Страница 92 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

175. Сравните:

a) $ \sin 20^\circ $ и $ \sin 35^\circ $;

б) $ \cos 15^\circ $ и $ \cos 70^\circ $;

в) $ \sin \alpha $ и $ \sin^2 \alpha $, где $ \alpha $ – острый угол;

г) $ \cos \alpha $ и $ \cos^{-1} \alpha $, где $ \alpha $ – острый угол.

a) sin 20° и sin 35°

Функция синуса является возрастающей на интервале $ (0^\circ, 90^\circ) $. Так как углы $ 20^\circ $ и $ 35^\circ $ находятся в этом интервале и $ 20^\circ < 35^\circ $, то $ \sin 20^\circ < \sin 35^\circ $.

Ответ: $ \sin 20^\circ < \sin 35^\circ $

б) cos 15° и cos 70°

Функция косинуса является убывающей на интервале $ (0^\circ, 90^\circ) $. Так как углы $ 15^\circ $ и $ 70^\circ $ находятся в этом интервале и $ 15^\circ < 70^\circ $, то $ \cos 15^\circ > \cos 70^\circ $.

Ответ: $ \cos 15^\circ > \cos 70^\circ $

в) sin α и sin² α, где α – острый угол

Если $ \alpha $ – острый угол, то $ 0^\circ < \alpha < 90^\circ $. В этом интервале значение $ \sin \alpha $ находится в диапазоне $ (0, 1) $.
Пусть $ x = \sin \alpha $. Нам нужно сравнить $ x $ и $ x^2 $.
Для любого числа $ x $, такого что $ 0 < x < 1 $, выполняется неравенство $ x^2 < x $.
Это можно доказать, рассмотрев разность $ x - x^2 = x(1 - x) $. Поскольку $ x > 0 $ и $ 1 - x > 0 $ (так как $ x < 1 $), то произведение $ x(1 - x) $ будет положительным. Следовательно, $ x - x^2 > 0 $, что означает $ x > x^2 $.

Ответ: $ \sin \alpha > \sin^2 \alpha $

г) cos α и cos⁻¹ α, где α – острый угол.

Мы интерпретируем $ \cos^{-1} \alpha $ как $ 1 / \cos \alpha $ (обратная величина косинуса).
Если $ \alpha $ – острый угол, то $ 0^\circ < \alpha < 90^\circ $. В этом интервале значение $ \cos \alpha $ находится в диапазоне $ (0, 1) $.
Пусть $ y = \cos \alpha $. Нам нужно сравнить $ y $ и $ 1/y $.
Для любого числа $ y $, такого что $ 0 < y < 1 $, выполняется неравенство $ y < 1/y $.
Это можно доказать, умножив обе части неравенства на $ y $ (что является положительным числом, поэтому знак неравенства не меняется): $ y \cdot y < (1/y) \cdot y $, что приводит к $ y^2 < 1 $.
Так как $ 0 < y < 1 $, то возведение $ y $ в квадрат сохранит его в диапазоне $ (0, 1) $. Например, если $ y = 0.5 $, то $ y^2 = 0.25 $. Таким образом, $ y^2 < 1 $ всегда верно для $ 0 < y < 1 $.
Следовательно, $ \cos \alpha < 1 / \cos \alpha $.

Ответ: $ \cos \alpha < \cos^{-1} \alpha $

176. Что больше и почему:

a) $sin 60^\circ$ или $tg 30^\circ$;

б) $cos 45^\circ$ или $tg 45^\circ$;

в) $sin^2 60^\circ$ или $2sin 60^\circ - 1$;

г) $sin 40^\circ \cdot cos 20^\circ$ или 0,25?

а) sin 60° или tg 30°

Дано: Сравнить $\sin 60^\circ$ и $\tan 30^\circ$.

Найти: Что больше.

Решение

Найдем численные значения данных тригонометрических выражений:

$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\tan 30^\circ = \frac{\sin 30^\circ}{\cos 30^\circ} = \frac{1/2}{\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Теперь сравним $\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Для сравнения двух дробей с одинаковым числителем, больше будет та дробь, у которой знаменатель меньше. Поскольку $2 < 3$, то $\frac{1}{2} > \frac{1}{3}$. Следовательно, $\frac{\sqrt{3}}{2} > \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $\sin 60^\circ$ больше.

