Страница 81 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

152. a) Диагонали ромба равны 6 дм и 8 дм. Найдите его сторону.

б) Периметр ромба равен 52 см, одна из его диагоналей равна 10 см. Найдите вторую диагональ ромба.

a)

Дано:

Диагонали ромба: $d_1 = 6 \text{ дм}$, $d_2 = 8 \text{ дм}$.

Перевод в СИ:

$d_1 = 6 \text{ дм} = 0.6 \text{ м}$

$d_2 = 8 \text{ дм} = 0.8 \text{ м}$

Найти:

Сторона ромба $a$.

Решение:

Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Это свойство образует четыре конгруэнтных прямоугольных треугольника, где половина каждой диагонали является катетом, а сторона ромба — гипотенузой. Пусть $a$ – сторона ромба, $d_1$ и $d_2$ – его диагонали. Согласно теореме Пифагора, для любого из этих прямоугольных треугольников выполняется соотношение:

$a^2 = \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2$

Вычислим половинки диагоналей:

$\frac{d_1}{2} = \frac{0.6 \text{ м}}{2} = 0.3 \text{ м}$

$\frac{d_2}{2} = \frac{0.8 \text{ м}}{2} = 0.4 \text{ м}$

Теперь подставим эти значения в формулу Пифагора:

$a^2 = (0.3 \text{ м})^2 + (0.4 \text{ м})^2$

$a^2 = 0.09 \text{ м}^2 + 0.16 \text{ м}^2$

$a^2 = 0.25 \text{ м}^2$

Чтобы найти $a$, извлечем квадратный корень:

$a = \sqrt{0.25 \text{ м}^2}$

$a = 0.5 \text{ м}$

Переведем результат обратно в дециметры:

$a = 0.5 \text{ м} \times 10 \text{ дм/м} = 5 \text{ дм}$

Ответ: Сторона ромба равна 5 дм.

б)

Дано:

Периметр ромба $P = 52 \text{ см}$.

Одна из диагоналей $d_1 = 10 \text{ см}$.

Перевод в СИ:

$P = 52 \text{ см} = 0.52 \text{ м}$

$d_1 = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$

Найти:

Вторая диагональ ромба $d_2$.

Решение:

Ромб является четырехугольником, у которого все четыре стороны равны. Пусть $a$ – сторона ромба. Периметр ромба $P$ вычисляется по формуле $P = 4a$.

Найдем сторону ромба $a$:

$a = \frac{P}{4}$

$a = \frac{0.52 \text{ м}}{4}$

$a = 0.13 \text{ м}$

Для ромба существует соотношение между его стороной и диагоналями: $4a^2 = d_1^2 + d_2^2$. Из этой формулы можем выразить квадрат второй диагонали $d_2^2$:

$d_2^2 = 4a^2 - d_1^2$

Затем найдем $d_2$, извлекая квадратный корень:

$d_2 = \sqrt{4a^2 - d_1^2}$

Подставим известные значения:

$d_2 = \sqrt{4 \cdot (0.13 \text{ м})^2 - (0.1 \text{ м})^2}$

$d_2 = \sqrt{4 \cdot 0.0169 \text{ м}^2 - 0.01 \text{ м}^2}$

$d_2 = \sqrt{0.0676 \text{ м}^2 - 0.01 \text{ м}^2}$

$d_2 = \sqrt{0.0576 \text{ м}^2}$

$d_2 = 0.24 \text{ м}$

Переведем результат обратно в сантиметры:

$d_2 = 0.24 \text{ м} \times 100 \text{ см/м} = 24 \text{ см}$

Ответ: Вторая диагональ ромба равна 24 см.

153. a) Лестница длиной 13 м приставлена к стене так, что нижний ее конец отстоит от стены на 5 м. На какой высоте находится другой конец лестницы?

б) Лестница длиной 5 м упирается одним концом в стену, а второй ее конец отстоит от стены на 3 м. Если второй конец лестницы пододвинуть к стене на 1 м, то станет ли выше на столько же ее первый конец?

a)

Дано:

Длина лестницы (гипотенуза) $L = 13$ м

Расстояние от нижнего конца лестницы до стены (катет) $d = 5$ м

Найти:

Высота, на которой находится другой конец лестницы $h$

Решение

Поскольку стена перпендикулярна земле, лестница, стена и земля образуют прямоугольный треугольник. Длина лестницы является гипотенузой, а расстояние от стены до нижнего конца лестницы и высота, на которой находится верхний конец лестницы, являются катетами.

