Страница 87 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

164. a) Докажите, что в прямоугольном треугольнике: 1) произведение тангенсов острых углов равно 1; 2) сумма квадратов синусов острых углов равна 1.

b) Докажите, что для любого острого угла $α$ выполняется неравенство $&sin; α + &cos; α > 1$.

а) Докажите, что в прямоугольном треугольнике:

1) произведение тангенсов острых углов равно 1;

Дано: Прямоугольный треугольник. Острые углы $\alpha$ и $\beta$.

Найти: Доказать, что $\tan \alpha \cdot \tan \beta = 1$.

Решение:
В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна $90^\circ$. Следовательно, $\alpha + \beta = 90^\circ$, откуда $\beta = 90^\circ - \alpha$.
Используем свойство тригонометрических функций дополнительных углов: $\tan(90^\circ - \alpha) = \cot \alpha$.
Также известно, что $\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha}$.
Подставим выражение для $\beta$ в произведение тангенсов:
$\tan \alpha \cdot \tan \beta = \tan \alpha \cdot \tan(90^\circ - \alpha)$
$= \tan \alpha \cdot \cot \alpha$
$= \tan \alpha \cdot \frac{1}{\tan \alpha}$
$= 1$
Таким образом, произведение тангенсов острых углов прямоугольного треугольника равно 1.

Ответ: Доказано.

2) сумма квадратов синусов острых углов равна 1.

Дано: Прямоугольный треугольник. Острые углы $\alpha$ и $\beta$.

Найти: Доказать, что $\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta = 1$.

Решение:
В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна $90^\circ$. Следовательно, $\alpha + \beta = 90^\circ$, откуда $\beta = 90^\circ - \alpha$.
Используем свойство тригонометрических функций дополнительных углов: $\sin(90^\circ - \alpha) = \cos \alpha$.
Основное тригонометрическое тождество гласит: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.
Подставим выражение для $\beta$ в сумму квадратов синусов:
$\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta = \sin^2 \alpha + \sin^2(90^\circ - \alpha)$
$= \sin^2 \alpha + (\sin(90^\circ - \alpha))^2$
$= \sin^2 \alpha + (\cos \alpha)^2$
$= \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha$
$= 1$
Таким образом, сумма квадратов синусов острых углов прямоугольного треугольника равна 1.

Ответ: Доказано.

б) Докажите, что для любого острого угла $\alpha$ выполняется неравенство $\sin \alpha + \cos \alpha > 1$.

Дано: Острый угол $\alpha$. Это означает $0^\circ < \alpha < 90^\circ$.

Найти: Доказать, что $\sin \alpha + \cos \alpha > 1$.

Решение:
Для острого угла $\alpha$ ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$) известно, что $\sin \alpha > 0$ и $\cos \alpha > 0$.
Рассмотрим квадрат суммы $\sin \alpha + \cos \alpha$:
$(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = \sin^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha$
Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, преобразуем выражение:
$(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = 1 + 2 \sin \alpha \cos \alpha$
Поскольку $\alpha$ - острый угол, $\sin \alpha > 0$ и $\cos \alpha > 0$. Следовательно, их произведение $\sin \alpha \cos \alpha > 0$.
Тогда $2 \sin \alpha \cos \alpha > 0$.
Из этого следует, что $1 + 2 \sin \alpha \cos \alpha > 1$.
Таким образом, мы получили, что $(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 > 1$.
Поскольку $\sin \alpha > 0$ и $\cos \alpha > 0$ для острого угла $\alpha$, то $\sin \alpha + \cos \alpha$ является положительной величиной.
Если квадрат положительного числа больше 1, то само число должно быть больше 1.
Следовательно, $\sin \alpha + \cos \alpha > 1$.

Ответ: Доказано.

165. a) Найдите диаметр $AB$ окружности, если расстояние от точки $C$ окружности до диаметра равно 6 см, а $\text{tg}\angle ABC = \frac{2}{3}$.