б) cos 45° или tg 45°

Дано: Сравнить $\cos 45^\circ$ и $\tan 45^\circ$.

Найти: Что больше.

Решение

Найдем численные значения данных тригонометрических выражений:

$\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\tan 45^\circ = 1$

Теперь сравним $\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $1$.

Приближенное значение $\sqrt{2} \approx 1.414$.

Тогда $\frac{\sqrt{2}}{2} \approx \frac{1.414}{2} = 0.707$.

Очевидно, что $0.707 < 1$.

Ответ: $\tan 45^\circ$ больше.

в) sin² 60° или 2sin 60° - 1

Дано: Сравнить $\sin^2 60^\circ$ и $2\sin 60^\circ - 1$.

Найти: Что больше.

Решение

Найдем численные значения данных тригонометрических выражений.

Значение $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Рассмотрим первое выражение:

$\sin^2 60^\circ = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{(\sqrt{3})^2}{2^2} = \frac{3}{4} = 0.75$

Рассмотрим второе выражение:

$2\sin 60^\circ - 1 = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - 1 = \sqrt{3} - 1$

Приближенное значение $\sqrt{3} \approx 1.732$.

Тогда $\sqrt{3} - 1 \approx 1.732 - 1 = 0.732$.

Теперь сравним $0.75$ и $0.732$.

Очевидно, что $0.75 > 0.732$.

Ответ: $\sin^2 60^\circ$ больше.

г) sin 40° ⋅ cos 20° или 0,25?

Дано: Сравнить $\sin 40^\circ \cdot \cos 20^\circ$ и $0.25$.

Найти: Что больше.

Решение

Воспользуемся формулой произведения синуса на косинус: $\sin A \cos B = \frac{1}{2}[\sin(A+B) + \sin(A-B)]$.

Применим формулу к $\sin 40^\circ \cos 20^\circ$:

$\sin 40^\circ \cos 20^\circ = \frac{1}{2}[\sin(40^\circ+20^\circ) + \sin(40^\circ-20^\circ)]$

$= \frac{1}{2}[\sin 60^\circ + \sin 20^\circ]$

Мы знаем, что $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Тогда выражение становится:

$\frac{1}{2}\left[\frac{\sqrt{3}}{2} + \sin 20^\circ\right] = \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{2}\sin 20^\circ$

Теперь нам нужно сравнить $\frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{2}\sin 20^\circ$ с $0.25 = \frac{1}{4}$.

Сравним разность этих выражений с нулем:

$\left(\frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{2}\sin 20^\circ\right) - \frac{1}{4} = \frac{\sqrt{3}-1}{4} + \frac{1}{2}\sin 20^\circ$

Мы знаем, что $\sqrt{3} \approx 1.732$, следовательно $\sqrt{3}-1 \approx 0.732$.

Значит, $\frac{\sqrt{3}-1}{4} \approx \frac{0.732}{4} = 0.183$.

Угол $20^\circ$ лежит в первой четверти, поэтому $\sin 20^\circ > 0$.

Таким образом, $\frac{1}{2}\sin 20^\circ$ также будет положительным числом.

Сумма двух положительных чисел $0.183 + \frac{1}{2}\sin 20^\circ$ будет положительной.

Поскольку $\left(\frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{2}\sin 20^\circ\right) - \frac{1}{4} > 0$, то $\frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{2}\sin 20^\circ > \frac{1}{4}$.

Ответ: $\sin 40^\circ \cdot \cos 20^\circ$ больше.

177. Вычислите:

a)

$0.75 \cdot \cos 60^\circ + 0.25 \cdot \sin 30^\circ$

б)

$5\sin 30^\circ - 3\tan 45^\circ$

а)

Дано:

Выражение для вычисления: $0.75 \cdot \cos 60^\circ + 0.25 \cdot \sin 30^\circ$

Перевод в систему СИ:

Углы даны в градусах. Тригонометрические функции не имеют единиц измерения, поэтому перевод в систему СИ не требуется.

Найти:

Значение выражения.