Применяем теорему Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$, где $c$ - гипотенуза, $a$ и $b$ - катеты.

В нашем случае $L^2 = d^2 + h^2$.

Выразим высоту $h$:

$h^2 = L^2 - d^2$

Подставляем значения:

$h^2 = 13^2 - 5^2$

$h^2 = 169 - 25$

$h^2 = 144$

Для нахождения $h$ извлечем квадратный корень:

$h = \sqrt{144}$

$h = 12$ м

Ответ:

Высота, на которой находится другой конец лестницы: 12 м.

б)

Дано:

Длина лестницы (гипотенуза) $L = 5$ м

Начальное расстояние от нижнего конца лестницы до стены (катет) $d_1 = 3$ м

Изменение расстояния: лестницу пододвинули к стене на $1$ м

Найти:

Станет ли выше на столько же ее первый конец, то есть сравнить изменение высоты $h_2 - h_1$ с $1$ м.

Решение

Рассмотрим два случая.

Случай 1: Начальное положение лестницы.

Лестница, стена и земля образуют прямоугольный треугольник. Длина лестницы является гипотенузой $L$, расстояние от стены до нижнего конца лестницы является одним катетом $d_1$, а высота, на которой находится верхний конец лестницы, является другим катетом $h_1$.

Применяем теорему Пифагора: $L^2 = d_1^2 + h_1^2$.

Выразим высоту $h_1$:

$h_1^2 = L^2 - d_1^2$

Подставляем значения:

$h_1^2 = 5^2 - 3^2$

$h_1^2 = 25 - 9$

$h_1^2 = 16$

Для нахождения $h_1$ извлечем квадратный корень:

$h_1 = \sqrt{16}$

$h_1 = 4$ м

Случай 2: Лестницу пододвинули к стене.

Новое расстояние от нижнего конца лестницы до стены $d_2 = d_1 - 1$ м.

$d_2 = 3 - 1 = 2$ м

Пусть новая высота, на которой находится верхний конец лестницы, будет $h_2$.

Применяем теорему Пифагора: $L^2 = d_2^2 + h_2^2$.

Выразим высоту $h_2$:

$h_2^2 = L^2 - d_2^2$

Подставляем значения:

$h_2^2 = 5^2 - 2^2$

$h_2^2 = 25 - 4$

$h_2^2 = 21$

Для нахождения $h_2$ извлечем квадратный корень:

$h_2 = \sqrt{21}$ м

Приблизительное значение $\sqrt{21} \approx 4.582576$ м.

Сравнение изменений высоты.

Изменение высоты $\Delta h = h_2 - h_1$.

$\Delta h = \sqrt{21} - 4$ м

Численно:

$\Delta h \approx 4.582576 - 4$

$\Delta h \approx 0.582576$ м

Лестницу пододвинули к стене на $1$ м. Спрашивается, станет ли выше на столько же ее первый конец.

Так как $\Delta h \approx 0.58$ м, а пододвинули на $1$ м, то высота не увеличилась на столько же.

Ответ:

Нет, ее первый конец не станет выше на столько же. Высота увеличится примерно на 0.58 м ($\sqrt{21} - 4$ м), что меньше, чем 1 м.

154. Найдите высоту $BD$ двускатной крыши (рисунок 80), если стропила $AB$ и $BC$ длиной 15 м опираются на балку $AC$ длиной 24 м.

Рисунок 80

Дано:

Длина стропила $AB = 15 \, \text{м}$

Длина стропила $BC = 15 \, \text{м}$

Длина балки $AC = 24 \, \text{м}$

Найти:

Высота $BD$

Решение:

По условию задачи, стропила $AB$ и $BC$ имеют одинаковую длину ($15 \, \text{м}$), а балка $AC$ имеет длину $24 \, \text{м}$. Это означает, что треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$.

Высота $BD$ в равнобедренном треугольнике, опущенная на основание, является также медианой. Следовательно, точка $D$ делит основание $AC$ пополам.