б) Дана окружность радиуса 8 см и на ней точки $A$ и $B$. Найдите $AB$, если:

1) $\widetilde{AB} = 120^\circ$; 2) $\widetilde{AB} = 50^\circ$; 3) окружность разделена точками $A$ и $B$ на две дуги, градусные меры которых относятся как $5 : 7$.

в) Хорда окружности $AB$ равна 75 % диаметра. Найдите градусную меру дуги $\widetilde{AB}$.

г) Угол между прямыми, содержащими диаметр окружности и ее хорду, не имеющую с ним общих точек, равен $20^\circ$. Найдите длину этой хорды, если ее проекция на диаметр равна 6 см.

а)

Дано:

Расстояние от точки $C$ до диаметра $AB$: $CH = 6$ см.

Тангенс угла $ABC$: $\operatorname{tg}\angle ABC = \frac{2}{3}$.

$AB$ - диаметр окружности.

Перевод в СИ:

$CH = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$.

Найти:

Диаметр $AB$.

Решение:

Поскольку $AB$ является диаметром окружности, а точка $C$ лежит на окружности, то угол $\angle ACB$, опирающийся на диаметр, является прямым, т.е. $\angle ACB = 90^\circ$. Таким образом, треугольник $ABC$ является прямоугольным.

Проведем высоту $CH$ из вершины $C$ к гипотенузе $AB$. По условию, $CH = 6$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $CHB$. В нем $\angle CHB = 90^\circ$.

Тангенс угла $ABC$ (угла $B$) в этом треугольнике определяется как отношение противолежащего катета $CH$ к прилежащему катету $BH$: $ \operatorname{tg}\angle ABC = \frac{CH}{BH} $.

Подставим известные значения: $ \frac{2}{3} = \frac{6}{BH} $.

Отсюда находим $BH$: $ BH = \frac{6 \cdot 3}{2} = 9 $ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $CHA$. В нем $\angle CHA = 90^\circ$.

В прямоугольном треугольнике $ABC$ сумма острых углов равна $90^\circ$, т.е. $\angle CAB + \angle ABC = 90^\circ$. Следовательно, $\angle CAB = 90^\circ - \angle ABC$.

Тангенс угла $\angle CAB$ (угла $A$) равен котангенсу угла $\angle ABC$: $ \operatorname{tg}\angle CAB = \operatorname{ctg}\angle ABC = \frac{1}{\operatorname{tg}\angle ABC} $.

Подставим значение $\operatorname{tg}\angle ABC$: $ \operatorname{tg}\angle CAB = \frac{1}{2/3} = \frac{3}{2} $.

В прямоугольном треугольнике $CHA$ тангенс угла $CAB$ определяется как отношение противолежащего катета $CH$ к прилежащему катету $AH$: $ \operatorname{tg}\angle CAB = \frac{CH}{AH} $.

Подставим известные значения: $ \frac{3}{2} = \frac{6}{AH} $.

Отсюда находим $AH$: $ AH = \frac{6 \cdot 2}{3} = 4 $ см.

Диаметр $AB$ состоит из отрезков $AH$ и $BH$: $ AB = AH + BH $.

$ AB = 4 + 9 = 13 $ см.

Ответ: $13$ см

б)

Дано:

Радиус окружности: $R = 8$ см.

Перевод в СИ:

$R = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$.

Найти:

Длину хорды $AB$ в различных случаях.

Решение:

Пусть $O$ - центр окружности. Тогда $OA = OB = R = 8$ см. Треугольник $AOB$ является равнобедренным.

1) $\smile AB = 120^\circ$

Центральный угол, соответствующий дуге $AB$, равен $\angle AOB = 120^\circ$.

Проведем высоту $OM$ из центра $O$ к хорде $AB$. В равнобедренном треугольнике $AOB$ высота $OM$ также является биссектрисой угла $AOB$ и медианой хорды $AB$.

Поэтому $\angle AOM = \frac{1}{2}\angle AOB = \frac{1}{2} \cdot 120^\circ = 60^\circ$.

В прямоугольном треугольнике $AOM$ ($ \angle OMA = 90^\circ $): $ AM = OA \cdot \sin(\angle AOM) $.

$ AM = R \cdot \sin(60^\circ) = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3} $ см.