Решение:

Для вычисления данного выражения используем известные значения тригонометрических функций для углов $60^\circ$ и $30^\circ$:

$\cos 60^\circ = \frac{1}{2} = 0.5$

$\sin 30^\circ = \frac{1}{2} = 0.5$

Подставим эти значения в выражение:

$0.75 \cdot \cos 60^\circ + 0.25 \cdot \sin 30^\circ = 0.75 \cdot 0.5 + 0.25 \cdot 0.5$

Выполним умножение:

$0.75 \cdot 0.5 = 0.375$

$0.25 \cdot 0.5 = 0.125$

Теперь выполним сложение:

$0.375 + 0.125 = 0.5$

Ответ: $0.5$

б)

Дано:

Выражение для вычисления: $5 \sin 30^\circ - 3 \operatorname{tg} 45^\circ$

Перевод в систему СИ:

Углы даны в градусах. Тригонометрические функции не имеют единиц измерения, поэтому перевод в систему СИ не требуется.

Найти:

Значение выражения.

Решение:

Для вычисления данного выражения используем известные значения тригонометрических функций для углов $30^\circ$ и $45^\circ$:

$\sin 30^\circ = \frac{1}{2} = 0.5$

$\operatorname{tg} 45^\circ = 1$

Подставим эти значения в выражение:

$5 \sin 30^\circ - 3 \operatorname{tg} 45^\circ = 5 \cdot 0.5 - 3 \cdot 1$

Выполним умножение:

$5 \cdot 0.5 = 2.5$

$3 \cdot 1 = 3$

Теперь выполним вычитание:

$2.5 - 3 = -0.5$

Ответ: $-0.5$

178. Верно ли, что значение $\sin^2 45^\circ$ равно среднему арифметическому значению:

a) $\cos^2 30^\circ$ и $\cos^2 60^\circ$;

б) $\sin^2 30^\circ$ и $\sin^2 60^\circ$?

Дано:

Значения тригонометрических функций для специальных углов:

• $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$
• $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$
• $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$
• $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$
• $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Найти:

Проверить, равно ли значение $\sin^2 45^\circ$ среднему арифметическому значению:

• а) $\cos^2 30^\circ$ и $\cos^2 60^\circ$
• б) $\sin^2 30^\circ$ и $\sin^2 60^\circ$

Решение:

Сначала вычислим значение $\sin^2 45^\circ$:

$\sin^2 45^\circ = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{(\sqrt{2})^2}{2^2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

а) $\cos^2 30^\circ$ и $\cos^2 60^\circ$

Вычислим значения $\cos^2 30^\circ$ и $\cos^2 60^\circ$:

$\cos^2 30^\circ = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{(\sqrt{3})^2}{2^2} = \frac{3}{4}$

$\cos^2 60^\circ = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1^2}{2^2} = \frac{1}{4}$

Теперь найдем среднее арифметическое этих значений:

Среднее арифметическое $= \frac{\cos^2 30^\circ + \cos^2 60^\circ}{2} = \frac{\frac{3}{4} + \frac{1}{4}}{2} = \frac{\frac{4}{4}}{2} = \frac{1}{2}$

Сравним полученное среднее арифметическое значение со значением $\sin^2 45^\circ$:

$\frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

Так как значения равны, утверждение верно.

Ответ: Верно

б) $\sin^2 30^\circ$ и $\sin^2 60^\circ$

Вычислим значения $\sin^2 30^\circ$ и $\sin^2 60^\circ$:

$\sin^2 30^\circ = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1^2}{2^2} = \frac{1}{4}$

$\sin^2 60^\circ = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{(\sqrt{3})^2}{2^2} = \frac{3}{4}$

Теперь найдем среднее арифметическое этих значений:

Среднее арифметическое $= \frac{\sin^2 30^\circ + \sin^2 60^\circ}{2} = \frac{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}}{2} = \frac{\frac{4}{4}}{2} = \frac{1}{2}$

Сравним полученное среднее арифметическое значение со значением $\sin^2 45^\circ$:

$\frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

Так как значения равны, утверждение верно.

Ответ: Верно

179. a) Найдите с точностью до 1° острые углы прямоугольного треугольника, в котором:

1) гипотенуза равна 29 см, а один из катетов – 20 см;

2) катеты равны 5 см и 7 см.

б) Существует ли треугольник со сторонами:

1) 2 см, 2 см и $\sqrt{8}$ см;

2) $\sqrt{2}$ дм, $\sqrt{3}$ дм и $\sqrt{5}$ дм?

Если существует, то найдите с точностью до 1° его меньший угол.

a)

1) гипотенуза равна 29 см, а один из катетов – 20 см

Дано:

прямоугольный треугольник;

гипотенуза $c = 29 \text{ см}$;

катет $a = 20 \text{ см}$.