Найдем длину отрезка $DC$ (или $AD$):

$DC = \frac{AC}{2} = \frac{24 \, \text{м}}{2} = 12 \, \text{м}$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BDC$. В этом треугольнике $BC$ является гипотенузой, а $BD$ и $DC$ — катетами. Мы знаем длины $BC$ и $DC$, и можем найти $BD$ по теореме Пифагора:

$BC^2 = BD^2 + DC^2$

Подставим известные значения:

$15^2 = BD^2 + 12^2$

$225 = BD^2 + 144$

Теперь выразим $BD^2$:

$BD^2 = 225 - 144$

$BD^2 = 81$

Чтобы найти $BD$, возьмем квадратный корень из $81$:

$BD = \sqrt{81}$

$BD = 9 \, \text{м}$

Ответ: Высота $BD$ равна $9 \, \text{м}$.

155. Перпендикуляр, проведенный из вершины тупого угла ромба, делит его сторону на отрезки длиной 4 см и 8 см. Найдите диагонали ромба.

Дано:

Ромб $ABCD$. Из вершины тупого угла $B$ проведен перпендикуляр $BH$ к стороне $AD$.

Отрезки, на которые перпендикуляр $BH$ делит сторону $AD$, имеют длины $4$ см и $8$ см.

Перевод в СИ:

$L_1 = 4 \text{ см} = 0.04 \text{ м}$

$L_2 = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$

Найти:

Длины диагоналей ромба $AC$ и $BD$.

Решение:

По условию, перпендикуляр делит сторону ромба на отрезки длиной $4$ см и $8$ см. Это означает, что длина стороны ромба $a$ равна сумме этих отрезков:

$a = 4 \text{ см} + 8 \text{ см} = 12 \text{ см} = 0.12 \text{ м}$.

Пусть $BH$ — перпендикуляр, проведенный из вершины тупого угла $B$ к стороне $AD$. Угол $A$ в ромбе, смежный с тупым углом $B$, является острым. Поэтому основание перпендикуляра $H$ лежит на стороне $AD$.

Существуют две возможные интерпретации, какие из отрезков $AH$ и $HD$ равны $4$ см и $8$ см, так как в условии не указано, какой отрезок прилегает к острому углу, а какой к тупому.

Случай 1: Отрезок $AH$ (прилежащий к острому углу $A$) равен $4$ см, а $HD = 8$ см.

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$ (с прямым углом при $H$).

Гипотенуза $AB$ является стороной ромба, поэтому $AB = a = 12$ см. Катет $AH = 4$ см.

Найдем высоту $BH$ (перпендикуляр) по теореме Пифагора:

$BH^2 = AB^2 - AH^2$

$BH^2 = 12^2 - 4^2 = 144 - 16 = 128$

$BH = \sqrt{128} = \sqrt{64 \cdot 2} = 8\sqrt{2}$ см.

2. Найдем косинус острого угла $A$ ромба в треугольнике $ABH$:

$\cos(\angle A) = \frac{AH}{AB} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$.

3. Угол $B$ в ромбе является тупым, и $\angle A + \angle B = 180^\circ$. Следовательно, $\cos(\angle B) = \cos(180^\circ - \angle A) = -\cos(\angle A) = -\frac{1}{3}$.

4. Найдем длины диагоналей ромба, используя теорему косинусов.

Диагональ $BD$ соединяет вершины $B$ и $D$. В треугольнике $ABD$ стороны $AB = AD = 12$ см. Угол между ними $\angle A$ является острым.

$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos(\angle A)$

$BD^2 = 12^2 + 12^2 - 2 \cdot 12 \cdot 12 \cdot \frac{1}{3}$

$BD^2 = 144 + 144 - 2 \cdot 144 \cdot \frac{1}{3}$

$BD^2 = 288 - 96 = 192$

$BD = \sqrt{192} = \sqrt{64 \cdot 3} = 8\sqrt{3}$ см.

Диагональ $AC$ соединяет вершины $A$ и $C$. В треугольнике $ABC$ стороны $AB = BC = 12$ см. Угол между ними $\angle B$ является тупым.

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle B)$

$AC^2 = 12^2 + 12^2 - 2 \cdot 12 \cdot 12 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)$

$AC^2 = 144 + 144 + 2 \cdot 144 \cdot \frac{1}{3}$

$AC^2 = 288 + 96 = 384$

$AC = \sqrt{384} = \sqrt{64 \cdot 6} = 8\sqrt{6}$ см.

Случай 2: Отрезок $AH$ (прилежащий к острому углу $A$) равен $8$ см, а $HD = 4$ см.

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$.

Гипотенуза $AB = a = 12$ см. Катет $AH = 8$ см.