Длина хорды $AB = 2 \cdot AM = 2 \cdot 4\sqrt{3} = 8\sqrt{3}$ см.

Ответ: $8\sqrt{3}$ см

2) $\smile AB = 50^\circ$

Центральный угол, соответствующий дуге $AB$, равен $\angle AOB = 50^\circ$.

Проведем высоту $OM$ из центра $O$ к хорде $AB$.

Поэтому $\angle AOM = \frac{1}{2}\angle AOB = \frac{1}{2} \cdot 50^\circ = 25^\circ$.

В прямоугольном треугольнике $AOM$: $ AM = OA \cdot \sin(\angle AOM) $.

$ AM = R \cdot \sin(25^\circ) = 8 \cdot \sin(25^\circ) $ см.

Длина хорды $AB = 2 \cdot AM = 2 \cdot 8 \cdot \sin(25^\circ) = 16 \cdot \sin(25^\circ)$ см.

Ответ: $16 \sin(25^\circ)$ см

3) окружность разделена точками $A$ и $B$ на две дуги, градусные меры которых относятся как $5:7$.

Сумма градусных мер двух дуг, на которые окружность разделена, равна $360^\circ$.

Пусть градусные меры дуг $AB$ равны $5x$ и $7x$.

Тогда $5x + 7x = 360^\circ \Rightarrow 12x = 360^\circ \Rightarrow x = 30^\circ$.

Меньшая дуга $AB$ имеет градусную меру $5x = 5 \cdot 30^\circ = 150^\circ$. Длина хорды $AB$ соответствует этой меньшей дуге.

Центральный угол, соответствующий этой дуге, $\angle AOB = 150^\circ$.

Проведем высоту $OM$ из центра $O$ к хорде $AB$.

Поэтому $\angle AOM = \frac{1}{2}\angle AOB = \frac{1}{2} \cdot 150^\circ = 75^\circ$.

В прямоугольном треугольнике $AOM$: $ AM = OA \cdot \sin(\angle AOM) $.

$ AM = R \cdot \sin(75^\circ) = 8 \cdot \sin(75^\circ) $ см.

Длина хорды $AB = 2 \cdot AM = 2 \cdot 8 \cdot \sin(75^\circ) = 16 \cdot \sin(75^\circ)$ см.

Мы знаем, что $ \sin(75^\circ) = \sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin(45^\circ)\cos(30^\circ) + \cos(45^\circ)\sin(30^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} $.

Тогда $ AB = 16 \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = 4(\sqrt{6} + \sqrt{2}) $ см.

Ответ: $4(\sqrt{6} + \sqrt{2})$ см

в)

Дано:

Длина хорды $AB$ равна $75\%$ диаметра $D$: $AB = 0.75 D$.

Перевод в СИ:

Без конкретного значения диаметра или радиуса, перевод в СИ не требуется, поскольку ответ будет в градусах.

Найти:

Градусную меру дуги $AB$.

Решение:

Пусть $R$ - радиус окружности. Тогда диаметр $D = 2R$.

Длина хорды $AB = 0.75 \cdot 2R = 1.5R = \frac{3}{2}R$.

Пусть $O$ - центр окружности. В равнобедренном треугольнике $AOB$, $OA = OB = R$.

Проведем высоту $OM$ из центра $O$ к хорде $AB$. Высота $OM$ делит хорду $AB$ пополам, т.е. $AM = MB = \frac{AB}{2}$.

$ AM = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2}R = \frac{3}{4}R $.

В прямоугольном треугольнике $AOM$ ($ \angle OMA = 90^\circ $): $ \sin(\angle AOM) = \frac{AM}{OA} $.

$ \sin(\angle AOM) = \frac{3/4 R}{R} = \frac{3}{4} $.

Центральный угол $\angle AOB$ в два раза больше угла $\angle AOM$: $ \angle AOB = 2 \cdot \angle AOM $.

Тогда $\angle AOB = 2 \arcsin\left(\frac{3}{4}\right)$.

Градусная мера дуги $AB$ равна центральному углу, на который она опирается, то есть $\smile AB = \angle AOB$.