Перевод в СИ:

$c = 29 \text{ см} = 0.29 \text{ м}$;

$a = 20 \text{ см} = 0.20 \text{ м}$.

Найти:

острые углы $\alpha, \beta$ с точностью до $1^\circ$.

Решение:

По теореме Пифагора найдем второй катет $b$: $a^2 + b^2 = c^2$.

$b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{29^2 - 20^2} = \sqrt{841 - 400} = \sqrt{441} = 21 \text{ см}$.

Найдем острые углы, используя тригонометрические функции. Пусть $\alpha$ - угол, противолежащий катету $a$, а $\beta$ - угол, противолежащий катету $b$.

$\sin \alpha = \frac{a}{c} = \frac{20}{29}$.

$\alpha = \arcsin\left(\frac{20}{29}\right) \approx 43.60^\circ$.

Округляем до $1^\circ$: $\alpha \approx 44^\circ$.

Так как сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$, то $\beta = 90^\circ - \alpha$.

$\beta = 90^\circ - 44^\circ = 46^\circ$.

Для проверки можем использовать косинус угла $\beta$:

$\cos \beta = \frac{a}{c} = \frac{20}{29}$.

$\beta = \arccos\left(\frac{20}{29}\right) \approx 46.40^\circ$.

Округляем до $1^\circ$: $\beta \approx 46^\circ$.

Ответ: $44^\circ$ и $46^\circ$.

2) катеты равны 5 см и 7 см

Дано:

прямоугольный треугольник;

катет $a = 5 \text{ см}$;

катет $b = 7 \text{ см}$.

Перевод в СИ:

$a = 5 \text{ см} = 0.05 \text{ м}$;

$b = 7 \text{ см} = 0.07 \text{ м}$.

Найти:

острые углы $\alpha, \beta$ с точностью до $1^\circ$.

Решение:

Найдем острые углы, используя тангенс. Пусть $\alpha$ - угол, противолежащий катету $a$, а $\beta$ - угол, противолежащий катету $b$.

$\tan \alpha = \frac{a}{b} = \frac{5}{7}$.

$\alpha = \arctan\left(\frac{5}{7}\right) \approx 35.53^\circ$.

Округляем до $1^\circ$: $\alpha \approx 36^\circ$.

Так как сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$, то $\beta = 90^\circ - \alpha$.

$\beta = 90^\circ - 36^\circ = 54^\circ$.

Для проверки можем использовать тангенс угла $\beta$:

$\tan \beta = \frac{b}{a} = \frac{7}{5}$.

$\beta = \arctan\left(\frac{7}{5}\right) \approx 54.46^\circ$.

Округляем до $1^\circ$: $\beta \approx 54^\circ$.

Ответ: $36^\circ$ и $54^\circ$.

б) Существует ли треугольник со сторонами:

1) 2 см, 2 см и $\sqrt{8}$ см

Дано:

стороны $x = 2 \text{ см}$, $y = 2 \text{ см}$, $z = \sqrt{8} \text{ см}$.

Перевод в СИ:

$x = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$;

$y = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$;

$z = \sqrt{8} \text{ см} \approx 2.828 \text{ см} = 0.02828 \text{ м}$.

Найти:

существует ли треугольник; если да, то меньший угол с точностью до $1^\circ$.

Решение:

Проверим неравенство треугольника: сумма длин любых двух сторон должна быть больше длины третьей стороны.

$x + y > z \implies 2 + 2 > \sqrt{8} \implies 4 > 2\sqrt{2} \implies 4 > 2.828$ (Верно).

$x + z > y \implies 2 + \sqrt{8} > 2$ (Верно, так как $\sqrt{8} > 0$).

$y + z > x \implies 2 + \sqrt{8} > 2$ (Верно, так как $\sqrt{8} > 0$).

Так как все неравенства выполняются, треугольник существует.

Проверим, является ли он прямоугольным, используя теорему, обратную теореме Пифагора. Наибольшая сторона - $\sqrt{8}$.

$x^2 + y^2 = 2^2 + 2^2 = 4 + 4 = 8$.

$z^2 = (\sqrt{8})^2 = 8$.

Так как $x^2 + y^2 = z^2$, данный треугольник является прямоугольным. Стороны $2$ см и $2$ см являются катетами, а $\sqrt{8}$ см - гипотенузой.