Найдем высоту $BH$ по теореме Пифагора:

$BH^2 = AB^2 - AH^2$

$BH^2 = 12^2 - 8^2 = 144 - 64 = 80$

$BH = \sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = 4\sqrt{5}$ см.

2. Найдем косинус острого угла $A$ ромба в треугольнике $ABH$:

$\cos(\angle A) = \frac{AH}{AB} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$.

3. Угол $B$ в ромбе является тупым, и $\cos(\angle B) = -\cos(\angle A) = -\frac{2}{3}$.

4. Найдем длины диагоналей ромба, используя теорему косинусов.

Диагональ $BD$ (стороны $AB = AD = 12$ см, угол между ними $\angle A$):

$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos(\angle A)$

$BD^2 = 12^2 + 12^2 - 2 \cdot 12 \cdot 12 \cdot \frac{2}{3}$

$BD^2 = 288 - 2 \cdot 144 \cdot \frac{2}{3}$

$BD^2 = 288 - 192 = 96$

$BD = \sqrt{96} = \sqrt{16 \cdot 6} = 4\sqrt{6}$ см.

Диагональ $AC$ (стороны $AB = BC = 12$ см, угол между ними $\angle B$):

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle B)$

$AC^2 = 12^2 + 12^2 - 2 \cdot 12 \cdot 12 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right)$

$AC^2 = 288 + 2 \cdot 144 \cdot \frac{2}{3}$

$AC^2 = 288 + 192 = 480$

$AC = \sqrt{480} = \sqrt{16 \cdot 30} = 4\sqrt{30}$ см.

Ответ:

Длины диагоналей ромба могут быть либо $8\sqrt{3}$ см и $8\sqrt{6}$ см, либо $4\sqrt{6}$ см и $4\sqrt{30}$ см.

156. В четырехугольнике $ABCD$ $BC = 15$ см, $CD = 9$ см, $AD = 13$ см, $BD = 12$ см, $\angle CDB = \angle ABD$. Найдите сторону $AB$.

$BC = 15$ см

$CD = 9$ см

$AD = 13$ см

$BD = 12$ см

$\angle CDB = \angle ABD$

$BC = 0.15$ м

$CD = 0.09$ м

$AD = 0.13$ м

$BD = 0.12$ м

$AB$

Рассмотрим треугольник $\triangle BCD$. Известны все его стороны: $BC = 15$ см, $CD = 9$ см, $BD = 12$ см.

Проверим, является ли этот треугольник прямоугольным, используя теорему Пифагора. Если $\$CD^2 + BD^2 = BC^2\$$, то угол $\angle CDB$ равен $90^\circ$.

Вычислим сумму квадратов катетов: $\$CD^2 + BD^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225\$$.

Вычислим квадрат гипотенузы: $\$BC^2 = 15^2 = 225\$$.

Так как $\$CD^2 + BD^2 = BC^2\$$, то треугольник $\triangle BCD$ является прямоугольным, и угол $\angle CDB$ равен $90^\circ$.

По условию задачи, $\angle CDB = \angle ABD$. Следовательно, $\angle ABD = 90^\circ$.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle ABD$. Мы знаем, что он является прямоугольным с прямым углом при вершине $B$. Известны длины сторон $AD = 13$ см (гипотенуза) и $BD = 12$ см (катет).

Используем теорему Пифагора для треугольника $\triangle ABD$:

$\$AD^2 = AB^2 + BD^2\$

Подставим известные значения:

$\$13^2 = AB^2 + 12^2\$

$\$169 = AB^2 + 144\$

Выразим $AB^2$:

$\$AB^2 = 169 - 144\$

$\$AB^2 = 25\$

Найдем $AB$:

$\$AB = \sqrt{25}\$

$\$AB = 5 \text{ см}\$

Сторона $AB$ равна $5$ см.

157.

a) В квадрате $ABCD$ со стороной $12$ см точки $M$ и $K$ – середины сторон $AB$ и $AD$ соответственно. Найдите стороны треугольника $MCK$.

б) В прямоугольном треугольнике $ABC$ $\angle C = 90^\circ$, $\angle B = 60^\circ$, $BC = 5$ см, $M \in AC$, причем $CM : AM = 1 : 2$. Найдите длину отрезка $MN$, параллельного $AB$, где $N \in BC$.

