = d$

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{a+b}{c} = d$

Выразим сумму катетов:

$a+b = cd$

Для того чтобы найти произведение катетов $ab$, возведем обе части этого уравнения в квадрат:

$(a+b)^2 = (cd)^2$

$a^2 + 2ab + b^2 = c^2 d^2$

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $a^2 + b^2 = c^2$. Подставим это в наше уравнение:

$c^2 + 2ab = c^2 d^2$

Теперь выразим $2ab$:

$2ab = c^2 d^2 - c^2$

Вынесем $c^2$ за скобки:

$2ab = c^2 (d^2 - 1)$

Наконец, найдем произведение катетов $ab$:

$ab = \frac{c^2 (d^2 - 1)}{2}$

Для того чтобы задача имела решение, необходимо, чтобы $ab > 0$. Поскольку $c^2$ всегда положительно (длина гипотенузы не равна нулю), то должно быть $d^2 - 1 > 0$, что означает $d^2 > 1$. Так как $d$ является суммой синусов острых углов, $d > 0$. Таким образом, $d > 1$. Также, поскольку синус любого острого угла меньше 1, сумма двух синусов острых углов будет меньше 2, то есть $d < 2$. Следовательно, для существования такого треугольника должно выполняться условие $1 < d < 2$.

Ответ:

Произведение длин катетов равно $\frac{c^2 (d^2 - 1)}{2}$.