Это прямоугольный равнобедренный треугольник. В таком треугольнике острые углы равны между собой и составляют $45^\circ$. Меньший угол в нем равен одному из острых углов, то есть $45^\circ$.

Для подтверждения найдем угол $\alpha$, лежащий напротив стороны $x=2$ см (и такой же угол для стороны $y=2$ см), используя закон косинусов:

$x^2 = y^2 + z^2 - 2yz \cos \alpha$

$2^2 = 2^2 + (\sqrt{8})^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{8} \cos \alpha$

$4 = 4 + 8 - 4\sqrt{8} \cos \alpha$

$0 = 8 - 4\sqrt{8} \cos \alpha$

$4\sqrt{8} \cos \alpha = 8$

$\cos \alpha = \frac{8}{4\sqrt{8}} = \frac{2}{\sqrt{8}} = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

$\alpha = 45^\circ$.

Ответ: Треугольник существует, меньший угол $45^\circ$.

2) $\sqrt{2}$ дм, $\sqrt{3}$ дм и $\sqrt{5}$ дм

Дано:

стороны $x = \sqrt{2} \text{ дм}$, $y = \sqrt{3} \text{ дм}$, $z = \sqrt{5} \text{ дм}$.

Перевод в СИ:

$x = \sqrt{2} \text{ дм} \approx 1.414 \text{ дм} = 0.1414 \text{ м}$;

$y = \sqrt{3} \text{ дм} \approx 1.732 \text{ дм} = 0.1732 \text{ м}$;

$z = \sqrt{5} \text{ дм} \approx 2.236 \text{ дм} = 0.2236 \text{ м}$.

Найти:

существует ли треугольник; если да, то меньший угол с точностью до $1^\circ$.

Решение:

Проверим неравенство треугольника: сумма длин любых двух сторон должна быть больше длины третьей стороны.

Сравним $x + y$ и $z$:

$x + y = \sqrt{2} + \sqrt{3} \approx 1.414 + 1.732 = 3.146$.

$z = \sqrt{5} \approx 2.236$.

Так как $3.146 > 2.236$, то $x + y > z$ (Верно).

Остальные неравенства ($x+z > y$ и $y+z > x$) также выполняются, так как $\sqrt{5}$ является наибольшей стороной.

Так как неравенство треугольника выполняется, треугольник существует.

Проверим, является ли он прямоугольным, используя теорему, обратную теореме Пифагора. Наибольшая сторона - $z = \sqrt{5}$.

$x^2 + y^2 = (\sqrt{2})^2 + (\sqrt{3})^2 = 2 + 3 = 5$.

$z^2 = (\sqrt{5})^2 = 5$.

Так как $x^2 + y^2 = z^2$, данный треугольник является прямоугольным. Катеты равны $\sqrt{2}$ дм и $\sqrt{3}$ дм, а гипотенуза - $\sqrt{5}$ дм.

Меньший угол в прямоугольном треугольнике лежит напротив меньшего катета. Меньший катет - $x = \sqrt{2}$ дм.

Пусть $\alpha$ - угол, противолежащий катету $\sqrt{2}$ дм. Тогда его тангенс равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету:

$\tan \alpha = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$.

$\alpha = \arctan\left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\right) \approx \arctan(0.816496) \approx 39.23^\circ$.

Округляем до $1^\circ$: $\alpha \approx 39^\circ$.

Ответ: Треугольник существует, меньший угол $39^\circ$.

180. a) Хорда длиной 5 см стягивает дугу окружности, градусная мера которой равна $40^\circ$. Найдите с точностью до 0,1 см расстояние от центра окружности до этой хорды.

б) Угол между касательными, проведенными из некоторой точки к окружности радиуса 8 см, равен $30^\circ$. Найдите с точностью до 0,1 см расстояние между точками касания.

а) Хорда длиной 5 см стягивает дугу окружности, градусная мера которой равна 40°. Найдите с точностью до 0,1 см расстояние от центра окружности до этой хорды.

Дано:

Длина хорды $L = 5 \text{ см}$

Градусная мера дуги $ \alpha = 40^\circ$

Перевод в СИ:

$L = 5 \text{ см} = 0.05 \text{ м}$

$ \alpha = 40^\circ = \frac{40 \pi}{180} \text{ рад} = \frac{2\pi}{9} \text{ рад} $

Найти:

Расстояние от центра окружности до хорды $h$

Решение:

Пусть $R$ – радиус окружности. Центральный угол, опирающийся на хорду, равен градусной мере дуги, которую она стягивает. Таким образом, центральный угол, соответствующий хорде, равен $40^\circ$.