в) В прямоугольнике $ABCD$ $AD = 3$ см, $AB = 2$ см, $N$ – середина стороны $CD$, $M \in BC$, причем $BM : MC = 2 : 1$. Докажите, что треугольник $AMN$ прямоугольный и найдите с точностью до $1^\circ$ его меньший острый угол.

a)

Дано:

• Квадрат $ABCD$.
• Сторона квадрата $a = 12$ см.
• $M$ — середина стороны $AB$.
• $K$ — середина стороны $AD$.

Перевод в СИ:

• $a = 12$ см $= 0.12$ м.

Найти: Стороны треугольника $MCK$ ($MC, KC, MK$).

Решение:

Поскольку $ABCD$ — квадрат, все его стороны равны $12$ см, и все углы равны $90^\circ$.

Точка $M$ — середина $AB$, значит, $AM = MB = a/2 = 12/2 = 6$ см.

Точка $K$ — середина $AD$, значит, $AK = KD = a/2 = 12/2 = 6$ см.

1. Найдем сторону $MC$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $MBC$ (угол $B = 90^\circ$).

Длины катетов: $MB = 6$ см, $BC = 12$ см.

По теореме Пифагора:

$MC^2 = MB^2 + BC^2$

$MC^2 = 6^2 + 12^2 = 36 + 144 = 180$

$MC = \sqrt{180} = \sqrt{36 \cdot 5} = 6\sqrt{5}$ см.

2. Найдем сторону $KC$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $KDC$ (угол $D = 90^\circ$).

Длины катетов: $KD = 6$ см, $DC = 12$ см.

По теореме Пифагора:

$KC^2 = KD^2 + DC^2$

$KC^2 = 6^2 + 12^2 = 36 + 144 = 180$

$KC = \sqrt{180} = 6\sqrt{5}$ см.

3. Найдем сторону $MK$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $AMK$ (угол $A = 90^\circ$).

Длины катетов: $AM = 6$ см, $AK = 6$ см.

По теореме Пифагора:

$MK^2 = AM^2 + AK^2$

$MK^2 = 6^2 + 6^2 = 36 + 36 = 72$

$MK = \sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$ см.

Таким образом, стороны треугольника $MCK$ равны $6\sqrt{5}$ см, $6\sqrt{5}$ см и $6\sqrt{2}$ см.

Ответ: $MC = 6\sqrt{5}$ см, $KC = 6\sqrt{5}$ см, $MK = 6\sqrt{2}$ см.

б)

Дано:

• Прямоугольный треугольник $ABC$.
• $\angle C = 90^\circ$.
• $\angle B = 60^\circ$.
• $BC = 5$ см.
• $M \in AC$.
• $CM : AM = 1 : 2$.
• $MN \parallel AB$, $N \in BC$.

Перевод в СИ:

• $BC = 5$ см $= 0.05$ м.

Найти: Длину отрезка $MN$.

Решение:

1. Найдем угол $A$ в треугольнике $ABC$.

Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$.

$\angle A = 180^\circ - \angle B - \angle C = 180^\circ - 60^\circ - 90^\circ = 30^\circ$.

2. Найдем длину катета $AC$ в треугольнике $ABC$.

Используем тангенс угла $B$:

$\tan(\angle B) = \frac{AC}{BC}$

$\tan(60^\circ) = \frac{AC}{5}$

$AC = 5 \cdot \tan(60^\circ) = 5\sqrt{3}$ см.

3. Найдем длину отрезка $CM$.

Дано, что $CM : AM = 1 : 2$. Это означает, что $AC$ разделен на $1+2=3$ части, где $CM$ составляет одну часть.

Следовательно, $CM = \frac{1}{3} AC = \frac{1}{3} \cdot 5\sqrt{3} = \frac{5\sqrt{3}}{3}$ см.

4. Рассмотрим треугольник $MNC$.

Поскольку $MN \parallel AB$, то треугольник $MNC$ подобен треугольнику $ABC$ (по двум углам: $\angle C$ общий, $\angle NMC = \angle BAC$ как соответственные углы при параллельных прямых $MN$ и $AB$ и секущей $AC$).

Коэффициент подобия $k$ равен отношению сходственных сторон:

$k = \frac{MC}{AC} = \frac{CM}{AC} = \frac{5\sqrt{3}/3}{5\sqrt{3}} = \frac{1}{3}$.

Значит, $MN = k \cdot AB = \frac{1}{3} AB$.