Ответ: $2 \arcsin\left(\frac{3}{4}\right)$ градусов

г)

Дано:

Угол между прямой, содержащей диаметр, и прямой, содержащей хорду: $\alpha = 20^\circ$.

Длина проекции хорды на диаметр: $L_{proj} = 6$ см.

Перевод в СИ:

$L_{proj} = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$.

Найти:

Длину хорды $L_{chord}$.

Решение:

Пусть $L_{chord}$ - длина хорды. Проекция отрезка на прямую определяется формулой $L_{proj} = L_{chord} \cdot \cos(\alpha)$, где $\alpha$ - угол между отрезком и прямой.

В данном случае, $L_{proj} = 6$ см, и угол $\alpha = 20^\circ$.

$ 6 = L_{chord} \cdot \cos(20^\circ) $.

Отсюда находим длину хорды: $ L_{chord} = \frac{6}{\cos(20^\circ)} $.

Примечание: фраза "не имеющую с ним общих точек" в контексте данного угла ($20^\circ$) и двух прямых (содержащих диаметр и хорду) является противоречивой, так как если две прямые не параллельны (угол $20^\circ \neq 0^\circ$), то они обязательно пересекаются. Если же подразумевается, что отрезки хорды и диаметра не имеют общих точек, то они должны быть параллельны, что противоречит углу $20^\circ$. Скорее всего, эта фраза призвана указать, что хорда не является диаметром, или что она не проходит через центр окружности, но не влияет на расчет длины хорды по заданной проекции и углу.

Ответ: $\frac{6}{\cos(20^\circ)}$ см

166. Докажите, что хорда окружности есть среднее пропорциональное между диаметром, проведенным из ее конца, и проекцией этой хорды на диаметр.

Дано:

Окружность.

Хорда $AB$ этой окружности.

Диаметр $AD$, проведенный через один из концов хорды (точку $A$).

Точка $C'$ является проекцией точки $B$ на диаметр $AD$. Таким образом, отрезок $AC'$ представляет собой проекцию хорды $AB$ на диаметр $AD$.

Доказать:

Хорда $AB$ является средним пропорциональным между диаметром $AD$ и ее проекцией $AC'$ на этот диаметр.

То есть, необходимо доказать, что $AB = \sqrt{AD \cdot AC'}$, или, что эквивалентно, $AB^2 = AD \cdot AC'$.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольник $ABD$. Все его вершины ($A$, $B$, $D$) лежат на окружности.

2. Сторона $AD$ является диаметром окружности. Угол $\angle ABD$ является вписанным углом, опирающимся на диаметр $AD$.

3. Известно, что любой вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, равен $90^\circ$. Следовательно, $\angle ABD = 90^\circ$. Это означает, что треугольник $ABD$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $B$.

4. Проведем из вершины $B$ прямого угла перпендикуляр к гипотенузе $AD$. Основание этого перпендикуляра обозначим как $C'$. Таким образом, $BC'$ является высотой, опущенной из вершины прямого угла $B$ на гипотенузу $AD$.

5. Отрезок $AC'$ — это проекция катета $AB$ на гипотенузу $AD$ в прямоугольном треугольнике $ABD$.

6. Согласно метрическим соотношениям в прямоугольном треугольнике, квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу.

7. Применяя это свойство к прямоугольному треугольнику $ABD$, где $AB$ — катет, $AD$ — гипотенуза, а $AC'$ — проекция катета $AB$ на гипотенузу $AD$, получаем:

$\qquad AB^2 = AD \cdot AC'$

8. Извлекая квадратный корень из обеих частей равенства (поскольку длины отрезков положительны), получаем:

$\qquad AB = \sqrt{AD \cdot AC'}$

Это равенство означает, что хорда $AB$ является средним пропорциональным между диаметром $AD$ и ее проекцией $AC'$ на этот диаметр.

Ответ:

Доказано, что хорда окружности является средним пропорциональным между диаметром, проведенным из ее конца, и проекцией этой хорды на диаметр, что следует из свойств прямоугольного треугольника, образованного хордой, диаметром и перпендикуляром, опущенным из другого конца хорды на диаметр.