Расстояние от центра окружности до хорды $h$ является высотой равнобедренного треугольника, образованного двумя радиусами и хордой. Эта высота делит хорду пополам и центральный угол пополам. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом, половиной хорды и искомым расстоянием $h$.

Половина длины хорды равна $ \frac{L}{2} = \frac{5}{2} = 2.5 \text{ см}$.

Половина центрального угла равна $ \frac{\alpha}{2} = \frac{40^\circ}{2} = 20^\circ$.

В этом прямоугольном треугольнике, синус половины центрального угла равен отношению половины хорды к радиусу:

$ \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{L/2}{R} $

Отсюда найдем радиус $R$:

$ R = \frac{L/2}{\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)} = \frac{2.5}{\sin(20^\circ)} $

$ R \approx \frac{2.5}{0.34202} \approx 7.310 \text{ см} $

Расстояние $h$ является прилежащим катетом к углу $20^\circ$. Косинус половины центрального угла равен отношению расстояния $h$ к радиусу:

$ \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{h}{R} $

Выразим $h$:

$ h = R \cdot \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{2.5}{\sin(20^\circ)} \cdot \cos(20^\circ) = 2.5 \cdot \cot(20^\circ) $

$ h \approx 2.5 \cdot 2.74747 \approx 6.868675 \text{ см} $

Округлим до 0,1 см:

$ h \approx 6.9 \text{ см} $

Ответ: $6.9 \text{ см}$

б) Угол между касательными, проведенными из некоторой точки к окружности радиуса 8 см, равен 30°. Найдите с точностью до 0,1 см расстояние между точками касания.

Дано:

Радиус окружности $R = 8 \text{ см}$

Угол между касательными $ \beta = 30^\circ$

Перевод в СИ:

$R = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$

$ \beta = 30^\circ = \frac{30 \pi}{180} \text{ рад} = \frac{\pi}{6} \text{ рад} $

Найти:

Расстояние между точками касания $d$

Решение:

Пусть $O$ – центр окружности, $P$ – точка, из которой проведены касательные, а $A$ и $B$ – точки касания на окружности. Радиусы $OA$ и $OB$, проведенные в точки касания, перпендикулярны касательным $PA$ и $PB$ соответственно. Таким образом, $ \angle OAP = 90^\circ $ и $ \angle OBP = 90^\circ $.

Четырехугольник $OAPB$ имеет углы $ \angle OAP = 90^\circ $, $ \angle OBP = 90^\circ $ и $ \angle APB = 30^\circ $.

Сумма углов четырехугольника равна $360^\circ$. Найдем центральный угол $ \angle AOB $:

$ \angle AOB + \angle APB + \angle OAP + \angle OBP = 360^\circ $

$ \angle AOB + 30^\circ + 90^\circ + 90^\circ = 360^\circ $

$ \angle AOB + 210^\circ = 360^\circ $

$ \angle AOB = 360^\circ - 210^\circ = 150^\circ $

Расстояние между точками касания $d$ – это длина хорды $AB$. Треугольник $OAB$ является равнобедренным, так как $OA = OB = R = 8 \text{ см}$.

Опустим перпендикуляр $OM$ из центра $O$ на хорду $AB$. Этот перпендикуляр является высотой, медианой и биссектрисой угла $ \angle AOB $. Следовательно, $ \angle AOM = \frac{\angle AOB}{2} = \frac{150^\circ}{2} = 75^\circ $.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $OMA$. В нем $OA = R = 8 \text{ см}$ (гипотенуза), а $AM$ – катет, который равен половине длины хорды $AB$.

Используем синус угла $ \angle AOM $:

$ \sin(\angle AOM) = \frac{AM}{OA} $

$ AM = OA \cdot \sin(\angle AOM) = R \cdot \sin(75^\circ) $

$ AM = 8 \cdot \sin(75^\circ) $

Значение $ \sin(75^\circ) \approx 0.9659258 $

$ AM \approx 8 \cdot 0.9659258 \approx 7.7274064 \text{ см} $

Длина хорды $d = AB = 2 \cdot AM$:

$ d = 2 \cdot 7.7274064 \approx 15.4548128 \text{ см} $

Округлим до 0,1 см:

$ d \approx 15.5 \text{ см} $

Ответ: $15.5 \text{ см}$

181. Найдите сторону равностороннего треугольника, если:

а) радиус описанной около него окружности равен 3 см;

б) радиус вписанной в него окружности равен 4 см.