Найдем $AB$ в треугольнике $ABC$ (гипотенуза). Используем косинус угла $B$:

$\cos(\angle B) = \frac{BC}{AB}$

$\cos(60^\circ) = \frac{5}{AB}$

$\frac{1}{2} = \frac{5}{AB}$

$AB = 5 \cdot 2 = 10$ см.

Теперь найдем $MN$:

$MN = \frac{1}{3} \cdot AB = \frac{1}{3} \cdot 10 = \frac{10}{3}$ см.

Ответ: $MN = \frac{10}{3}$ см.

в)

Дано:

• Прямоугольник $ABCD$.
• $AD = 3$ см.
• $AB = 2$ см.
• $N$ — середина стороны $CD$.
• $M \in BC$.
• $BM : MC = 2 : 1$.

Перевод в СИ:

• $AD = 3$ см $= 0.03$ м.
• $AB = 2$ см $= 0.02$ м.

Найти:

• Доказать, что треугольник $AMN$ прямоугольный.
• Найти меньший острый угол треугольника $AMN$ с точностью до $1^\circ$.

Решение:

1. Найдем длины сторон прямоугольника и отрезков на них.

Так как $ABCD$ — прямоугольник, $AB = CD = 2$ см и $AD = BC = 3$ см.

Точка $N$ — середина $CD$, поэтому $CN = ND = CD/2 = 2/2 = 1$ см.

Точка $M$ на $BC$ делит его в отношении $BM : MC = 2 : 1$. Вся длина $BC = 3$ см.

Следовательно, $MC = \frac{1}{1+2} \cdot BC = \frac{1}{3} \cdot 3 = 1$ см.

И $BM = \frac{2}{1+2} \cdot BC = \frac{2}{3} \cdot 3 = 2$ см.

2. Найдем длины сторон треугольника $AMN$ с помощью теоремы Пифагора в соответствующих прямоугольных треугольниках.

а) Сторона $AM$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABM$ (угол $B = 90^\circ$).

$AM^2 = AB^2 + BM^2$

$AM^2 = 2^2 + 2^2 = 4 + 4 = 8$

$AM = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ см.

б) Сторона $AN$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ADN$ (угол $D = 90^\circ$).

$AN^2 = AD^2 + DN^2$

$AN^2 = 3^2 + 1^2 = 9 + 1 = 10$

$AN = \sqrt{10}$ см.

в) Сторона $MN$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $MCN$ (угол $C = 90^\circ$).

$MN^2 = MC^2 + CN^2$

$MN^2 = 1^2 + 1^2 = 1 + 1 = 2$

$MN = \sqrt{2}$ см.

3. Докажем, что треугольник $AMN$ прямоугольный.

Мы нашли квадраты сторон: $AM^2 = 8$, $AN^2 = 10$, $MN^2 = 2$.

Проверим, выполняется ли обратная теорема Пифагора. Найдем сумму квадратов двух меньших сторон:

$MN^2 + AM^2 = 2 + 8 = 10$.

Эта сумма равна квадрату большей стороны: $AN^2 = 10$.

Поскольку $MN^2 + AM^2 = AN^2$, по обратной теореме Пифагора треугольник $AMN$ является прямоугольным. Прямой угол лежит напротив гипотенузы $AN$, то есть $\angle AMN = 90^\circ$.

4. Найдем меньший острый угол треугольника $AMN$.

Катеты в прямоугольном треугольнике $AMN$ — это $AM = 2\sqrt{2}$ см и $MN = \sqrt{2}$ см.

Гипотенуза $AN = \sqrt{10}$ см.

Меньший острый угол в прямоугольном треугольнике лежит напротив меньшего катета. Сравним длины катетов:

$MN = \sqrt{2} \approx 1.414$ см.

$AM = 2\sqrt{2} \approx 2.828$ см.

Очевидно, $MN < AM$, поэтому меньший острый угол — это $\angle MAN$ (напротив катета $MN$).

Для нахождения $\angle MAN$ используем тангенс:

$\tan(\angle MAN) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{MN}{AM}$

$\tan(\angle MAN) = \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{2} = 0.5$

$\angle MAN = \arctan(0.5)$

Вычислим значение угла:

$\angle MAN \approx 26.565^\circ$.

Округлим до $1^\circ$, получаем $27^\circ$.

Ответ: Треугольник $AMN$ является прямоугольным с прямым углом $\angle AMN = 90^\circ$. Меньший острый угол $\approx 27^\circ$.