а) радиус описанной около него окружности равен 3 см

Дано:

Равносторонний треугольник.

Радиус описанной окружности $R = 3$ см.

Перевод в СИ:

$R = 3 \, \text{см} = 0.03 \, \text{м}$.

Найти:

Сторона равностороннего треугольника $a$.

Решение:

Для равностороннего треугольника со стороной $a$ радиус описанной окружности $R$ выражается формулой:

$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$

Отсюда выразим сторону $a$:

$a = R\sqrt{3}$

Подставим значение $R = 3$ см:

$a = 3\sqrt{3}$ см.

Ответ: $3\sqrt{3}$ см.

б) радиус вписанной в него окружности равен 4 см

Дано:

Равносторонний треугольник.

Радиус вписанной окружности $r = 4$ см.

Перевод в СИ:

$r = 4 \, \text{см} = 0.04 \, \text{м}$.

Найти:

Сторона равностороннего треугольника $a$.

Решение:

Для равностороннего треугольника со стороной $a$ радиус вписанной окружности $r$ выражается формулой:

$r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$

Отсюда выразим сторону $a$:

$a = 2r\sqrt{3}$

Подставим значение $r = 4$ см:

$a = 2 \cdot 4 \cdot \sqrt{3} = 8\sqrt{3}$ см.

Ответ: $8\sqrt{3}$ см.

182. Хорда, равная 8 см, стягивает дугу в $72^\circ$. Найдите с точностью до 0,1 см длину хорды, стягивающей дугу в $144^\circ$.

Дано

длина первой хорды $l_1 = 8$ см

угол дуги, стягиваемой первой хордой $\alpha_1 = 72^\circ$

угол дуги, стягиваемой второй хордой $\alpha_2 = 144^\circ$

точность до $0,1$ см

Найти:

длина второй хорды $l_2$

Решение

Длина хорды $l$ в окружности связана с радиусом $R$ окружности и центральным углом $\alpha$, который стягивает эта хорда (или углом дуги, который она стягивает), формулой:

$l = 2R \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

Используем данные для первой хорды, чтобы найти радиус $R$ окружности:

$l_1 = 2R \sin\left(\frac{\alpha_1}{2}\right)$

$8 = 2R \sin\left(\frac{72^\circ}{2}\right)$

$8 = 2R \sin(36^\circ)$

Выразим радиус $R$:

$R = \frac{8}{2 \sin(36^\circ)}$

$R = \frac{4}{\sin(36^\circ)}$

Теперь используем найденный радиус $R$ и угол для второй хорды, чтобы найти ее длину $l_2$:

$l_2 = 2R \sin\left(\frac{\alpha_2}{2}\right)$

$l_2 = 2R \sin\left(\frac{144^\circ}{2}\right)$

$l_2 = 2R \sin(72^\circ)$

Подставим выражение для $R$:

$l_2 = 2 \left(\frac{4}{\sin(36^\circ)}\right) \sin(72^\circ)$

$l_2 = \frac{8 \sin(72^\circ)}{\sin(36^\circ)}$

Воспользуемся тригонометрическим тождеством для синуса двойного угла: $\sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x)$. В нашем случае, $x = 36^\circ$, так что $2x = 72^\circ$. Таким образом, $\sin(72^\circ) = 2 \sin(36^\circ) \cos(36^\circ)$.

Подставим это в выражение для $l_2$:

$l_2 = \frac{8 \cdot (2 \sin(36^\circ) \cos(36^\circ))}{\sin(36^\circ)}$

$l_2 = 16 \cos(36^\circ)$

Вычислим значение $\cos(36^\circ)$:

$\cos(36^\circ) \approx 0.809017$

Теперь вычислим $l_2$:

$l_2 \approx 16 \times 0.809017$

$l_2 \approx 12.944272$ см

Округлим результат до 0,1 см, как того требует задача:

$l_2 \approx 12.9$ см

Ответ:

Длина хорды, стягивающей дугу в 144°, равна примерно $12.9$ см.